Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums metoder Potensrækker Differentialligninger Calculus 2-26 Uge 5. - Oversigt Matematik Alfa, August 22 Opgaver. Beregn et dobbeltintegral 2. Diagonaliser en 3 3 matri 3. Bestem kritiske punkter og ekstrema 4. Angiv en potensrække og find en grænseværdi 5. Find gradient og retningsafledt 6. Beregn en ortogonal projektion 7. Løs en lineær differentialligning Calculus 2-26 Uge 5. - 2 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August 22 Opgave Lad R betegne kvartcirkelskiven 2 + 2 4,,. (Tegn.) Udregn R 2 da. Løsning 2 R {(, ),, 2 + 2 4} Calculus 2-26 Uge 5. - 3 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August 22 Opgave - figur z R {(r, θ) r 2, θ π 2 } Calculus 2-26 Uge 5. - 4
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August 22 Opgave - løsning er et polært rektangel. Integralet er R R {(r, θ) r 2, θ π 2 } 2 da π/2 2 r 3 cos 2 (θ) sin(θ) rdr dθ Calculus 2-26 Uge 5. - 5 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August 22 Opgave - løsning R 2 da π/2 2 π/2 π/2 r 3 cos 2 (θ) sin(θ) rdr dθ [ 5 r5 cos 2 θ sin θ 32 5 cos2 θ sin θ dθ [ 32 5 cos3 θ 32 5 ] π/2 ] r2 r dθ Calculus 2-26 Uge 5. - 6 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August 22 Opgave - n figur z R {(, ) 2, 4 2 } Calculus 2-26 Uge 5. - 7 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August 22 Opgave - alternativt er et Tpe I område. Integralet er R {(, ) 2, 4 2 } R 2 da 2 4 2 2 d d Calculus 2-26 Uge 5. - 8
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August 22 Opgave - alternativt R 2 da 2 4 2 2 2 [ 2 2 2 2 d d ] 4 2 2 (42 4 ) d [ 2 3 3 5 32 5 ] 2 d Calculus 2-26 Uge 5. - 9 Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August 22 Opgave 2 Det oplses, at matricen A givet ved 3 3 A 3 5 3 3 3 har egenværdier λ og λ 2 2, og at der ikke er andre egenværdier.. Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien 2. 2. Angiv en invertibel matri B og en diagonal matri Λ så at B A B Λ Calculus 2-26 Uge 5. - Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August 22 Opgave 2 - løsning. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: 3 3 3 A 2I 3 3 3 3 3 3 giver det reducerede ligningssstem + 2 + 3 og dermed 2 3 Calculus 2-26 Uge 5. - Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August 22 Opgave 2 - løsning. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: 2 3 2 2 2 + 3 3 hvor 2, 3 vælges frit. Egenrummet udtrkkes E 2 span(, ) 3 Calculus 2-26 Uge 5. - 2
Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August 22 Opgave 2 - løsning Egenvektorer hørende til egenværdien : 3 3 A + I 3 6 3 3 3 hvor 3 vælges frit. 2 3 3 3 3 3 Calculus 2-26 Uge 5. - 3 Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August 22 Opgave 2 - løsning 2. Angiv en invertibel matri B og en diagonal matri Λ så at B A B Λ Søjler af egenvektorer giver 2 B, Λ 2 det(b) sikrer invertibilitet. Calculus 2-26 Uge 5. - 4 Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August 22 Opgave 2 - gør prøve! A B B Λ 3 3 2 2 3 5 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 Så prøven stemmer! Calculus 2-26 Uge 5. - 5 Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August 22 Opgave 2 - figur z (,,) (,,) (,,) Egenvektorer Calculus 2-26 Uge 5. - 6
Bestem ekstrema Matematik Alfa, August 22 Opgave 3 Betragt funktionen f(, ) givet ved f(, ) + + for >, >. Det oplses, at funktionen har netop ét kritisk punkt i sit definitionsområde.. Angiv dette kritiske punkt. 2. Undersøg om det er et lokalt minimum, maksimum, eller saddelpunkt. Calculus 2-26 Uge 5. - 7 Bestem ekstrema Matematik Alfa, August 22 Opgave 3 - løsning har kritisk punkt f(, ) + + f ( 2, ) (, ) 2 2, 2 (, ) (, ) Calculus 2-26 Uge 5. - 8 Bestem ekstrema Matematik Alfa, August 22 Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede f 2 3, f 2, f 2 2 3 f (, ) 2, f (, ), f (, ) 2 Anden ordenstesten giver (a, b) f(a, b) f (a, b) D(a, b) Tpe (, ) 3 2 3 minimum Altså er punktet (, ) lokalt minimum for f på mængden >, >. Calculus 2-26 Uge 5. - 9 Bestem ekstrema Matematik Alfa, August 22 Opgave 3 - figur z (,) Calculus 2-26 Uge 5. - 2
