Performanceevaluering af danske investeringsforeninger

Institut for Økonomi Bachelorafhandling HA-almen 6. semester Forfattere: Jeppe Nielsen (JN93198) Nicolai Lahrmann Jensen (NJ93199) Peter Aagaard Nielsen (PN93123) Vejleder: Michael Christensen Performanceevaluering af danske investeringsforeninger - Empirisk anvendelse af False Discovery Rates til justering for held/uheld Antal tegn: 174.641 Aarhus Universitet, Business and Social Sciences Forår 2014

Abstract Through a decade of enormous expansion, the mutual fund market has become an increasingly significant part of the overall financial industry. Using the inflow of funds as a proxy of the level of confidence in mutual fund performance, the sector seems to enjoy investors unconditional trust. During this rapid market expansion, financial professors have asked themselves whether this confidence is justified. This has led to a vast number of publications on mutual fund performance. While these have in common that they seriously challenge the blind belief in mutual fund performance, they widely disagree on how to evaluate and analyse this performance. The issue of how to properly adjust for luck has become the pivot of the theoretical discussion. In 2010 Barras et al. present their performance evaluation method. This publication introduces a more precise adjustment method for luck in mutual fund performance. Though the method is widely recognised, this thesis constitutes the first application of the method on Danish mutual fund data. The core of the method was originally developed to tackle statistical challenges within natural sciences. However, by realizing that similar statistical challenges exist in mutual fund performance evaluation, Barras et al. are able to adapt the method to this field. The method differentiates itself by being entirely data driven. Thus, in contrast to other methods, it is not necessary to assume any ex. ante percentage of zero-alpha funds in the population to conduct the luck adjustment. Instead the method relies on the known distribution of p-values from zero-alpha funds. Through a statistical model it is possible to use this insight to estimate the true percentage of zero-alpha funds in a population. From this estimate the final portion of skilled and unskilled funds can be estimated. Combining this method with other theoretical contributions on for example performance persistency creates a thorough understanding of the general mutual fund performance. To apply these methods to the evaluation of Danish mutual fund performance, more than 900 bootstrap runs each consisting of 1,000 simulations were conducted, 1,500 multiple regression models were estimated and an immense number of statistical hypothesis tests were performed. By utilising this method it is possible to examine the overall luck-adjusted performance of Danish mutual funds in the period 2004-2013 (inclusive). It is concluded that only 10.6 per cent of the examined mutual funds can be categorised as skilled funds after having adjusted for luck. 65.5 per cent are zero-alpha funds while 23.9 per cent are categorised as unskilled funds. To insure a thorough investigation of the overall performance the thesis further analyses funds performance persistency. In contrast to similar international investigations the thesis finds no indications of performance persistency. Thus neither top performing funds nor poorly performing funds can be expected to repeat past performance. Finally the thesis explores the possibilities to develop an effective investment strategy utilizing the insights from the luck adjustment method. Testing this strategy on historical data generates, however, no superior performance. One of two possible insights can be drawn from this observation. Either there simply don t exist persistently skilled funds or the method has not been accurate enough to

continuously select these. These sub-conclusions leed to the overall conclusion: Danish mutual funds generally perform below benchmark and even top performing funds don t exhibit enough persistency for an effective investment strategy to be formulated.

Indhold 1 Indledning 1 1.1 Problemformulering.................................. 2 1.2 Afgrænsning...................................... 3 1.3 Struktur........................................ 3 1.4 Definition af nøglebegreber............................. 5 2 Baggrund 6 2.1 Investeringsforeninger generelt............................ 6 2.1.1 Beskrivelse af branchen for danske investeringsforeninger......... 7 2.2 Tidligere litteratur.................................. 7 2.3 Udledning af hypoteser................................ 11 3 Afhandlingens datagrundlag 12 3.1 Investeringsforeninger................................ 12 3.1.1 Udvælgelse af investeringsforeninger.................... 12 3.1.2 Passive foreningers rolle i afhandlingen................... 14 3.1.3 Survivorship bias............................... 14 3.1.4 Investeringsforeningernes omkostninger................... 14 3.2 Udvælgelse af benchmarks.............................. 15 4 Metodisk gennemgang 16 4.1 Overordnet beskrivelse af afhandlingens anvendte metoder............ 16 4.2 Asset-pricing modeller................................ 17 4.2.1 The Capital Asset Pricing Model (CAPM)................. 17 4.2.2 Fama & Frenchs 3-faktor model....................... 17 4.2.3 Carharts 4-faktor model........................... 18 4.2.4 Udledning af SMB, HML og WML faktorerne for Danmark....... 19 4.3 Valg af performancemål............................... 21 4.3.1 Alpha som performancemål......................... 21 4.3.2 Bestemmelse af alpha ved multipel regression............... 22 4.3.3 Kritik af Jensens alpha............................ 23 4.4 Bootstrap på t-statistikker.............................. 23 4.4.1 Bootstrap-metoden generelt......................... 23 4.4.2 Forklaring af bootstrap-metodens enkelte trin.............. 23 4.5 Kontrol for held/uheld ved FDR-metoden..................... 25 4.5.1 Baggrund for anvendelse af FDR-metoden................. 25 4.5.2 Overordnede beskrivelse af metoden.................... 25 4.5.3 Estimering af andelen af zero-alpha foreninger (π 0 )............ 27 4.5.4 Bevis for zero-alpha foreningers uniforme fordeling............ 28 i

4.5.5 Estimering af lambda............................ 30 4.5.6 Estimering af gamma (signifikansniveau).................. 31 4.6 Lokation af dygtige foreninger............................ 33 4.7 Performance persistency............................... 34 4.7.1 Contingency-tabeller (Winner-Loser test)................. 35 4.7.2 Persistency-test ved regression....................... 37 4.7.3 Hendricks rangerede porteføljetest..................... 37 4.8 Praktisk anvendelse af FDR-metoden........................ 38 4.9 FDR-metoden sammenlignet med alternative tilgange............... 39 4.9.1 Sammenligning med full luck og no luck approach............ 39 4.9.2 Sammenligning med KTWW (2006) og Fama & French (2010)..... 41 4.10 Kvalitet af data................................... 43 4.10.1 Korrelerede fejlled.............................. 43 4.10.2 Normalfordelte fejlled............................ 44 4.10.3 Autokorrelation og heteroskedasticitet................... 44 5 Empirisk analyse af danske investeringsforeningers performance 45 5.1 Overordnede resultater................................ 45 5.2 FDR-metodens resultater.............................. 46 5.2.1 Bestemmelse af alpha og t-statistikker................... 46 5.2.2 Bestemmelse af p-værdier.......................... 48 5.2.3 Fastsættelse af optimal lambda....................... 49 5.2.4 Fastsættelse af optimal gamma....................... 50 5.2.5 Diskussion af FDR-modellens resultater.................. 51 5.2.6 Lokation af dygtige foreninger........................ 52 5.2.7 Delkonklusion................................. 53 5.3 Geografisk segmentering............................... 54 5.4 Sammenligning af passive og aktive foreningers performance........... 55 5.5 Performance persistency............................... 56 5.5.1 Contingency-tabeller (Winner-Loser test)................. 56 5.5.2 Persistency-test ved regression....................... 57 5.5.3 Hendricks rangerede porteføljer....................... 58 5.5.4 Delkonklusion................................ 59 5.6 Praktisk anvendelse af FDR-metoden / Investeringsstrategi........... 59 5.6.1 Delkonklusion................................. 60 6 Diskussion 61 6.1 Behavioral bias.................................... 61 6.1.1 Overconfidence generelt........................... 61 6.1.2 Sammenhæng mellem overconfidence og excessive trading........ 61 6.1.3 Overconfidence hos afhandlingens investeringsforeninger......... 62 6.1.4 Delkonklusion................................. 64 ii

6.2 Benchmarksanalyse................................. 64 6.3 Robusthedsanalyse.................................. 65 7 Konklusion 67 8 Perspektivering 68 9 Kildefortegnelse 70 9.1 Artikler........................................ 70 9.2 Bøger......................................... 73 9.3 Internetsider...................................... 73 9.4 Rapporter....................................... 73 iii

Figurer 1.1 Illustration af opgavens struktur.......................... 4 4.1 Hypotetiske fordelinger af henholdsvis ringe, zero-alpha og dygtige foreninger. 26 4.2 Konstrueret histogram over investeringsforeningers hypotetiske p-værdier.... 27 4.3 Effekten af øget signifikansniveau ved to forskellige p-værdi fordelinger..... 34 4.4 Dygtige foreninger ved forskellige signifikansniveauer ved henholdsvis no luck, full luck og FDR................................... 41 4.5 Sammenligning af de tre hovedmetoder til justering for held/uheld....... 43 5.1 Oversigt over de 89 foreningers t-statistikker rangeret fra højest til lavest.... 47 5.2 Histogram over de 89 foreningers estimerede p-værdier.............. 48 5.3 Sammenligning af dygtige og signifikante foreninger ved givne signifikansniveauer 53 6.1 Efterspørgselskurver for henholdsvis en ovenconfident og en mindre overconfident investor..................................... 62 Tabeller 2.1 Oversigt over resultater i den tidligere litteratur.................. 10 3.1 De 89 investeringsforeninger fordelt på geografiske områder........... 13 4.1 Kombinationsporteføljer for size- og value-faktorerne............... 19 4.2 Kombinationsporteføljer for momentumfaktoren.................. 20 5.1 Regressionsresultater for de seks overordnede grupper............... 47 5.2 Beregning af π 0 ved forskellige niveauer af λ og endelig valg af λ........ 49 5.3 π og π + beregnet ved forskellige γ værdier.................... 50 5.4 Gennemsnitlig MSE for hvert γ-niveau....................... 51 5.5 Andel af dygtige, ringe og zero-alpha foreninger.................. 51 5.6 Geografisk segmenteret performance for de seks grupper............. 54 5.7 Sammenligning af passive og aktive foreningers performance........... 55 5.8 Contingency-tabel med de tre test-værdier udregnet for alle foreninger..... 56 5.9 Antal signifikante regressioner på tværs af de seks geografiske grupper grupper. 57 5.10 Regressionsresultater for henholdsvis winner- og loser-porteføljerne....... 58 5.11 Regressionsresultater for de fem porteføljer baseret på FDR-niveau....... 60 6.1 Oversigt over sammenhængen mellem omsætningshastighed og gennemsnitlig alpha.......................................... 63 6.2 Test på forskel i gennemsnitlig alpha mellem de 20 foreninger med højest omsætningshastig og de 20 foreninger med lavest omsætningshed.......... 63 6.3 Andelen af dygtige, ringe og zero-alpha foreninger ved forskellige asset-pricing modeller........................................ 65 6.4 Loadings på faktorer der er udeladt ved overgang fra Carhart til henholdsvis CAPM og Fama & French ved givne signifikansniveauer.............. 66 iv

Bilag Bilag 1 - Oversigt over lukkede foreninger og hvilke foreninger de er fusioneret ind i Bilag 2 - Den gennemsnitlige risikopræmie for de 3 faktorer SMB, HML og WML Bilag 3 - Original kode (Fama & French 2010) Bilag 4 - Bootstrap-kode transformeret til KTWW s metode (2006) Bilag 5 - Bootstrap VBA-kode til estimering af lambda Bilag 6 - Bootstrap VBA-kode til estimering af gamma Bilag 7 - FDR-niveauer opnået i de enkelte peridoer for hver af de fem porteføljer Bilag 8 - Forudsætningsresultater for de i afhandlingen indeholdte foreninger Bilag 9 - Regressionsresultater for de i afhandlingen indeholdte foreninger Bilag 10 - Antal signifikante/dygtige foreninger ved givne signifikansniveauer Bilag 11 - Contingency-tabeller fordelt ud på de 6 områder Bilag 12 - Scatterdot og regression for foreningernes alpha og omsætningshastighed Bilag 13 - Test af forskel i gennemsnitlig alpha (laveste og højeste omsætningshastigheder) Bilag 14 - Regressionsresultaterne for de 21 foreninger kørt med nye benchmarks Bilag 15 - Analysen kørt med CAPM som asset-pricing model Bilag 16 - Analysen kørt med Fama&French 3-faktor som asset-pricing model Elektroniske bilag (ekstra dokumentation for afhandlingens analyser) Excel-filerne: Data fra IFR (Stamdata, grunddata og omsætningshastigheder) Udregning af faktorerne SMB & HML Udregning af faktoren WML Bootstrap til estimering af Lambda og Gamma - VBA Contingency tabeller til analyse af persistency Udregning af FDR-niveauer til praktisk brug af metoden De samlede porteføljer ud fra ønsket FDR-niveau Regressionsresultater med CAPM som model Regressionsresultater ved Fama og French 3-faktor som model v

1 Indledning Det synes intuitivt for de fleste mennesker at betale andre for at udføre opgaver indenfor områder, hvor egne kompetencer er begrænsede. Således kan man i stedet fokusere på egne kernekompetencer. Denne udnyttelse af komparative fordele observeres i alle dele af samfundet. Uanset om det er bilen, der sendes til reparation ved mekanikeren, elektrikeren der bestilles til at ordne elinstallationer eller direktionen i en koncern, der betaler et konsulentbureau for at udføre opgaver, virksomheden ikke selv kan håndtere. På samme måde synes det for mange mennesker indlysende at overlade investeringer i værdipapirer til en investeringsforening. Ligesom det er tilfældet ved betaling til mekanikeren, forventer man ved betaling til en investeringsforening, at opgaven bliver varetaget af folk, der er dygtigere end en selv. Hvis det blev kendt, at mekanikeren ikke besad reparationsevner, men blot engang i mellem var heldig at reparationen faktisk lykkedes, ville de fleste mennesker formodentligt ikke sende bilen til reparation. Tilsvarende betales der omkostninger til en investeringsforening, fordi det forventes, at investeringer her foretages af dygtige investorer, der skaber positive afkast baseret på evner og ikke blot forbigående held. Mens det i midlertidigt er relativt nemt at vurdere, hvorvidt en mekaniker virkelig er dygtig, kan det selv samme være ekstremt svært for en investeringsforening. Taget i betragtning af at danske investeringsforeninger i alt varetager værdier for knap 1.400 mia. kroner (IFR), er det ikke desto mindre helt fundamentalt at kunne afgøre, hvorvidt disse faktisk besidder reelle evner. Hvis de senere års markante tilgang til investeringsforeninger kan anvendes som proxy for forventninger om, at disse faktisk er dygtige, må der siges at være stor tiltro til investeringsforeninger. Det er alment anerkendt, at investering i investeringsforeninger kan bidrage til en vis risikospredning, men om investeringsforeninger virkelig lever op til de øjensynligt høje forventninger, synes endnu ikke at være afklaret. Jævnfør ovenstående betragtninger synes det oplagt, at netop performanceevaluering af investeringsforeninger har fået en stor plads i den finansielle litteratur de senere år. Således har anerkendte professorer som Fama & French, Kosowski og Barras alle udgivet publikationer omkring netop dette emne indenfor de sidste 10 år. Selvom fokus primært har været rettet mod undersøgelse af internationale og amerikanske investeringsforeninger, har også det danske marked været genstand for lignende undersøgelser. Christensen (2003, 2012) udgør oplagte eksempler herpå. Mens det er fælles for både danske og internationale publikationer, at der forsøges at skelne mellem heldige og dygtige investeringsforeninger, er der stor forskel på hvilke metoder, der anvendes for at nå frem til denne konklusion. Selvom dette område altså har fået markant opmærksomhed, synes der endnu ikke at være nogen klar konsensus om, hvilken metode der er mest optimale at anvende. 1

1.1 Problemformulering I 2010 introducerede Barras et al. deres bud på den mest optimale korrektion for held/uheld, ved at trække på teorien om False Discovery Rates (FDR). Teorien, der oprindeligt blev udviklet til naturvidenskabelige discipliner, besidder ifølge Barras et al. nye og forbedrede muligheder for at korrigere for held og dermed estimere andelen af dygtige investeringsforeninger i en population. Der er endnu ikke udgivet publikationer, hvor denne metode anvendes på dansk data. Det er således ikke undersøgt, om anvendelsen af denne metode vil betyde ændringer i det billede af danske investeringsforeningers performance, der er kommet til udtryk igennem danske publikationer som Christensen (2003, 2012). Formålet med denne afhandling er derfor at undersøge danske investeringsforeningers performance ved anvendelse af denne nye metode. Dette vil gennemføres gennem besvarelsen af forskningsspørgsmålet: Hvordan er den generelle performance for danske investeringsforeninger når der justeres for held/uheld. Forskningsspørgsmålet vil blive besvaret gennem verifikation eller falsifikation af følgende hypoteser: H 1 : Danske investeringsforeninger performer generelt ikke over benchmark, når der justeres for held/uheld. H 2 : Der eksisterer dygtige danske investeringsforeninger. H 3 : Investeringsforeninger udviser generelt en lav grad af persistency på kort sigt. H 4 : Dygtige investeringsforeninger udviser en vis grad af persistency på kort sigt. H 5 : Ved at lokalisere og vælge de dygtige foreninger er det muligt at outperforme markedet. H 6 : Behavioral biases påvirker investeringsforeningers generelle performance negativt. Disse hypoteser vil blive udledt og diskuteret i afhandlingens afsnit 2.3 2

1.2 Afgrænsning Da performanceevaluering af investeringsforeninger er et omfattende emne, har det været nødvendigt at foretage en række afgrænsninger for at sikre en fokuseret besvarelse. Der er således udelukkende fokuseret på at afdække de spørgsmål, der direkte kan henføres til den overordnede besvarelse af afhandlingens forskningsspørgsmål. Når begrebet dygtighed kædes sammen med investeringsforeninger, vil det ofte føre til en diskussion af market efficiency. Eugene Fama kom i 1970 med efficient market hypothesis (EMH), som hævder, at det ikke er muligt for en investor konsistent at slå markedet, fordi alt tilgængelig information allerede er indbygget i prisen. Dette betyder, at hvis afhandlingens konklusion bliver, at det er muligt at identificere dygtige investorer, der konsistent kan slå markedet, vil det stride direkte mod hypotesen omkring det efficiente marked. Da hovedformålet med afhandlingen er en analyse af investeringsforeningers performance og ikke en diskussion af, hvorvidt markedet er efficient, vil yderligere diskussioner af resultaters eventuelle be- eller afkræftelse af hypotesen om det efficiente marked ikke blive foretaget. På baggrund af afhandlingens begrænsede omfang er der valgt udelukkende at fokusere på aktie-investeringsforeninger. Den bagvedliggende analyse ville være omtrentligt den samme for obligations-investeringsforeninger, men for at sikre mest mulig dybde i afhandlingens konklusioner er det blevet prioriteret kun at undersøge én type investeringsforening. Derfor vil betegnelsen investeringsforening i denne afhandling kun dække over danske aktieinvesteringsforeninger. Overnormale afkast efter omkostninger udregnes i afhandlingen eksklusiv emissionstillæg og indløsningsfradrag. Disse omkostninger er ikke inkluderet, da indregning af disse vil kræve, at der tages stilling til, hvor længe en gennemsnitlig investor fastholder sin investering i foreningen. Længden af denne periode kan få stor betydning for den endelig konklusion, hvorfor den ikke er indregnet. Dog vil omkostningerne ikke blive ignoreret, da der løbende gennem afhandlingen vil blive gjort opmærksom på, at disse omkostninger ikke er inkluderet, hvorfor der tages forbehold for dette i afhandlingens endelige konklusioner. 1.3 Struktur Figur 1.1 viser en grafisk illustration af afhandlingens opbygning. Afhandlingen er struktureret i 8 overordnede kapitler. Hvert kapitel består af en række afsnit, der yderligere er inddelt i underafsnit. I kapitel 1 redegøres der for afhandlingens problemstilling og dertilhørende problemformulering. Kapitel 2 beskriver afhandlingens teoretiske baggrund, herunder en beskrivelse af de danske investeringsforeninger og den tidligere litteratur på området. Dette fører til udledningen af en række hypoteser, der skal bidrage til besvarelsen af problemformuleringen. Kapitlet har til hensigt at sætte læseren ind i afhandlingens teoretiske kontekst. Kapitel 3 indeholder en beskrivelse af afhandlingens datagrundlag samt en diskussion af denne. I kapitel 4 bliver afhandlingens metode beskrevet. Dette indbefatter valg af asset-pricing model, 3

metode til justering for held/uheld, foreningernes afkast-persistency og en sammenligning af andre metoder til performanceevaluering. I kapitel 5 bliver afhandlingens empiriske resultater præsenteret og diskuteret. I kapitel 6 diskuteres valget af asset-pricing model og benchmarks, hvorefter et adfærdsmæssigt perspektiv vil blive diskuteret. Kapitel 7 opsamler afhandlingens resultater, besvarer problemformuleringens hypoteser og konkluderer på disse. Afslutningsvis vil afhandlingens konklusioner i kapitel 8 blive diskuteret ud fra afhandlingens bredere kontekst. Figur 1.1: Illustration af opgavens struktur Kapitel 1: Indledning Kapitel 2: Baggrund Kapitel 3: Databeskrivelse Kapitel 4: Metodisk gennemgang Asset-pricing modeller Justering for held/uheld Lokation Persistency Metodesammenligninger Bestemmelse af p-værdier FDR-metoden Kapitel 5: Empirisk analyse Kapitel 6: Diskussion Robusthedsanalyse Benchmarksanalyse Behaviroral bias Kapitel 7: Konklusion Kilde: Egen tilvirkning Kapitel 8: Perspektivering 4

1.4 Definition af nøglebegreber I følgende afsnit vil nøglebegreber med stor betydning for forståelsen og fortolkningen af afhandlingen blive defineret. Udregning af afkast: De enkelte foreningers afkast er beregnet på baggrund af foreningernes månedlige indre værdier (NAV), udbetalte dividender og geninvesterede dividender. Jævnfør Morningstars standarder skal geninvesterede dividender inkluderes. Dette gøres for at tage hensyn til størrelsen og timingen af dividenderne og dermed sikre, at de enkelte foreningernes sande performance afspejles. Til beregning af afkast er følgende formel anvendt: Hvor: ( ) NAVt + G R t = LN NAV t 1 (1.1) G = NAV t NAV GI U (1.2) Afkastet for periode t (R t ) beregnes på bagrund af NAV i periode t plus det geninvesterede udbytte (G) divideret med NAV i periode t-1. Det geninvesterede udbytte er forholdet mellem NAV i periode t og den geninvesterede NAV ganget med udbyttet (U). Der er taget logaritmen til alle afkast. Dette er mest hensigtsmæssigt af flere årsager. Først og fremmest er afkast beregnet ud fra ændringer i NAV ikke normalfordelte, men snarere højre skæve (Log normalfordelte). Dette skyldes, at NAV ikke kan blive mindre end nul. Der eksisterer derfor en grænse for, hvor negativt et afkast kan blive, mens der ikke eksisterer nogen grænse for størrelsen af et positivt afkast. Ved at tage logaritmen til afkastet er der taget højde for dette problem. Derudover har det også en regneteknisk fordel, da logaritmisk afkast gør det muligt at nå frem til periodens samlede afkast ved simpel summation. Definition på overnormalt afkast og performance: Hvorvidt en investeringsforening har været i stand til at skabe overnormalt afkast er i denne afhandling bestemt af foreningens alpha-værdi. Alpha er udledt af regressionen kørt på foreningernes afkast i forhold til markedsafkastet og modellens øvrige risikofaktorer. Alpha er altså et udtryk for det overnormale afkast, en forening har været i stand til at skabe, når der tages højde for markedet og de øvrige relevante risikofaktorer indeholdt i modellen. En forenings evne til at skabe overnormalt afkast betegnes i afhandlingen som foreningens performance. Definition på dygtige, ringe og zero-alpha foreninger: Hovedformålet med denne afhandling er at undersøge danske investeringsforeningers performance ved at bestemme andelen af dygtige såvel som ringe foreninger. Hvis en forening hverken er ringe eller dygtig kaldes den en zero-alpha forening. Dette er en forening, der kun formår at skabe et afkast, der lige er stort nok til at dække dennes omkostninger. Rent statistisk er det dog muligt, at disse foreninger engang imellem formår at skabe statistisk signifikante positive eller negative afkast. Disse 5

foreninger karakteriseres som værende enten heldige eller uheldige. En heldig investeringsforening er en forening, der har skabt et signifikant overnormalt afkast, men som udelukkende har opnået dette gennem held. En dygtig investeringsforening er derimod en forening, der har formået at skabe et statistisk signifikant overnormalt afkast efter, at der er taget højde for den forventede andel af heldige foreninger. Omvendt er en uheldig investeringsforening en forening, der har skabt et signifikant negativt afkast, hvor dette udelukkende er sket på grund af uheld og ikke fordi foreningen er ringe. En ringe investeringsforening er til gengæld en forening, der har skabt et signifikant negativt afkast efter, at der er taget højde for den forventede statistiske andel af uheldige foreninger. Definition af persistency: Ordet persistency er i denne afhandling brugt i dets engelske form. Dette er gjort, idet det er vurderet, at hvis persistency oversættes til dets danske ord vedholdenhed, vil der være stor risiko for, at meningen med ordet går tabt i oversættelsen. For at undgå denne forvirring er dets originale form bevaret. Vedholdenhed i afkast vil derfor omtales som persistency i afkast. 2 Baggrund Dette kapitel giver en overordnede beskrivelse af baggrunden for afhandlingens undersøgelse af investeringsforeninger. Denne indeholder dels en definition af investeringsforeninger, redegørelse for afhandlingens teoretiske kontekst samt en udledning af problemstillingens hypoteser. 2.1 Investeringsforeninger generelt En investeringsforening er en fælles opsparingspulje for investorer, hvis formål er at sikre risikospredning og løbende pleje af formuen (IFR). Investeringsforeningsbeviser for åbne investeringsforeninger 1 købes til dagskursen på samme måde som køb af aktier og andre værdipapirer. Prisen på de enkelte investeringsbeviser bestemmes af værdien af de værdipapirer der ligger i foreningen. Værdien af investeringsbeviserne stiger derfor, når værdien af investerede papirer inde i foreningen stiger. Investorerne får deres del af afkastet, efter omkostninger til foreningens drift er afholdt. Netop omkostningerne er et vigtigt element, der skal overvejes, når man ønsker at investere i en forening. Foruden omkostninger ved at købe og sælge investeringsbeviserne, tager de enkelte foreninger også en række omkostninger for at drive foreningen. Dette drejer sig om handelsomkostninger, administrationsomkostninger samt indløsningsfradrag og emissionstillæg. Der eksisterer en række forskellige investeringsforeninger, der alle har forskellige investeringsområder og fokus. Det er muligt både at investere i aktier, obligationer og en blanding af disse. Foreninger kan investere i specifikke geografiske områder som Latinamerika eller Rusland og brancher som IT og Health Care. De fleste foreninger forsøger at sprede risikoen mest muligt, men på trods af dette, er der stadig stor forskel på risikoen i de enkelte foreninger. Foreninger 1 Alle investeringsforeninger i afhandlingen er åbne foreninger 6

der investerer i korte og mellemlange danske realkreditbeviser har typisk den laveste risiko. Foreninger der investerer i high yield obligationer 2 eller aktier vil have en højere risiko, da kurserne på disse papirer er mere volatile. Foreninger eksponeret mod aktier og specifikke områder eller brancher vil typisk have den højeste risiko (IFR). 2.1.1 Beskrivelse af branchen for danske investeringsforeninger Igennem analyseperioden har de danske investeringsforeninger oplevet en enorm tilgang. Ved indgangen til 2004 var værdien af danskernes samlede opsparing i investeringsforeninger på 364 mia. kr. I 2013 er denne værdi steget til 1.385 mia kr., hvilket betyder at formuen under administration i den 10 årige analyseperiode er steget med godt 280% (IFR, 2014a). I 2013 havde investorerne mulighed for at investere i 482 forskellige danske afdelinger, hvor knap 54% af foreningerne investerede i aktier 3 (IFR, 2014a). Ifølge Christensen (2003) er det danske marked for investeringsforeninger kendetegnet af en stor dominans fra bankerne. Dette er ligeledes tilfældet i 2013 hvor Nykredit Portfolio Administration, Danske Invest og Nordea Invest alene stod for knap 75% af den investerede kapital i Danmark. 2.2 Tidligere litteratur Historisk set er undersøgelser omkring foreningers performance primært udført på amerikansk data. Den generelle konklusion er, at investeringsforeningerne ikke er i stand til at skabe overnormale afkast efter omkostninger. Jensen (1968) er den første, der viser, at amerikanske investeringsforeninger ikke er i stand til at outperforme en buy-the-market-and-hold strategi efter omkostninger. Denne konklusion bliver verificeret af utallige studier på det amerikanske marked. Blandt disse er, Elton et al. (1993), Hendricks (1993), Ferson & Schadt (1996) og Carhart (1997). Grinblatt & Titman (1989) og Wermers (2000) påviser derimod at mange foreninger har været i stand til at producere signifikant positive alphaer før omkostninger. Når de herefter inkluderer omkostninger i deres data, har størstedelen af disse foreninger stadig svært ved at levere positive overnormale afkast. Ippolitos (1989) undersøgelse skiller sig til gengæld ud. Han kommer modsat de øvrige undersøgelser frem til, at investeringsforeningerne rent faktisk har været i stand til at skabe overnormalt afkast i perioden 1965-1984. Der bliver dog senere af Elton et. al (1993) sået tvivl om validiteten i disse resultater. Malkiel (1995) har også været i stand til at spore en vis grad af overnormale afkast hos de amerikanske investeringsforeninger. I modsætning til Ippolito har han ikke generaliseret denne performance til den samlede stikprøve af foreninger, men i stedet kun til de absolut bedste foreningers performance. Der er også udført undersøgelser af investeringsforeninger både på det europæiske og danske 2 Med high yield obligationer forstås der enten virksomhedsobligationer eller statsobligationer fra højrentelande. 3 Godt 32% i obligationer og de resterende 14% i hedgefonde, pengemarkedsfonde mm. 7

marked. En af de nyeste studier på europæisk data er fra Vidal-Garcia (2013). Hans konklusion støtter umiddelbart op om de amerikanske undersøgelser, da han på tværs af fem lande har identificeret en gennemsnitlig negativ alpha hos de europæiske investeringsforeninger. Christensen (2003, 2012) har over flere omgange målt de danske investeringsforeningers performance. I 2003 er konklusionen, at danske investeringsforeninger performer neutralt. Konklusionen i 2012 er i stedet, at 42% af de analyserede foreninger udviser en signifikant negativ performance. De fleste undersøgelser identificerer enkelte foreninger, der udviser god performance, og det er derfor relevant at belyse, hvorvidt disse er konsistent i deres performance. Dette er specielt interessant med henblik på at skabe en investeringsstrategi på baggrund af historisk data. Konklusionen omkring persistency i performance er mere tvetydig end konklusionen omkring investeringsforeningernes performance. Flere undersøgelser viser ingen eller lav grad af persistency. Blandt disse er Jensen (1968), Ippolito (1989), Grinblatt & Titman (1989) og Elton et al. (1993). Malkiel (1995) introducerer til gengæld en metode til at teste for, om vindere i forrige periode også er vindere i næste periode 4. Han kan i 1970 erne spore signifikant persistency i foreningernes performance, mens han i 1980 erne ikke har samme entydige konklusion. Hendricks (1993) viser derimod, at han ved hjælp af sin teori omkring rangerede porteføljer er i stand til at skabe et overnormalt afkast på kort sigt udelukkende ved at inkludere tidligere vindere 5 i sin portefølje. Tilsvarende skaber han et signifikant negativt afkast ved at inkludere tidligere tabere i en portefølje. Denne strategi er dog ikke langtidsholdbar, hvilket stemmer overens med de resultater Brown & Goetzmann (1995) og Carhart (1997) kommer frem til. Dette er i overvejende grad i tråd med Berk & Greens (2004) hypotese, som siger, at hvis der eksisterer overnormalt afkast i en forening, så vil det på langt sigt blive konkurreret væk. På det europæiske marked har Garcia-Vidal (2013) vist en generel signifikant persistency i performance. I modsætning til de øvrige undersøgelser i USA kan dette spores både på kort sigt (et år) og lidt længere sigt (tre til fem år). På det danske marked udfører Christensen i 2003 en test af persistency i performance og kommer entydigt frem til, at der ikke er nogen grad af persistency i performance hos danske investeringsforeninger. I nyere tid er flere studier indenfor performanceevaluering begyndt at inkludere held/uheld i deres vurdering af investeringsforeningers performance. De mest kendte undersøgelser er af KTWW (2006), Fama & French (2010) og Barras et al (2010). Metoderne fra KTWW og Fama & French ligner hinanden meget. De bygger begge videre på teorien om full luck 6, som blandt andet bliver brugt af Ferson & Qian (2004). Overordnet set betyder det, at de korrigerer deres andel af signifikante foreninger med det antal foreninger, der rent statistisk måtte forventes at slå ud som signifikante udelukkende gennem tilfældigheder. KTWW (2006) kommer frem til, 4 Repeat winners metoden er en ikke-parametrisk test baseret på en contingency-tabel. I afsnit 4.7.1 bliver denne metode uddybet yderligere. 5 Vindere bliver af Hendricks (1993) defineret som foreninger der performede blandt den bedste 1/8 af den samlede stikprøve af foreninger. Hvert år bliver nye vindere identificeret. 6 Full luck vil i afsnit 4.9.2 blive sammenlignet med no luck, og den i afhandlingen anvendte FDR-metode. 8

at godt 5-10% af de testede foreninger på kort sigt slår ud som dygtige foreninger. Derimod formår de øvrige knap 90% ikke at skabe overnormale afkast til deres investorer. Cuthbertson et al. (2008) brugte KTWW s metode på britisk data og kom frem til samme konklusion. Fama & French (2010) påviser til gengæld kun en meget lille andel dygtige foreninger. Barras et al. (2010) bygger ovenpå KTWW s (2006) metode ved at introducere en ny metode til korrektion for held. FDR-metoden er en alternativ metode til at korrigere for andelen af heldige foreninger. Barras et al. kommer i deres analyse frem til at 75% af de undersøgte foreninger er zero-alpha foreninger, mens kun 2 % kan karakteriseres som værende dygtige på langt sigt. Dette er generelt i overensstemmelse med konklusionerne fra Fama & French, men lavere end KTWW. Cuthbertson et al. (2012) testede også denne metode på britisk data, og igen er resultaterne fint i overensstemmelse med de amerikanske. Gennem identifikation af dygtige foreninger har det været muligt for både KTWW (2006) og Barras et al. (2010) at påvise, at disse foreninger udviser persistency i deres performance over længere perioder. Deres metoder viser, at det er muligt at skabe overnormalt afkast ved at investere i de foreninger, de anser som værende dygtige. Tabel 2.1 viser en kronologisk oversigt over de omtalte udgivelser og disses hovedkonklusioner. 9

