Matematik B Studentereksamen stx142-mat/b-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-13.00
Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 7-13 med i alt 14 spørgsmål. De 20 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. 2. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.
Stx matematik B august 2014 side 1 af 5 Delprøven uden hjælpemidler Kl. 09.00 10.00 Opgave 1 Løs ligningen 3x+ 6 =- 2x+ 1. Opgave 2 En funktion f er bestemt ved f x x x 2 ( ) = 3-6 + 12. Grafen for f er en parabel. Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt. Opgave 3 Et firma har i 2013 en årlig omsætning på 25 mio. kr. Firmaet forventer, at omsætningen øges med 5% p.a. i årene frem mod 2020. Indfør passende variable, og benyt firmaets forventninger til at opstille et udtryk, der beskriver udviklingen i firmaets årlige omsætning som funktion af tiden efter 2013. Opgave 4 En funktion f er bestemt ved f x x x x 3 2 ( ) = 5 + 9-7 + 40. Bestem f ( x). Opgave 5 Figuren viser to rektangler ABCD og DEFG. Diagonalen gennem C og A går gennem F. F G A B E 3 8 D 4 C Nogle af sidelængderne er angivet på figuren. Bestem det samlede areal af de to rektangler. VEND!
Stx matematik B august 2014 side 2 af 5 Opgave 6 Et andengradspolynomium p er bestemt ved px ( ) = 3 ( x+ 5) (x+ 7). Bestem konstanterne a, b og c, når p skrives på formen p x a x b x c 2 ( ) = + +. Besvarelsen afleveres kl. 10.00
Stx matematik B august 2014 side 3 af 5 Delprøven med hjælpemidler Kl. 09.00 13.00 Opgave 7 Foto: www.colourbox.com Tabellen viser udviklingen i det årlige antal flypassagerer i UK i en årrække opgjort af Civil Aviation Authority. År 1994 1996 1998 2000 2002 2004 Årlige antal passagerer (målt i mio.) 121,2 134,7 157,6 178,6 187,4 217,8 I en model kan udviklingen beskrives ved f ( x) = a x+ b, hvor f ( x ) er det årlige antal flypassagerer (målt i mio.), og x er antal år efter 1994. a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene a og b. b) Benyt modellen til at bestemme det årlige antal flypassagerer i UK i 2007. Kilde: Aviation Trends, Quarterly 2013, Civil Aviation Authority. Opgave 8 Tabellen viser den gennemsnitlige ventetid på en plejebolig i 2012 fordelt på landets kommuner. Gennemsnitlig ventetid (målt i dage) Andel af kommuner (målt i %) 0-1 1-30 30-60 60-120 18 55 24 3 a) Bestem de kumulerede frekvenser, og tegn en sumkurve for fordelingen af den gennemsnitlige ventetid på en plejebolig i 2012. b) Bestem kvartilsættet, og bestem andelen af kommuner, hvor den gennemsnitlige ventetid er på 45 dage eller mindre.
Stx matematik B august 2014 side 4 af 5 Opgave 9 Et bestemt radioaktivt stof har en halveringstid på 30,17 år. I en model kan mængden af tilbageværende stof som funktion af tiden beskrives ved N( t) = 17,5 a t, hvor N( t) er mængden af tilbageværende stof (målt i gram) til tidspunktet t (målt i år). a) Bestem konstanten a for det pågældende stof. b) Hvor mange år tager det ifølge modellen, før mængden af tilbageværende stof er nede på 10 g? c) Hvor stor en procentdel af den oprindelige mængde stof er tilbage efter 50 år? Opgave 10 B 398m C 53,1 46,5 A D E Kyst Størrelsesforholdene på figuren er ikke korrekte En person observerer et 398 m langt containerskib, der sejler parallelt med kysten. Personen måler sigtevinklerne mellem kysten og skibets stævn samt mellem kysten og skibets agterende. Personen finder, at BAD = 53,1 og CAE = 46,5. a) Bestem, hvor langt skibet er fra kysten. Opgave 11 En funktion f er bestemt ved 20 f( x) = ln( x) +, x> 0. x a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P( 1, f (1) ). b) Bestem monotoniforholdene for f.
Stx matematik B august 2014 side 5 af 5 Opgave 12 To funktioner f og g er givet ved f( x) =- x+ 8 2 ( ) =- + 6 + 2. gx x x Graferne for f og g afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal. a) Løs ligningen f ( x) = gx ( ), og tegn en skitse af M. b) Bestem arealet af M. Opgave 13 En hundegård har form som et rektangel med sidelængderne x og y. Hundegården består af et hundehus og et udendørsområde, som hunden kan bevæge sig rundt i. Den ene side af hundegården er afgrænset af en bygning, og i hjørnet op mod bygningen står hundehuset, som måler 1 m 1,2 m (se figuren). Resten af hundegården skal indhegnes. a) Bestem længden af hegnet udtrykt ved x og y, og bestem arealet af udendørsområdet udtrykt ved x og y. Der er 10 meter hegn til rådighed til indhegningen. b) Bestem y udtrykt ved x, og bestem den værdi af x, der gør arealet af udendørsområdet størst muligt. 1m 1,2m x y