Angiv potensrække Matematik Alfa, August 22 Opgave 4 Angiv en potensrække i, der for fremstiller funktionen Angiv også grænseværdien f() cos(2 ) 4 lim f(). Calculus 2-26 Uge 5. - 2 Angiv potensrække Matematik Alfa, August 22 Opgave 4 - løsning Bent potensrækken cos ( ) n (2n)! 2n n til at få cos 2 ( ) n (2n)! 4n n Calculus 2-26 Uge 5. - 22 Angiv potensrække Matematik Alfa, August 22 Opgave 4 - løsning Dermed er f() ( ) n n (2n)! 4(n ) 2! + 4! 4 6! 8 + 8! 2... Det følger, at lim f() 2 Calculus 2-26 Uge 5. - 23 Angiv potensrække Matematik Alfa, August 22 Opgave 4 - figur Grafen for cos(2 ) 4 Calculus 2-26 Uge 5. - 24
Find gradient Matematik Alfa, August 22 Opgave 5 Betragt funktionen f(, ) 2 + ln( 3 + + ).. Angiv gradientvektoren f(, 2). 2. Angiv den retningsafledede af f i punktet P (, 2) i retning givet ved enhedsvektoren (3/5, 4/5). Løsning. Gradienten beregnes f 3 2 /( 3 + + ) f 2 + /( 3 + + ) f(, 2) (f (, 2), f (, 2)) (, 3/3) Calculus 2-26 Uge 5. - 25 Find gradient Matematik Alfa, August 22 Opgave 5 - løsning f(,2) u 2. I retning u (3/5, 4/5) er den retningsafledede D u f(, 2) f(, 2) u (, 3/3) (3/5, 4/5) 52/5 (,2) Calculus 2-26 Uge 5. - 26 Find gradient Matematik Alfa, August 22 Opgave 5 - ekstra z 3 ++> z 2 +ln( 3 ++) Definitionsområdet. Grafen Calculus 2-26 Uge 5. - 27 Find gradient Matematik Alfa, August 22 Opgave 5 - figur Tangenter til niveaukurver for z 2 + ln( 3 + + ). Calculus 2-26 Uge 5. - 28
Find gradient Matematik Alfa, August 22 Opgave 5 - figur Skalerede gradienter. z for z 2 + ln( 3 + + ). Calculus 2-26 Uge 5. - 29 Beregn projektion Matematik Alfa, August 22 Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u (,,, ) og u 2 (,,, ). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v (, 2, 3, 4). Løsning I følge [LA] Sætning 8 er u den ortogonale projektion af v på U. Den korteste afstand er v u Calculus 2-26 Uge 5. - 3 Beregn projektion Matematik Alfa, August 22 Opgave 6 - løsning Vektorerne u (,,, ) og u 2 (,,, ) har u u 2 + + ( ) + ( ) Fra [LA] Sætning 7 fås projektionen af v (, 2, 3, 4) u proj U (v) proj u (v) + proj u2 (v) v u u + v u 2 u 2 u u u 2 u 2 4 4 (,,, ) + 5 (,,, ) 2 (, 3, 7, ) 2 2 Calculus 2-26 Uge 5. - 3 Beregn projektion Matematik Alfa, August 22 Opgave 6 - ekstra Restvektoren v u (, 2, 3, 4) (, 3 2, 7 2, ) (2, 2, 2, 3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u (2,,, 3) 2 2 27 2 3 2 6 Calculus 2-26 Uge 5. - 32
Beregn projektion Matematik Alfa, August 22 Opgave 6 - figur v v u U u proj U (v) Ortogonal projektion på underrum U Calculus 2-26 Uge 5. - 33 Løs differentialligning Matematik Alfa, August 22 Opgave 7 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen + 2 e 2 + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning (), der opflder () 2. Løsning a() 2, b() e 2 + 3 Calculus 2-26 Uge 5. - 34 Løs differentialligning Matematik Alfa, August 22 Opgave 7 - løsning A() a() d 2 d 2 B() e A() b() d e 2 (e 2 + 3)d Som giver 2 2 + 3 2 e2 Calculus 2-26 Uge 5. - 35 Løs differentialligning Matematik Alfa, August 22 Opgave 7 - løsning fuldstændig løsning () Ce A() + B()e A() Ce 2 + ( 2 2 + 3 2 e2 )e 2 Ce 2 + 2 2 e 2 + 3 2 Calculus 2-26 Uge 5. - 36
Løs differentialligning Matematik Alfa, August 22 Opgave 7 - retningsfelt I punktet (, ) tegnes et kort linjestkke med hældning () 2 + e 2 + 3. Calculus 2-26 Uge 5. - 37 Løs differentialligning Matematik Alfa, August 22 Opgave 7 - løsning I den partikulære løsning bestemmes C ved () 2. I alt er løsningen () Ce + 3 2 2 () 2 e 2 + 2 2 e 2 + 3 2 Calculus 2-26 Uge 5. - 38 Løs differentialligning Matematik Alfa, August 22 Opgave 7 - figur Løsningskurve Calculus 2-26 Uge 5. - 39