Tabel 2.1: Oversigt over resultater i den tidligere litteratur Forfattere År Metode Marked Undersøgt tidsperiode Asset-pricing model Identifikation af positiv performance Persistency Kort sigt Lang sigt Jensen 1968 Full-luck US 1945-1964 CAPM - - Ippolito 1989 No-luck US 1965-1984 CAPM + - Grinblatt & Titman 1989 No-luck US 1974-1984 CAPM - - Elton et al. 1993 No-luck US 1965-1984 CAPM - - Hendricks 1993 No-luck US 1974-1988 CAPM - + - Brown & Goetzmann 1995 No-luck US 1976-1988 CAPM - + - Malkiel 1995 No-luck US 1971-1991 CAPM (+)/- -/+ Ferson & Schadt 1996 No-luck US 1968-1990 CAPM - + Carhart 1997 No-luck US 1962-1993 Carhart - + - Wermers 2000 No-luck US 1975-1994 Carhart - N/A Christensen 2003 No-luck DK 1996-2003 CAPM - - Berk Green 2004 N/A N/A N/A N/A N/A + - Ferson & Qian 2004 Full-luck US 1973-2000 CAPM - N/A KTWW 2006 Full-luck US 1975-2002 Carhart +/- + + Cuthbertson 2008 Full-luck UK 1975-2002 Carhart +/- - Fama & French 2010 Full-luck US 1984-2006 Carhart (+)/- + - Barras et al. 2010 FDR US 1976-2006 Carhart (+)/- + + Christensen 2012 No-luck DK 2001-2010 CAPM - N/A Cuthbertson 2012 FDR UK 1990-2002 Carhart (+)/- - Vidal-Garcia 2013 No-luck EU 1988-2010 Carhart - + + Anmærkning: (+) indikerer signifikant overnormalt afkast / performance persistency. (-) indikerer ingen eller signifikant negativt afkast / ingen performance persistency Kilde: Egen tilvirkning 10

2.3 Udledning af hypoteser På baggrund af den tidligere litteratur på området beskrevet i afsnit 2.2, er de seks hypoteser fra afsnit 1.1 udledt. Formålet med dette afsnit er at redegøre for udledningen af afhandlingens hypoteser samt at argumentere for, hvordan verifikation/falsifikation af disse fører til besvarelsen af afhandlingens overordnede forskningsspørgsmål. Den generelle tendens i litteraturen målt på både internationalt og dansk data er, at andelen af investeringsforeninger der formår at slå deres benchmark er lille (Fama & French 2010, Christensen 2012). Afhandlingen tager samme udgangspunkt, hvorfor følgende hypotese om den overordnede performance er formuleret. H 1 : Danske investeringsforeninger performer generelt ikke over benchmark når der justeres for held/uheld. En fastholdelse af H 1 vil naturligt lede videre til en test af, hvorvidt der overhovedet eksisterer foreninger, der er i stand til at slå deres benchmark. Tidligere litteratur har vist, at det godt kan lykkedes for enkelte foreninger at slå markedet, selvom dette ikke er tilfældet for den gennemsnitlige forening (Barras et al. 2010). På baggrund heraf er følgende hypotese udledt. H 2 : Der eksisterer dygtige danske investeringsforeninger. Formålet med at teste H 1 og H 2 er, at verifikation/falsifikation af disse vil føre til konklusioner omkring investeringsforeningernes overordnede performance set over hele den 10-årige undersøgelsesperiode. For at besvare hovedspørgsmålet fyldestgørende er det også relevant at inkludere et tidsperspektiv i undersøgelsen. Givet at H 2 er sand, er det relevant at vide, hvorvidt disse foreninger også er konsistente i deres performance. Hvis dette ikke er tilfældet, begrænser det den praktiske anvendelse af undersøgelsens resultater, da det derfor vil være tvivlsomt, om man som investor kan drage fordel af resultaterne. Men hensyn til persistency i investeringsforeningernes afkast, er litteraturen delt. Forskellige udenlandske undersøgelse har identificeret persistency på kort sigt men ikke på langt sigt (Berk & Green 2004). Derimod har de hidtidige undersøgelser på danske investeringsforeninger ikke påvist nogen grad af persistency (Christensen 2003). Med dette in mente er hypotesen omkring danske investeringsforeningers persistency formuleret. H 3 : Investeringsforeninger udviser generelt en lav grad af persistency på kort sigt Givet at H 3 er sand, indikerer dette, at selvom enkelte foreninger klarer sig godt i en periode, er de ikke konsistente i deres performance. Sandsynligheden for at foreninger klarer sig godt i næste periode er dermed uafhængig af deres tidligere performance. Hvis der dog rent faktisk eksisterer dygtige foreninger (H 2 sand) må det betyde, at disse foreninger over en periode kontinuerligt har været i stand til slå markedet, hvorfor der bør være en vis grad af persistency i deres resultater. På baggrund af dette ræsonnement er nedenstående hypotese formuleret. H 4 : Dygtige investeringsforeninger udviser en vis grad af persistency på kort sigt. 11

Hvis H 4 ikke forkastes, vil det alt andet lige betyde, at undersøgelsens resultater kan anvendes i praksis. Dette medfører, at det vil være muligt at designe en investeringsstrategi, hvor de dygtige investeringsforeninger inkluderes i porteføljen, og derigennem skaber et overnormalt afkast. H 5 : Ved at lokalisere og vælge de dygtige foreninger, er det muligt at outperforme markedet. Ud fra en antagelse om at H 1 er sand, er det interessant at se på årsager til, at investeringsforeninger generelt ikke performer bedre end markedet. Specielt indenfor behavioral finance eksisterer der flere forklaringer på, hvorfor investorer ikke slår markedet. Det er derfor sandsynligt, at danske investeringsforeninger også er negativt påvirket af disse. Dette leder op til formuleringen af den afsluttende hypotese. H 6 : Behavioral biases påvirker investeringsforeningers generelle performance negativt. Ved test af disse seks hypoteser bliver det muligt at belyse forskningsspørgsmålet fra flere forskellige vinkler, og dermed sikre en dækkende besvarelse. Undersøgelsen af danske investeringsforeningers generelle performance vil således tage udgangspunkt i henholdsvis en undersøgelse af den overordnede performance i perioden, en analyse af performance persistency og en undersøgelse af adfærdsmæssige aspekters indflydelse på performance. 3 Afhandlingens datagrundlag I det følgende afsnit vil afhandlingens datagrundlag blive beskrevet og diskuteret. Afsnittets hovedfokus vil være udvælgelse af investeringsforeninger og benchmarks. 3.1 Investeringsforeninger Alt data vedrørende investeringsforeninger er tilsendt direkte fra investeringsforeningsrådet (IFR) 7. Analyserne er baseret på en 10-årig periode fra januar 2004 til december 2013. Data fra IFR består af investeringsforeningernes indre værdi (NAV) ultimo hver måned, hvilket giver 120 observationer pr. investeringsforening. Indeholdt i data er ligeledes foreningernes dividender i de pågældende måneder samt den geninvesterede indre værdi. Disse informationer bruges til beregningen af de enkelte foreningers afkast som beskrevet i afsnit 1.4. 3.1.1 Udvælgelse af investeringsforeninger Afhandlingen vil udelukkende fokusere på foreninger der investerer i aktier, hvorfor foreninger der investerer i obligationer og hedgefonde er sorteret fra i den endelige stikprøve. I udvælgelsen af den endelige stikprøve er de foreninger, der er etableret efter januar 2004 eller opløst før december 2013 ligeledes sorteret fra. Dette giver en mere retvisende sammenligning af de 7 IFR er en brancheorganisation for den danske investeringsforvaltningsbranche. 12

enkelte foreninger, da de alle har været aktive i det samme tidsinterval. Ved at udelukke de foreninger der er opløst i perioden, kan afhandlingens resultater risikere at blive udsat for survivorship bias, dette problem vil blive diskuteret yderligere i underafsnit 3.1.3. I den endelige stikprøve er alle akkumulerende foreninger ligeledes sorteret fra. Forskellen på akkumulerende og udbyttebetalende foreninger er, at der i de akkumulerende foreninger ikke udbetales udbytte af eventuel overskud, hvorfor afkastet først indløses, når foreningen sælges (IFR). Derudover er de to typer af foreninger ikke underlagt de samme skattemæssige forhold. Ifølge IFR har de udbyttebetalende foreninger skattemæssig status som investeringsinstitutter med minimumsbeskatning, hvilket betyder, at der kun skal betales skat af realiseret afkast. Investeres der i akkumulerende foreninger, skal der derimod betales lagerbeskatning, hvilket indebærer, at der hvert år betales skat af eventuelle værdistigninger. Da det ikke ønskes at de enkelte skatteaspekter skal influere resultaterne, bliver der i analysen set bort fra de akkumulerende foreninger. Den endelige stikprøve består af 89 danske investeringsforeninger, der alle investerer i aktier, har været åbne i hele analyseperioden og er udbyttebetalende. Foreningerne er segmenteret geografisk. Dette er sket med henblik på at optimere valget af benchmarks til den senere analyse af foreningernes performance. Segmenteringen har taget udgangspunkt i IFR s egen geografiske segmentering af foreningerne 8. Dette resulterer i flere små grupperinger. Udgangspunktet for afhandlingen har været, at der skal være en betydelig repræsentation i hver gruppe, hvorfor det har været nødvendigt at placere nogle foreninger med et meget snævert investeringsfokus i mere overordnede grupper. Dette gør sig gældende for investeringsforeninger med fokus på Kina(Fjernøsten), Rusland(Global), Latinamerika(Global), Emerging markets(global), Østeuropa(Europa) og Norden(Europa) 9. Derudover er der nogle foreninger der ikke har et direkte geografisk investeringsfokus, men i stedet et branchefokus, navnligt health care og IT. Det er antaget at disse foreninger har et globalt fokus, hvorfor de er placeret i denne gruppe. Tabel 3.1 viser den endelige fordeling af de 89 investeringsforeninger. Tabel 3.1: De 89 investeringsforeninger fordelt på geografiske områder Område Danmark Europa Nordamerika Global Japan Fjernøsten I alt Foreninger 13 22 6 34 6 8 89 Kilde: Egen tilvirkning 8 IFR-kategorierne indikerer hvad de enkelte foreninger investerer i. Der kan her være tale om geografiske områder som Fjernøsten og Nordamerika, eller brancher som IT og Health Care. 9 Deres nye placering er noteret i parentesen. 13

3.1.2 Passive foreningers rolle i afhandlingen Da det primære formål med denne afhandling er at identificere danske investeringsforeninger, der er dygtige/ringe til at investere, giver det kun mening at foretage undersøgelsen på baggrund af de aktivt forvaltede foreninger. Årsagen er, at en dygtig forening skal være i stand til at slå markedet. Dette er kun muligt, hvis der foretages aktive valg i udvælgelsen af investeringer. Da en passiv forvaltet forening investerer i et indeks, vil det per definition ikke være muligt for den at slå markedet, når der er taget højde for dennes omkostninger. Afhængig af størrelsen på disse omkostninger kan det til gengæld godt lade sig gøre for disse foreninger at blive identificeret som ringe foreninger. De passive foreninger er dog ikke fuldstændig udelukket fra analysen, da de bliver anvendt som sammenligningsgrundlag for de aktive foreninger i afsnit 5.4. 3.1.3 Survivorship bias Da den endelige stikprøve udelukkende består af foreninger, der har været åbne igennem hele analyseperioden, er der risiko for, at analysen bliver påvirket af survivorship bias. Ifølge Malkiel (1995) vil en udelukkelse af de foreninger, der er blevet opløst på grund af dårlig performance, betyde en overvurdering af den generelle performance. Survivorship bias vurderes dog ikke at udgøre et væsentligt problem i afhandlingens datasæt, da størstedelen af de lukkede afdelinger er fusioneret over i andre afdelinger, der er inkluderet i datasættet. Således vil disse foreningers fremtidige performance alligevel være inkluderet i datasættet. Dette gør sig eksempelvis gældende med foreningerne Danske Invest Select Europæiske Aktier og Danske Invest Erhverv Europæiske Aktier, der i 2010 fusionerede sammen med foreningen Danske Invest Europa og fortsatte i dette navn. Denne vurdering er i tråd med Christensen (2012). Afhandlingens forfattere har i bilag 1 udarbejdet en undersøgelse af relevante fusioner i perioden. 3.1.4 Investeringsforeningernes omkostninger For hver enkelt investeringsforening belyser IFR omkostningerne ved hjælp af den årlige omkostningsprocent (ÅOP). Dette er et nøgletal, der viser de samlede forventede omkostninger ved at spare op i en forening (IFR). Inkluderet i dette nøgletal er foreningens transaktionsomkostninger, administrationsomkostninger samt emissionstillæg og indløsningsfradrag. For at investorerne kan sammenligne omkostningerne på tværs af foreningerne, bliver ÅOP beregnet på baggrund af en forudsætning om, at foreningen holdes over en 7-årig periode. I investeringsforeningernes indre værdier er der fratrukket transaktionsomkostninger samt omkostninger til administration af foreningen. Afkastberegningerne er derfor ikke fuldstændig efter omkostninger, da emissionstillæg og indløsningsfradrag ikke er medregnet. Hvis disse fratrækkes, vil det højest sandsynligt betyde, at færre foreninger vil udvise positive signifikante alphaer. Omkostninger til emissionstillæg og indløsningsfradrag er dog ikke fratrukket i analysen, da der ikke ønskes at tage stilling til det meget debatterede emne omkring, hvor 14

lang tid man kan forvente, at foreningen i gennemsnit holdes af en investor. 3.2 Udvælgelse af benchmarks De 89 investeringsforeninger er blevet inddelt i seks hovedgrupper - Global, Nordamerika, Japan, Fjernøsten, Europa og Danmark. Med undtagelse af Danmark tager benchmarket (for markedet) udgangspunkt i de af Morgan Stanley Capital International (MSCI) udarbejdede markedsindeks, hvilket er de indeks IFR anbefaler at grupperne holdes op imod. OMX Benchmark Cap indekset udgør det relevante benchmark for Danmark. Dette benchmark er valgt, fordi det repræsenterer et bredt udsnit af de danske aktier og industrier. I følge Nasdaq er indekset derudover den optimale indikator for den generelle performance på det samlede Nasdaq OMX Copenhagen. Overordnet set er de seks indeks udvalgt med det formål at identificere det mest optimale benchmark. Dette gøres ved at opnå det bedst mulige match mellem det geografiske investeringsfokus og benchmarket. Afkastet for de anvendte benchmark er opgjort på samme måde som afkastet for investeringsforeningerne, hvilket betyder at dividendeudbetalinger er reinvesteret. Dette er sikret ved at vælge gross indeks. Da der er fokuseret på merafkastet i afhandlingen, skal den risikofri rente trækkes fra. Her er renten på den månedlige amerikanske statsobligation valgt (One-month T-bill). Dette er gældende for alle seks grupper, idet det er vurderet, at det uanset geografisk fokus vil være muligt for investoren at investere sine penge i risikofrie amerikanske statsobligationer. Ligesom med markedsbenchmarket er det af afgørende betydning, at de øvrige faktorer i den anvendte asset-pricing model matcher investeringsforeningernes investeringsfokus. Derfor er disse udvalgt med udgangspunkt i deres geografiske fokus. Fama & French har på Kenneth Frenchs hjemmeside udregnet SMB, HML og WML 10 for de geografiske områder Global, Europa, Fjernøsten, Japan og Nordamerika. Da disse matcher markedsbenchmarket, er der i afhandlingen taget udgangspunkt i disse. De danske faktorer fremgår ikke af Frenchs hjemmeside, hvorfor disse er udregnet af afhandlingens forfattere (afsnit 4.2.4). Det skal bemærkes, at mens alle afkast på investeringsforeningerne er opgjort i DKK, så er både benchmark og faktorer med undtagelse af de danske opgjort i USD. Hvis der ikke tages højde for dette i analysen, vil det betyde, at vurderingen af de enkelte investeringsforeningers performance også er underlagt deres valutakurs-gevinster/tab. Dette er ikke hensigtsmæssigt. Det er derfor vigtigt at afkast og benchmark er omregnet til samme valutaenhed. Problemet er i afhandlingen håndteret ved at omregne investeringsforeningernes afkast til USD på baggrund af den månedlige ultimo dollarkurs. Dette betyder at investeringerne nu ses fra en amerikansk investors synspunkt, forstået på den måde, at udviklingen i dollarkursen overfor den danske krone, nu er uden betydning for investorens endelig afkast på sine investeringer. Eventuelle valutakurssvingninger vil dermed ikke få nogen betydning for afhandlingens hovedkonklusioner. 10 Faktorerne i Carharts 4-faktor model. 15

4 Metodisk gennemgang Afhandlingens metodeafsnit vil trinvist gå igennem de mest væsentlige metoder, der er anvendt i forbindelse med afhandlingens analyser. Opbygningen af afsnittet vil følge en kronologi, der svarer til den rækkefølge, de enkelte analyser er foretaget i. 4.1 Overordnet beskrivelse af afhandlingens anvendte metoder Indledningsvist vil der blive fokuseret på det grundlæggende valg af asset-pricing model. Her vil der argumenteres for valget af Carharts 4-faktor model som den mest optimale model. Idet faktorerne, der indgår i Carharts 4-faktor model, kun er opgivet for fem af de seks anvendte geografiske grupper, vil der blive beskrevet, hvordan de fire faktorer er estimeret for den sidste gruppe, Danmark. Som performancemål vil der blive argumenteret for valget af Jensens alpha. Da Jensens alpha indeholder visse svagheder, vil de mest væsentlige kritikpunkter ved dette performancemål blive diskuteret. Ved at regressere på Carharts 4-faktor model, kan Jensens alpha samt loadings på de 4 faktorer estimeres for hver forening. For at estimere hver forenings p-værdi er det dog nødvendigt at anvende en bootstrap-model, der konstruerer en fordeling af alphaer/t-statistikker for hver forening. En bootstrap-model er nødvendig, da det er konstateret, at en stor del af de 89 foreningers fejlled ikke kan antages at følge en normalfordeling. I bootstrap-modellen vil alle alphaer blive omregnet til t-statistikker. Dette gøres ved anvendelse af Newey & Wests standardafvigelse. Newey & Wests standardafvigelse anvendes, da der ikke kan afvises en vis grad af autokorrelation og heteroskedasticitet i data. I afsnittet om korrektion for held/uheld ved False Discovery Rates (FDR) vil afhandlingens løsning på problemet med justering for heldige/uheldige foreninger blive introduceret. Denne bliver præsenteret af Barras et al. (2010). Hele metodens berettigelse er bundet op på, at zero-alpha foreningers p-værdier følger en uniform fordeling. Dette vil derfor blive diskuteret og bevist. For at kunne gennemføre FDR-metoden, er der udført yderligere to bootstrap-modeller. Disse er gennemført for at identificere signifikansniveauet gamma og parameteren lambda, der anvendes i forbindelse med estimering af andelen af zero-alpha foreninger. Efter at have anvendt FDR-metoden til at bestemme andelen af henholdsvis dygtige, ringe og zero-alpha foreninger, vil der blive argumenteret for vigtigheden af at se på lokationen af specielt de dygtige foreninger. Det vil blive understreget, at lokationen af de dygtige foreninger er afgørende for, om det er muligt rent praktisk at identificere og udvælge disse. Hvis der faktisk identificeres dygtige foreninger, og det er muligt at lokalisere dem, bliver det relevant at undersøge, om disse foreninger forbliver dygtige i kommende perioder. For at afklare dette vil der blive argumenteret for anvendelsen af udvalgte persistency-test. Efter at have gennemført de nævnte analyser, bliver der i slutningen af afsnittet fremlagt en metode til at undersøge, om afhandlingens metodiske tilgang faktisk vil kunne anvendes som et praktisk redskab for investorer. Afhandlingens metodiske afsnit vil blive afsluttet af en overordnet metodisk sammenligning mellem den netop fremførte metode, og de konkurrerende metoder, der er anvendt i den øvrige 16

litteratur på området. Der vil yderligere blive klargjort motivationen for, at netop metoden af Barras et al. (2010) er fundet særlig relevant for denne afhandling. 4.2 Asset-pricing modeller For at afdække investeringsforeningernes performance tages der i afhandlingen udgangspunkt i Carharts 4-faktor model. Da de empiriske resultater i høj grad afhænger af valget af assetpricing model, vil investeringsforeningernes performance ikke udelukkende udregnes ved hjælp af 4-faktor modellen, men også med udgangspunkt i henholdsvis CAPM og Fama & French modellerne. Disse tre forskellige asset-pricing modeller estimerer foreningernes forventede afkast ud fra forskellige risikofaktorer. Ved at bruge alle tre modeller kan sensitiviteten af de endelige resultater undersøges samtidig med, at der sikres højere grad af validitet og troværdighed af de empiriske resultater. 4.2.1 The Capital Asset Pricing Model (CAPM) The Capital Asset Pricing Model (CAPM) blev introduceret af William Sharpe (1964). Ideen bag modellen er, at en investering er baseret på to typer risici henholdsvis systematisk og usystematisk risiko. Den usystematiske risiko er den specifikke risiko relateret til det enkelte aktiv, mens den systematiske risiko kan defineres som markedsrisikoen. Teorien er, at man ved en diversificeret portefølje kan fjerne den usystematiske risiko, mens den systematiske risiko derimod ikke kan diversificeres væk. Ved udregning af det forventede afkast på en investering er det derfor kun den systematiske risiko, der skal tages højde for. CAPM anvendes til at tage højde for netop denne systematiske risiko. På baggrund af dette viser Sharpe (1964) med følgende formel sammenhængen mellem det forventede afkast og den påtagede risiko. E(R i ) = R f + β i (E(R M ) R f ) (4.1) Det forventede afkast for portefølje i, E(R i ), er lig med den risikofri rente (R f ) plus risikopræmien på markedet (E(R M ) R f ) ganget med den systematiske risiko β. Hvor E(R M ) er lig med det forventede afkast på markedet. 4.2.2 Fama & Frenchs 3-faktor model Grundet de empiriske problemer med CAPM foreslog Fama & French (1992) en modificeret asset-pricing model som alternativ til CAPM. Denne model indeholder udover markedsfaktoren fra CAPM også en size-faktor (SMB) og en value-faktor (HML). Banz (1981) er blandt de første, der bruger størrelse som argument for, at CAPM s estimater er fejlagtige. Han kommer frem til, at virksomheder med relativ lav markedsværdi i gennemsnit 17

har højere risikojusterede afkast end virksomheder med relativ høj markedsværdi. Denne effekt er sidenhen blevet inkluderet som size-faktor i Fama & Frenchs 3-faktor model. Yderligere konkluderer Rosenberg et al. (1985) blandt flere, at der er en sammenhæng mellem virksomhedens afkast og forholdet mellem dennes bogførte værdi (Book) og markedsværdi (Market) 11. Konklusionen er, at virksomheder med en relativt høj B/M (value) leverer højere gennemsnitlige afkast end virksomheder med relativt lav B/M (growth). Denne betragtning er inkluderet som value-faktoren i Fama & Frenchs 3-faktor model. På baggrund af dette defineres 3-faktor modellen (Fama & French, 1992) E(R i ) = R f + β 1 (E(R M ) R f ) + β 2 SMB + β 3 HML (4.2) E(R i ) er det forventede afkast på portfolio i, mens SMB (Small-Minus-Big) og HML (High- Minus-Low) angiver henholdsvis size- og value-faktorerne. De fungerer som såkaldte zero investement portfolios. SMB og HML bestemmes således ved at gå kort i aktier, der defineres som henholdsvis big og growth, mens man er lang i small cap og value-aktier. En nærmere udledning af, hvordan disse faktorer bliver udregnet, bliver gennemgået i afsnit 4.2.4. 4.2.3 Carharts 4-faktor model Studier af Jegadeesh og Titman (1993) dokumenterer, at hvis der følges en strategi, hvor forrige periodes vindere købes og tilsvarende forrige periodes tabere sælges, vil det være muligt at generere et betydeligt afkast de efterfølgende 3-12 måneder. På baggrund af blandt andet disse resultater skabte Carhart en 4-faktor model til forklaring af det forventede afkast. E(R i ) = R f + β 1 (E(R M ) R f ) + β 2 SMB + β 3 HML + β 4 W ML (4.3) SMB og HML er gengangere fra Fama & Frenchs model, mens WML (Winners-minus-losers) er den tilføjede momentumfaktor. Ligesom SMB og HML skal denne faktor ses som en zero investement portfolio, hvor der er gået kort i forrige periodes tabere og lang i forrige periodes vindere. Da Carhart (1997) har vist, at momentumfaktoren tilføjer signifikant værdi til 3-faktor modellen fra Fama & French, kan det udledes, at denne model forklarer en større del af variationen i afkastet for investeringsforeningerne. Derfor er det også 4-faktor modellen, der vil danne ramme om afhandlingens primære konklusioner, mens de to øvrige modeller CAPM og 3-faktor modellen udelukkende vil tjene et valideringsformål. 11 Forholdet mellem den bogførte værdi og markedsværdien vil fremover blive kaldt book-to-market (B/M) 18

4.2.4 Udledning af SMB, HML og WML faktorerne for Danmark I afhandlingen vil tre af de fire de gennemgåede faktorer (SMB, HML, WML) til dels være indhentet direkte fra Kenneth Frenchs hjemmeside og til dels være udregnet af afhandlingens forfattere med udgangspunkt i Fama & Frenchs metode. Faktorernes størrelse vil i sidste ende få stor betydning for den endelige vurdering af investeringsforeningernes performance. Det er derfor essentielt, at de rigtige benchmark-faktorer udvælges for at sikre validiteten af afhandlingens resultater. French har på sin hjemmeside udledt de relevante faktorer for fem af de seks geografiske grupper 12. Faktorerne for Danmark fremgår dog ikke direkte af Frenchs hjemmeside. Antallet af investeringsforeninger der investerer i Danmark udgør en betydelig del af den samlede stikprøve på 89 foreninger, hvorfor faktorerne udregnes for Danmark isoleret. Dette gøres for at sikre de mest retvisende performanceevalueringer. Dette gøres på samme måde som French har udregnet faktorerne for de fem øvrige grupper 13. SMB & HML faktorerne: Som tidligere beskrevet er faktorerne beregnet som såkaldte zero investment portfolios. Dannelsen af disse porteføljer sker efter sortering af de valgte selskabers markedsværdi og B/M. Median markedsværdien bestemmes, således at gruppen af aktier bliver opdelt i to lige store grupper, som repræsenterer henholdsvis en gruppe small og big aktier. Herefter deles begge disse to grupper op i tre nye grupper baseret på aktiernes B/M. De 30% aktier med den mindste B/M bliver karakteriseret som growth, de næste 40% som neutral mens de øverste 30% bliver karakteriseret som value. Følgende seks kombinationsporteføljer er nu dannet. Tabel 4.1: Kombinationsporteføljer for size- og value-faktorerne 70. B/M percentil 30. B/M percentil Median MV Small Value Big Value Small Neutral Big Neutral Small Growth Big Growth Kilde: Egen tilvirkning med inspiration fra Kenneth Frenchs hjemmeside Porteføljerne restruktureres en gang årligt, og porteføljernes afkast beregnes løbende på månedsbasis. På baggrund af disse afkast beregnes de månedlige SMB og HML faktorer ved hjælp af følgende formler. SMB = 1 /3(SmallV alue + SmallNeutral + SmallGrowth) 1 /3(BigV alue + BigNeutral + BigGrowth) (4.4) 12 Henholdsvist Global, Nordamerika, Japan, Fjernøsten og Europa 13 Opdelt i seks månedlige porteføljer: Size and book-to-market (2x3) og size and momentum (2x3) 19

