Mateniatik A Terminsprøve 2019 3x (Sidsel, Ellen og Christian). kl. 9:00 til 14:00
Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpeinidler består af opgave 7-14 med i alt 19 spørgsmål. De 25 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de ei'ikelte spørgsmål og i helliedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. 2. NOT ATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENT ATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en l'iensigtsrnæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klait sprog og/eller med btug af almindelig matematisk notation.
Side I af 6 sider Delprøven uden hjælpemidler Kl. 09.00-IO.OO Opgave 1 På figuren ses to ensvinklede trekanter ÅBC og ADE. Højderne fra B og D er angivet på figuren. B E C BestemiÅCi,ogbestemarealetaf trekantådø. Opgave 2 I en model kan udviklingen i det danske BNP pr. indbygger som Atnktion af tiden beskrives ved funktionen 7(t)=40400-1,017', hvor f (Q betegner det danske BNP pr. indbygger (målt i euro) t år efter 2009. Gør rede for, hvad konstanterne imodellen fortæller om udviklingenidet danske BNP pr. indbygger. Kilde.' eu-oplysningen.dk Opgave 3 En funktion f er givet ved f (X) = x2 + 3X +1. Bestemf I(X), ogbestemenligningfor tangententil grafenfor f i punktetfl(2, f (2)).
Side 2 af 6 sider Opgave 4 I koordinatsystemet ses graferne for de tre funktioner: 7(x) = 2 eoa4',g(x) = eo,5xog /20C)= 2 e-0,4x (2) \, i,l /,= ø (l) Gør rede for, hvilken af graferne A, B og C, der er graf for henholdsvis j': g og h. Opgave 5 En linje 7er givet ved parameterfremstillingen ter. Bestem en ligning for den linje m, der står vinkelret på l og går gennem punktet!(8,10), og bestem skæringspunkt mellem l og m. Opgave 6 En funktion f er givet ved (2) f (X) = x3-6x2 + 9x + l. Bestem de to værdier af k, for hvilke ligningen f (X) = k har præcis 2 løsninger.» (1) Besvarelsen afleveres kl. 10 00
Side 3 af 6 sider Delprøven med hjælpemidler Kl. 09.00-14.00 Opgave 7 Figuren viser udviklingen i verdens samlede vindmøllekapacitet i perioden 1996-2010. Itabellen nedenfor ses verdens samlede vindmøllekapacitet (målt i GW) for udvalgte åri perioden 1996-2010. Årstal 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 Vindmøllekapacitet 6,1 10,2 17,4 31,1 47,6 74,1 121,0 197,0 I en model kan udviklingen i verdens samlede vindmøllekapacitet som fui'iktion af tiden beskrives ved en funktion af typen v(t) = b - a', hvor v(f) betegner verdens samlede vindmøllekapacitet (målt i GW) t år efter 1996. a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b. b) Bestem fordoblingstiden. c) Benyt modellen til at forudsige, hvomår verdens samlede vindmøllekapacitet vil overstige 500 GW. Kilde.' Global Wind Report, Ånnual market update 2010, Global WindEnergy Council, Belgium, Åpril 2011. Opgave8 Tabellen viser aldersfordelingen blandt kandidaterne i Det Konservative Folkepaiti ved folketingsvalget i september 2011. Alder 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 Antal 6 5 9 17 15 15 6 5 8 Kilde.' Danmarjcs Statrstik a) Bestem de kumulerede frekvenser, og tegn sumkurven. Kvartilsættet for aldersfordelingen blandt Enhedslistens kandidater ved samme valg var som vist i tabellen nedenfor. Nedre kvartil 34,4 Median 50,9 Øvre kvartil 58,9 b) Bestem kvartilsættet for aldersfordelingen i Det Konservative Folkeparti, og kommenter forskellen i de to partiers aldersfordelinger ved inddragelse af de to kvartilsæt.
Side 4 af 6 sider Opgave 9 Kilde.' Howard F. Schwartz, Colorado State University, USA Kendskabet til bladareal er helt afgørende for vurdering af planteavlspotentialet i forskellige afgrøder. På en planteavlsstation i Argentina fandt man, at potensmodellen fl(x)=0,69- x"8, 3<x<17 med god tilnærmelse beskriver sammenhængen mellem bladarealet A(x') (målt i cm2) og bladlængden x (målti cm) for en række forskellige sorter af pekannødder. a) Bestem bladarealet for et IO cm langt blad. b) Med hvor mange procent øges bladarealet, når bladets længde øges med 25%? Når producenterne foretager overslagsberegninger i marken anvender de en simplere lineær model O(X) = 3x - 8, 3 < x <17, hvor O(X) er overslaget over bladarealet (målt i cm2) for et blad, hvis længde er x. c) Skits6r graferne forb og 0 isamme koordinatsystem, og bestem de bladlængder, hvor overslagsberegningen giver det sarnme bladareal som den mere præcise potensmodel. OpgaveIO Enfunktionf ergivetved 7(x) = 3x4-8X3-30x2+ 72X % 27. a) Bestemf '(X), ogbestemdelokaleekstremafor f. Opgave1l OmentrekantABCgælderIA = 40o,l8Cl= 6 og l,4cl= 8. Detoplyses,at IB er spids. a) Bestem IB. VinkelhaIverings1injen for IA og vinkelha1veringslinjen forlb skærer hinanden i punktet D. b) Bestem arealet af trekant ÅBD.
Side 5 af 6 sider Opgave 12,4(3, O, O) ffi(4, 3.5, l) C(1, 3.5, 4) D(O, 0, 3) E(0, 3, O) Et reklameskilt har fomi som to skråtstillede ens rektangler ABCD og ADGH, der er forbundet langs den ene side AD. Reklameskiltet indlægges i et koordinatsystem som vist på figuren, hvor alle mål er angivet i meter. a) Bestem en ligning for den plan a, der indeholder rektangel ABCD, og bestem arealet af rektangel ABCD. Skiltet holdes oppe af to ben monteret vinkelret på bagsiden af hvert af de to rektangler. Det ene ben betegnes EF, hvor F er monteringspunktet (se figur). b) Bestem en parameterfremstilling for linjen gennem E og F, og bestem koordinatsættet til F. Det oplyses, at den plan p, der indeholder rektangel ADGH, har ligningen 7x + 4 y + 7z = 21. c) Bestem vinklen mellem de to rektangler ABCD og ADGH. Opgave 13 Et radioaktivt stof fyldes med jævnt faldende hastighed i en beholder. I en model er mængden M (målt i mg) af det radioaktive stof i beholderen som funktion af tiden t (målt i døgn) en løsning til differentialligningen O<t<lO. a) Bestem væksthastigheden til tidspunktet t = 1, hvor mængden af det radioaktive stof i beholderen er,!v = 45, 5 mg. Det oplyses, at jlf(o) = O. b) Bestem forskriften for M, og tegn grafen for M.
Side 6 af 6 sider Opgave 14 På figuren er en del af en bygning indlagt i et koordinatsystem. I en model afgrænses det store vindue af førsteaksen og grafen for funktionen f(x) = "l 4 6 + 4 6- hvor x måles i meter. a) Bestem vinduets maksimale bredde og højde. b) Bestem vinduets areal. c) Bestem en forskrift for den parabel, der har samme maksimale breddeog højde som grafenfor f.