HML = 1 /2(SmallV alue + BigV alue) 1 /2(SmallGrowth + BigGrowth) (4.5) SMB er dermed det gennemsnitlige merafkast, der opnås ved at holde en portefølje i aktier med lav markedsværdi i forhold til at holde en portefølje i aktier med høj markedsværdi. Tilsvarende er HML det gennemsnitlige merafkast der fås ved at holde en portefølje i aktier med en høj B/M i forhold til en portefølje af aktier med en lav B/M. WML-faktoren: Udledningen af momentumfaktoren adskiller sig på visse områder fra udledningen af size- og value-faktoren. Der sorteres denne gang på basis af markedsværdi og historiske afkast 14. Igen bestemmes median markedsværdien og aktierne inddeles igen i to grupper, som igen deles i tre nye grupper på baggrund af deres afkasthistorik. Dette giver nu følgende seks kombinationsporteføljer. Tabel 4.2: Kombinationsporteføljer for momentumfaktoren 70. MOM percentil 30. MOM percentil Median MV Small Winner Big Winner Samll Neutral Big Neutral Small Loser Big Loser Kilde: Egen tilvirkning med inspiration fra Kenneth Frenchs hjemmeside I modsætning til SMB og HML sammensættes porteføljerne nu hver måned i stedet for årligt. Definitionen winner eller loser bestemmes som tidligere nævnt af de historiske afkast (afkast i periode t-12 til t-2). Afkastet for de seks porteføljer udregnes månedligt, og faktoren WML udledes på baggrund heraf ved hjælp af følgende formel. W ML = 1 /2(SmallW inner + BigW inner) 1 /2(SmallLoser + BigLoser) (4.6) WML defineres på baggrund heraf som det gennemsnitlige merafkast, der kan opnås ved at investere i en portefølje bestående af aktier, der har præsteret høje historiske afkast det seneste år, i forhold til dem der har leveret lave afkast. De to faktorer SMB og HML skal derfor i følge Fama & French (1992) inkluderes i modellen. Dette gøres for at korrigere for det ekstra afkast, der opnås alene på grund af den ekstra 14 Metoden er tilsvarende Carharts (1997). Carhart inkluderer dog ikke size-faktoren. 20

risiko, der påtages ved at investere i small-cap 15 og value-aktier. I følge Carhart (1997) skal WML-faktoren inkluderes i modellen grundet det ekstra afkast, der kan opnås ved at udnytte de momentum-anormaliteter, der eksisterer i markedet. De forskellige risikopræmier på tværs af de geografiske grupper er opsummeret i bilag 2. Udledning af faktorerne: Udledningen af de danske faktorer tager udgangspunkt i 42 danske aktier udvalgt fra den danske OMX Copenhagen Benchmark portfolio (OMXCB). OMXCB indeholder 48 aktier, hvoraf 42 er udvalgt ud fra betingelsen om, at de har været børsnoteret i hele analyseperioden. Udviklingen i de 42 selskabers markedsværdi, bogførte værdi og aktiekurs er hentet ned fra Bloomberg. Aktiernes afkastberegning tager udgangspunkt i samme udregningsmetode, der, i afhandlingen, bliver brugt til beregning af investeringsforeningers afkast (formel 1.1). Ved udregningen af SMB og HML bliver aktierne inddelt i de seks tidligere nævnte porteføljer på baggrund af deres markedsværdi og B/M pr. ultimo december og restruktureres årligt. Det månedlige afkast på de seks porteføljer udregnes og indsættes i henholdsvis formel 4.4 og 4.5 for at bestemme den månedlige SMB og HML. Fremgangsmåden for udregningen af WML er som udgangspunkt identisk med udregningen af SMB og HML. Forskellen er, at de seks porteføljer restruktureres hver måned i stedet for en gang årligt, hvilket giver 119 restruktureringer af de seks porteføljer i stedet for 10 ved de to andre faktorer. Porteføljerne er dannet på baggrund af selskabernes markedsværdi og deres historiske afkast. Porteføljernes månedlige afkast udregnes og indsættes derefter i formel 4.6 for at udregne den månedlige WML-faktor. 4.3 Valg af performancemål I vurderingen af investeringsforeningers performance er det ikke tilstrækkeligt at fokusere på det absolutte afkast. Det er nødvendigt at vurdere afkastet i forhold til den påtagede risiko. Det er derfor vigtigt at have et performancemål, der tager højde for risikoen. 4.3.1 Alpha som performancemål I litteraturen er de mest kendte performancemål Sharpe Ratio (1966), Treynor Ratio (1965) og Jensens Alpha (1968). Mens Sharpe Ratio og Treynor Ratio måler performance pr. risikoenhed, måler Jensens alpha i stedet det risikojusterede merafkast. Alpha måles derfor i samme enhed som afkastet. I sammenligning med de øvrige performancemål, bliver alpha således et mere intuitivt performancemål. Alpha udregnes ved hjælp af følgende formel. α = E(r p ) [r f + β p E(r M r f )] (4.7) 15 Bemærk at SMB-faktoren ifølge bilag 2 ikke giver en betydelig risikopræmie på tværs af de geografiske grupper. 21

I praksis bliver alpha typisk udledt gennem regressionsanalyse, hvilket bevirker, at alpha kan testes for statistisk signifikans. Dette er ikke muligt med Sharpe og Treynor Ratio. Med afhandlingens hovedspørgsmål in mente er det vurderet, at alpha er det mest brugbare valg som performancemål. Dette er tilfældet, idet alpha som nævnt ovenfor kan testes for statistisk signifikans, hvilket er med til at øge validiteten af afhandlingens konklusioner. Endvidere er det værd at bemærke, at alle de tre performancemål er udledt fra CAPM. Jensens alpha er dog det eneste performancemål, der kan anvendes, når der arbejdes med multi-faktor modeller. På baggrund heraf vurderes det, at Jensens alpha er det mest anvendelige performancemål til at belyse afhandlingens problemstilling. 4.3.2 Bestemmelse af alpha ved multipel regression Som nævnt i forrige afsnit vil denne afhandling gøre brug af en variation af performancemålet Jensens alpha ud fra Carharts 4-faktor model. For at bestemme dette alpha anvendes OLS (Ordinary Least Squares) regression også kendt som mindste kvadraters metode. Metodens formål er at minimere summen af de kvadrerede vertikale afstande mellem den lineære approksimation og de observerede udfald (udfald=afkast). Idet afhandlingens primære performancemodel er Carharts 4-faktor model, er der her tale om en multipel regression. Hver enkelt investeringsforenings månedlige afkast forsøges altså forklaret ud fra de fire omtalte Carhart faktorer: RM, SMB, HML og WML. De 89 investeringsforeningers afkast bliver således kontrolleret for disse fire faktorer. Dette betyder, at en investeringsforening der performer bedre end markedet udelukkende fordi denne investerer i små virksomheder, ikke vil få en positiv alpha, men i stedet en høj loading på SMB-faktoren 16. Det samme gør sig gældende for de resterende faktorer. Det står således klart, at en investeringsforening kun kan opnå en positiv alpha, hvis denne, ved held eller dygtighed, har præsteret et afkast, der ligger over det afkast man måtte forvente ud fra dennes loading på de fire medtagne faktorer. Ud over alpha og de fire loadings (betaer) er det interessant at kigge på hver regressions forklaringsgrad (R 2 ). Denne er defineret som den andel af den totale varians i den afhængige variabel (Forening i s afkast), der kan forklares ud fra variation i modellens uafhængige variable (RM, SMB, HML og WML). Med andre ord fortæller R 2, hvor god modellen er til at forklare forening i s afkast. R 2 vil meget sjældent være 1 17. Dette betyder, at der hver måned vil være en forskel mellem det afkast modellen approksimerer og forening i s faktiske afkast. Denne forskel kaldes fejlled og noteres som ε (Keller, 2009). Størrelsen, samt fordelingen af disse fejlled, kommer til at have en afgørende betydning i én af afhandlingens anvendte bootstrap-modeller. Metoden forklares nærmere i afsnit 4.4. 16 Forudsat at denne investerer i SMB-porteføljen 17 Betyder at 100% af variationen er forklaret af modellen 22

4.3.3 Kritik af Jensens alpha Selvom Jensens alpha, med henblik på besvarelse af afhandlingens hovedspørgsmål, skiller sig ud som det bedste mål for performance, er det essentielt at forholde sig kritisk til målet og de konklusioner, der foretages på baggrund af dets resultater. En af de væsentligste kritikpunkter med hensyn til Jensens alpha er, at dennes gyldighed afhænger af, hvorvidt den underliggende asset-pricing model er korrekt. Brugen af alpha som performancemål giver dermed et joint-test problem. Der testes altså ikke udelukkende på, hvorvidt overnormale afkast er signifikant forskellige fra 0, men også på hvorvidt den anvendte asset-pricing model er gyldig (Eckbo, 2008). Afhandlingens konklusioner tager derfor udgangspunkt i en antagelse om, at den anvendte asset-pricing model er valid. En anden svaghed ved Jensens alpha er, at den ikke tager højde for den forskel, der kan være i den usystematiske risiko 18 foreningerne tager. Der er dog kontrolleret for denne usystematiske risiko ved at rangere foreningerne på baggrund af alphaernes t-statistikker 19 i stedet for blot alpha-værdier (KTWW, 2006). 4.4 Bootstrap på t-statistikker Idet der er foretaget valg af asset-pricing model og performancemål, er det nu muligt at estimere hver enkel forenings p-værdi ud fra en bootstrap-simulationsprocedure. 4.4.1 Bootstrap-metoden generelt For at være i stand til korrekt at estimere hver enkel investeringsforenings p-værdi tages der udgangspunkt i KTWW s (2006) bootstrap-simulationsprocedure. Denne ikke-parametriske test er anvendt, da 24 af de 89 foreningers residualer ikke kan antages at være normalfordelte. Som det vil blive beskrevet i metodesammenligningsafsnittet 4.9.2, er der dog væsentlige forskelle på den i afhandlingen anvendte bootstrap-metode og KTWW s bootstrap-metode. Denne afhandlings bootstrap tester, ligesom Barras et al. (2010), investeringsforening i s estimerede alpha-værdi op imod en simuleret fordeling, der er lavet på baggrund af i s egne fejlled. Ud fra denne fordeling kan investeringsforening i s tosidet p-værdi bestemmes. 4.4.2 Forklaring af bootstrap-metodens enkelte trin Selve bootstrap-simulationen er kørt ved anvendelse af kodning/programmering i statistikprogrammet Eviews. Kodningen af de første trin er sket i overensstemmelse med den beskrevne uafhængige simulationsmetode, der anvendes i henholdsvis KTWW (2006) og Kosowski et al. (2007). Kodningen af hver forenings p-værdi er sket i overensstemmelse med Barras et 18 Der er allerede taget højde for den systematiske risiko gennem loading på markedsfaktoren. 19 t-statistikken udregnes som α σ/ n 23

al (2010) 20. Den teoretiske fremgangsmåde, der ligger til grund for den udarbejdede Eviews kodning, kan opsummeres i følgende 8 trin: 1. For investeringsforening i beregnes performance (α) ud fra 4-faktor modellen omtalt i afsnit 4.2.3 formel 4.3. Regressionens parametre samt tidsserien af estimerede fejlled (ε i,t, t = 1,....,T i ) gemmes. 2. Der udtrækkes nu tilfældigt og med tilbagelægning fra i s 119 (antal måneder = T ) estimerede fejlled. Dette giver en [119x1] vektor med tilfældigt udtrukne fejlled. 3. Ud fra 4-faktor modellens faktorer, i s estimerede parametre og vektoren med tilfældigt udtrukne fejlled konstrueres nu en tidsserie af pseudo-merafkast (ri,t b ) for i. Jævnfør formel 4.8 konstrueres tidsserien ud fra antagelsen α = 0. r b i,t = β 1 rw t + β 2 SMB t + β 3 HML t + β 4 W ML t + ˆε b i,t, (4.8) 4. Den konstruerede tidsserie af pseudo-merafkast (ri,t b ) for investeringsforening i, regresseres nu på 4-faktor modellen. Dette resulterer i en alpha-værdi, der ved konstruktion har en sand værdi på 0, men som grundet variation i udvælgelse af fejlled kan være forskellig fra 0. Denne alpha-værdi gemmes. 5. Trin 2-4 gentages for investeringsforening i 1.000 gange (b=1.000). 1.000 gentagelser sikrer en tilstrækkelig datamængde til, at en fordeling af investeringsforening i s alphaer (t-statistikker) kan konstrueres. 6. Jævnfør argumentationen i afsnit 4.3.3 udregnes nu t-statistikken for både i s faktiske alpha og de 1.000 bootstrap simulerede alpha-værdier. Dette gøres ud fra Newey & Wests (1987) heteroskedasticitets og autokorrelations konsistente estimator for standardafvigelsen. Der kan nu konstrueres en fordeling af disse t-statistikker, hvor alt variation ved konstruktion skyldes stikprøvevariation (Sand α = 0.). 7. Endeligt kan der foretages en simpel optælling af hvor mange af de bootstrap-simulerede t-værdier, der er henholdsvist større og mindre end den observerede t-værdi (ˆt i ). Summen af disse to optællinger divideres med Q=1.000, og der fås således to andele. Den mindste af disse betegner andelen af simulerede t-værdier, der ved ren stikprøvevariation har opnået et mere ekstremt resultat end den observerede t-værdi (ˆt i ). Denne andel ganges med to for endeligt at nå frem til investeringsforening i s tosidet p-værdi jævnfør formel 4.9. ˆp i = 2 min 1 Q Q q=1 I { t q i > ˆt i }, 1 Q Q I { t q q=1 } i < ˆt i (4.9) Indikatorfunktionen I { t q } i > ˆt i tæller altså hvor mange af de 1.000 simulerede t-værdier, der er større end den observerede t-værdi (ˆt i ). Det omvendte er tilfældet med I { t q } i < ˆt i. 20 Koden er inkluderet i bilag 3 og 4 24

Min-funktionen sikrer, at det er den mindste af de to udregnede andele, der ganges med to for endeligt at nå frem til forening i s tosidet p-værdi. 8. Trin 1-7 gentages for alle 89 investeringsforeninger, hvorefter den samlede fordeling af de 89 p-værdier kan konstrueres. 4.5 Kontrol for held/uheld ved FDR-metoden Dette afsnit indeholder en gennemgang af afhandlingens anvendte metode til at kontrollere for held/uheld. Afsnittet vil indledningsvist indeholde en beskrivelse af baggrunden for anvendelse af FDR-metoden samt en overordnet beskrivelse af metoden. Senere vil de enkelte delanalyser, der er en del af den samlede anvendte metode, beskrives mere dybdegående. 4.5.1 Baggrund for anvendelse af FDR-metoden False Discovery Rate (FDR) blev først introduceret af Benjamini og Hochberg (1995) og senere videreudviklet af Storey (2002). Metoden blev oprindeligt anvendt i forbindelse med naturvidenskabelige studier, inden blandt andre Barras et al. opdagede metodens potentiale i forbindelse med performancemåling af investeringsforeninger. Grundlæggende anvendes metoden til at kontrollere for held/uheld i forbindelse med multipel hypotesetest 21. Problemet med multiple hypoteser kan let illustreres: Hvis 100 foreningers performance testes ved et signifikansniveau på 10%, og der observeres 10 signifikante foreninger, opstår netop problemet med multiple hypoteser. Dette er tilfældet da det, selv hvis ingen foreninger i virkeligheden var dygtige/ringe, ville forventes, at 10 foreninger ville ende i det signifikante område. Det er altså farligt at konkludere, at disse 10 foreninger faktisk er dygtige/ringe. Det er dog samtidigt farligt at konkludere, at ingen foreninger er dygtige/ringe. Netop dette dilemma forsøges at løses gennem FDR-metoden. Benjamini og Hochberg anvender FDR som betegnelse for den forventede andel af signifikante observationer, der i virkeligheden er insignifikante i forhold til alle signifikante observationer. I denne afhandlings kontekst forstås FDR derfor som den forventede andel af de signifikant performende foreninger, der i virkeligheden er zero-alpha foreninger, i forhold til alle signifikant performende foreninger. For at bestemme denne andel, er det nødvendigt at kunne estimere den sande andel af zero-alpha foreninger. Storeys videreudvikling af FDR-metoden indeholder en elegant løsning til netop dette problem. Løsningen, der bygger på viden om fordelingen af p-værdier for zero-alpha foreninger, vil blive forklaret grundigt senere i dette afsnit. 4.5.2 Overordnede beskrivelse af metoden Metodens primære formål er som nævnt at justere foreningers performance for held/uheld. For at illustrere dette tages der udgangspunkt i en illustration af tre forskellige hypotetiske 21 Når der, som i denne afhandling, testes på en større pulje af investeringsforeninger, er der netop tale om multipel hypotesetest. 25

fordelinger henholdsvis fordelingen af ringe, zero-alpha og dygtige foreninger (figur 4.1). De heldige foreninger er illustreret med det skraverede område i yderste højre hale af fordelingen af zero-alpha foreninger. Disse vil ved et signifikansniveau på γ/2 karakteriseres som signifikante, selvom de i virkeligheden tilhører fordelingen af zero-alpha foreninger. Tilsvarende er de uheldige foreninger illustreret i fordelingens venstre hale. Foreninger i disse skraverede områder benævnes false discoveries i Storeys FDR. Antallet af foreninger, der vil være beliggende i dette område, afhænger af den totale andel af zero-alpha foreninger (π 0 ). Indtil videre antages det blot, at andelen π 0 er en kendt størrelse. Den forventede andel af heldige foreninger (F + γ ) og uheldige foreninger (F γ ), kan således bestemmes ud fra formel 4.10. E(F + γ ) = π 0 γ/2 E(F γ ) = π 0 γ/2 (4.10) Figur 4.1: Hypotetiske fordelinger af henholdsvis ringe, zero-alpha og dygtige foreninger 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ringe foreninger Sandsynligheden for at være uheldig Zero-alpha foreninger γ/2 γ/2 0 Dygtige foreninger Sandsynligheden for at være heldig Kilde: Egen tilvirkning med inspiration fra Barras et al. (2010) For at bestemme den forventede andel af foreninger der i virkeligheden er dygtige (T + γ ), skal de positivt signifikante foreninger (S + γ ), altså justeres for disse heldige foreninger (F + γ ). Tilsvarende er tilfældet i forbindelse med estimering af den sande andel af ringe foreninger (T γ ). Således kan formel 4.11 og 4.12 formuleres 22. E(T + γ ) = E(S + γ ) E(F + γ ) = E(S + γ ) π 0 γ/2 (4.11) E(T γ ) = E(S γ ) E(F γ ) = E(S γ ) π 0 γ/2 (4.12) Som det er illustreret i figur 4.1, vil en relativt stor del af de dygtige foreninger forventeligt være beliggende til venstre for signifikansniveauet γ/2, hvis dette sættes til et lavt niveau. For at undgå denne situation bør signifikansniveauet sættes relativt højt i denne metode. Det unikke ved FDR-metoden er, at dette kan gøres uden samtidigt at begå markant flere type I 22 Der vil i beregningerne ikke blive taget hensyn til ekstreme forekomster hvor en dygtig forening eksempelvis, udelukkende på baggrund af uheld, udviser en signifikant negativ alpha. Barras et al. (2010) kører et eksempel på dette og finder ud af sandsynligheden for dette er under 0,001%. 26

fejl. Dette er muligt, idet der, samtidigt med at signifikansniveauet forøges, vil blive trukket en større andel heldige foreninger fra de signifikante foreninger. Jævnfør figur 4.1 kan dette illustreres som en forøgelse af det skraverede område. For at denne metode kan gennemføres, kræver det jævnfør formel 4.11 og 4.12, at andelen af zero-alpha foreninger (π 0 ) og signifikansniveauet (γ) estimeres. Metoden til at estimere disse vil derfor blive forklaret i de følgende afsnit. 4.5.3 Estimering af andelen af zero-alpha foreninger (π 0 ) Metoden til at estimere den sande andel af zero-alpha foreninger (π 0 ) bygger på, at zero-alpha foreningers p-værdier følger en uniform fordeling. At dette faktisk er tilfældet, er således helt fundamentalt for denne metodes anvendelse, hvorfor det i afsnit 4.5.4 vil blive diskuteret og bevist. Med udgangspunkt i den uniforme fordeling af p-værdier for zero-alpha foreninger, kan estimering af π 0 nu illustreres i figur 4.2. For at lette forståelsen viser denne et konstrueret histogram over investeringsforeningers hypotetiske p-værdier 23. De 3 mørke rektangler yderst til venstre viser således de signifikante foreningers p-værdier ved et signifikansniveau på 30% 24. Figur 4.2: Konstrueret histogram over investeringsforeningers hypotetiske p-værdier 0.4 Andel 0.35 0.3 0.25 0.2 De signifkante foreningers p- værdier ligger i disse to rektangler. Andelen over linjen tilhører dygtige/ringe foreninger. λ* Området til højre for λ* indeholder udelukkende zero-alpha foreninger. Området under denne linje illustrerer den ukendte andel af zeroalpha foreninger 0.15 0.1 0.05 0 0 0 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 0.9 0.9 1 Estimerede p-værdier Kilde: Egen tilvirkning med inspiration fra Barras et al. (2010) 23 Denne bygger ikke på afhandlingens empiriske data, men er blot et eksempel. 24 Der bliver i figuren ikke skelnet mellem de foreninger der viser gode eller ringe evner 27

For at viden om zero-alpha foreningers uniforme fordeling af p-værdier kan anvendes, er det nødvendigt at identificere et niveau, hvor p-værdier til højre for dette kan antages at tilhøre zero-alpha foreninger. Dette niveau er i figur 4.2 illustreret med et stiplet linje og benævnt λ. Ud fra andelen af foreninger til højre for λ, kan den sande andel af zero-alpha foreninger nu estimeres. Dette gøres ved at generalisere denne andel til hele intervallet [0; 1] (Formel 4.13). I figur 4.2 er dette illustreret med andelen under den vandrette linje. ˆπ 0 (λ ) = W (λ ) m 1 (1 λ ) (4.13) W (λ ) betegner antallet af foreninger med en p-værdi over grænsen på 0,4(λ ), mens m angiver antallet af foreninger i stikprøven (89). For at estimatet af π 0 bliver præcist, er det nødvendigt, at vælge en tilpas høj grænse (λ ). Denne er estimeret ved en optimeringsprocedure, der er forklaret i afsnit 4.5.5. 4.5.4 Bevis for zero-alpha foreningers uniforme fordeling Den anvendte FDR-metode er kun mulig at foretage, såfremt andelen π 0 kan estimeres med rimelig præcision. Denne afhandling bygger således på et argumentet om, at det faktisk er muligt at estimere π 0. Dette argument er bundet op på det forhold, at alle zero-alpha foreninger per definition opfylder H 0 -hypotesen α = 0, og derfor har p-værdier der følger en uniform fordeling i intervallet [0, 1]. I en fodnote argumenterer Barres et al. (2010) kort for, at denne sammenhæng er gældende. Da der er tale om et særdeles centralt argument, har afhandlingens forfattere fundet det relevant at inkludere en mere grundig argumentation for denne sammenhæng samt at omskrive Barras et als (2010) fodnote til et fyldestgørende bevis på sammenhængens validitet. En uniform fordeling er defineret som en fordeling, hvor alle udfald er lige sandsynlige. En sådan fordeling har derfor en rektangulær tæthedsfunktion. En uniform fordeling i intervallet [0, 1] har altså en kumulativ fordelingsfunktion (Cumulative distribution function - CDF), der stiger proportionalt med afstanden fra 0. Sandsynligheden for at få en værdi på mindre end eller lig med 0,6 vil for denne fordeling netop være lig med 0,6 (Keller 2009 kap. 8). Et bevis på at den kumulative fordelingsfunktion for p-værdier tilhørende zero-alpha foreninger er proportionalt stigende med afstanden fra 0, vil derfor også være et bevis på at p-værdier følger en uniform fordeling. T i og P i anvendes som notation for henholdsvis t-statistikken og p-værdien for zero-alpha foreningerne i. Disses estimater noteres ˆt i og ˆp i, mens t-statistikken tilhørende p-værdien P i noteres T i (P i ). Den generelle funktionen F ( x i ) defineres, jævnfør formel 4.14, som sandsyn- 28

ligheden for at få værdier der er mindre end x i givet α = 0. F ( x i ) = prop( X i < x i α i = 0) (4.14) F ( ˆt i ) betegner således sandsynligheden for at få en t-værdi (T i ) der er mindre end ˆt i givet α = 0. Idet en p-værdi omvendt angiver sandsynligheden for et mere ekstremt (større numerisk) udfald, kan ˆp i skrives som i formel 4.15 ˆp i = 1 F ( ˆt i ) (4.15) Den kumulative fordelingsfunktion for en kontinuert variabel beskriver netop sandsynligheden for at få en værdi, der er mindre end x. Denne kan derfor undersøges for ˆp i ud fra formel 4.16. Hvis det kan bevises, at sandsynligheden for at få en p-værdi (P i ) der er mindre end ˆp i netop er lig med ˆp i, er p-værdifordelingen per definition uniform fordelt. prop(p i < ˆp i ) (4.16) Ved anvendelse af funktionen F ( x i ) og formel 4.15, bliver det nu muligt at omskrive P i fra formel 4.16 til én minus sandsynligheden for at få en t-værdi der er mindre end t-statistikken tilhørende P i. Dette udtryk omskrives en anelse. prop(p i < ˆp i ) = prop(1 F ( T i (P i ) ) < ˆp i ) prop(1 F ( T i (P i ) ) < ˆp i ) prop( F ( T i (P i ) ) < ˆp i 1) prop(f ( T i (P i ) ) > 1 ˆp i ) prop(( T i (P i ) ) > F 1 (1 ˆp i )) Omskrivningerne ender således med en sammenhæng, der beskriver sandsynligheden for at udtrykket F 1 (1 ˆp i ) er mindre end T i (P i ). Idet den generelle funktion F ( x i ) betegner sandsynligheden for at x i er større end givne værdier (formel 4.14), kan hele udtrykket omskrives til én minus F af udtrykket på højre side (F 1 (1 ˆp i )). prop( T i (P i ) ) > F 1 (1 ˆp i )) 1 F (F 1 (1 ˆp i )) Dette udtryk kan let reduceres. 1 F (F 1 (1 ˆp i ) 1 1 + ˆp i ˆp i 29

Således er det bevist, at sandsynligheden for at få en p-værdi der er mindre end ˆp i givet α = 0, netop er lig med ˆp i. En ˆp i -værdi på 0,3 angiver således, at sandsynligheden for at få en lavere p-værdi (numerisk større t-værdi) end 0,3 netop er 0,3. Da denne sammenhæng er gældende for alle ˆp i -værdier, er det ligeledes bevist, at ˆp i har en kumulativ fordelingsfunktion der er proportionalt stigende med afstanden fra 0. Altså er det bekræftet, at p-værdier der tilhører zero-alpha foreninger følger en uniform fordeling i intervallet [0, 1]. 4.5.5 Estimering af lambda Jævnfør argumentationen i Barras et al. (2010) er det muligt at opnå approksimativt korrekte resultater, ved at anvende et forudbestemt lambda-niveau på 0,5 eller 0,6. Valget af lambda (λ ) udgør dog, jævnfør forrige afsnit, en så fundamental del af den samlede FDR-metode, at det er fundet relevant at anvende en mere avanceret metode til præcist at identificere det mest optimale lambda-niveau (Storey et al. 2004). Den anvendte metode bygger grundlæggende på en undersøgelse af hvilken λ, der minimerer estimatet for MSE (Mean-Squared Error) af ˆπ 0 (λ), defineret som E(ˆπ 0 (λ) π 0 ) 2. MSE ønskes minimeret da en lav MSE, i dette tilfælde, bliver et udtryk for, at en given λ-værdi resulterer i ˆπ 0 (λ)-værdier, der stabilt ligger tæt på estimatet for π 0 (Den sande andel zeroalpha foreninger). For at kunne vælge den mest optimale λ er der anvendt en variation af bootstrap-metoden. Metoden er programmeret specifikt til denne undersøgelse i Excel modulet VBA (Visual Basic for Applications) 25. Den teoretiske fremgangsmåde, der ligger til grund for denne programmering, kan opsummeres i følgende trin: 1. ˆπ 0 (λ) beregnes for forskellige λ-værdier (λ = 0,30, 0,35,..., 0,80) ved anvendelse af formel (4.13). 2. Af de i trin 1 udregnede ˆπ 0 (λ)-værdier, identificeres den mindste ˆπ 0 (λ), som efterfølgende benævnes min λˆπ 0 (λ). Denne min λˆπ 0 (λ) anvendes som det bedste estimat på π 0 og er dermed den værdi, der vil anvendes til at undersøge de gennemsnitlige kvadrerede afvigelser, E(ˆπ 0 (λ) π 0 ) 2 E(ˆπ 0 (λ) min λˆπ 0 (λ)) 2. Begrundelsen, for at min λˆπ 0 (λ) er det bedste estimat for π 0, ligger i den konservative tilgang, der er grundlaget for hele metoden. Metoden antager, at det er muligt at identificere et lambda-niveau, hvor alle p-værdier til højre for dette niveau, udelukkende tilhører zero-alpha foreninger. Ud fra antallet af disse zero-alpha foreninger beregnes π 0 (formel 4.13). Denne fremgangsmåde er konservativ i den forstand, at den potentielt overestimerer π 0 en anelse. Dette er tilfældet, da det bestemt er muligt, at der til højre for det valgte lambda-niveau ligger enkelte foreninger med en sand alpha, der er forskellig fra 0. Det står således klart, at den sande π 0 må være enten mindre end eller lig med metodens beregnede ˆπ 0 (λ). Jævnfør formel 4.17, er min λˆπ 0 (λ) således være det foreløbigt bedste estimat på π 0 (Storey 2002). 25 Koden er inkluderet i bilag 5 E {ˆπ 0 (λ)} min λ [E {ˆπ 0 (λ)}] π 0 (4.17) 30

3. Den egentlige bootstrap kan nu påbegyndes. For hver af de valgte λ-værdier trækkes der tilfældigt og med tilbagelægning 89 gange fra vektoren med de 89 fundne p-værdier. Ud fra de trukne p-værdier beregnes ˆπ 0 (λ) ved formel 4.13. 4. For hver λ-værdi udregnes nu ved formel 4.18 den kvadrerede afvigelse fra min λˆπ 0 (λ). ˆ (π 0 (λ) min λˆπ 0 (λ)) 2 (4.18) 5. Trin 3 og 4 gentages i alt b=1.000 gange. Dette giver en [1000x1] vektor med kvadrerede afvigelser for hver λ-værdi. Et estimat for MSE kan nu jævnfør formel 4.19 udregnes for hver λ-værdi ved at summere over hver vektor og dividere summen med b=1.000. MSE(λ) = 1 b B [ˆπ 0 (λ) min λˆπ 0 (λ)] 2 (4.19) b=1 6. Endeligt udvælges λ som den λ-værdi, der resulterer i den laveste MSE: λ = arg min λ MSE(λ). Ud fra λ kan formel (4.13) således anvendes til endeligt at estimere andelen af de 89 investeringsforeninger, der har en sand alpha på 0 (ˆπ 0 (λ )). Fra de foretagne simulationer kan det endvidere konkluderes, at det endelige estimat af π 0 bestemt varierer afhængigt af den valgte λ, men generelt er relativt stabilt over de forskellige λ-værdier 26.Denne observation stemmer overens med konklusionen i Barras et al. 2010. 4.5.6 Estimering af gamma (signifikansniveau) Idet λ og dermed ˆπ 0 (λ ) er bestemt i forrige underafsnit, resterer der nu blot at estimere signifikansniveauet (γ), før det er muligt at nå frem til det endelige mål: At bestemme andelen af henholdsvis zero-alpha foreninger, dygtige foreninger og ringe foreninger. Jævnfør formel 4.20 har γ to modsatrettede effekter på den endelige andel af dygtige foreninger ( ˆT + γ ) og ringe foreninger ( ˆT γ ). På den ene side bliver andelen af signifikante foreninger (Ŝ+ γ /Ŝ γ ) selvsagt større, når γ forøges. På den anden side bliver estimatet af andelen af heldige/uheldige foreninger ( ˆF + γ / ˆF γ ) ligeledes større. Den totale effekt på ( ˆT + γ / ˆT γ ) bliver således ikke entydig. γ bliver altså i denne sammenhæng snarere en grænse for den andel af foreninger, der ønskes kontrolleret for heldige/uheldige foreninger end en grænse for de foreninger, der klassificeres som signifikante (Storey 2002). ˆT + γ = Ŝ+ γ ˆF + γ = Ŝ+ γ ˆπ 0 γ/2 ˆT γ = Ŝ γ ˆF γ = Ŝ γ ˆπ 0 γ/2 (4.20) 26 Henholdsvis λ = 0,30, 0,35,..., 0,80. ˆπ + A = ˆT + γ, ˆπ A = ˆT γ (4.21) 31

Ved valget af en tilstrækkeligt høj γ opnås således, at sandsynligheden for type II fejl minimeres, uden at sandsynligheden for type I fejl samtidigt forøges betragteligt (Da der netop kontrolleres for ˆF + γ / ˆF γ ). For at kunne identificere det mest optimale γ-niveau foretages, analogt til estimering af λ, en undersøgelse af, hvilken γ der minimerer estimatet for MSE (Mean-Squared Error) af ˆπ + A (γ) og ˆπ A (γ). MSE er defineret som E(ˆπ /+ A (γ) π /+ A )2. Argumentet for at minimere MSE er tilsvarende det i afsnit 4.5.5 fremførte argument. For at kunne vælge den mest optimale γ, er der igen anvendt en variation af bootstrap-metoden. Metoden er igen programmeret i Excel modulet VBA (Visual Basic for Applications) 27. De to VBA-koder anvendt til at estimere henholdsvis γ og λ ligner hinanden på en række punkter, idet der eksisterer en hel del lighedspunkter mellem den teoretiske baggrund for de to metoder. Forklaringen af de enkelte trin i den teoretiske fremgangsmåde for estimering af γ bør således læses i sammenhæng med trin 1-6 for estimering af λ (Barras et al. 2010). 1. ˆπ + A (γ) beregnes for forskellige γ-værdier (γ = 0,10, 0,15,..., 0,60). Denne beregnes ved først at bestemme ˆπ 0 ud fra formel 4.13 (givet den estimerede λ ) og dernæst anvende formel 4.20 og 4.21. 2. Af de i trin 1 udregnede ˆπ + A (γ)-værdier, identificeres den største ˆπ+ A (γ), som efterfølgende benævnes max γ ˆπ + A (γ). Denne max γ ˆπ + A (γ) anvendes som det bedste estimat for π+ A. Argumentet for, at max γ ˆπ + A (γ) bliver det foreløbigt bedste estimat for π+ A, er fuldstændigt tilsvarende argumentet for at anvende min λˆπ 0 (λ) som det bedste estimat for π 0. Igen står det klart, at modellen potentielt overestimerer π 0 og dermed, jævnfør formel 4.22, underestimerer π + A : E {ˆπ + A (γ)} [ max γ E + {ˆπ A (γ)}] π + A (4.22) 3. For hver af de valgte γ-værdier, trækkes tilfældigt og med tilbagelægning 89 gange fra vektoren med de 89 fundne p-værdier. Ud fra de trukne p-værdier beregnes først ˆπ 0 (λ ) ved formel 4.13 og siden ˆπ + A (γ) ved formel 4.20 og 4.21. For korrekt at kunne beregne Ŝ+ γ i formel 4.20, er det nødvendigt at kunne skelne mellem de lave p-værdier, der skyldes en negativ alpha, og de p-værdier der skyldes en positiv alpha. Dette problem er løst i VBA-koden ved at lægge en konstant K til alle p-værdier, der skyldes en negativ alpha. Således bliver disse p-værdier større end grænsen γ og er derfor ikke talt med i Ŝ+ γ. 4. For hver γ-værdi udregnes nu ved formel 4.23 den kvadrerede afvigelse fra max γ ˆπ + A (γ). ˆ (π + A (γ) max γ ˆπ + A (γ))2 (4.23) 5. Trin 3 og 4 gentages i alt b=1.000 gange. Dette giver en [1000x1] vektorer med kvadrerede afvigelser for hver γ-værdi. Et estimat for MSE kan nu jævnfør formel 4.24 udregnes for 27 Koden findes i bilag 6. 32

hver γ-værdi ved at summere over hver vektor og dividere summen med b=1.000. MSE + (γ) = 1 b B b=1 [ˆπ + A (γ) max γ ˆπ + A (γ)] 2 (4.24) 6. Endeligt udvælges γ som den γ-værdi der resulterer i den laveste MSE: γ = arg min γ MSE + (γ). 7. Trin 1-6 gennemgås nu for negative alpha-værdier. Således estimeres i stedet ˆπ A (γ), max γ ˆπ A (γ), Ŝ γ og MSE (γ). Følgende beslutningsregel anvendes til at bestemme, om γ sættes til enten den γ der minimerer MSE + (γ), (γ + ) eller den γ der minimere MSE (γ), (γ ): Hvis arg min γ MSE + (γ) < arg min γ MSE (γ) γ = γ + ellers γ = γ (4.25) Hvis der som i denne afhandlings empiriske data er konstateret arg min γ MSE + (γ) > arg min γ MSE (γ), sættes ˆπ + A (γ ) = 1 π 0 ˆπ A (γ ), for at bevare ligheden 1 = π 0 + π + A + π A. Alternativt sættes ˆπ A (γ ) = 1 π 0 ˆπ + A (γ ). Ud fra γ kan de endelige andele π 0 + π + A + π A, således bestemmes. Ved denne udelukkende datadrevet metode er det således muligt at korrigere foreningers performance for held/uheld og nå frem til et resultat, der, modsat mange alternative metoder, også minimerer andelen af type II fejl. 4.6 Lokation af dygtige foreninger Denne afhandlings primære fokus er at afklare fordelingen af henholdsvis dygtige foreninger, zero-alpha foreninger og ringe foreninger. Hvis der kan påvises tilstedeværelse af dygtige foreninger i populationen, bliver det dog oplagt også at undersøge lokationen af disse foreninger. Det bliver specielt relevant at afklare de dygtige foreningers lokation i forbindelse med udarbejdelsen af en egentligt investeringsstrategi. Det er eksempelvis oplagt, at det vil være nemmere at opbygge en investeringsstrategi, hvis det kan påvises, at alle dygtige foreninger er lokaliseret i den ekstreme højre hale i fordelingen af foreningernes t-værdier. Alternativt vil det være væsentlig mere kompliceret at opbygge en investeringsstrategi, hvis det kan påvises, at de dygtige foreninger er fordelt jævnt ud over t-værdi fordelingens højre hale. Undersøgelsen af lokation vil bygge på metoden anvendt i Barras et al. (2010). Denne bygger på en undersøgelse af formel 4.26 for forskellige signifikansniveauer γ. T + γ = S + ˆπ 0 γ/2 (4.26) Ud fra 4.26 står det klart, at en stigning i signifikansniveauet γ medfører dels en stigning i antallet af foreninger der karakteriseres som signifikante S + og dels en stigning i antallet af 33

heldige foreninger (ˆπ 0 γ/2). Hvis γ stiger fra f.eks. 0,1 til 0,2 uden at antallet af dygtige foreninger T γ + samtidigt vokser markant, må det således betyde, at langt størstedelen af det forøgede antal signifikante foreninger blot har været heldige foreninger. Omvendt må en stor stigning i T γ + ved en stigning i γ tyde på, at en stor del af det forøgede antal signifikante foreninger har været dygtige foreninger. Figur 4.3-a angiver et eksempel på fordelingen af tosidet p-værdier. Eksemplet er lånt fra afhandlingens empiriske afsnit og angiver således den endelige fordeling af p-værdier. Figur 4.3-b angiver derimod en hypotetisk fordeling af p- værdier konstrueret til dette eksempel. Sammenlignes disse to, bliver det tydeligt, at et forøget signifikansniveau fra γ1 til γ2, vil få en væsentligt større betydning på antal dygtige/ringe foreninger i figur 4.3-b end i figur 4.3-a. I figur 4.3-a vil det forøgede antal signifikante foreninger fortrinsvist være heldige/uheldige foreninger, mens der i figur 4.3-b vil blive tilføjet en del både dygtige og ringe foreninger. For at opnå et mere præcist billede af, hvor de dygtige foreninger er lokaliseret, er formel 4.26 evalueret for en række forskellige γ-niveauer mellem 0 og afhandlingens signifikansniveau (γ ). I denne undersøgelse er der udelukkende fokuseret på p-værdier tilhørende positive alphaer, idet det er lokationen af dygtige foreninger, der er relevant i forbindelse udarbejdelse af en eventuel investeringsstrategi. Figur 4.3: Effekten af øget signifikansniveau ved to forskellige p-værdi fordelinger Kilde: Egen tilvirkning 4.7 Performance persistency Efter bestemmelse af antallet af sande dygtige investeringsforeninger er det interessant at undersøge, om det er muligt at udnytte denne viden til at skabe overnormale afkast set fra en investors synspunkt. For at dette som udgangspunkt kan lade sig gøre, er det essentielt, at historisk performance i en vis grad kan forklare fremtidig performance. Det er altså relevant at vide, om de danske investeringsforeninger generelt kan levere konsistente afkastresultater. Der vil udelukkende blive fokuseret på persistency målt over en etårig periode. Dette er valgt, 34

fordi man som investor typisk modtager performanceopgørelser på årsbasis (Vidal, 2013), og derfor også revurderer sin portefølje på årsbasis. Samtidig har tidligere resultater i følge Vidal (2013) vist, at der er størst chance for at identificere persistency med en tidshorisont på et år. I analysen af performance persistency vil der ligesom den øvrige del af afhandlingen blive fokuseret på det overnormale afkast i form af alpha. Dette vælges fremfor rå afkast, da det sikrer, at persistency kan identificeres i form af dygtighed og ikke alene baseret på investeringsstil og risikoprofil. Testen af persistency i foreningernes performance vil blive udført ved hjælp af flere forskellige metoder for at sikre robusthed og dermed validitet af konklusionen. Følgende tre metoder vil blive anvendt: Contingency-tabeller, regression og rangerede porteføljer. 4.7.1 Contingency-tabeller (Winner-Loser test) Brugen af contingency-tabeller til analyse af persistency er meget udbredt i litteraturen (Vidal, 2013). Det er en ikke-parametrisk test, hvilket i forhold til parametriske test har den fordel, at denne ikke stiller krav til, at variablen skal følge en bestemt fordeling (Keller, 2009). Testens formål er at bestemme hyppigheden af, at foreninger der karakteriseres som vindere eller tabere i en given periode, fastholder deres status i den efterfølgende periode. Måden det bestemmes på er, at foreningerne hvert år i analyseperioden rangeres på baggrund af deres alpha, og derefter bruges medianen til at bestemme, hvorvidt en forening defineres som vinder eller taber i perioden. Over en toårig periode vil foreningerne dermed blive sorteret i fire grupper. Winner-Winner (WW) defineres som en forening der har formået at præstere et overnormalt afkast større end medianen både i år et og år to. Ligeledes har en Winner-Loser (WL) forening i første periode præsterede et resultat over medianen og under medianen i den efterfølgende periode. De sidste to grupper er Loser-Winner (LW) og Loser-Loser (LL). Antallet af foreninger i de fire grupper opsamles i en contingency-tabel, der viser antallet af foreninger, der har været konsistente i deres afkast målt i forhold til de øvrige foreninger. Styrken ved contingency-tabeller i forhold til de øvrige metoder er, at den identificerer persistency i den enkelte forenings performance, og samtidig er mere robust overfor små stikprøver (Vidal, 2013). Der er påvist persistency ved hjælp af contingency-tabeller, hvis grupperne WW og LL er statistisk signifikant større end de to øvrige grupper. Dette bygger på argumentet om, at hvis performance er tilfældig, så vil en forening, der er kategoriseret som vinder i periode et have lige stor sandsynlighed for at lande i gruppen WW som WL i næste periode. For en sådan forening vil tidligere performance altså ikke have nogen betydning for fremtidig performance. Hvorvidt der er tale om signifikant persistency vil blive afdækket ved hjælp af tre forskellige testmetoder henholdsvist repeat winner, odds-ratio og chi-square. Der er anvendt tre metoder for at sikre robusthed. Alle test bygger på en H 0 -hypotese, der siger, at der ikke er persistency i performance. Repeat winners test blev introduceret af Malkiel (1995) og har til formål at teste andelen af WW i forhold til WL. Testen er en binomial-test og udregnes ud fra følgende observator. 35

Z = (Y np) (4.27) np(1 p) p er sandsynligheden for, at en vinderforening forsætter med at være en vinder i den næste periode. Hvis der ikke eksisterer persistency vil p forventeligt være 1/2. En p der er signifikant 28 forskellig fra 1/2 vil således være ensbetydende med, at H 0 -hypotesen om ingen persistency kan afvises. Y er antallet af WW foreninger, mens n er lig med antallet af vinderforeninger i første periode (WW+WL). Hvis andelen af WW i forhold til n(ww+wl) er over 50%, er det en indikation på persistency. Dette vil resultere i en positiv z-værdi. Odds ratio test blev udviklet af Brown og Goetzmann (1995) og udregnes som logaritmen til ratioen af gentagne vindere og tabere i forhold til ikke gengangere. [ ] W W LL LOR = ln (4.28) W L LW En LOR større end nul indikerer persistency i performance fra foreningerne. Dette kan også testes statistisk ved hjælp af en t-statistik. T stat = LOR σ LOR (4.29) Ved en tilstrækkelig stor stikprøve vil denne t-stat følge en normalfordeling, hvor σ LOR er givet ved følgende formel. σ LOR = 1 W W + 1 W L + 1 LW + 1 LL (4.30) Da der i denne afhandling arbejdes med mindre stikprøver indenfor de enkelte gruppe, skal der dog gøres opmærksom på, at målet kan være misvisende. Det er derfor vigtigt at tage forbehold i forbindelse med fortolkningen af resultaterne. Chi-square test udgør den sidste test på contingency-tabellerne. Testen tager udgangspunkt i metoden introduceret af Kahn & Rudd (1995). Denne bliver udregnet med udgangspunkt i følgende formel, hvor de faktiske værdier holdes op i mod de forventede værdier. Chi = (W W D1)2 D1 + (W L D2)2 D2 De forventede værdier udregnes på følgende måde: + (LW D3)2 D3 + (LL D4)2 D4 (4.31) D1 = (W W + W L) (W W + LW ) N 28 Ved et signifikansniveau på 5%, vil den kritiske grænse i en standardnormalfordeling være 1,96. Approksimation til standardnormalfordelingen er dog mest hensigtsmæssig når n overstiger 20. Da dette ikke er tilfældet for alle de testede grupper, kan enkelte resultater fra denne test være behæftet med usikkerhed. 36

(W W + W L) (W L + LL) D2 = N D3 = (LW + LL) (W W + LW ) N (LW + LL) (W L + LL) D4 = N Da der tages udgangspunkt i små stikprøver er faktoren justeret ved hjælp af Yates Continuity Correction (Vidal 2013). Formålet med dette er, at der ønskes at undgå en overestimering på grund af for få observationer (Yates, 1934). 29 Contingency-metoden går under betegnelsen en ikke-parametrisk test og for at sikre, at resultaterne er robuste, vil analysen af persistency også tage udgangspunkt i to parametriske test. Først en simpel regression og afslutningsvis en rangerede porteføljetest. 4.7.2 Persistency-test ved regression Formålet med at teste på persistency er at afklare, hvorvidt resultater fra forrige periode kan forklare resultater for den kommende periode. Dette lægger naturligt op til, at der køres en regressionsanalyse. Metoden bliver blandt andet brugt af Grinblatt & Titman (1992). I praksis følger metoden 3 steps. Først deles den samlede 10-årige analyseperiode op i 10 delperioder. Derefter bestemmes det årlige risikojusterede afkast for hver enkelt forening. Afslutningsvis regresseres afkastene opnået i periode t på afkastene opnået i periode t-1 for alle foreningerne. r 2 = α 0 + α 1 r 1 + ɛ (4.32) r 1 og r 2 angiver henholdsvis forrige og nutidige periodes afkast. En signifikant α 1 betyder, at H 0 -hypotesen om, at der ikke er persistency i afkastene kan afvises og alternativhypotesen, der støtter en positiv sammenhæng mellem forrige og fremtidige afkast, kan accepteres. 4.7.3 Hendricks rangerede porteføljetest Den sidste analyse af persistency i afkast vil tage udgangspunkt i Hendricks (1993) rangerede porteføljer. Teorien bygger på en test af, om der kan sammensættes en portefølje af forrige perioders top-performers, som kan levere et signifikant overnormalt afkast. Hvis dette er tilfældet, er der tale om konsistent performance. Det modsatte er gældende for bund-performers. Formålet med denne persistency-test er primært at finde ud af, om der kan spores persistency hos de dygtige/ringe foreninger. Idet de dygtige/ringe foreninger ikke direkte kan identificeres, vælges i stedet de foreninger der har performet bedst/værst baseret på alpha. Ved starten af hvert kalenderår rangeres de enkelte foreninger på baggrund af deres alpha fra forrige periode. Herefter sammensættes der to porteføljer. En portefølje bestående af den ottendedel af foreningerne der præsterede bedst i forrige periode og en portefølje bestående af den dårligst 29 Korrektionen udføres ved at der trækkes 0,5 fra forskellen mellem den observerede værdi og den forventede værdi. 37

præsterende ottendedel. Porteføljerne holdes i et kalenderår, hvorefter de sammensættes på ny ud fra samme opskrift. Til sidst er der konstrueret to tidsserier af gennemsnitlige månedlige afkast for henholdsvis top og bund performers. Disse testes herefter på 4-faktor modellen. Hvis top-porteføljen slår ud med en signifikant positiv alpha, tyder det på persistency i afkastene. H 0 -hypotesen om ingen persistency vil således blive forkastet. Tilsvarende vil persistency blive bekræftet, hvis bund-porteføljen slår ud med en signifikant negativ alpha. 4.8 Praktisk anvendelse af FDR-metoden I afsnit 4.5 bliver FDR-metoden, som bruges til at adskille de heldige foreninger fra de dygtige foreninger, introduceret. Spørgsmålet er nu, om det er muligt at anvende denne metode til at udforme en praktisk anvendelig investeringsstrategi. Teorien bag investeringsstrategien bygger på antagelsen om, at dygtige foreninger er konsistente i deres performance. Ved at investere i disse foreninger burde det altså være muligt at opnå et overnormalt afkast i fremtiden. Det er dog essentielt for en succesfuld eksekvering af denne strategi, at det rent faktisk er muligt at identificere og lokalisere de dygtige foreninger relativt præcist. Investeringsstrategien tager altså udgangspunkt i FDR. En false discovery er som tidligere beskrevet en zero-alpha forening, der på baggrund af held/uheld har formået at skabe en signifikant alpha. Da det primære formål er at udnytte metoden i investeringsøjemed, er der kun fokuseret på de positive false discoveries. F DR + er defineret som andelen af heldige foreninger ( ˆF + γ ) ud af det totale antal positivt signifikante foreninger (Ŝ+ γ ) ved et givet signifikansniveau. Dette er illustreret i nedenstående formel (Barras et al. 2010). F DR + γ = ˆF + γ Ŝ + γ = ˆπ 0 γ/2 Ŝ + γ (4.33) Strategien vil blive udført ved at danne fem forskellige porteføljer baseret på andele af heldige foreninger i forhold til positivt signifikante foreninger. De fem porteføljer vil tage udgangspunkt i følgende fem FDR-niveauer - 10%, 30%, 50%, 70% og 90%. Der eksisterer en række fordele og ulemper ved at ændre på niveauet af FDR. Ved at vælge et lavt FDR-niveau (eksempelvis 10%) sikres, at porteføljen hovedsageligt består af dygtige foreninger. Dette bør alt andet lige give en højere performance, da det må forventes at dygtige foreninger i højere grad er konsistente i deres performance. Ved at vælge et lavt FDR-niveau vil signifikansniveauet ligeledes være relativ lavt, hvilket betyder, at der inkluderes færre foreninger i porteføljen. Dette giver en lavere diversifikationsgevinst, da porteføljens volatilitet vil blive større. Det modsatte gør sig naturligvis gældende, hvis der vælges et højt FDR-niveau (Barras et al. 2010). De enkelte foreningers p-værdier udregnes som beskrevet i afsnit 4.5 ved hjælp af bootstrapsimulation. Dog er p-værdierne i denne forbindelse baseret på 5-årige delperioder i stedet for den normale 10-årige periode 30. For hver af de fem delperioder er det muligt at estimere π 0 30 Hvor første delperiode starter primo 2004 og slutter ultimo 2008, mens den sidste delperiode starter primo 2008 og slutter ultimo 2012. Dette giver i alt fem delperioder. 38

ud fra formel 4.13 31. Ved hjælp af π 0 kan F DR γ + bestemmes givet en række signifikansniveauer (γ = 0,01, 0,02..., 0,60). For hver delperiode bestemmes et signifikansniveau for de fem FDR-niveauer. Med andre ord vælges det signifikansniveau, der medfører et FDR-niveau, der er tættest muligt på det ønskede. Som det kan ses i bilag 7, har det gennemsnitlige opnåede FDR-niveau ved FDR10% været på 24%, altså højere end de 10% der var målet. Dette er tilfældet, når andelen af dygtige foreninger i populationen er for lille til at opnå det ønskede FDR-niveau. Når signifikansniveauet for de forskellige FDR-niveauer i hver enkelt delperiode er bestemt, kan de fem porteføljer sammensættes. En investeringsforening inkluderes i porteføljen, hvis den har en p-værdi, der er lavere end det valgte γ niveau (givet ønsket FDR-niveau). Da første delperiode slutter ultimo 2008 (2004-2008), beregnes porteføljens afkast som det ligevægtede gennemsnit af de inkluderede foreningers månedlige afkast i 2009. Porteføljen holdes i et enkelt kalenderår, hvorefter udvælgelsesproceduren starter forfra i næste periode. Dette gentages for alle fem porteføljer i de fem delperioder. Således fås en tidsserie på 60 måneders (5 år) afkast for hver portefølje. Slutteligt regresseres disse afkastporteføljer på Carharts 4-faktor model for at afgøre, hvorvidt det ved anvendelse af denne investeringsstrategi har været muligt at opnå et overnormalt afkast. 4.9 FDR-metoden sammenlignet med alternative tilgange Denne afhandlings anvendte FDR-metode er blot én af flere mulige metoder til at beregne andelen af dygtige, ringe og zero-alpha foreninger i en stikprøve af investeringsforeninger. For at afklare motivationen for at netop denne tilgang er valgt, er det derfor relevant at foretage en sammenligning med de mest anerkendte alternative metoder. Først foretages en generel sammenligning med de to hovedspor full luck og no luck, inden nyere tids to mest anerkendte metoder fremlagt af henholdsvis KTWW (2006) og Fama & French (2010) undersøges. 4.9.1 Sammenligning med full luck og no luck approach Mens denne afhandling bygger på en datadreven model, der ikke gør brug af nogen forud antagelser om andelen af zero-alpha foreninger (π 0 ), følger den tidligere litteratur på området primært to hovedspor henholdsvis full luck approach og no luck approach. Disse tilgange har det til fælles, at de begge bygger på forud antagelser om størrelsen af π 0. Full luck approach Denne tilgang er fremført af blandt andre Jensen (1968) og Ferson og Qian (2004). Tilgangen bygger på en ex ante antagelse om, at alle foreninger i undersøgelsen er zero-alpha foreninger (π 0 = 1). Ved anvendelse af denne tilgang er det således relativt simpelt at korrigere for heldige/uheldige foreninger over et givent signifikansniveau. Hvis signifikansniveauet sættes til γ, bliver den forventede andel heldige/uheldige foreninger udregnet som γ/2. Det totale forventede antal heldige/uheldige foreninger kan således ved formel 4.34 udregnes ud fra antallet af 31 Bemærk lambda er fastholdt til 0,4 39

foreninger i stikprøven (n). F + /F = n γ (4.34) 2 For at finde frem til antallet af foreninger, der faktisk har udvist evner, skal antallet af foreninger over et givent signifikansniveau fratrækkes dette forventede antal heldige foreninger. Selvom denne tilgang er både beregningsmæssigt simpel og intuitiv, indeholder den dog nogle væsentlige svagheder. Barras et al. (2010) viser ved en simulationsprocedure, hvor den sande andel π 0 varieres, hvordan fejl ved denne tilgang vokser proportionalt med, at π 0 går mod 0. Dette bevirker at andelen af heldige foreninger overestimeres og dermed at andelen af dygtige foreninger konsekvent bliver underestimeret ved sande værdier af π 0, der er mindre end 1. Denne tilgang introducerer altså en stor positiv bias på andelen af heldige foreninger og tilsvarende negativ bias på andelen af dygtige foreninger, når π 0 er mindre end 1. No luck approach Denne tilgang er blevet anvendt af blandt andet Ferson og Schadt (1996). Man foretager i denne tilgang ingen korrektion for heldige/uheldige foreninger over et givent signifikansniveau γ. Dette svarer til en ex ante antagelse om, at ingen foreninger er zero-alpha foreninger (π 0 = 0). Der sættes således lighedstegn mellem antallet af signifikante foreninger og antallet af dygtige/ringe foreninger. Beregningsmæssig er denne metode således relativt simpel. Ligesom det er tilfældet med Full luck approach, introducerer tilgangen dog bias i udregningen af heldige/uheldige foreninger. Barras et al. (2010) viser, at bias ved denne tilgang, modsat Full luck approach, stiger proportionalt med at π 0 går mod 1. Tilgangen introducerer således negativ bias på andelen af heldige foreninger og dermed positiv bias på andelen af dygtige foreninger når π 0 er større end 0. Grafisk sammenligning af hhv. artiklens anvendte FDR-metode, full luck approach og no luck approach. For at illustrere forskellen mellem de tre tilgange, er der foretaget en grafisk sammenligning ud fra afhandlingens faktiske datagrundlag inklusiv det faktiske estimat af π 0 på 0,66. No luck tilgangen estimerer per definition ingen hverken heldige eller uheldige foreninger. Full luck tilgangen estimerer derimod et højt antal både heldige og uheldige foreninger. Dette er tilfældet, da denne tilgang netop antager π 0 =1 og derfor beregner det forventede antal heldige/uheldige foreninger ved formel 4.34. FDR-metoden estimerer antal heldige/uheldige foreninger, der ligger imellem det antal der bliver estimeret af de to andre tilgange. Dette er tilfældet, da denne tilgang beregner antallet ud fra π 0 = 0, 66. Figur 4.4 er konstrueret ved at tælle antallet af signifikante foreninger ved hvert signifikansniveau og derefter trække det forventede antal heldige/uheldige foreninger ved dette signifikansniveau fra. Ved π 0 = 0, 66 bliver det her tydeligt, at no luck tilgangen overestimerer antallet af dygtige/ringe foreninger, idet der ikke korrigeres for held/uheld. Full luck tilgangen underestimerer derimod antallet, idet der trækkes et for højt antal forventede heldige foreninger fra de signifikante foreninger. FDR-metoden fremkommer med det mest præcise resultat, idet der her korrigeres for det antal heldige/uheldige foreninger, der måtte forventes ved netop andelen 40

π 0 = 0, 66. Det er tydeligt ud fra grafen, at valget af metode får en stor indflydelse på det endelige antal dygtige/ringe foreninger, man når frem til ved hvert signifikansniveau. En fordel ved FDR-metoden bliver endvidere, at der kan vælges et større signifikansniveau og dermed begrænse antallet af type II fejl 32, uden at der, som det er tilfældet ved no luck approach, bliver begået uhensigtsmæssigt mange type I fejl 33. Man kan altså ved FDR-metoden undersøge en større mængde foreninger. Figur 4.4: Dygtige foreninger ved forskellige signifikansniveauer ved henholdsvis no luck, full luck og FDR a - Venstre hale af populationen ved forskellige signifikansniveauer b - Højre hale af populationen ved forskellige signifikansniveauer 35 25 30 20 Antal af ringe foreninger 25 20 15 10 5 Antal af dygtige foreninger 15 10 5 0 VH 2,5% VH 5% VH 10% VH 15% VH 20% Signifikansniveau 0 HH 20% HH 15% HH 10% HH 5% HH 2,5% Signifikansniveau FDR Full luck No luck FDR Full luck No luck Kilde: Egen tilvirkning 4.9.2 Sammenligning med KTWW (2006) og Fama & French (2010) KTWW (2006) og Fama & French (2010) har det til fælles, at de anvender en mere sofistikeret måde at korrigere for held/uheld end de 2 beskrevne hovedgrene full luck og no luck. Den grundlæggende idé i begge metoder er at undgå forud antagelser om fordelingen af investeringsforeningers alphaer. Begge metoder anvender således bootstrap-simulationer til at konstruere en fordeling af alphaer, der bygger på fordelingernes faktiske fejlled, men med et konstrueret alpha på 0. Brugen af bootstrap-simulation er uddybet yderligere i afsnit 4.4. Den væsentligste forskel på de to metoder er jævnfør figur 4.5, at der i Fama & Frenchs bootstrap-model trækkes b-antal tidsserier, som anvendes på tværs af alle foreninger, mens der i KTWW s model foretages b-antal uafhængige simulationer for hver forening i. I KTWW s metode foretages b=1.000 bootstrap-simulationer for hver foreninger i, mens der i Fama Frenchs metode foretages i alt 10.000 bootstrap-simulationer, som anvendes på tværs af alle foreninger. Hunter et al. (2009) argumenterer for, at der kan opstå problemer med KTWW s metode, hvis foreningerne følger samme investeringsstrategi og derfor opnår lignende afkast. I det omfang modellen ikke korrekt tager højde for en sådan adfærd, vil dette medføre korrelerede fejl- 32 At karakterisere en forening der i virkeligheden er dygtig som en zero-alpha forening 33 At karakterisere en forening der i virkeligheden er en zero-alpha forening som dygtig 41

led. Ulempen ved KTWW er altså, at der ikke tages højde for den korrelation af foreningers alpha-estimater, der kan opstå, såfremt benchmark-modellen ikke tager højde for al den fælles variation. Fama Frenchs metode er et forsøg på at rette op på dette potentielle problem ved KTWW. Begge modeller korrigerer jævnfør figur 4.5 for held/uheld ved at trække det forventede antal heldige foreninger fra det faktiske antal signifikante foreninger over et givent signifikansniveau. Det forventede antal heldige/uheldige foreninger findes ved at observere andelen af bootstrapsimulationer, der med en konstrueret sand alpha på 0 opnår tilsvarende ekstreme afkast. Denne tilgang minder om den beskrevne full luck approach, idet der korrigeres for det antal foreninger, der ved π 0 = 1 ville være heldige/uheldige. Selvom KTWW og Fama & French er mere sofistikerede måder at korrigere for heldige/uheldige foreninger, tager man ved disse metoder således stadigvæk den ex-ante antagelse, at alle foreninger er zero-alpha foreninger. Denne afhandlings anvendte FDR-metode adskiller sig altså væsentligt fra begge disse metoder, idet man i denne metode ikke antager π 0 = 1 (Barras et al. 2010). FDR-metoden kan ikke anvendes i sig selv. Det er nødvendigt at anvende en metode til at bestemme hver forenings fordeling af t-værdier givet α = 0 således, at foreningernes faktiske t-værdi kan holdes op imod denne fordeling og p-værdien dermed kan estimeres. FDR-metoden kan herefter anvendes til at estimere den sande andel af zero-alpha foreninger (π 0 ) og endeligt korrigere de signifikante foreninger for held/uheld. I denne afhandling er KTWW s metode anvendt til at bestemme hver forenings fordeling af t-værdier. KTWW er valgt som grundmodel fremfor Fama & French idet metoden som nævnt gør det muligt at foretage uafhængige simulationer for hver forening i. Man kunne dog også have argumenteret for valget af Fama & Frenchs metode som grundmodel. Det essentielle er, at den valgte grundmodel kombineres med FDR-metoden, således at der korrigeres korrekt for held/uheld. Selvom KTWW s metode er anvendt som grundmodel, er der væsentlige forskelle mellem afhandlingens FDR-metode og KTWW. Jævnfør figur 4.5 er den mest markante forskel, at p-værdier i FDR-metoden, modsat KTWW, estimeres isoleret for hver forening i. Altså bestemmes p-værdien i FDR-metoden ved at holde hver forenings t-værdi op imod en fordeling dannet på baggrund af netop denne forenings fejlled. Figur 4.5 illustrerer kort hvilke områder FDR-metoden har til fælles med KTWW og hvilke områder der adskiller de to metoder. 42

Figur 4.5: Sammenligning af de tre hovedmetoder til justering for held/uheld Artikel Barras et al. (2010) (Anvendt i afhandlingen) KTWW (2006) Fama&French (2010) Bootstrap-simulation Individuel udtrækning af fejlled for hver forening. Udtræk fra samlet pulje af fejlled Justering for held Bestem individuel p- værdi for hver forening FDR Korrektion for held/uheld sikres ved at korrigere for andelen af bootstrapsimulationer der med en konstrueret sand alpha på 0, opnår tilsvarende ekstreme afkast. Kilde: Egen tilvirkning 4.10 Kvalitet af data For at vurdere kvaliteten af det anvendte datamateriale er det fundet relevant at diskutere og analysere de forudsætningsproblemer, der udgør den største trussel mod præcisionen af afhandlingens konklusioner. 4.10.1 Korrelerede fejlled Som nævnt i afsnit 4.9.2 kan foreninger have korrelerede fejlled, hvis de følger samme strategi og altså udviser korreleret adfærd. Dette vil normalt gøre performanceevaluering væsentlig mere kompliceret (Barras et al. 2010). I forhold til korrelerede fejlled har metoden anvendt af Barras et al. (2010) og denne afhandling en væsentlig fordel. Dette er tilfældet, da p-værdier ved denne metode bestemmes isoleret for hver forening i. På denne måde undgås en del af de problemer, der kan opstå med korrelerede fejlled. Den anvendte metode er dog ikke immun over for en korreleret adfærd blandt de medtagne foreninger. Dette er tilfældet, da metoden bygger på at identificere π 0 ud fra et histogram af de samlede p-værdier. Hvis de medtagne foreninger var ekstremt korrelerede, kunne man således forstille sig, at de beregnede p-værdier ville ligge på omtrentligt samme niveau i p-værdi histogrammet. Dette ville bevirke at præcisionen af π 0 - estimatet ville blive væsentligt mere upræcist uanset valget af λ (Barras et al. 2010). Ud fra afhandlingens faktiske p-værdi histogram (figur 5.2) er det dog tydeligt, at de 89 inkluderede foreninger ikke udviser denne ekstreme korrelation. 43

4.10.2 Normalfordelte fejlled For at kunne anvende en klassisk regressionsanalyse (OLS), er det nødvendigt at kunne påvise normalfordelte fejlled. For at teste dette anvendes Jarque-Bera test for normalitet. Denne test er et eksempel på en goodness-of-fit test. Nulhypotesen for testen er, at fejlleddene er normalfordelte. For 24 ud af de 89 foreninger bliver denne nulhypotese forkastet. Se bilag 8. Ved et signifikansniveau på 5% kan godt 27% af foreningernes fejlled ikke antages at være normalfordelte. Dette resultat betyder, at konklusioner draget på baggrund af en klassisk regressionsanalyse vil være behæftet med fejlkilder. Dette vil i sidste ende kunne betyde, at foreninger fejlagtigt karakteriseres som signifikante, fordi disse måles op imod en asymptotisk fordeling i stedet for foreningernes sande fordeling baseret på dennes fejlled. For at minimere problemer med manglende normalfordelte fejlled er der i denne afhandling anvendt en bootstrap-simulationsmetode. Bootstrap-metoden er en ikke-parametrisk metode, som er fuldstændigt datadrevet. Ved at anvende denne metode undgås derfor at lave fejlagtige ex ante antagelser omkring fordelingen af foreningernes fejlled. 4.10.3 Autokorrelation og heteroskedasticitet Afhandlingens foretagne analyser bygger på tidsserier af afkast. Det bliver derfor nødvendigt at behandle begreberne autokorrelation og heteroskedasticitet. Autokorrelation opstår, hvis forskellige fejlled er korreleret. Ved anvendelse af tidsserie data kan autokorrelation opstå, hvis der i modellen ikke er taget højde for eventuelle tidsbegrænsede trends, der kan betyde, at modellen i en periode konsekvent under- eller overestimerer afkastet. En sådan konsekvent fejl vil resultere i korrelerede fejlled, hvilket strider imod forudsætningerne for OLS. Autokorrelation påvirker ikke de enkelte koefficientestimater, men der er en tendens til, at standardafvigelser bliver fejlestimeret i tilfælde af høj autokorrelation (Verbeek 2012). Til at udføre test for autokorrelation anvendes Breusch-Godfrey test (LM-test) med 12 lag af fejlleddene. Nulhypotesen i denne test er, at der ikke forekommer autokorrelation. Ved et signifikansniveau på 5% afvises denne nulhypotese for 9 ud af de 89 foreninger. Der er altså signifikant autokorrelation for godt 10% af de testede tidsserier. Resultaterne for de kørte test er opsummeret i bilag 8. Heteroskedasticitet opstår, når forskellige fejlled har forskellig varians. Det typiske eksempel på dette er, når variansen af fejlled er større ved store værdier (afkast) end ved små værdier (afkast). Dette resulterer i den klassiske tragtform af fejlled. Ved analyse af tidsserier er det endvidere muligt, at variansen udvikler sig over tid, således at fejlled i forskellige tidsperioder har forskellig varians. Dette strider imod den grundlæggende forudsætning i OLS omkring kravet om homoskedasticitet. Heteroskedasticitet påvirker, ligesom autokorrelation, præcisionen af de estimerede standardafvigelser. Test for heteroskedasticitet foretages ved anvendelse af to forskellige versioner af Whites test. Begge test har nulhypotesen, at fejlleddene udviser homoskedasticitet. Whites test udføres ved at regressere de kvadrerede fejlled på krydsproduktet af de originale fejlled og en konstant. Forskellen på de to test ligger i, at testen som her betegnes 44

White 1, i modsætning til White 2, inkluderer et krydsled (Verbeek 2012). Det er fundet relevant at anvende begge test, for at sikre robuste resultater. Ved White 1 afvises nulhypotesen for 32 af de 89 foreninger, mens nulhypotesen afvises for 33 af de 89 foreninger ved White 2. Begge test indikerer altså, at fejlleddene for knap 37% af de analyserede foreninger udviser heteroskedasticitet. Dette er problematisk for præcisionen af estimatet for standardafvigelsen. Idet der, jævnfør argumentet i afsnit 4.3.3, anvendes estimatoren t = α σ α/ n til at vurdere foreningers performance, bliver præcisionen af netop estimatet på standardafvigelsen specielt vigtig. Det er tydelig, at hvis standardafvigelsen for en forening underestimeres, kommer denne til at have en kunstig høj t-værdi. Dette kan i yderste tilfælde betyde, at foreningen fejlagtigt kategoriseres som værende signifikant. Det modsatte kan naturligvis være tilfældet ved en overestimerede standardafvigelse af alpha. For at neutralisere disse trusler mod præcisionen af de beregnede t-værdier, anvendes i denne afhandling Newey & Wests heteroskedasticitets og autokorrelations konsistente estimator af standardafvigelsen (σ α ). Denne tager netop højde for de påviste problemer med autokorrelation og heteroskedasticitet, og resulterer derfor i et mere retvisende estimat af σ α. Newey & Wests standardafvigelse er således beregnet for hver enkelt forening i statistikprogrammet Eviews og anvendt til at beregne de ønskede t-værdier (Newey & West 1987). 5 Empirisk analyse af danske investeringsforeningers performance I dette afsnit præsenteres resultater fra afhandlingens foretagne analyser. Indledningsvist vil FDR-metodens overordnede resultater blive præsenteret, hvorefter de enkelte delresultater fra metoden vil blive gennemgået. Endeligt indeholder afsnittet en gennemgang af resultater fra afhandlingens persistency test samt praktiske anvendelse. 5.1 Overordnede resultater Afhandlingens hovedkonklusioner er baseret på metoden false discovery rate (FDR), som kontrollerer for investeringsforeninger der leverer overnormale afkast alene baseret på held. Metoden gør det muligt at identificere zero-alpha, dygtige og ringe foreninger mere præcist end tidligere anvendte metoder. Ud af de 89 foreninger der er inkluderet i undersøgelsen, kan 65,5% defineres som zero-alpha foreninger. Langt størstedelen af foreningerne præsterer dermed afkast der kun lige dækker deres omkostninger 34. Undersøgelsen viser derudover, at 17 af de 89 foreninger præsterede en signifikant positiv performance (S + ) ved et signifikansniveau på 0, 30(γ). Denne forholdsvis høje andel af positivt signifikante foreninger er som udgangspunkt ikke direkte sammenlignelige med tidligere undersøgelser, hvor γ som regel vil være bestemt til et niveau omkring 5-10% og ikke udledt på baggrund af data som i denne undersøgelse. 34 Omkostninger eksklusiv emissionstillæg og indløsningsfradrag 45

Ved hjælp af FDR-metoden har det være muligt, at definere ca. halvdelen af de positivt signifikante foreningerne som heldige. Når disse fratrækkes antallet af positivt signifikante foreninger betyder det, at der kan identificeres godt 9 dygtige foreninger svarende til ca. 10,6% af stikprøven. De resterende 23,9% af foreningerne kan altså karakteriseres som værende ringe, efter der er kontrolleret for uheldige zero-alpha foreninger. Med knap 11% dygtige foreninger er det interessant at vurdere, hvorvidt det er muligt at bruge denne information til fremtidige investeringsbeslutninger. For at dette skal kunne lade sig gøre, skal der identificeres en vis grad af persistency i resultaterne. Dette er testet ved hjælp af både parametriske og ikke-parametriske test. Ingen af disse påviste signifikant persistency hos danske investeringsforeninger. I et forsøg på at optimere måden at identificere dygtige foreninger i investeringsøjemed bliver FDR-metoden anvendt som en egentlig investeringsstrategi. Selvom det lykkedes at slå den gennemsnitlige aktive forening, er det ikke muligt at skabe et overnormalt afkast ved hjælp af strategien. 5.2 FDR-metodens resultater Dette afsnit indeholder en gennemgang af afhandlingens primære empiriske resultater. Indledningsvist vil resultater vedrørende den kørte regressionsmodel præsenteres, og de beregnede p-værdier vil blive diskuteret. Efterfølgende gennemgås resultater for de to bootstrap-modeller der er kørt i forbindelse med estimering af parametrene lambda og gamma. Den fundne lambdaværdi danner baggrund for estimering af andelen af zero-alpha foreninger, mens den optimale gamma-værdi anvendes i forbindelse med den endelige estimering af andele af dygtige og ringe foreninger. Disse overordnede resultater vil blive diskuteret, inden resultater vedrørende de dygtige foreningers lokation vil blive præsenteret. 5.2.1 Bestemmelse af alpha og t-statistikker Alpha er bestemt for hver af de 89 foreninger ved anvendelse af regressionsanalyse ud fra Carharts 4-faktor model. Som beskrevet i afhandlingens dataafsnit (afsnit 3) er der udvalgt forskellige benchmarks og faktorværdier for hver af de 6 geografisk afgrænsede grupper. Ud fra tabel 5.1 står det klart, at kun de seks markedsfaktorer er signifikante for gennemsnittet af alle seks grupper. At denne faktor er mest signifikant stemmer overens med øvrig teori på området, og taler for, at anvendelsen af en simpel CAPM-model vil udgøre en rimelig approksimation af de estimerede alphaer. Dette vil blive afklaret og diskuteret yderligere i afhandlingens robusthedsanalyse (afsnit 6.3). Den gennemsnitlige forklaringsgrad for hver af de seks grupper ligger i intervallet 0,85-0,93, hvilket betyder, at Carhart modellens faktorer forklarer langt størstedelen af variationen i de enkelte foreningers afkast. Da modellerne anvendt for hver af de seks grupper alle indeholder fire faktorer, er det ikke nødvendigt at anvende den justerede forklaringsgrad til at sammenligne disse. Regressionsresultater for alle 89 foreninger kan ses i bilag 9. Det kan ud fra tabellen konstateres, at de danske foreninger har haft den gennemsnitlig bedste performance i perioden målt på alpha, mens foreninger eksponeret mod Nordamerika har haft 46

Tabel 5.1: Regressionsresultater for de seks overordnede grupper Antal foreninger α 1 2 β β - SMB β - HML β - MOM R Danmark 13 0.51% 0.97* 0.11-0.01-0.02** 0.90 Global 34 0.09% 1.11* 0.32* -0.22 0.02 0.85 Europa 22-0.93% 1.13* 0.45* -0.14 0.02 0.91 Nordamerika 6-2.37%* 1.01* 0.05-0.05 0.03 0.93 Fjernøsten 8-0.55% 0.94* 0.07 0.02 0.01 0.88 Japan 6 0.35% 0.94* 0.00-0.1** 0.02 0.88 Anmærkning: * indikerer signifikant faktor ved signifikansniveau på 5% ** indikerer signifikant faktor ved signifikansniveau på 10% 1: Alphaer er beregnet p.a. Kilde: Egen tilvirkning en bemærkelsesværdig ringe performance i perioden. For at udregne hver forenings t-stat er de beregnede alphaer korrigeret for Newey Wests standardafvigelse. Efter at have korrigeret for hver forenings Newey West standardafvigelse er det kun foreninger eksponeret mod Danmark, der har en gennemsnitlig positiv t-stat. Denne observation indikerer, at den senere analyse vil resultere i en overvægt af foreninger der udviser ringe performance. Figur 5.1 viser de 89 t-værdier sorteret fra den største t-værdi til den laveste. Grafen underbygger tabellens indikation af, at størstedelen af de undersøgte foreninger har under-performet i perioden. Figur 5.1: Oversigt over de 89 foreningers t-statistikker rangeret fra højest til lavest 4 3 2 1 t-statistikker 0-1 - 2-3 - 4 Foreninger Kilde: Egen tilvirkning 47

5.2.2 Bestemmelse af p-værdier P-værdien estimeres isoleret for hver forening. Dette gøres ved at holde foreningers beregnede t-stat op imod en simuleret fordeling af t-statistikker dannet på baggrund af netop denne forenings fejlled og med en konstrueret alpha på 0. De simulerede fordelinger af t-værdier er dannet ved kørsel af bootstrap-simulationer i Eviews. Den endelige fordeling af dobbeltsidet p-værdier ses i figur 5.2. Det er tydeligt, at der ligger en overvægt af dobbeltsidet p-værdier i intervallet fra 0-0,3. Jævnfør det tidligere fremførte argumentet om uniform fordeling af p-værdier tilhørende zero-alpha foreninger, tyder overrepræsentationen af foreninger med p- værdier i dette interval på, at ikke alle foreninger i undersøgelsen er zero-alpha foreninger. Det lysegrå område i figuren indikerer således den andel af p-værdier, der forventeligt ville ligge i hvert interval givet, at alle foreninger er zero-alpha foreninger. Det mørkegrå område over dette niveau må således tilhøre enten dygtige eller ringe foreninger. Sammenlignet med Barras et al. (2010) undersøgelse af 2.076 foreninger, ser de dygtige/ringe foreninger i denne afhandling ud til at være fordelt over et større p-værdi interval. I Barras et al. har alle dygtige og ringe foreninger således p-værdier i intervallet 0-0,2. Dette forhold vil blive diskuteret yderligere i afsnittet om lokation (5.2.6). Figur 5.2: Histogram over de 89 foreningers estimerede p-værdier 0.3 0.25 λ* 0.2 Andel 0.15 0.1 0.05 0 0 0 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 0.9 0.9 1 Estimerede p-værdier Kilde: Egen tilvirkning med inspiration fra Barras et al. (2010). 48

5.2.3 Fastsættelse af optimal lambda For at kunne estimere den sande andel af zero-alpha foreninger (π 0 ), bliver det nødvendigt at definere et niveau (λ ), hvor det kan antages, at alle foreninger med dobbeltsidet p-værdier over dette niveau er zero-alpha foreninger. λ er illustreret i figur 5.2 ved den stiplede linje. Da p-værdier for zero-alpha foreninger følger en uniform fordeling, er det muligt at beregne den samlede andel af zero-alpha foreninger (π 0 ) ud fra den andel af foreninger, der har p-værdier over dette fastlagte niveau (λ ). Det endelige lambda-niveau (λ ) fastlægges ved anvendelse af en bootstrap-model for at sikre det mest optimale valg af λ. Den optimale λ bestemmes ved at vælge det lambda-niveau, der minimerer den gennemsnitlige kvadrerede afvigelse fra det foreløbige bedste estimat af π 0 (MSE). Der er i afhandlingen fremlagt argument for, at det foreløbige estimat af π 0 bør sættes til det laveste π 0 -estimat, der fremkommer, når π 0 beregnes for en række forskellige lambda-værdier. Jævnfør tabel 5.2-a sættes det foreløbigt bedste estimat af π 0 til 0,637. Dette estimat benævnes min λˆπ 0 (λ) og indbygges i den programmerede bootstrap-model. Ved kørsel af 1.000 bootstrapsimulationer bestemmes den gennemsnitlige MSE for hver lambda-værdi. Tabel 5.2: Beregning af π 0 ved forskellige niveauer af λ og endelig valg af λ Kilde: Egen tilvirkning a - Beregning af min. π0 b - Endelig valg af λ* Lambda π0 Lambda MSE 0.30 0.6742 0.30 0.00804 0.35 0.6742 0.35 0.00834 0.40 0.6554 0.40 0.00763 0.45 0.6742 0.45 0.01084 0.50 0.6742 0.50 0.01217 0.55 0.7241 0.55 0.02330 0.60 0.7022 0.60 0.02274 0.65 0.6421 0.65 0.01666 0.70 0.6367 0.70 0.02051 0.75 0.7191 0.75 0.04033 0.80 0.7865 0.80 0.07725 λ sættes, jævnfør tabel 5.2-b, til 0,4, da denne værdi minimere MSE. Ved anvendelse af formel 5.1, kan afhandlingens endelige estimat af π 0 nu beregnes. (W (λ )= Antal foreninger med p-værdi over λ, m = total antal foreninger) ˆπ 0 (λ ) = W (λ ) m 1 (1 λ ) (5.1) ˆπ 0 (0, 4) = 35 89 1 = 0, 655 (1 0, 4) Dette betyder altså, at 65,5% af foreningerne i denne undersøgelse er zero-alpha foreninger. Denne π 0 -andel er en anelse mindre end Barras estimat på 75,4%. Dette skyldes, at en større 49

andel af denne afhandlings inkluderede foreninger har p-værdier, der ligger i intervallet 0-0,3. Ud fra tabel 5.2-a kan det endvidere konkluderes, at beregningen af π 0 ikke er oversensitiv overfor valget af λ. Denne robusthed styrker troværdigheden af den beregnede π 0. 5.2.4 Fastsættelse af optimal gamma Signifikansniveauet (γ) skal i FDR-metoden ses som et niveau, der afgrænser hvilke foreninger, der skal undersøges for held/uheld. Signifikansniveauet udgør altså ikke, som det er tilfældet i tidligere metoder, et niveau der klart afgrænser, hvilke foreninger der er dygtige/ringe, og hvilke der er zero-alpha foreninger. At signifikante foreninger efterfølgende kontrolleres for held/uheld i FDR-metoden bevirker, at man i denne metode kan vælge et relativt højt γ og dermed minimere type II fejl, uden at begå markant flere type I fejl. Ligesom det var tilfældet med valg af λ, fastsættes det mest optimale signifikansniveau (γ ) ud fra en bootstrap-metode. Det mest optimale γ defineres som det niveau, der mest stabilt giver π + - og π -estimater der ligger tæt på de foreløbige bedste estimater af π + og π. MSE beregnes således for hvert γ- niveau for både venstre og højre hale af fordelingen. Der er i afhandlingen fremlagt argument for, at de foreløbigt bedste estimater af π + og π bør sættes til de højeste værdier, der fremkommer når π + og π beregnes for en række forskellige gamma-værdier. Tabel 5.3: π og π + beregnet ved forskellige γ værdier Kilde: Egen tilvirkning Gamma π - π+ 0.10 0.180712 0.034644 0.15 0.220506 0.040730 0.20 0.215356 0.069288 0.25 0.221442 0.075375 0.30 0.238764 0.092697 0.35 0.233614 0.098783 0.40 0.217228 0.116105 0.45 0.223315 0.110955 0.50 0.218165 0.117041 0.55 0.213015 0.100655 0.60 0.230337 0.095506 Jævnfør tabel 5.3 sættes det foreløbigt bedste estimat af π + til 0,117 mens det foreløbigt bedste estimat af π sættes til 0,239. Disse benævnes henholdsvis max γ ˆπ + A (γ) og max γ ˆπ A (γ), og indbygges i den programmerede bootstrap-model. Ved kørsel af 1.000 bootstrap-simulationer bestemmes den gennemsnitlige MSE for hver gamma-værdi for både positive og negative alphaer. 50

Tabel 5.4: Gennemsnitlig MSE for hvert γ-niveau Kilde: Egen tilvirkning a - MSE-niveau for positive α b - MSE-niveau for negative α Gamma Gamma MSE (+) (positiv) (Negativ) MSE (-) 0.15 0.00506 0.15 0.00026 0.20 0.00188 0.20 0.00047 0.25 0.00142 0.25 0.00029 0.30 0.00048 0.30 0.00018 0.35 0.00037 0.35 0.00023 0.40 0.00033 0.40 0.00057 0.45 0.00037 0.45 0.00051 0.50 0.00052 0.50 0.00068 0.55 0.00068 0.55 0.00105 0.60 0.00089 0.60 0.00067 Det står ud fra tabel 5.4 klart, at den laveste MSE-værdi findes i tabel b, som opsummerer resultater fra fordelingens venstre hale. Den laveste MSE opnås altså ved γ = 0, 3. Idet den laveste MSE er fundet i tabel b, bestemmes først π og derefter π + som afledt. Dette er nødvendigt for at opretholde ligheden π + + π + π 0 = 1. Fra tabel 5.3 kan π aflæses til 23,9%. π + kan således udregnes til 10,6%. Når der er korrigeret for held, er der altså 10,6% dygtige foreninger, 23,9% ringe foreninger og 65,5% zero-alpha foreninger. Dette resultat er opsummeret i tabel 5.5. Tabel 5.5: Andel af dygtige, ringe og zero-alpha foreninger π π - π+ 0 65.5% 23.9% 10.6% Kilde: Egen tilvirkning 5.2.5 Diskussion af FDR-modellens resultater Det kan konstateres, at denne afhandlings estimerede andel af dygtige foreninger (10,6%) er en anelse højere end de andele, der fremgår af tidligere undersøgelser af danske investeringsforeninger. Dette er ikke overraskende, da den anvendte metode netop, ved at anvende et højt signifikansniveau, forsøger at minimere de type II fejl, der typisk vil forekomme hyppigt ved lave signifikansniveauer. Det unikke ved den anvendte FDR-metode er således, at man kan sætte signifikansniveauet relativt højt og dermed undersøge flere foreninger, uden samtidigt at begå markant flere type I fejl. Der er således grund til at tro, at dette resultat giver et mere retvisende billede af den sande andel af danske aktie-investeringsforeninger der udviser reelle evner. Det skal dog også bemærkes, at der som nævnt er taget udgangspunkt i NAV, der ikke er korrigeret for emissionstillæg ved køb og indløsningsfradrag ved salg. Ved korrektion for disse omkostninger vil man således forvente, at fordelingen ville rykke en anelse til venstre, og 51

dermed resultere i en lavere andel dygtige foreninger. Andelen af dygtige foreninger (10,6%) er endvidere højere end i Barras et al. (2,4%), som også har anvendt FDR-metoden. Denne difference kan altså ikke forklares med forskellige måder at korrigere for held, men i stedet i grundlæggende forskelle i de medtagne foreningers performance. Dette er tydeligt, idet der er markant flere foreninger med p-værdier i intervallet 0-0,3 i denne undersøgelse sammenlignet med Barras et al. Det skal dog bemærkes, at de to undersøgelser er foretaget på forskellige foreninger i forskellige tidsperioder hhv. 2004-2013 (inklusiv) og 1975-2006 (inklusiv), samt at der kan være forskelle i korrektionen for omkostninger. En anden forskel er, at der i denne afhandling kun er medtaget foreninger der har været aktive i hele perioden. Dette introducerer problemer med survivorship bias, der jævnfør Malkiel (1995) kan betyde overestimerede andele af dygtige foreninger. Udvælgelseskriteriet i Barras et al. neutraliserer denne bias ved at kræve, at de medtagne foreninger har været aktive på et tidspunkt i perioden. Resultaterne i disse to undersøgelser er derfor ikke fuldstændigt sammenlignelige, selvom de er bygget på samme grundlæggende model. 5.2.6 Lokation af dygtige foreninger I forbindelse med udarbejdelsen af en eventuel senere investeringsstrategi bliver det interessant, at se på lokationen af de dygtige foreninger indenfor det allerede bestemte signifikansniveau. Specielt er det relevant at undersøge, om alle dygtige foreninger har ekstremt lave p-værdier, således at disse relativt nemt kan identificeres, eller om de ligger spredt ud over intervallet fra 0-0,3 (γ=0,3). For at undersøge dette er antallet af signifikante foreninger (ikke justeret for held) og dygtige foreninger (justeret for held) beregnet for forskellige signifikansniveauer i intervallet 0-0,3. Resultatet fremgår af figur 5.3 35. Ud fra figur 5.3 er det tydeligt, at den største stigning i antal dygtige foreninger finder sted i intervallet 0-0,025. Dette betyder, at en stor del af de dygtige foreninger faktisk er lokaliseret i den yderste højre del af t-fordelingen. Disse foreninger vil således relativt nemt kunne identificeres, ved at udvælge foreninger med ekstreme t-værdier og dermed meget lave p-værdier. 35 Tabel til figuren kan ses i bilag 10 52

Figur 5.3: Sammenligning af dygtige og signifikante foreninger ved givne signifikansniveauer Antal dygtige foreninger Antal signifikante foreninger 18 16 14 12 10 8 6 4 2 Antal foreninger 0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Signifikansniveau Kilde: Egen tilvirkning Jævnfør figuren er næsten alle de tilføjede signifikante foreninger fra 0,025 til 0,175 heldige foreninger. Dette er tilfældet, da antal signifikante foreninger vokser i dette interval, mens antal dygtige foreninger ligger tilnærmelsesvist konstant. Til gengæld er det interessant, at antallet af dygtige foreninger igen vokser markant i intervallerne 0,175-0,225 og 0,250-0,300. Denne observation er konsistent med figur 5.2, der også for intervallerne 0,1-0,2 og 0,2-0,3 viser en større koncentration af p-værdier end forventet ud fra den uniforme fordeling af zeroalpha foreninger. Dygtige foreninger eksisterer altså ikke udelukkende i p-værdi intervallet 0,0-0,1. Dette er en bemærkelsesværdig observation, idet man ved anvendelse af klassiske signifikansniveauer på 0,05-0,10 ville overse disse foreninger, og dermed begå type II fejl. Mens tilstedeværelsen af disse dygtige foreninger med relativt høje p-værdier understreger vigtigheden af at anvende FDR-metoden, gør det samtidigt lokaliseringen af de dygtige foreninger væsentlig mere kompliceret. Hvis man således ønsker at inkludere alle dygtige foreninger i en portefølje, er det altså ikke nok at udvælge de foreninger med laveste p-værdier. Det vil til gengæld være muligt at sikre en høj koncentration of dygtige foreninger, ved udelukkende at udvælge foreninger med p-værdier i intervallet 0-0,025. Dette fremgår af figur 5.3, idet der er en meget lille difference mellem antal signifikante foreninger og antal dygtige foreninger i dette interval. 5.2.7 Delkonklusion I afhandlingens primære analyse er det konkluderet, at 10,6% af de 89 foreninger er dygtige mens 23,9% er ringe og 65,5% er zero-alpha foreninger efter at der er justeret for held/uheld. Danske aktie-investeringsforeninger performer altså generelt under benchmark. Selvom det har været muligt at estimere andelen af dygtige foreninger, har det ikke været muligt at identificere præcist hvilke af de 89 foreninger der er dygtige. Ved lokationsanalyse er det yderligere vist, 53

at ikke alle dygtige foreninger har ekstreme p-værdier, hvorfor det er vanskeligt at identificere disse. 5.3 Geografisk segmentering Danske investeringsforeninger investerer i aktier fra hele verdenen. Dette gælder alt fra Latinamerika over Rusland til Japan og Fjernøsten. Spørgsmålet er, om danske investeringsforeninger har nok viden om disse markeder, til at kunne skabe overnormale afkast til deres investorer. Afhandlingens resultater opdelt geografisk er opsummeret i tabel 5.6. Tabel 5.6: Geografisk segmenteret performance for de seks grupper Antal foreninger Alle foreninger 89-0.31% 17 (19%) 30 (34%) 42 (47%) 1.87 Globale 34 0.09% 6 (18%) 10 (29%) 18 (53%) 2.13 Danmark 13 0.51% 5 (38%) 2 (15%) 6 (46%) 2.35 Europa 22-0.93% 3 (14%) 8 (36%) 11 (50%) 2.18 Fjernøsten 8-0.55% 1 (13%) 2 (25%) 5 (63%) 2.35 Japan 6 0.35% 2 (33%) 2 (33%) 2 (33%) 1.93 Nordamerika 6-2,37%* 0 (0%) 6 (100%) 0 (0%) 2.13 Anmærkning: * indikerer signifikant faktor ved signifikansniveau på 5% ** indikerer signifikant faktor ved signifikansniveau på 10% 1 Alphaer er beregnet p.a. Kilde: Egen tilvirkning α 1 Antal signifikant gode Antal signifikant dårlige Antal zero alpha Gennemsnitlig ÅOP (%) Når tabellens resultaterne holdes op i mod de samlede resultater for undersøgelsen inden der korrigeres for held, er der som udgangspunkt tre områder der adskiller sig betydeligt henholdsvis Danmark, Japan og Nordamerika. Investeringsforeningerne i Japan fordeler sig ligeligt i grupperne S +, S og π 0. Dette er dog med en meget lille stikprøve, og kan i lige så høj grad være et udslag af tilfældigheder, som et muligt tegn på at danske investeringsforeninger er gode til at investere i japanske aktier. I Nordamerika har alle investeringsforeninger til gengæld præsteret signifikant dårligt. Dette er baseret på en model med forklaringsgrader over 90% for fem ud af seks foreningerne. En upræcis model er derfor ikke forklaringen på denne dårlige performance. Tidligere undersøgelser af Christensen (2003 & 2012) har tegnet det samme billede af investeringsforeningerne i Nordamerika. Tallene i tabel 5.6 viser, at investeringsforeningerne i Nordamerika ikke arbejder med gennemsnitlige højere omkostninger end de øvrige områder. Det er altså ikke fordi foreninger i Nordamerika indeholder relativt høje omkostninger, at de ikke formår at præstere positive afkast. Derudover er det også relevant at være opmærksom på, at modellen tager højde for markedets afkastniveau. Forklaringen er derfor heller ikke, at det amerikanske marked har præsteret dårligere end eksempelvis markedet i Fjernøsten. På baggrund heraf, har det ikke været muligt at finde en anden forklaring på den lave performance, end at foreningerne der 54

investerer i Nordamerika ikke har været dygtige. Tabel 5.6 viser derudover også, at investeringsforeningerne har præsteret bedst på det danske marked, dog uden at det samlet set kan siges at være signifikant. Tendensen er dog, at foreninger, der investerer i hjemmemarkedet, præsterer bedst. Dette kan muligvis forklares ved, at foreninger der investerer i hjemmemarkedet, kan udnytte deres indgående viden om dette marked. 5.4 Sammenligning af passive og aktive foreningers performance Observationen at kun omkring 10,6% af de aktive danske investeringsforeninger, kan karakteriseres som dygtige, åbner op for diskussionen om, hvorvidt det som investor ville være bedre at investere i en passivt forvaltet forening. For at belyse denne diskussion er hele analysen også kørt for de 21 passive foreninger, der har eksisteret i perioden. Således er det muligt at sammenligne performance for aktive og passive foreninger. Resultaterne for analysen er opsummeret i tabel 5.7. Tabel 5.7: Sammenligning af passive og aktive foreningers performance Antal Gennemsnitlig Antal signifikant Antal signifikant Gennemsnitlig Antal zero alpha foreninger Alpha (%) gode dårlige ÅOP (%) Aktive foreninger 89-0.31 17 (19%) 38 (43%) 34 (38%) 2.13 Passive foreninger 21-0.80 0 (0%) 12 (57%) 9 (43%) 0.88 Kilde: Egen tilvirkning Data fra tabel 5.7 er udregnet på samme måde som for de aktive foreninger. Foreningerne er placeret i den af de seks geografiske grupper, der matcher deres investeringsfokus bedst. Derefter er deres alpha, p-værdi mv. udregnet ved hjælp af en bootstrap-analyse. Den umiddelbare forventning til de passive foreningers performance er, at de vil slå ud med negative alphaer. Da disse foreninger som udgangspunkt følger et indeks, er det per definition ikke muligt for dem at slå deres benchmark. Samtidig skal deres omkostninger medregnes, hvilket igen forværrer muligheden for at slå markedet. Enkelte foreninger har en positiv alpha, men denne er ikke signifikant. De øvrige foreninger fordeler sig tilnærmelsesvist ligeligt mellem signifikant dårlige og zero-alpha foreninger. Der er altså intet der tyder på, at det skulle være en bedre beslutning at investere i danske passive foreninger fremfor danske aktive foreninger 36. Når analysen af de passive sammenlignes med den tilsvarende analyse for de aktive foreninger kan det aflæses af tabellen, at de passive foreninger i gennemsnit har en negativ alpha på -0,8% mens de aktive foreninger har en negativ alpha på -0,31%. Selvom de passive foreninger jævnfør tabel 5.7 altså i gennemsnit har væsentlige lavere omkostninger end de aktive, bidrager foreningernes omkostninger alligevel til en markant negativ performance i perioden. 36 De danske passive foreninger skal her ikke forveksles med de internationale Exchange Traded Funds (ETF) 55

5.5 Performance persistency I dette afsnit præsenteres afhandlingens resultater vedrørende persistency i foreningernes performance på kort sigt. Persistency er testet ved anvendelse af tre metoder henholdsvis contingency-tabeller, regression og rangerede porteføljer. Persistency er som udgangspunkt testet både internt i de forskellige geografiske områder og på alle foreninger som en samlet gruppe. Dette er dog ikke tilfældet ved rangerede porteføljer, hvor der på grund af for små stikprøver kun er testet for alle foreninger som en samlet gruppe. 5.5.1 Contingency-tabeller (Winner-Loser test) Analysen af contingency-tabeller viser overordnet set ingen tegn på generel persistency i foreningernes performance. For ingen af de tre testmetoder 37 er det således muligt at afvise H 0 -hypotesen om ingen persistency i foreningernes performance. Tabel 5.8: Contingency-tabel med de tre test-værdier udregnet for alle foreninger Contingency-værdier Test-værdier WL LW LL WW Chi LOR t-stat Z-værdi 2005 21 21 23 24 0.28 0.53 0.45 2006 20 20 24 25 0.91 0.95 0.75 2007 23 23 21 22 0.10-0.32-0.15 2008 18 18 26 27 3.24** 1.79** 1.34 2009 21 21 23 24 0.28 0.53 0.45 2010 22 22 22 23 0.01 0.10 0.15 2011 23 23 21 22 0.10-0.32-0.15 2012 25 25 19 20 1.36-1.16-0.75 2013 26 26 18 19 2.53-1.58-1.04 Anmærkning: * indikerer signifikant faktor ved signifikansniveau på 5% ** indikerer signifikant faktor ved signifikansniveau på 10% Kilde: Egen tilvirkning I ovenstående tabel er resultaterne for alle foreningerne opsummeret, resultaterne for de enkelte geografiske segmenter kan findes i bilag 11. Repeat winners undersøger, hvor stor en del af vinderne fra periode t der går igen i periode t+1. Tendensen på tværs af alle grupper er, at over halvdelen af vinderne også er vindere i den kommende periode, hvilket er et tegn på persistency hos de dygtige foreninger. Ingen af resultaterne overstiger dog den kritiske grænse på 1,96 38. Testen er også kørt for alle foreninger samlet. Heller ikke denne viser nogen grad af signifikant persistency. 37 Repeat winners, Chi-square og odds ratio 38 Den kritiske grænse i en standardnormalfordelingen med et signifikansniveau på 5% 56

Odds ratio er den anden testmetode. Her er ratioen af gentagne vindere (WW) og tabere (LL) i forhold til WL og LW vurderet. Selvom tendensen igen peger i retning af persistency, er dette ikke en signifikant tendens ved et 5% signifikansniveau 39. Igen er der testet for alle foreningerne samlet for at sikre en relativt stor stikprøve. Resultaterne viser en svag men ikke signifikant persistency. Afslutningsvist er der kørt en chi-square test, hvor de eksakte værdier holdes op imod de forventede værdier. Testen er gennemført med et signifikansniveau på 5% og én frihedsgrad 40, hvilket i chi 2 -fordelingen giver en kritisk grænse på 3,84. Dette giver enkelte signifikante perioder på tværs af grupperne. Den overordnede konklusion er dog endnu en gang, at der ikke kan påvises persistency i foreningernes afkast. Som tidligere fremhævet er denne Winner-Loser test en ikke-parametrisk test. For at sikre robusthed i konklusionen vil resultaterne fra to parametriske test derfor også inkluderes. 5.5.2 Persistency-test ved regression Ved at regressere hver forenings afkast på forrige periodes afkast, kan en regressionsanalyse anvendes til at vurdere, hvorvidt der er persistency i foreningernes performance. Tabel 5.9 opsummerer resultaterne. Tabel 5.9: Antal signifikante regressioner på tværs af de seks geografiske grupper grupper Antal signifikante Positiv signifikante Negativ signifikante Alle foreninger 2 1 1 Danmark 2 1 1 Europa 4 2 2 Japan 1 0 1 Nordamerika 5 3 2 Global 0 0 0 Fjernøsten 4 1 3 Sum 18 8 10 Anmærkning: Ved signifikansniveau på 5% Kilde: Egen tilvirkning Set over alle syv grupper er der, ud af de 63 kørte regressioner, kun identificeret 18 signikante sammenhænge mellem to sammenhængene perioders afkast. Heraf er kun otte positive. 39 Der er anvendt en t-fordeling,med antal foreninger som frihedsgrader 40 #F rihedsgrader = (#Rækker-1)*(#Kolonner-1) (Keller, 2009) 57

Dette resultat støtter derfor op om konklusionen fra Winner-Loser testen om, at der generelt ikke er persistency i foreningernes afkast. 5.5.3 Hendricks rangerede porteføljer Alle resultater har hidtil peget på, at der ikke kan identificeres nogen grad af persistency. Dette bliver bekræftet ved hjælp af Hendricks rangerede porteføljer. Der er sammensat to porteføljer med udgangspunkt i alle 89 foreninger. Porteføljerne er sammensat i et forsøg på at ramme flest mulige af de dygtige/ringe foreninger. Derigennem er det vurderet, om der er persistency hos de foreninger, der er placeret i halerne på t-fordelingen (Mest ekstreme t-værdier). Der er sammensat en vinderportefølje, der består af de 11 foreninger ( 1 /8), der har præsteret det højeste alpha-niveau i forrige periode, og en taberportefølje der består af de 11 foreninger ( 1 /8), der har præsteret det laveste alpha-niveau i forrige periode. Disse porteføljer restruktureres hvert år, og deres månedlige afkast beregnes som et ligevægtet gennemsnit af de enkelte foreningers månedlige afkast. Porteføljen er testet på 4-faktor modellen ved anvendelse af de globale faktorer. Dette skaber usikkerhed om den endelige konklusion, da der ikke er anvendt det optimale benchmark for alle foreninger i stikprøven. Idet de fleste relevante lande dog er indeholdt i det globale benchmark, er det vurderet, at dette benchmark er tilstrækkeligt repræsentativ til, at testen kan gennemføres. Med forklaringsgrader på henholdsvis på 0,87 og 0,90 bekræftes denne vurdering. Tabel 5.10: Regressionsresultater for henholdsvis winner- og loser-porteføljerne 1 2 α T-stat (α) β β - SMB β - HML β - MOM Winner 0.98% 0.36 1.25* 0.67* -0.47* -0.11 0.90 R Loser 2.93% 0.92 1.21* 0.41* -0.39* -0.02 0.87 Kilde: Egen tilvirkning Anmærkning: * indikerer signifikant faktor ved signifikansniveau på 5% 1 Alphaer er beregnet p.a. Vinderporteføljen har leveret en positiv årlig alpha på 0,98%, hvilket indikerer en vis grad af persistency hos de antageligt dygtige foreninger. Denne performance er dog ikke statistisk signifikant ved et signifikansniveau på 5%, hvorfor H 0 -hypotesen om ingen persistency fastholdes. Taberporteføljen har også leveret en positiv alpha. Med 2,93% pro anno, præsterede denne faktisk bedre end vinderporteføljen dog uden at være statistisk signifikant. Dette er en klar indikation af, at der ikke er persistency. I investeringsøjemed er der altså ikke noget, der tyder på, at man som investor kan bruge tidligere perioders performance som indikation for fremtidig performance. 58

5.5.4 Delkonklusion Ovenstående tre analyser af persistency i danske investeringsforeningers afkast afviser entydigt enhver grad af persistency på kort sigt. Ikke engang Hendricks rangerede porteføljer, som forsøger at teste for persistency hos de dygtige foreninger, giver nogen indikation på konsistent performance. Persistency i performance kan dermed afvises for både de danske investeringsforeninger generelt og de bedst performende danske investeringsforeninger. Disse resultater adskiller sig væsentligt fra hvad, der tidligere er blevet konkluderet omkring kortsigtet persistency i internationale undersøgelser (Jævnfør afsnit 2.2). Resultaterne er dog på linje med tidligere undersøgelser af persistency på dansk data (Christensen, 2003). Resultaterne udelukker ikke nødvendigvis muligheden for, at der kan opnås overnormalt afkast ved investering på baggrund af historisk data. Et problem med de 3 ovenstående metoder kan nemlig være, at ingen af disse 41 formår at lokalisere de 10,6% dygtige foreninger. I næste afsnit vil der derfor anvendes en mere præcis metode til at udvælge disse dygtige foreninger. 5.6 Praktisk anvendelse af FDR-metoden / Investeringsstrategi FDR-metodens praktiske anvendelse vil i dette afsnit blive testet ved udformning af en investeringsstrategi, der bygger på udvælgelse af dygtige foreninger på baggrund af denne metode. Afhandlingens tidligere analyser viser, at 10,6% af investeringsforeningerne kan karakteriseres som værende dygtige foreninger. Som tidligere beskrevet er det ikke muligt ved navn at adskille disse foreninger. Metoden beskrevet i afsnit 4.8 introducerer en måde at kontrollere andelen af heldige foreninger med positivt signifikante alphaer. På denne måde kan metoden skabe en forudsætning for at konstruere en portefølje, der primært består af dygtige foreninger. På baggrund af de fem FDR-niveauer er der dannet fem porteføljer med månedlige afkast fra primo 2009 til ultimo 2013. Baseret på samme argument som i afsnit 5.5.3 er de globale faktorer valgt til regression af afkastserierne. Tabel 5.11 viser regressionsresultaterne for de fem porteføljer. Det ses tydeligt, at det ikke har været muligt at skabe positive alphaer i blot en enkelt af porteføljerne. Alle alphaer er negative, men ingen af dem er dog signifikante. I takt med at false discovery raten i porteføljerne falder og antallet af heldige foreninger mindskes, vil det være forventeligt, at porteføljerne vil performe bedre. Det har dog ikke været muligt at bekræfte denne forventning i data. FDR 10% har således skabt en årlig negativ alpha på -1,78%, mens FDR 90% har en alpha på -0,54%, hvilket er den bedste alpha af de fem porteføljer. At det ikke har været muligt at forme en portefølje, der formår at skabe overnormale afkast, stemmer overens med resultaterne fra afsnittet om persistency. Forklaringsgraden for alle fem porteføljer er større end 0,93, hvilket betyder, at de lave afkast som udgangspunkt ikke kan henføres til problemer med benchmarket. 41 Ikke engang Hendricks rangerede porteføljer formår dette. 59

Tabel 5.11: Regressionsresultater for de fem porteføljer baseret på FDR-niveau 1 2 α T-stat (α) β β - SMB β - HML β - MOM R FDR 10% -1.78% -0.76 1.05* 0.62* -0.27* -0.12* 0.93 FDR 30% -1.12% -0.57 1* 0.63* -0.19** -0.13* 0.94 FDR 50% -0.69% -0.32 1.04* 0.63* -0.2** -0.12* 0.94 FDR 70% -0.73% -0.36 1.04* 0.59* -0.24* -0.11* 0.95 FDR 90% -0.54% -0.27 1.04* 0.59* -0.21* -0.11* 0.95 Anmærkning: * indikerer signifikant faktor ved signifikansniveau på 5% ** indikerer signifikant faktor ved signifikansniveau på 10% 1 Alphaer er beregnet p.a. Kilde: Egen tilvirkning Der er umiddelbart to mulige konklusioner, der kan drages ud fra ovenstående resultater. Enten er det fuldstændig tilfældigt hvilke investeringsforeninger, der gør det godt, hvilket kan tyde på, at enkelte investeringsforeningers positive performance udelukkende er opnået på baggrund af held. Alternativt kan det tænkes, at det ved anvendelse af den praktiske FDR-metode, ikke har været muligt konsistent at identificere de dygtige foreninger. En mulig årsag hertil kan være, at de dygtige foreninger jævnfør afsnit 5.2.6 ikke udelukkende er lokaliseret blandt de mest ekstreme p-værdier. Dette betyder, at det er svært at inkludere de dygtige foreninger i porteføljen uden også at inkludere adskillige heldige foreninger. Det skal bemærkes, at investeringsforeninger generelt har underperformet markant i den femårige periode, de fem porteføljer bliver holdt op imod. Ved kørsel af regressionerne for alle investeringsforeninger over perioden 2009-2013 observeres det, at knap halvdelen af alle analyserede foreninger har en årlig alpha der er dårligere end den dårligste porteføljes alpha på -1,78%. Den gennemsnitlige årlige alpha for alle foreninger er således markant dårligere end gennemsnittet for de fem porteføljer. Dette kan tyde på, at man ved hjælp af FDR-metoden faktisk har formået at udvælge nogle af de bedre foreninger i et felt, hvor størstedelen af foreningerne har haft negativ performance. 5.6.1 Delkonklusion Afhandlingens praktiske anvendelse af FDR-metoden viser, at det ikke umiddelbart er muligt at konstruere en investeringsstrategi, der konsistent kan slå markedet. Dette er tydeligt idet ingen af de fem konstruerede porteføljer har formået at skabe et overnormalt afkast. Forklaring herpå er formentlig, at den praktiske brug af FDR-metoden ikke konsistent kan identificere de dygtige foreninger, grundet den spredte lokation af disse foreninger. Analysen viser dog, at de danske investeringsforeninger, i den testede periode, generelt har underpræsteret, hvorfor fire ud af fem konstruerede porteføljer alligevel præsterer bedre end en gennemsnitlig forening. Dette kan være en indikation på, at metoden alligevel besidder en vis praktisk relevans. 60

6 Diskussion Dette afsnit har til formål at diskutere afhandlingens hidtidige konklusioner. Dette gøres ved at identificere en mulig årsag til den dårlige performance. Derudover vil validiteten af afhandlingens konklusion blive vurderet gennem en revurdering af enkelte benchmarks. Afslutningsvis vil konklusionens sensitivitet overfor ændringer i asset-pricing model blive testet ved at gennemføre den samlede analyse med henholdsvis CAPM og Fama & Frenchs 3-faktor model. 6.1 Behavioral bias Afhandlingens analyser har resulteret i en begrænset andel dygtige foreninger (10,6%) og derfor en stor andel henholdsvis ringe foreninger (23,9%) og zero-alpha foreninger (65,5%). I lyset af disse resultater bliver det interessant at overveje, om behavioral bias kan bidrage til forklaringen af denne generelt dårlige performance. Dette afsnit vil derfor indeholde en vurdering samt analyse af behavioral biases indflydelse på den observerede performance. 6.1.1 Overconfidence generelt Overconfidence er en af de mest velbeskrevne behavioral biases. Denne bias betegner menneskers tendens til at overestimere egne evner, underestimere risiko og overvurdere evner til at kontrollere begivenheder (Gervais 2001). For investorer kan dette føre til en tro på, at egne finansielle valg er bedre, end de objektivt set er. For at være i stand til at vurdere, om denne afhandlings resultater kan være påvirket af overconfidente investorer, bliver specielt sammenhængen mellem overconfidence og excessive trading interessant. Hvis denne sammenhæng kan sandsynliggøres, er det muligt at anvende excessive trading som proxy for overconfidence. Excessive trading er en attraktiv proxy, da denne kan vurderes objektivt for hver forening, ved at analysere dennes omsætningshastighed. Det ikke-målbare begreb overconfidence, kan altså vurderes ud fra denne målbare proxy. Dermed er det muligt at identificere, hvilke foreninger der sandsynligvis er påvirket af biasen. For at excessive trading kan anvendes som proxy for overconfidence, er det nødvendigt at analysere sammenhængen mellem disse to begreber. 6.1.2 Sammenhæng mellem overconfidence og excessive trading Det synes rimeligt at antage, at en investors efterspørgsel efter en aktie er bestemt af dennes estimat af aktiens værdi. Hvis den estimerede værdi overstiger den nuværende pris, vil investoren forøgede sin beholdning af aktien, mens det modsatte vil være tilfældet, såfremt den estimerede værdi ligger under den nuværende pris. Forskellen på en overconfident investor og en mindre overconfident investorer ligger i, hvordan de estimerer værdien af en aktie. En overconfident investor vil lægge stor vægt på sin egen mening relativt til markedets mening 42, mens en mindre overconfident investor vil tillægge markedets mening en større vægt. Grundet 42 Markedets mening kommer til udtryk gennem den nuværende pris på aktien, som er et vægtede gennemsnit af alle investorers meninger 61

overconfidence og dens beslægtede better-than-average effekt, vil en overconfident investor altså føle, at han er bedre end de andre deltagere i markedet til at estimere værdien af en given aktie. Figur 6.1: Efterspørgselskurver for henholdsvis en ovenconfident og en mindre overconfident investor Pris Investorernes estimerede værdi V 0 Høj overconfidence Lav overconfidence Q n Mængde Kilde: Egen tilvirkning med inspiration fra Ackert and Deaves (2010) Når markedsprisen er lig med den værdi, der bliver estimeret af investorerne, vil både den overconfidente og den mindre overconfidente investor holde mængden Qn. Hvis prisen til gengæld stiger eller falder i forhold til deres estimerede værdier, bliver forskellen mellem de to typer investorer synlig. Den overconfidente investor vil fortsætte med at tillægge sit eget estimat (V 0 ) stor betydning og derfor sænke/hæve sin efterspørgsel dramatisk. Den mindre overconfidente investor vil tillægge mindre værdi til sit eget estimat og derfor reagere mere moderat. Den overconfidente investor vil altså justere sin beholdning q relativt mere end den mindre overconfidente investor ved enhver forskel i den estimerede værdi og den markedsbestemte pris. Jævnfør figur 6.1 vil dette føre til, at den overconfidente investors efterspørgselskurve bliver fladere end den mindre overconfidentes. Sagt med andre ord vil en overconfident investor typisk have en relativt høj omsætningshastighed (Ackert & Deaves, 2010). Det er således sandsynliggjort, at der er sammenhæng mellem begreberne overconfidence og excessive trading. 6.1.3 Overconfidence hos afhandlingens investeringsforeninger Idet omsætningshastighed anvendes som proxy for overconfidence, er det forventeligt, at de foreninger der udviser den højeste omsætningshastighed, vil være påvirket af overconfidence. Hvis dette er tilfældet vil de tage ikke-optimale beslutninger, der vil føre til en relativ lav alpha. Denne alpha vil forventeligt være lav grundet de transaktionsomkostninger den høje omsætningshastighed medfører, og de generelt ikke-optimale beslutninger en sådan investor forventeligt vil tage. I tabel 6.1 er de 89 foreninger delt op i tre grupper efter deres omsætningshastighed 43, og den gennemsnitlige alpha er udregnet for hver af disse grupper. Fra denne 43 Da omsætningshastigheder i skrivende stund ikke er offentliggjort for 2013, er hver forenings omsætningshastig beregnet som gennemsnittet af foreningernes omsætningshastigheder i årene 2004-2012 (inklusiv). 62

tabel synes der at være en tendens til, at højere omsætningshastighed fører til dårligere performance. Denne tendens er yderligere bekræftet af tabel 6.2, hvor den gennemsnitlige alpha for henholdsvis de 20 foreninger med højest omsætningshastigheder og de 20 foreninger med lavest omsætningshastigheder fremgår. Disse observationer stemmer overens med forventningen om, at høj omsætningshastighed tyder på overconfidence, som udmønter sig i ikke optimale beslutninger. Tabel 6.1: Oversigt over sammenhængen mellem omsætningshastighed og gennemsnitlig alpha Antal Antal positivt Antal negativt Gennemsnitlig signifikante signifikante alpha (%) Laveste oms.hastighed. 29 7 11 0.027 Midterset oms.hastighed. 30 6 8-0.444 Højeste oms.hastighed 30 4 11-0.490 I alt 89 17 30-0.345 Kilde: Egen tilvirkning Et scatterplot med de 89 foreningers alphaer som afhængig variabel og deres gennemsnitlige omsætningshastigheder som uafhængig variabel viser at foreningen Valueinvest Danmark, Japan udgør en mulig outlier (Bilag 12). Det er derfor fundet relevant at køre testen igen uden denne outlier. Ved den efterfølgende regressionsanalyse bekræftes den negative sammenhæng mellem omsætningshastighed og performance yderligere. Beta-estimatet er dog ikke signifikant forskelligt fra 0 (Bilag 12). Endeligt er der i tabel 6.2 foretaget en t-test 44 på forskellen mellem alphaer for de 20 foreninger med den laveste omsætningshastighed og de 20 foreninger med den højeste omsætningshastighed 45. Denne analyse viser, at der ved et 10% signifikansniveau, er en signifikant forskel mellem performance for de to grupper. Selvom regressionsanalysen altså ikke er signifikant, tyder der alligevel på at være en tendens til, at foreninger med de højeste omsætningshastigheder præsterer markant dårligere end foreninger med mindre omsætningshastigheder. Dette kan tyde på, at overconfidence og dermed excessive trading faktisk er en del af forklaringen på disse foreningers ringe performance. Tabel 6.2: Test på forskel i gennemsnitlig alpha mellem de 20 foreninger med højest omsætningshastig og de 20 foreninger med lavest omsætningshed Gennemsnitlig alpha 20 laveste oms.hastigheder 0.511 20 højeste oms.hastigheder -1.019 Forskel i gennemsnit 1.53 Anmærkning: ** indikerer signifikant faktor ved signifikansniveau på 10% t-statistik p-værdi 1.782** 0.084 Kilde: Egen tilvirkning 44 Den bagvedliggende test for varianshomogenitet er indeholdt i bilag 13. 45 Eksklusiv den omtalte outlier 63

6.1.4 Delkonklusion Gennem sammenhængen mellem overconfidence og excessive trading er der påvist indikationer på, at behavioral biases kan udgøre en del af forklaringen på danske investeringsforeningers generelt ringe performance. 6.2 Benchmarksanalyse Joint-test problemet er tidligere i afhandlingen blevet fremhævet som en trussel mod afhandlingens konklusioner. Når der eksempelvis identificeres signifikante alpha-værdier, betyder jointtest problemet, at validiteten af resultatet også afhænger af, at det er den rigtige model der identificerer disse. Der er igennem afhandlingen observeret enkelte tvivlsomme alpha-værdier og tilhørende forklaringsgrader, der med en vis sandsynlighed kan relateres til en forkert model. Disse foreninger vil i dette afsnit blive gentestet med en ny model for at vurdere påvirkningen på den afsluttende konklusion. Et forkert valg af benchmark vil ofte være årsagen til, at en model giver tvivlsomme eller direkte forkerte estimater på foreningernes performance. Det overordnede krav til en efficient benchmarkportefølje er ifølge Christensen (2001), at denne er konsistent med den investeringsstrategi, som investoren har lagt. Da det ofte vil være tidskrævende at opsætte det perfekte benchmark, anvendes kendte indeks normalt, hvilket som regel også vil være en rimelig approksimation på det optimale benchmark. Investeringsforeningerne er, som tidligere nævnt, inddelt i seks grupper med udgangspunkt i deres geografiske fokus. For at sikre en vis repræsentation i hver gruppe er det nødvendigt at begrænse valget af grupper til seks. Da det overordnede benchmark er det samme internt i grupperne, vil det medføre, at ikke alle investeringsforeninger bliver holdt op imod deres mest efficiente benchmark. Dette kan have haft en negativ betydning for validiteten af modellen. For at vurdere hvorvidt modellen er brugbar anvendes forklaringsgraden som proxy for modellens validitet. Blandt de undersøgte foreninger skiller 21 sig ud fra mængden med relativt lave forklaringsgrader (R 2 < 0, 80). Disse foreningers alpha-værdier vil blive testet forfra i en ny model med et andet benchmark. Analysen vil igen blive kørt med udgangspunkt i Carharts 4-faktor model, hvor de tre øvrige faktorer vil forblive uændret 46. Det nye benchmark er udvalgt manuelt med udgangspunkt i foreningens eget valgte benchmark. Bilag 14 viser de nye alpha-værdier udregnet med udgangspunkt i den nye model. Tallene i parentes er resultater fra den oprindelige model. Overordnet set viser de gentestede resultater relativt store ændringer i de overordnede alphaværdier. De tilsvarende t-værdier ændrer sig til gengæld relativt mindre. Dette betyder også, at selvom der opleves store ændringer i alpha-værdierne, identificeres der ikke store ændringer i antallet af signifikante foreninger. Antallet af signifikant positive foreninger bliver forøget 46 De tre øvrige faktorer vurderes ikke at have nogen betydning. Årsagen hertil er, at analysen med de nye benchmarks også er kørt med CAPM, og resultaterne afviger ikke væsentligt fra de tilsvarende resultater fra Carharts 4-faktor model. 64

med foreningen Danske Invest Østeuropa. En enkelt forening Jyske Invest Nye aktiemarkeder går fra at være zero-alpha forening til at være signifikant negativ. For tre foreninger er det allerede deres eget benchmark, der bliver testet for, og det har derfor ikke været muligt at optimere modellerne, på trods af lave forklaringsgrader. Yderligere er der tre foreninger, der ikke opnår en betydelig forbedring i forklaringsgraden, på trods af at de nu bliver testet imod deres eget benchmark. De ovenstående analyser viser, at der opnås ændringer i de estimerede alphaer ved at optimere modellen. Det kan derfor ikke afvises, at enkelte foreninger generelt er blevet overvurderet eller undervurderet på grund af mangler i modellen. På trods af dette har optimeringen af modellen ikke umiddelbart nogen betydelig effekt på afhandlingens endelige konklusion. Selvom joint-test problemet bestemt er relevant, viser den gentestede model altså, at afhandlingens konklusion er forholdsvis robust overfor eventuelle inefficiente benchmarks. 6.3 Robusthedsanalyse Den endelige konklusion med hensyn til andelen af dygtige og ringe investeringsforeninger afhænger i høj grad af valget af asset-pricing model. I afsnit 4.2.3 bliver der argumenteret for, at Carharts 4-faktor model, der også er den mest anerkendte, vil give det mest retmæssige billede af de danske investeringsforeningers sande performance. For at teste sensitiviteten af de hidtidige resultater, vil den samlede analyse også blive gennemført ved hjælp af de to tidligere omtalte asset-pricing modeller: CAPM og Fama & Frenchs 3-faktor model (afsnit 4.2). Resultaterne af de tre analyser er opsummeret i tabel 6.3. Yderligere gennemgang af den fulde analyse for henholdsvis CAPM og Fama & Frenchs 3-faktor model kan ses i bilag 15 og bilag 16 Tabel 6.3: Andelen af dygtige, ringe og zero-alpha foreninger ved forskellige asset-pricing modeller Kilde: Egen tilvirkning Asset-pricing model π π π 4-Faktor (Carhart) 65.5% 23.9% 10.6% 3-Faktor (Fama&French) 65.2% 22.2% 12.6% 0 - + CAPM 75.4% 20.5% 4.0% Efter at have kørt den fulde analyse på Fama & Frenchs 3-faktor model, er den estimerede andel af dygtige foreninger på 12,6%, hvor 20,6% af foreningerne er ringe. I forhold til analysen kørt med Carharts model estimerer den 2%-point flere dygtige foreninger. Dette er i tråd med, hvad der kan forventes, hvis der tages udgangspunkt i en hypotese om, at nogle investeringsforeninger alene har skabt overnormalt afkast gennem udnyttelse af momentumeffekten. Disse foreninger vil givetvis gå fra at være zero-alpha foreninger til dygtige, når der ikke længere kontrolleres for momentum. Dette bekræftes endvidere af tallene i tabel 6.4, hvor det kan ses, at foreningerne, der er lokaliseret i den yderste højre hale af fordelingen (Jf. 3-faktor model- 65

len), loader positivt på momentumfaktoren. Disse har altså opnået bedre afkast som følge af investering i momentumaktier. 47 Når den fulde analyse køres for CAPM-modellen, adskiller resultaterne sig til gengæld betydeligt fra den oprindelige konklusion. Andelen af dygtige foreninger er nu faldet til 4%, mens andelen af ringe foreninger holder sig på stort set samme niveau som tidligere (20,5%). At andelen af dygtige foreninger falder med 6,6%-point strider imod den umiddelbare forventning om, at foreningerne i overvejende grad investerer i small cap- og value-aktier. Jævnfør tabel 6.4 kan afvigelserne fra den oprindelige konklusion, ligesom ved 3-faktor modellen forklares af de udeladte faktorer. Først og fremmest loader foreningerne i den yderste højre hale af fordelingen (Jævnfør CAPM) højt på size-faktoren, men da denne faktor i gennemsnit har en risikopræmie meget tæt på 0%, har denne faktor ikke den store effekt på estimeringen af alphaerne. Derimod loader de overvejende negativt på value-faktoren, hvilket indikerer, at foreningerne ikke investerer i value-aktier, men i stedet investerer i vækstaktier. Da der er en årlig risikopræmie på 1,72% ved at investere i value-aktier, betyder det, at foreninger der har investeret i vækstaktier, er blevet favoriseret i modellen. Idet denne effekt er blevet taget ud af modellen ved overgang til CAPM, betyder det derfor, at foreninger der har udvist dygtighed på baggrund af investering i de favoriserede vækstaktier nu vil blive zero-alpha foreninger. Tabel 6.4: Loadings på faktorer der er udeladt ved overgang fra Carhart til henholdsvis CAPM og Fama & French ved givne signifikansniveauer. Venstre hale Højre hale Signifikansniveau 0.05 0.10 0.15 0.20 0.20 0.15 0.10 0.05 Udeladte faktorer ved overgang fra Carhart til CAPM model SMB 0.031 0.036 0.048 0.058 0.394 0.371 0.495 0.610 HML -0.070-0.072-0.063-0.080-0.126-0.060-0.086-0.118 WML 0.004 0.002 0.007 0.006 0.016 0.018 0.014 0.020 Udeladt faktor ved overgang fra Carhart til Fama & French 3-faktor model WML 0.008 0.008 0.006 0.007 0.018 0.012 0.032 0.020 Anmærkning: Andelen af signifikante foreninger er beregnet for hvert af de givne signifikansniveauer for henholdsvis CAPM og Fama & French. Tabellen viser de faktorer der er udeladt i overgangen fra Carharts 4-faktor model til henholdsvis CAPM og Fama & French. For hver af de signifikante grupper beregnes de gennemsnitlige loadings på de faktorer der er udeladt fra Carharts 4-faktor model. Kilde: Egen tilvirkning Resultaterne af robusthedsanalysen er således ikke entydige. Analysen viser, at afhandlingens konklusioner ikke er specielt sensitiv overfor valget mellem en 3-faktor eller 4-faktor asset-pricing model. Med CAPM som asset-pricing model ændrer andelen af ringe foreninger sig ikke betydeligt, mens den estimerede andel af dygtige foreninger til gengæld er relativ sensitiv overfor ændringen af asset-pricing model. Det er altså afgørende for analysens konklusion, 47 Momentumaktier har i gennemsnit givet en årlig positiv risikopræmie på 6,43% 66

om der vælges en CAPM eller en Carhart asset-pricing model. Da denne afhandlings formål er at estimere andelen af dygtige foreninger, er det vigtigt, at foreninger ikke præmieres for at udnytte velkendte anormaliteter i markedet. Derfor er det vurderet, at Carhart modellen er det mest hensigtsmæssige valg i denne afhandling. 7 Konklusion Afhandlingen analyserer afkast for 89 danske aktie-investeringsforeninger i perioden 2004-2013 (inklusiv). Analysen er gennemført ved at anvende dels Barras et als. (2010) tilgang og dels udvalgte analyser inspireret af den øvrige litteratur på området. Afhandlingen konkluderer følgende ud fra de seks opstillede hypoteser: H 1 : I afhandlingens primære analyse er det konkluderet, at 10,6% af de 89 foreninger er dygtige mens 23,9% er ringe og 65,5% er zero-alpha foreninger, efter at der er justeret for held/uheld. Det står således klart, at danske aktie-investeringsforeninger generelt performer under benchmark, når der justeres for held/uheld. H 2 : Ved anvendelse af FDR-metoden er der estimeret 10,6% dygtige investeringsforeninger efter korrektion for held. Der eksisterer altså dygtige danske investeringsforeninger. Selvom det er muligt at estimere andelen af dygtige foreninger, er det ikke muligt at identificere præcist hvilke foreninger, der er dygtige. Modsat forventningen har en lokationsanalyse vist, at ikke alle dygtige foreninger befinder sig i yderste højre hale af t-fordelingen (Ekstreme positive t-værdier). H 3 : Ud fra 3 forskellige persistency-tests, henholdsvis en ikke-parametrisk og to parametriske, har det ikke været muligt at påvise signifikant persistency i investeringsforeningernes performance. Der er altså generelt ingen tydelig tendens til, at investeringsforeninger performance er konsistent over tid. H 4 : Ved anvendelse af Hendricks rangerede porteføljer er der forsøgt at teste persistency på de dygtige foreninger. Da det ikke har været muligt at identificere de dygtige foreninger, er de bedst performende foreninger i stedet udvalgt. Det antages altså, at en betydelig del af de bedst performende foreninger er dygtige foreninger. Heller ikke ved denne test er det muligt at identificere persistency. Det kan dog ikke udelukkes, at den manglende persistency i denne test er et resultat af, at metoden ikke i tilstrækkelig grad har været i stand til at identificere de dygtige foreninger. H 5 : For at teste FDR-metodens praktiske anvendelighed er metoden anvendt som en egentligt investeringsstrategi. Denne investeringsstrategi formår ikke at slå benchmarket for nogle af de dannede porteføljer. Fire ud fem porteføljer performer bedre end en gennemsnitlig investeringsforening i perioden, hvilket kan være tegn på, at metoden alligevel besidder et vis praktisk 67

potentiale. H 6 : Ved at tage udgangspunkt i sammenhængen mellem excessive trading og overconfidence er det muligt at anvende den målbare omsætningshastighed som proxy for det ikke-observerbare begreb overconfidence. Idet det er blevet påvist, at investeringsforeninger med høj omsætningshastighed generelt performer dårligere end foreninger med lav omsætningshastighed, er det sandsynliggjort, at overconfidence er en del af forklaringen på de 89 foreningers generelt ringe performance. Test af de seks hypoteser besvarer tilsammen afhandlingens forskningsspørgsmål. Testen af H 1 og H 2 leder således frem til konklusioner vedrørende investeringsforeningernes performance målt på hele den 10-årige periode. Test af H 3, H 4 og H 5 udvider forståelsen med inddragelse af det tidsmæssige aspekt. Her undersøges det således, om investeringsforeningers performance er konsistent, og dermed om det er muligt at udforme en effektiv investeringsstrategi, der bygger på udvælgelse af foreninger. Endeligt tester H 6 en mulig årsag til den observerede performance. Fra test af disse hypoteser står det klart, at danske aktie-investeringsforeninger generelt performer under benchmark når der er justeret for held/uheld. Endvidere står det klart, at investeringsforeningers performance generelt ikke er konsistent over tid. Denne mangel på performance persistency gør det vanskeligt at udarbejde en effektiv investeringsstrategi. Det betyder ikke nødvendigvis, at foreninger karakteriseret som dygtige ikke udviser persistency. Det kan derimod være begrundet i, at det ikke har været muligt identificere disse få dygtige foreninger. Endeligt er det sandsynliggjort, at den adfærdsmæssige bias overconfidence kan have haft en negativ indvirkning på foreningernes performance. Danske investeringsforeninger performer således generelt under benchmark, og ikke engang de bedste foreninger udviser tilstrækkelig persistency til, at en effektiv investeringsstrategi kan udarbejdes. 8 Perspektivering Afhandlingens analyser og konklusioner vil danne baggrund for en videre diskussion af særligt relevante forhold. Denne diskussion vil være koncentreret omkring mulige konsekvenser af afhandlingens konklusioner samt fremtidige undersøgelsesmuligheder og perspektiver. Ud fra afhandlingens konklusion omkring fordelingen af investeringsforeninger i de tre grupper: Dygtige (10,6%), zero-alpha (65,5%) og ringe (23,9%), synes der at være en relativ lav sandsynlighed for at ramme en dygtig forening. Hvis man tilfældigt vælger en forening, er der over dobbelt så stor sandsynlighed for at ramme en ringe performende forening som en dygtig forening. Det bliver således relevant at overveje, om køb af aktive investeringsforeninger generelt bør undgås. Idet en gennemsnitlig aktiv investeringsforening performer dårligere end 68

markedet, forekommer en investeringsstrategi der blot følger markedet at være et attraktivt alternativ. Dette taler umiddelbart for købet af en passiv forening. Det er dog påvist i afhandlingen at almindelige passive foreninger performer lige så dårligt som aktive foreninger. Dette skyldes, at de danske passive foreninger, opkræver betydelige omkostninger. En investeringsforening der både følger markedet og samtidigt har markant lavere løbende omkostninger ville derfor outperforme både de aktive og passive danske investeringsforeninger. Denne indsigt taget i betragtning, kan det ikke undre, at markedet for de såkaldte exchangetraded funds (ETF) har været støt stigende i perioden (Bodie et al., 2014). ETF er kan ligesom passive foreninger per definition ikke slå markedet. De kan dog ved meget lave omkostninger sikre et afkast, der ligger tæt på markedsafkastet. ETF er kan nemlig, modsat investeringsforeninger, købes direkte gennem en børsmægler. Dette sparer ETF er for de marketingomkostninger der normalt afholdes af investeringsforeninger. Ultimativt betyder dette, at de løbende administrationsomkostninger bliver lavere. Ud fra et rent performance-perspektiv synes det således mere meningsfyldt at købe en ETF end en almindelig aktivt eller passivt forvaltet investeringsforening 48. Konklusionen ovenfor bliver dog ændret markant, hvis det faktisk er muligt at identificere og udvælge de få dygtige aktive investeringsforeninger. I afhandlingens praktiske anvendelse af metoden er netop dette forsøgt. Selvom der ikke bliver genereret positive alpha ved dette forsøg, skyldes det formentlig blot, at metoden ikke tilstrækkeligt har identificeret de dygtige foreninger. Det har derfor stor praktisk relevans at forsøge at udvikle en mere præcis udvælgelsesmetode. En sådan metode kunne bygge videre på FDR-metodens statistiske og datadrevne tilgang og blot tilføje en mere præcis metode til at identificere de dygtige foreninger. En investor, der ønsker at oursource sine investeringer, står altså overfor følgende overvejelser. Enten erkender investoren, at den gennemsnitlige aktive investeringsforening underperformer, hvorfor der købes en passiv forening/etf, der med lave omkostninger lover et afkast tæt på markedsafkastet. Alternativt vurderer investoren, at det ved anvendelse af statistiske analyser er muligt at optimere valg af aktiv investeringsforening, således at de få dygtige foreninger kan købes. 48 For almindelige danske investorer kan køb af ETF er dog være behæftet med yderligere eksterne omkostninger, pålagt af den bank købet foretages igennem. 69

9 Kildefortegnelse 9.1 Artikler Banz, Rolf W., (1981), The relationship between return and market value of common stocks, Journal of Financial Economics 9,pp 3-18. Barras, Laurent, Olivier Scaillet, and Russ Wermers, (2010), False discoveries in mutual fund performance: Measuring Luck in Estimated Alphas, Journal of Finance, Vol. 65 Issue 1, pp 179-216. Benjamini Y. and Hochberg, Y. (1995) Controlling the False Discovery rate: A Practical and Powerful Approach to Multiple Testing, Royal Statistical Society 57, pp 289-300 Berk, Jonathan B., and Richard C. Green, (2004), Mutual fund flow and Performance in Rational Markets, Journal of Political Economy 112, pp 1269-1295 Brown, S.J. and W.N. Goetzmann, (1995), Performance Persistence, The Journal of Finance,Vol. 50, Issue 2, pp 679-698 Carhart, Mark M., (1997), On persistence in Mutual Fund Performance, Journal of Finance, Vol. 52, pp 57-82 Christensen, Michael, (2003), Danish Mutual Fund Performance: Selectivity, Market Timing and Persistence, Department of Finance, Aarhus School of Business. Christensen, Michael, (2012), Performance af Danske Investeringsforeninger - Nye resultater, Finansinvest 3/12. Cuthbertson, Keith, Dirk Nitzsche and Niall O Sullivan, (2008), UK Mutual Fund Performance, Skill or Luck?, Journal of Empirical Finance 15, pp 613-634. Cuthbertson, Keith, Dirk Nitzsche and Niall O Sullivan, (2012), False Discoveries in UK Mutual Fund Performance, European Financial Management 18, pp 444-463. Elton, Edwin J., Martin J. Gruber, Sanjiv Das and Matthew Hlavka (1993), Efficiency with Costly Information: A Reinterpretation of Evidence from Managed Portfolios, The Review of Financial Studies Vol 6, Issue 1, pp 1-22. Fama, Eugene, (1970), Efficient Capital Markets A Review of Theory and Empirical Work, The Journal of Finance, Vol 25, Issue 2, pp 383-417. 70

Fama, Eugene F., and Kenneth R. French, (1992), Common risk factors in the Returns on Stock and Bonds, Journal of Financial economics 33, pp 3-56 Fama, Eugene F., and Kenneth R. French, (2004), The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence, Journal of Economic Perspectives Vol. 18 Issue 3, pp 25-46. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French, (2010), Luck versus Skill in the Cross-Section of Mutual Fund Returns, Journal of Finance, Vol 65, No. 5, pp 1915-1947 Ferson, Wayne E. og Meijun Qian, (2004), Conditional Performance Evaluation Revisited, Research Foundation Monograph of the CFA Institute. Ferson, Wayne E. og Rudi W. Schadt, (1996), Meassuring Fund Strategy and Performance in Changing Economic Conditions, Journal of Finance, Vol. 51, pp 425-461. Garvis, Simon, Terrance Odean (2001), Learning to be overconfident, The review of financial studies, Vol. 14, Issue 1, pp 1-27. Grinblatt, Mark and Sheridan Titman, (1989), Mutual Fund Performance: An Analysis of Quarterly Portfolio Holdings, The Journal of Business 62-3, pp 393-416 Grinblatt, Mark and Sheridan Titman, (1992), The Persistence of Mutual Fund Performance, The Journal of Finance, Vol. 47, pp 1977-1984 Hendricks, D., Patel, J. and Zeckhauser, R. (1993), Hot Hands in mutual funds: short-run persistence of relative performance, 1974-1988, The Journal of Finance, Vol. 48, pp 93-130. Hunter, D. L., Kandel E., Wermers R., and Kandel S., (2009), Endogenous benchmarks, Working paper, University of Maryland. Ippolito, Richard A, (1989), Efficiency with costly information : a study of mutual fund performance, 1965-1984, The quarterly journal of economics, Vol. 104, Issue 1, pp 1-23 Jegadeesh, Narasimhan, Sheridan Titman, (1993), Returns to Buying Winners and Selling Losers: Implications for Stock Market Efficiency, The Journal of Finance, vol. 48, Issue 1, pp 65-91 Jensen, Michael C., (1968), The Performance of Mutual Funds in the Period 1945-1964, Journal of finance, Vol. 23, pp 389-416. Kahn, Ronald, Andrew Rudd, (1995), Does historical performance predict future performance, 71

Financial Analyst Journal, Vol. 51, pp 43-52. Kosowski, Robert, Allan Timmermann, Russ Wermers, and Halbert White (KTWW), (2006), Can Mutual Fund Stars Really Pick Stocks? New evidence from a Bootstrap Analysis, Journal of Finance, Vol. 61, pp 2551-2595. Kosowski, Robert, Narayan Y. Naik and Melvyn Teo, (2007), Do hedge funds deliver alpha? A Bayesian and bootstrap analysis, Journal of Financial Economics 84, pp 229-264 Newey, Whitney K. and Kenneth D. West (1987), A simple, positive semi-definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix, Econometrica, Vol. 55, No. 3 Malkiel, B.G., (1995), Returns from Investing in Equity Mutual Funds 1971 to 1991, The Journal of finance, Vol. 50, pp 549-572 Rosenberg, Barr, Kenneth Reid and Ronald Lanstein, (1986), Persuasive evidence of market inefficiency, Journal of Portfolio Management, Vol. 11, pp 9-17 Sharpe, William F., (1964), Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, Journal of Finance, Vol. 19, pp 425-442 Sharpe, William F., (1966), Mutual Fund Performance, Journal of Business, Vol 39, pp 119-139 Storey, John D., (2002), A Direct Approach to False Discovery Rates, Journal of the Royal Statistical Society, Vol 64, No. 3. Storey, John D., Jonathan E. Taylor and David Siegmund, (2004), Strong Control, Conservative Point Estimation and simultaneous Conservative Consistency of False Discovery Rates: A Unified Approach, Journal of the Royal Statistical Society, vol 66. Treynor, Jack L, (1965), How to rate management of investment funds, Harvard Business Review, Vol. 43 Issue 1, pp 63-75 Vidal-Garcia, Javier, (2012), The Persistence of European Mutual Fund Performance, Research in International Business and Finance 28, pp 45-67 Wermers, Russ, (2000), Mutual Fund Performance: An Empirical Decomposition into Stock- Picking Talent, Style, Transactions Costs and Expenses, The Journal of Finance, Vol. 55, Issue, pp 1655-1695. Yates, Frank (1934), Contingency table involving small numbers and the χ2 test, Journal of 72

the Royal Statistical Society 1(2), pp217 235 9.2 Bøger Ackert, Lucy, Richard Deaves, (2010), Behavioral Finance; Psychology, Decision-Making and Markets, South Western, Cengage Learning Bodie, Zvi, Alex Kane, Alan Marcus, Ravi Jain, (2014) Investments, McGraw-Hill, Asia Global Edition Christensen, Michael, (2001), På tværs af faggrænser, Jurist og Økonomforbundets Forlag, 1. udgave Eckbo, B. Espen (2008), Handbook of Empirical Corporate Finance, Elsevier Science, E-bog Keller, Gerald, (2009), Managerial Statistics, South-Western Cengage Laerning, 8. udgave, Kap. 16-17. Verbeek, Marno, (2012), A guide to Modern Econometrics, Wiley, 4. udgave. 9.3 Internetsider IFR, "Investeringsforeningsrådet", sidst tilgået d. 15. april, <www.ifr.dk> Kenneth French Homepage, sidst tilgået d. 29. april, <http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html> Nasdaq, Pressemeddelse omkring ændringer i OMXCB, sidst tilgået d. 20. april, <http://www.euroinvestor.dk/pdf/cse/2012/05/11983963/semi-annual%20omx%20copenhagen %20Benchmark%20review_2012-05-07_1.pdf> 9.4 Rapporter Investeringsforeningsrådet, 2014a, Markedet for investeringsfonde i 2013. Morningstar, 2013, Standard Performance Calculation Methodology 73

Bilag 1 - Oversigt over lukkede foreninger og hvilke foreninger de er fusioneret ind i Lukkede foreninger Fortsættende foreninger År Jyske Invest BiotechMedicinal Aktier Jyske Invest IT Aktier Jyske Invest Globale Aktier 2011/12 Jyske Invest Nordiske Aktier BankInvest Teknologi I Aktier BankInvest Bioteknologi Bankinvest Basis 2004/2009 BankInvest Teknologi Sparinvest EURO STOXX 50 Sparinvest Europæiske Finansielle Aktier Sparinvest Value Europa 2011 Sydinvest IT Sydinvest Klima & Miljø Sydinvest Verden Ligevægt & Value 2013 Danske Invest Select Europæiske Aktier Danske Invest Erhverv Europæiske Aktier Danske Invest Europa 2010 BankInvest OMXC20 Aktier BankInvest Danske Aktier Bankinvest Danmark 2008 Sydinvest Euroland Sydinvest Europa 2012 SEBinvest Fokus SEB Europa Small Cap 2011 Nordea Inv Danske Aktier Nordea inv Danmark 2013 Danske Invest Select Fokus Danske Aktier Danske Invest Danmark Fokus 2010 Alm. Brand Invest, Miljø Teknologi Alm. Brand Invest, Nordiske aktier 2013 BankInvest Fjernøsten Bankinvest Asien 2009 Carnegie WorldWide/Emerging Growth Carnegie WorldWide/Globale Aktier 2010 Danske Invest Global Value Danske Invest Global StockPicking 2011 Kilde: IFR og investeringsforeningernes egen hjemmeside

Bilag 2 - Den gennemsnitlige risikopræmie for de 3 faktorer SMB, HML og WML Fjernøsten Japan Nordamerika Global Europa DK TOTAL Total (p.a.) SMB -0.25% 0.07% 0.14% 0.06% 0.09% -0.48% -0.03% -0.39% HML 0.23% 0.40% 0.09% 0.15% 0.07% 0.08% 0.14% 1.72% WML 0.69% 0.17% 0.08% 0.37% 0.72% 0.84% 0.52% 6.43% Anmærkning: Risikopræmien for de enkelte geografiske grupper er udregnet som det ligevægtede gennemsnit af faktoren over hele perioden. Total er udregnet som det vægtede gennemsnit af grupperne baseret på deres andel af det samlede antal foreninger. Total pro anno er udregnet som (1+r)^12-1 Kilde: Egen tilvirkning

Bilag 3 - Original kode (Fama & French 2010) Den endelige kode i Eviews er baseret på følgende originalkode udleveret i en performanceevaluerings forelæsning af Thomas Quistgaard på Aarhus Universitet. Koden er udarbejdet til Fama & Frenchs bootstrap-metode, hvilket adskiller sig betydeligt fra den bootstrap-metode af KTWW, der benyttes i denne afhandling. Se afsnit 4.9.2 for yderligere forklaring af forskellen mellem disse. For at optimere koden til afhandlingens benyttede metode, er flere kommandoer blevet henholdvis slettet og tilføjet originalkoden. De tilføjede kommandoer er markeret med kursiv i bilaget. De primære ændringer er centreret omkring tilføjelse af 4-faktor modellen, Newey & West standardafvigelse, kørsel for enkelt foreninger og udregninger af p-værdi ved hjælp af en tælle-formel.

Bilag 4 - Bootstrap-kode transformeret til KTWW s metode (2006)

Bilag 5 - Bootstrap VBA-kode til estimering af lambda Makroen kan køres i det tilhørende elektroniske bilag. Sub lambda_aktiv() Dim E_name As String Dim i As Integer Dim j As Integer Dim k As Integer Application.ScreenUpdating = False Application.Calculation = xlcalculationmanual For j = 1 To 1000 For i = 1 To 89 rand = WorksheetFunction.RandBetween(1, 89) tal = WorksheetFunction.VLookup(rand, Range("A2:B90"), 2, False) Cells(i, 13).value = tal Next tim = WorksheetFunction.CountIf(Range("M2:M90"), ">0.8") Cells(j, 15).value = tim Cells(j, 16).value = (Cells(j, 15) / 89) * (1 / (1-0.8)) 'I denne formel indsættes forskellige værdier af lambda 'I denne formel indsættes forskellige værdier af lambda Next For k = 1 To 1000 Min = 0.754414125 Cells(k, 17).value = Min Cells(k, 18).value = Cells(k, 16) - Cells(k, 17) Cells(k, 19).value = Cells(k, 16) - Cells(k, 17) Cells(k, 20).value = Cells(k, 18) * Cells(k, 19) Next 'Her indsættes min(pi(0)) ud fra de forskellige kørte lambda niveauer Cells(1, 21) = WorksheetFunction.Sum(Range("T1:T1000")) Cells(1, 22) = Cells(1, 21) / 1000 MsgBox ("Der er nu gennemført en kørsel af koden, husk at ændre lambda-niveau") Application.ScreenUpdating = True Application.Calculation = xlcalculationautomatic End Sub Kilde: Egen tilvirkning

Bilag 6 - Bootstrap VBA-kode til estimering af gamma Makroen kan køres i det tilhørende elektroniske bilag. Sub gamma_aktive() Dim E_name As String Dim i As Integer Dim j As Integer Dim k As Integer Application.ScreenUpdating = False Application.Calculation = xlcalculationmanual For j = 1 To 1000 For i = 1 To 89 rand = WorksheetFunction.RandBetween(1, 89) tal = WorksheetFunction.VLookup(rand, Range("A2:B90"), 2, False) Cells(i, 13).value = tal Next tim = WorksheetFunction.CountIf(Range("M2:M90"), ">0.5") Cells(j, 15).value = tim Cells(j, 16).value = (Cells(j, 15) / 89) * (1 / (1-0.5)) 'lambda 'lambda 'Nu bestemmes sigma(a) ud fra lambda nim = WorksheetFunction.CountIf(Range("AF2:AF90"), "<0.6") 'I denne indsættes det ønskede gamma- niveau Cells(j, 25).value = nim Cells(j, 27).value = Cells(j, 16) * 89 Cells(j, 26).value = (Cells(j, 25) - Cells(j, 27) * (0.6 / 2)) / 89 Next For k = 1 To 1000 Max = 0.242696629 'Ved negative anvendes 0.242696629 - Ved positive anvendes 0.130337079 Cells(k, 17).value = Max Cells(k, 18).value = Cells(k, 26) - Cells(k, 17) Cells(k, 19).value = Cells(k, 26) - Cells(k, 17) Cells(k, 20).value = Cells(k, 18) * Cells(k, 19) Next Cells(1, 21) = WorksheetFunction.Sum(Range("T1:T1000")) Cells(1, 22) = Cells(1, 21) / 1000 MsgBox ("Husk at ændre gamma- niveau") Application.ScreenUpdating = True Application.Calculation = xlcalculationautomatic End Sub Kilde: Egen tilvirkning

Bilag 7 - FDR-niveauer opnået i de enkelte peridoer for hver af de fem porteføljer Gennemsnitlig Opnåede FDR niveauer for de enkelte perioder FDR 10 % - 30% 30% - 50% 50% - 70% Over 70% FDR 10% 23% 3 1 1 FDR 30% 31% 2 2 1 FDR 50% 41% 2 3 FDR 70% 51% 1 4 FDR 90% 57% 1 2 2 Kilde: Egen tilvirkning med inspiration fra Barras et al. (2010) Bilag 8 - Forudsætningsresultater for de i afhandlingen indeholdte foreninger Danmark Breusch-Godfrey p-værdi White 1 p-værdi White 2 p-værdi Jarque-Bera p-værdi BIL Nordic Invest Danske Small Cap aktier 0.26 1.00 1.82 0.05 0.09 0.99 244.07 0.00 Carnegie WorldWide/Danske Aktier 1.36 0.20 4.12 0.00 9.77 0.00 1.43 0.49 Danske Invest Danmark 1.94 0.04 5.68 0.00 7.00 0.00 14.90 0.00 Danske Invest Danmark Fokus 1.01 0.45 7.50 0.00 8.23 0.00 23.92 0.00 Handelsinvest Danmark 0.66 0.78 4.42 0.00 4.60 0.00 10.29 0.01 Jyske invest danske aktier 1.48 0.14 0.41 0.97 0.04 1.00 553.00 0.00 BankInvest Danmark 1.20 0.29 1.61 0.09 2.54 0.04 0.74 0.69 Lån & Spar Invest Danmark 1.26 0.25 1.65 0.08 0.92 0.46 0.83 0.66 Nordea Invest Danmark 0.74 0.71 1.79 0.05 2.12 0.08 1.24 0.54 Nykredit Invest Danske aktier 1.07 0.39 3.18 0.00 4.80 0.00 5.71 0.06 SEBinvest Danske Aktier 0.91 0.54 1.25 0.25 1.06 0.38 5.86 0.05 Sparinvest Danske Aktier 1.09 0.38 1.21 0.28 1.59 0.18 2.25 0.33 Sydinvest Danmark 1.43 0.17 4.46 0.00 7.08 0.00 7.16 0.03 Nordamerika Breusch-Godfrey p-værdi White 1 p-værdi White 2 p-værdi Jarque-Bera p-værdi Danske Invest USA 0.64 0.80 2.60 0.00 1.88 0.12 0.39 0.82 Jyske Invest USA Aktier 1.16 0.33 0.75 0.72 0.35 0.84 0.92 0.63 Lån & Spar Invest Nordamerika 1.21 0.29 1.97 0.03 2.36 0.06 51.43 0.00 Nordea Inv USA 2.32 0.01 0.73 0.74 1.00 0.41 0.07 0.96 Sydinvest USA Ligevægt & Value 2.25 0.01 3.50 0.00 1.31 0.27 46.26 0.00 Sparinvest Value USA 1.23 0.27 2.44 0.01 4.96 0.00 26.67 0.00

Globale Breusch-Godfrey p-værdi White 1 p-værdi White 2 p-værdi Jarque-Bera p-værdi Alm. Brand Invest, Globale Aktier 0.88 0.57 2.86 0.00 3.68 0.01 14.18 0.00 BankInvest Basis 1.66 0.09 0.66 0.81 0.53 0.71 0.33 0.85 BankInvest Globalt Forbrug 0.51 0.90 2.02 0.02 0.86 0.49 1.61 0.45 Carnegie WorldWide/Globale Aktier 1.03 0.42 2.71 0.00 4.29 0.00 3.91 0.14 Danske Invest Global Plus 0.87 0.58 0.81 0.66 0.11 0.98 379.56 0.00 Danske Invest Global StockPicking 0.75 0.70 1.39 0.17 3.44 0.01 1.23 0.54 Danske Invest Global StockPicking 2 1.42 0.17 1.08 0.38 0.47 0.76 0.01 1.00 Gudme Raaschou Selection 1.53 0.13 10.69 0.00 19.63 0.00 7.97 0.02 Handelsinvest Verden 0.97 0.48 2.64 0.00 4.65 0.00 1.72 0.42 Jyske invest favorit aktier 1.07 0.39 0.54 0.90 0.09 0.99 16.12 0.00 Jyske Invest Globale Aktier 0.77 0.68 1.60 0.09 2.61 0.04 0.55 0.76 Lån & Spar Invest Verden 1.32 0.22 2.81 0.00 2.73 0.03 6.16 0.05 Nielsen Global Value 1.21 0.28 0.42 0.96 0.24 0.92 0.83 0.66 Nordea Inv Global Value 1.49 0.14 0.88 0.58 0.53 0.72 4.07 0.13 Nordea Inv Globale UdbytteAktier 1.35 0.20 1.71 0.06 1.84 0.13 4.95 0.08 Nordea Inv Verden 1.30 0.23 0.48 0.94 0.73 0.57 0.41 0.81 Nordea Invest Aktier 0.78 0.67 1.36 0.19 1.04 0.39 2.32 0.31 Nordea Invest Aktier II 1.06 0.40 1.22 0.27 0.27 0.89 1.31 0.52 Sparinvest Value Aktier 0.77 0.68 0.61 0.85 0.40 0.81 1.56 0.46 Sydinvest Verden Ligevægt & Value 1.44 0.16 5.96 0.00 14.28 0.00 1.37 0.50 ValueInvest Danmark, Blue Chip 0.47 0.93 0.74 0.73 0.40 0.81 5.31 0.07 ValueInvest Danmark, Global 0.77 0.68 0.81 0.66 0.37 0.82 8.35 0.02 Nordea Inv HealthCare 0.72 0.72 0.84 0.62 0.88 0.48 4.05 0.13 Danske Invest Teknologi 0.58 0.86 1.41 0.16 1.71 0.15 0.75 0.69 Nordea Inv Global Teknologi 1.25 0.26 3.52 0.00 2.81 0.03 2.38 0.30 BankInvest Latinamerika 1.45 0.16 1.67 0.07 0.40 0.81 0.46 0.79 Danske Invest Latinamerika 1.49 0.14 0.83 0.63 0.12 0.98 1.64 0.44 Jyske Invest Latinamerikanske Aktier 1.31 0.22 1.50 0.13 0.23 0.92 0.84 0.66 Sydinvest Latinamerika 1.05 0.41 1.11 0.36 0.48 0.75 0.62 0.73 Danske Invest Nye Markeder 1.40 0.18 0.84 0.63 0.79 0.53 3.13 0.21 Jyske Invest Nye Aktiemarkeder 2.64 0.00 0.66 0.81 0.77 0.54 0.97 0.61 SEBinvest Emerging Market Equities (Mondrian) 1.76 0.06 0.84 0.63 0.71 0.58 1.96 0.37 Absalon Invest, Alfred Berg Rusland 1.48 0.14 1.12 0.35 0.66 0.62 0.68 0.71 Jyske Invest Russiske Aktier 1.36 0.20 0.69 0.78 0.51 0.73 2.08 0.35 Fjernøsten Breusch-Godfrey p-værdi White 1 p-værdi White 2 p-værdi Jarque-Bera p-værdi BankInvest Asien 0.36 0.98 2.62 0.00 2.42 0.05 1.77 0.41 Danske Invest Fjernøsten 0.70 0.75 2.57 0.00 6.91 0.00 3.56 0.17 Handelsinvest Fjernøsten 0.66 0.79 1.01 0.45 0.78 0.54 14.40 0.00 Jyske Invest Fjernøsten Aktier 0.53 0.89 1.53 0.11 3.14 0.17 0.84 0.66 Nordea Invest Fjernøsten 1.29 0.23 3.43 0.00 9.32 0.00 0.38 0.83 Sydinvest Fjernøsten 0.95 0.50 3.99 0.00 7.72 0.00 14.18 0.00 Danske Invest Kina 1.09 0.38 2.84 0.00 4.49 0.00 2.30 0.32 Jyske Invest Kinesiske Aktier 0.38 0.97 1.69 0.07 2.91 0.02 1.64 0.44 Japan Breusch-Godfrey p-værdi White 1 p-værdi White 2 p-værdi Jarque-Bera p-værdi Danske Invest Japan 1.21 0.29 2.52 0.00 3.99 0.00 2.62 0.27 Jyske Invest Japanske Aktier 1.61 0.10 0.96 0.50 0.41 0.80 8.01 0.18 Nordea Inv Japan 2.96 0.00 1.47 0.14 0.43 0.78 1.98 0.37 SEBinvest Japan Hybrid (DIAM) 0.67 0.77 2.57 0.00 4.38 0.00 2.00 0.37 Sparinvest Value Japan 1.21 0.29 1.41 0.16 3.39 0.01 17.60 0.00 ValueInvest Danmark, Japan 0.95 0.50 2.85 0.00 4.95 0.00 4.32 0.12

Europa Breusch-Godfrey p-værdi White 1 p-værdi White 2 p-værdi Jarque-Bera p-værdi Alm. Brand Invest, Europæiske Aktier 1.26 0.25 0.45 0.95 0.81 0.52 148.00 0.00 BankInvest Europæiske Aktier 1.02 0.44 1.56 0.10 1.36 0.25 0.37 0.83 Danske Invest Europa 1.52 0.13 3.29 0.00 7.74 0.00 3.12 0.21 Danske Invest Europa Fokus 0.75 0.69 1.78 0.05 4.09 0.00 1.70 0.43 Danske Invest Europa Højt Udbytte 1.05 0.41 0.29 0.99 0.32 0.86 4.07 0.13 Danske Invest Europa Small Cap 0.47 0.92 0.57 0.88 1.18 0.32 1.87 0.39 Gudme Raaschou Classics 0.97 0.49 4.49 0.00 4.01 0.00 3.89 0.14 Handelsinvest Europa 0.93 0.52 1.53 0.11 2.17 0.08 7.78 0.02 Jyske invest europæiske aktier 2.10 0.02 3.72 0.00 2.67 0.04 10.72 0.00 Lån & Spar Invest Europa 2.05 0.03 1.60 0.09 1.52 0.20 5.76 0.06 Nordea Inv Europa Small Cap 0.57 0.86 0.55 0.90 0.43 0.79 0.78 0.68 Nordea Invest Europa 1.11 0.35 3.90 0.00 2.28 0.06 24.99 0.00 SEBinvest Europa Højt Udbytte 1.09 0.38 2.27 0.01 0.51 0.73 21.29 0.00 SEBinvest Europa Small Cap 2.49 0.01 0.29 0.99 0.07 0.99 6.76 0.03 Sydinvest Europa 2.01 0.03 1.16 0.32 2.57 0.04 4.75 0.09 Alm. Brand Invest, Nordiske aktier 0.47 0.93 1.54 0.11 1.92 0.11 0.67 0.72 Danske Invest Norden 1.37 0.20 0.86 0.60 1.33 0.26 1.66 0.44 Nordea Inv Nordic Small Cap 0.96 0.49 1.38 0.17 3.30 0.01 1.99 0.37 BankInvest Østeuropa 0.47 0.93 0.78 0.68 0.70 0.59 0.36 0.83 Carnegie WorldWide/Østeuropa 0.97 0.48 1.54 0.11 2.66 0.04 0.14 0.93 Danske Invest Østeuropa 0.66 0.79 0.76 0.71 0.62 0.65 1.17 0.56 Nordea Inv Østeuropa 0.55 0.88 0.74 0.73 0.40 0.81 0.48 0.79 Signifikante Andel Breusch-Godfrey 9 10% White 1 32 36% White 2 33 37% Jarque-Bera 24 27% Kilde: Egen tilvirkning

Bilag 9 - Regressionsresultater for de i afhandlingen indeholdte foreninger Globale α t-α β t-β β-smb t-smb β-hml t-hml β-wml t-wml R2 p-værdi Alm. Brand Invest, Globale Aktier -2.6-2.06 1.07 35.29 0.07 0.63-0.16-2.23 0.08 2.96 0.94 0.028 BankInvest Basis -0.28-0.24 1.05 51.78 0.09 1.25-0.03-0.43 0.03 1.34 0.96 0.848 BankInvest Globalt Forbrug 7.32 3.23 0.88 25.25 0.22 1.6-0.2-1.55 0.05 0.92 0.84 0 Carnegie WorldWide/Globale Aktier 0.72 0.4 1.02 43.52 0.06 0.44-0.18-1.88 0.17 3.77 0.9 0.65 Danske Invest Global Plus -7.01-2.41 1.12 17.69 0.12 0.94-0.25-1.81 0.06 1.04 0.85 0.02 Danske Invest Global StockPicking -0.55-0.41 1.08 34.54 0.19 1.7-0.26-3.82 0.01 0.28 0.95 0.672 Danske Invest Global StockPicking 2-1.54-2.07 1.03 64.87 0.11 2.54-0.11-2.06-0.02-1.27 0.98 0.024 Gudme Raaschou Selection -0.9-0.41 1.12 17.71 0.19 1.8-0.07-0.62 0.05 1.21 0.91 0.826 Handelsinvest Verden -2.84-1.64 1.05 41.73-0.06-0.79-0.09-1.05-0.01-0.44 0.94 0.124 Jyske invest favorit aktier -0.35-0.14 1.17 18.12 0.32 2.46-0.24-1.77 0.26 4.24 0.89 0.852 Jyske Invest Globale Aktier -1.25-0.82 1.15 24.17 0.19 2.66-0.24-2.82 0.16 5.74 0.96 0.404 Lån & Spar Invest Verden -2.49-1.48 0.94 21.83 0.05 0.55 0.07 0.94 0.06 2.18 0.93 0.198 Nielsen Global Value 0.98 0.5 0.73 21.63 0.58 4.99 0.5 4.79-0.07-1.97 0.83 0.646 Nordea Inv Global Value 0.34 0.2 0.87 25.08 0.14 1.32 0.02 0.17-0.1-1.84 0.88 0.902 Nordea Inv Globale UdbytteAktier -5.36-2.32 1.16 17.55 0.22 2.46-0.27-2.01 0.03 0.64 0.92 0.036 Nordea Inv Verden -2.51-2.82 1.09 66.47 0.06 1.18-0.07-1.24 0.01 0.41 0.97 0.01 Nordea Invest Aktier -1.42-1.12 1.14 42.36 0.29 3.49-0.05-0.71-0.02-0.6 0.96 0.286 Nordea Invest Aktier II -2.36-1.89 1.11 40.08 0.2 2.77-0.15-2.3-0.07-2.33 0.96 0.066 Sparinvest Value Aktier -1.45-0.73 1.09 27.98 0.72 7.11 0.22 1.95-0.05-1.41 0.93 0.44 Sydinvest Verden Ligevægt & Value -2.32-2.25 1.02 28.99 0.08 1.23-0.08-1.06-0.01-0.56 0.97 0.03 ValueInvest Danmark, Blue Chip 1.99 1.12 0.75 17.71 0.04 0.44 0.14 1.05 0-0.02 0.85 0.286 ValueInvest Danmark, Global 2.23 1.27 0.75 17.46 0.12 1.47 0.21 1.56-0.01-0.32 0.85 0.206 Nordea Inv HealthCare 2.57 1.11 0.65 11.66-0.24-1.7-0.1-0.68 0.07 0.84 0.64 0.302 Danske Invest Teknologi -0.7-0.23 1.09 15.33 0.15 1.09-0.62-3.59 0-0.01 0.77 0.898 Nordea Inv Global Teknologi -2.7-0.86 1.16 18.61 0.2 1.23-0.57-2.46 0 0.02 0.78 0.482 BankInvest Latinamerika 4.49 0.78 1.47 12.62 0.85 4.04-0.5-1.49-0.04-0.32 0.76 0.454 Danske Invest Latinamerika 6.65 1.31 1.42 16.12 0.8 4.01-0.51-1.81-0.02-0.15 0.75 0.196 Jyske Invest Latinamerikanske Aktier 4.02 0.71 1.43 14.74 0.6 2.9-0.55-1.72 0.08 0.64 0.72 0.46 Sydinvest Latinamerika 6.72 1.15 1.39 13.95 0.7 3.49-0.71-1.97 0.09 0.68 0.7 0.25 Danske Invest Nye Markeder 6.59 1.69 1.2 21.89 0.69 4.97-0.43-2.37-0.04-0.51 0.8 0.086 Jyske Invest Nye Aktiemarkeder 0.53 0.11 1.43 17.92 0.62 3.65-0.77-3.14 0.09 0.7 0.79 0.86 SEBinvest Emerging Market Equities (Mondrian) 0.84 0.23 1.19 22.87 0.68 5.13-0.53-3.39-0.06-0.93 0.83 0.784 Absalon Invest, Alfred Berg Rusland -0.8-0.11 1.6 12.48 0.95 2.74-0.62-1.62-0.03-0.14 0.62 0.992 Jyske Invest Russiske Aktier -3.45-0.59 1.57 16.51 1.03 3.15-0.15-0.5 0.04 0.24 0.71 0.554 Nordamerika α t-α β t-β β-smb t-smb β-hml t-hml β-wml t-wml 2 R p-værdi Danske Invest USA -1.76-3.19 0.97 73.8-0.11-3.5 0.07 2.35-0.01-1.35 0.98 0.006 Jyske Invest USA Aktier -0.99-1.22 1 41.05 0.09 1.93-0.12-2.91 0.17 6.93 0.96 0.232 Lån & Spar Invest Nordamerika -2.71-2.04 0.96 23.46-0.04-0.52 0.04 0.43-0.06-2.54 0.92 0.042 Nordea Inv USA -2.4-3.07 1.03 37.27-0.08-2.52 0.05 0.9 0.02 1.12 0.97 0.006 Sydinvest USA Ligevægt & Value -4.06-1.82 1.14 22.23 0.37 2.13-0.46-2.95 0.04 0.51 0.8 0.054 Sparinvest Value USA -2.32-1.63 1 21.92 0.06 1.04 0.12 2.12 0 0.08 0.95 0.114 Fjernøsten α t-α β t-β β-smb t-smb β-hml t-hml β-wml t-wml 2 R p-værdi BankInvest Asien -4.91-1.17 0.66 7.55-0.05-0.36 0.08 0.39-0.04-0.43 0.65 0.232 Danske Invest Fjernøsten 3.89 1.63 0.84 28.81 0.01 0.1 0.07 0.63-0.14-2.18 0.91 0.166 Handelsinvest Fjernøsten -1.79-0.75 0.85 21.14 0.02 0.31-0.12-1.04-0.09-1.64 0.88 0.504 Jyske Invest Fjernøsten Aktier 0.58 0.4 1.05 71.58 0.08 1.42 0.04 0.62 0.02 0.51 0.97 0.666 Nordea Invest Fjernøsten -2.66-1.82 1.03 33.69 0.1 2.12 0.05 1.45 0.05 1.85 0.98 0.092 Sydinvest Fjernøsten 1.1 0.47 0.98 46.13 0.27 3.1 0.02 0.23 0.12 2.16 0.93 0.618 Danske Invest Kina 0.33 0.15 0.98 27.86 0.07 0.77 0.06 0.76 0.01 0.2 0.92 0.83 Jyske Invest Kinesiske Aktier -0.9-0.22 1.13 17.74 0.06 0.3-0.05-0.38 0.16 1.65 0.81 0.916

Japan α t-α β t-β β-smb t-smb β-hml t-hml β-wml t-wml 2 R p-værdi Danske Invest Japan -2.35-2.89 0.98 47.18 0.03 0.93 0.01 0.23 0 0.19 0.97 0.002 Jyske Invest Japanske Aktier -2.03-1.44 1.04 42.28-0.02-0.44-0.08-1.63 0.05 2.25 0.96 0.136 Nordea Inv Japan 0.68 0.97 0.98 56.87-0.02-0.54-0.17-4.39-0.01-0.23 0.97 0.356 SEBinvest Japan Hybrid (DIAM) -0.5-0.3 1.11 28.05 0.15 1.83-0.2-2.51 0.05 1.09 0.93 0.728 Sparinvest Value Japan 3.16 1.08 0.94 11.04-0.29-2.31-0.36-2.74-0.11-1.33 0.79 0.276 ValueInvest Danmark, Japan 3.15 1.33 0.63 13.03 0.17 2.21-0.02-0.12 0.12 2.05 0.66 0.196 Danmark α t-α β t-β β-smb t-smb β-hml t-hml β-wml t-wml 2 R p-værdi BIL Nordic Invest Danske Small Cap aktier -4.57-0.47 1.07 8.76 0.68 2.67 0.17 0.72 0.25 0.9 0.46 0.646 Carnegie WorldWide/Danske Aktier 1.83 1.24 0.97 33.95-0.01-0.18-0.02-0.66-0.05-1.67 0.94 0.142 Danske Invest Danmark -0.32-0.24 0.99 34.08-0.01-0.38 0-0.06-0.07-3.05 0.96 0.908 Danske Invest Danmark Fokus 0.8 0.48 1 37.45 0.04 0.77 0 0.06-0.07-2.37 0.95 0.56 Handelsinvest Danmark 1.82 1.4 0.97 44.32 0.06 1.57-0.04-1.18-0.05-2.02 0.96 0.124 Jyske invest danske aktier -1.5-1.02 1.02 38.38 0.09 2.33-0.01-0.4-0.04-1.05 0.93 0.288 BankInvest Danmark 3.01 1.01 0.92 19.32 0.22 2.27-0.02-0.42-0.06-1.51 0.84 0.31 Lån & Spar Invest Danmark 0.19 0.17 0.99 37.83 0.05 1.48-0.05-1.69-0.07-3.38 0.96 0.852 Nordea Invest Danmark 1.32 1.18 0.95 37.63 0.03 0.92-0.03-1.11-0.07-3.83 0.96 0.194 Nykredit Invest Danske aktier 1.3 0.76 0.95 30.15 0.11 1.97-0.04-1.08-0.04-1.35 0.95 0.4 SEBinvest Danske Aktier 3.68 2.53 0.95 35.06 0.08 1.67-0.03-0.74-0.03-1.64 0.93 0.004 Sparinvest Danske Aktier -2.29-1.68 0.97 48.54 0.01 0.22-0.04-1.09-0.01-0.38 0.96 0.112 Sydinvest Danmark 1.36 1.18 0.93 37.14 0.04 0.86-0.02-0.51-0.07-3.82 0.96 0.2 Europa α t-α β t-β β-smb t-smb β-hml t-hml β-wml t-wml 2 R p-værdi Alm. Brand Invest, Europæiske Aktier -2.86-2.28 1.04 41.57-0.03-0.53-0.12-2.43 0.06 2.21 0.96 0.014 BankInvest Europæiske Aktier -2.59-2.31 0.98 47.03 0.08 2.01 0.03 0.56 0.11 4.49 0.98 0.01 Danske Invest Europa -1.21-0.95 1.12 31.3 0.16 2.57-0.21-4.19 0.01 0.61 0.98 0.332 Danske Invest Europa Fokus -2.44-1.56 1.15 36.74-0.17-1.37-0.15-1.58 0.01 0.24 0.94 0.142 Danske Invest Europa Højt Udbytte 1.03 0.96 0.97 51.56 0.07 1.63 0.04 0.75 0.02 0.75 0.97 0.358 Danske Invest Europa Small Cap 1.92 0.88 1.26 38.77 0.91 6.84-0.1-0.97 0.11 3.16 0.94 0.364 Gudme Raaschou Classics -1.23-0.52 0.61 14.98-0.21-2.25-0.05-0.49 0.11 1.46 0.71 0.596 Handelsinvest Europa 4.45 2.31 1.07 33.01 0.9 7.36 0.01 0.06-0.02-0.29 0.91 0.024 Jyske invest europæiske aktier -2.04-2.06 1.07 37.12 0.23 5.3-0.11-1.81 0.07 4.14 0.98 0.044 LÃ n & Spar Invest Europa -2.83-2.23 1.05 41.47-0.03-0.55-0.12-1.84 0.03 1.02 0.97 0.024 Nordea Inv Europa Small Cap 0.3 0.17 1.21 53.58 1.07 16.22-0.19-2.76 0.07 1.68 0.96 0.766 Nordea Invest Europa -3.82-2.45 1.04 32.16-0.04-0.69 0.06 0.75 0.02 0.69 0.97 0.044 SEBinvest Europa Højt Udbytte -1.94-1.33 0.89 37.27 0.25 3.76 0.03 0.48 0.09 3.19 0.95 0.254 SEBinvest Europa Small Cap 2.42 2.05 1.16 40.63 0.86 11.4-0.21-3.15 0.07 2.66 0.95 0.024 Sydinvest Europa -2.49-4.05 1.04 48.1 0-0.06-0.01-0.31-0.05-2.9 0.99 0 Alm. Brand Invest, Nordiske aktier -0.78-0.3 1.24 30.75 0.92 6.27-0.14-1.05-0.04-0.54 0.91 0.92 Danske Invest Norden -0.52-0.25 1.23 47.64 0.54 5.29-0.19-2.35 0 0.06 0.93 0.942 Nordea Inv Nordic Small Cap 4.44 1.98 1.1 18.43 0.99 8.34-0.16-1.51 0.03 0.64 0.91 0.02 BankInvest Østeuropa -3.06-0.59 1.41 19.08 0.73 3.62-0.32-1.97-0.05-0.36 0.76 0.628 Carnegie WorldWide/Østeuropa -4.15-0.66 1.5 11.34 1.15 4.01-0.57-3.45-0.06-0.4 0.8 0.566 Danske Invest Østeuropa -0.29-0.05 1.45 17.73 0.91 4.1-0.32-1.89-0.07-0.51 0.78 0.996 Nordea Inv Østeuropa -2.8-0.52 1.41 16.62 0.82 3.85-0.33-1.56-0.04-0.3 0.75 0.692 Kilde: Egen tilvirkning

Bilag 10 - Antal signifikante/dygtige foreninger ved givne signifikansniveauer Gamma Antal signifikante foreninger Antal dygtige foreninger Ændring 0.000 0 0.0-0.025 5 4.3 4.3 0.050 5 3.5-0.7 0.075 5 2.8-0.7 0.100 6 3.1 0.3 0.125 7 3.4 0.3 0.150 8 3.6 0.3 0.175 9 3.9 0.3 0.200 12 6.2 2.3 0.225 14 7.4 1.3 0.250 14 6.7-0.7 0.275 15 7.0 0.3 0.300 17 8.3 1.3 0.325 19 9.5 1.3 0.350 19 8.8-0.7 Kilde: Egen tilvirkning

Bilag 11 - Contingency-tabeller fordelt ud på de 6 områder Danmark Contingency-værdier Test-værdier WL LW LL WW Chi LOR t-stat Z-værdi 2005 3 3 3 4 0.07 0.26 0.38 2006 4 4 2 3 0.74-0.85-0.38 2007 5 5 1 2 3.90* -1.83** -1.13 2008 3 3 3 4 0.07 0.26 0.38 2009 3 3 3 4 0.07 0.26 0.38 2010 3 3 3 4 0.07 0.26 0.38 2011 2 2 4 5 1.89 1.34 1.13 2012 1 1 5 6 6.20* 2.21* 1.89** 2013 5 5 1 2 3.90* -1.83** -1.13 Anmærkning: *Signifikant ved 5% ** Signifikant ved 10% Europa Contingency-værdier Test-værdier WL LW LL WW Chi LOR t-stat Z-værdi 2005 6 6 5 5 0.18-0.43-0.30 2006 4 4 7 7 1.64 1.26 0.90 2007 4 4 7 7 1.64 1.26 0.90 2008 4 4 7 7 1.64 1.26 0.90 2009 7 7 4 4 1.64-1.26-0.90 2010 5 5 6 6 0.18 0.43 0.30 2011 5 5 6 6 0.18 0.43 0.30 2012 4 4 7 7 1.64 1.26 0.90 2013 7 7 4 4 1.64-1.26-0.90 Anmærkning: *Signifikant ved 5% ** Signifikant ved 10% Japan Contingency-værdier Test-værdier WL LW LL WW Chi LOR t-stat Z-værdi 2005 6 6 5 5 0.18-0.43-0.30 2006 4 4 7 7 1.64 1.26 0.90 2007 4 4 7 7 1.64 1.26 0.90 2008 4 4 7 7 1.64 1.26 0.90 2009 7 7 4 4 1.64-1.26-0.90 2010 5 5 6 6 0.18 0.43 0.30 2011 5 5 6 6 0.18 0.43 0.30 2012 4 4 7 7 1.64 1.26 0.90 2013 7 7 4 4 1.64-1.26-0.90 Anmærkning: *Signifikant ved 5% ** Signifikant ved 10%

Fjernøsten Contingency-værdier Test-værdier WL LW LL WW Chi LOR t-stat Z-værdi 2005 0 0 4 4 8.00* - 2.00* 2006 2 2 2 2 0.00 0.00 0.00 2007 1 1 3 3 2.00 1.35 1.00 2008 3 3 1 1 2.00-1.35-1.00 2009 2 2 2 2 0.00 0.00 0.00 2010 2 2 2 2 0.00 0.00 0.00 2011 2 2 2 2 0.00 0.00 0.00 2012 2 3 1 2 1.33-0.72 0.00 2013 4 3 0 1 3.47** -1.97** -1.34 Anmærkning: *Signifikant ved 5% ** Signifikant ved 10% Global Contingency-værdier Test-værdier WL LW LL WW Chi LOR t-stat Z-værdi 2005 8 10 9 7 0.75-0.35-0.26 2006 7 7 10 10 1.06 1.02 0.73 2007 8 8 9 9 0.12 0.34 0.24 2008 7 7 10 10 1.06 1.02 0.73 2009 6 6 11 11 2.94** 1.69** 1.21 2010 6 6 11 11 2.94** 1.69** 1.21 2011 12 12 5 5 5.76* -2.33* -1.70** 2012 8 8 9 9 0.12 0.34 0.24 2013 10 10 7 7 1.06-1.02-0.73 Anmærkning: *Signifikant ved 5% ** Signifikant ved 10% Nordamerika Contingency-værdier Test-værdier WL LW LL WW Chi LOR t-stat Z-værdi 2005 1 1 2 2 0.67 0.80 0.58 2006 2 2 1 1 0.67-0.80-0.58 2007 0 0 3 3 6.00* - 1.73** 2008 1 1 2 2 0.67 0.80 0.58 2009 1 1 2 2 0.67 0.80 0.58 2010 1 1 2 2 0.67 0.80 0.58 2011 1 1 2 2 0.67 0.80 0.58 2012 2 2 1 1 0.67-0.80-0.58 2013 2 2 1 1 0.67-0.80-0.58 Anmærkning: *Signifikant ved 5% ** Signifikant ved 10% Kilde: Egen tilvirkning

Bilag 12 - Scatterdot og regression for foreningernes alpha og omsætningshastighed Outlier

Bilag 13 - Test af forskel i gennemsnitlig alpha (laveste og højeste omsætningshastigheder)

Bilag 14 - Regressionsresultaterne for de 21 foreninger kørt med nye benchmarks α β β - SMB β - HML β - MOM R P-værdi Nyt bencmark Nordea'Inv'HealthCare -0.49 (2.57) 0.88 (0.65) 0.07 (-0.24) 0.11 (-0.10) 0.02 (0.07) 0.87 (0.64) 0.73 (0.30) MSCI'Health'Care Danske'Invest'Teknologi' -1.14 (-0.70) 0.98 (1.09) 0.19 (0.15) -0.03 (-0.62) 0.03 (0.00) 0.93 (0.77) 0.66 (0.90) MSCI'World/'IT Nordea'Inv'Global'Teknologi -3.18 (-2.70) 1.05 (1.16) 0.24 (0.20) 0.07 (-0.57) 0.04 (0.00) 0.94 (0.78) 0.07 (0.48) MSCI'World/'IT BankInvest'Latinamerika 0.06 (4.49) 0.97 (1.47) 0.20 (0.85) 0.20 (-0.50) -0.06 (-0.04) 0.98 (0.76) 1.00 (0.45) MSCI'EM'LATIN'AMERIKA Danske'Invest'Latinamerika 2.41* (6.65*) 0.94 (1.42) 0.18 (0.80) 0.17 (-0.51) -0.04 (-0.02) 0.97 (0.75) 0.26 (0.20) MSCI'EM'LATIN'AMERIKA Jyske'Invest'Latinam.'Aktier -0.55 (4.02) 0.97 (1.43) -0.05 (0.60) 0.12 (-0.55) 0.06 (0.08) 0.99 (0.72) 0.52 (0.46) MSCI'EM'LATIN'AMERIKA Sydinvest'Latinamerika 2.19* (6.72*) 0.95 (1.39) 0.06 (0.70) -0.06 (-0.71) 0.08 (0.09) 0.97 (0.70) 0.10 (0.25) MSCI'EM'LATIN'AMERIKA Danske'Invest'Nye'Markeder 4.74* (6.59*) 0.88 (1.20) 0.04 (0.69) 0.09 (-0.43) -0.03 (-0.04) 0.95 (0.80) 0.03 (0.09) MSCI'EM Jyske'Invest'Nye'Aktiemarkeder -1.79* (0.53) 1.06 (1.43) -0.17 (0.62) -0.16 (-0.77) 0.11 (0.09) 0.98 (0.79) 0.21 (0.86) MSCI'EM Absalon'Invest,'Alfred'Berg'Rusland 2.43 (-0.80) 0.92 (1.60) -0.07 (0.95) 0.04 (-0.62) 0.02 (-0.03) 0.95 (0.62) 0.39 (0.99) MSCI'Russia Jyske'Invest'Russiske'Aktier 0.15 (-3.45) 0.83 (1.57) 0.18 (1.03) 0.55 (-0.15) 0.04 (0.04) 0.92 (0.71) 0.99 (0.55) MSCI'Russia BIL'Nordic'Inv.'Danske'SC'aktier' -3.44 (-4.57) 1.06 (1.07) 0.31 (0.68) 0.19 (0.17) 0.27 (0.25) 0.47 (0.46) 0.70 (0.65) OMXC'Ex'OMXC20 Gudme'Raaschou'Classics -1.16 (-1.23) 0.61 (0.61) -0.15 (-0.21) -0.05 (-0.05) 0.11 (0.11) 0.71 (0.71) 0.60 (0.60) EURO'STOXX'50 BankInvest'Østeuropa -0.38 (-3.06) 0.92 (1.41) -0.08 (0.73) 0.14 (-0.32) -0.03 (-0.05) 0.96 (0.76) 0.91 (0.63) MSCI'EM'Eastern'Europa Carnegie'WorldWide/Østeuropa -0.86 (-4.15) 0.92 (1.50) 0.34 (1.15) 0.02 (-0.57) -0.06 (-0.06) 0.92 (0.80) 0.78 (0.57) MSCI'EM'Eastern'Europa Danske'Invest'Østeuropa 2.5* (-0.29) 0.95 (1.45) 0.07 (0.91) 0.16 (-0.32) -0.05 (-0.07) 0.97 (0.78) 0.24 (1.00) MSCI'EM'Eastern'Europa Nordea'Inv'Østeuropa -0.3 (-2.80) 0.95 (1.41) -0.02 (0.82) 0.09 (-0.33) -0.01 (-0.04) 0.98 (0.75) 0.94 (0.69) MSCI'EM'Eastern'Europa BankInvest'Asien' -5.07* (-4.91*) 0.66 (0.66) -0.06 (-0.05) 0.07 (0.08) -0.02 (-0.04) 0.65 (0.65) 0.21 (0.23) MSCI'AC'Asia'EX'Japan Sparinvest'Value'Japan' 3.16* (3.16*) 0.94 (0.94) -0.29 (-0.29) -0.36 (-0.36) -0.11 (-0.11) 0.79 (0.79) 0.28 (0.28) MSCI'Japan ValueInvest'Danmark,'Japan' 3.15* (3.15*) 0.63 (0.63) 0.17 (0.17) -0.02 (-0.02) 0.12 (0.12) 0.66 (0.66) 0.20 (0.20) MSCI'Japan Sydinvest'USA'Ligevægt'&'Value -4.06* (-4.06*) 1.14 (1.14) 0.37 (0.37) -0.46 (-0.46) 0.04 (0.04) 0.80 (0.80) 0.05 (0.05) MSCI'USA Anmærkning: * indikerer signifikant alpha ved signifikantsniveau på 30% (γ)

Bilag 15 - Analysen kørt med CAPM som asset-pricing model Fordeling af p-værdier 0.3 0.25 λ* 0.2 Andel 0.15 0.1 0.05 0 0 0 0,1 0.1 0,2 0.2 0,3 0.3 0,4 0.4 0,5 0.5 0,6 0.6 0,7 0.7 0,8 0.8 0,9 0.9 1 Es#merede p- værdier Valg af lambda a - Beregning af min. π(0) b - Endelig valg af λ* Lambda π(0) Lambda MSE 0.3 0.7544 0.30 0.00548 0.35 0.7952 0.35 0.00893 0.4 0.7865 0.40 0.00880 0.45 0.8580 0.45 0.02161 0.5 0.8315 0.50 0.01891 0.55 0.8739 0.55 0.03104 0.6 0.8146 0.60 0.02018 0.65 0.8347 0.65 0.02970 0.7 0.8240 0.70 0.03116 0.75 0.8989 0.75 0.06041 0.8 0.8989 0.80 0.07629

Valg af maks π og π Gamma π - π+ 0.10 0.17576 0.01846 0.15 0.19061-0.00040 0.20 0.20546 0.03692 0.25 0.19783 0.05177 0.30 0.20144 0.03291 0.35 0.18258 0.03652 0.40 0.19743 0.02889 0.45 0.17857 0.01003 0.50 0.19342 0.01364 0.55 0.17456 0.01726 0.60 0.20064 0.02087 Endeligt valg af gamma a - MSE-niveau for positive α b - MSE-niveau for negative α Gamma Gamma MSE (+) (positiv) (Negativ) MSE (-) 0.15 0.01239 0.15 0.00109 0.20 0.00687 0.20 0.00080 0.25 0.00440 0.25 0.00056 0.30 0.00151 0.30 0.00085 0.35 0.00121 0.35 0.00064 0.40 0.00085 0.40 0.00091 0.45 0.00081 0.45 0.00071 0.50 0.00103 0.50 0.00057 0.55 0.00143 0.55 0.00074 0.60 0.00085 0.60 0.00087 Kilde: Egen tilvirkning

Bilag 16 - Analysen kørt med Fama&French 3-faktor som asset-pricing model Fordeling af p-værdier 0.3 0.25 λ* 0.2 Andel 0.15 0.1 0.05 0 0 0 0,1 0.1 0,2 0.2 0,3 0.3 0,4 0.4 0,5 0.5 0,6 0.6 0,7 0.7 0,8 0.8 0,9 0.9 1 Estimerede p-værdier Valg af lambda a - Beregning af min. π(0) b - Endelig valg af λ* Lambda π(0) Lambda MSE 0.30 0.7063 0.30 0.01973 0.35 0.6914 0.35 0.01898 0.40 0.6742 0.40 0.01676 0.45 0.6742 0.45 0.01807 0.50 0.6517 0.50 0.01332 0.55 0.6742 0.55 0.02252 0.60 0.5899 0.60 0.01341 0.65 0.6100 0.65 0.01733 0.70 0.6742 0.70 0.03363 0.75 0.7191 0.75 0.05392 0.80 0.7303 0.80 0.06652

Valg af maks π og π Gamma π - π+ 0.10 0.180899 0.023596 0.15 0.209551 0.018539 0.20 0.215730 0.047191 0.25 0.221910 0.064607 0.30 0.216854 0.093258 0.35 0.223034 0.099438 0.40 0.217978 0.105618 0.45 0.224157 0.111798 0.50 0.241573 0.106742 0.55 0.236517 0.101685 0.60 0.242697 0.130337 Endeligt valg af gamma a - MSE-niveau for positive α b - MSE-niveau for negative α Gamma Gamma MSE (+) (positiv) (Negativ) MSE (-) 0.15 0.01239 0.15 0.00109 0.20 0.00687 0.20 0.00080 0.25 0.00440 0.25 0.00056 0.30 0.00151 0.30 0.00085 0.35 0.00121 0.35 0.00064 0.40 0.00085 0.40 0.00091 0.45 0.00081 0.45 0.00071 0.50 0.00103 0.50 0.00057 0.55 0.00143 0.55 0.00074 0.60 0.00085 0.60 0.00087 Kilde: Egen tilvirkning