Sammenhængskomponenter i grafer

Transkript

1 Sammenhængskomponenter i grafer

2 Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv betegnes.

3 Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv betegnes. Relation kaldes en ækvivalensrelation hvis der for alle x, y, z S gælder: x x. x y y x. x y y z x z.

4 Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv betegnes. Relation kaldes en ækvivalensrelation hvis der for alle x, y, z S gælder: x x. x y y x. x y y z x z. En ækvivalensrelation deler S i disjunkte delmængder (hver bestående af elementer som er i relation til hinanden, men ikke til andre elementer), og kaldes derfor også en partition.

5 Ækvivalensrelationer på en grafs knuder Uorienterede grafer: For v, u V : v u der er en (uorienteret) sti mellem u og v

6 Ækvivalensrelationer på en grafs knuder Uorienterede grafer: For v, u V : v u der er en (uorienteret) sti mellem u og v Giver en partition af grafens knuder V : De kaldes grafens sammenhængskomponenter (CC er).

7 Ækvivalensrelationer på en grafs knuder Uorienterede grafer: For v, u V : v u der er en (uorienteret) sti mellem u og v Giver en partition af grafens knuder V : De kaldes grafens sammenhængskomponenter (CC er). Finde dem?

8 Ækvivalensrelationer på en grafs knuder Uorienterede grafer: For v, u V : v u der er en (uorienteret) sti mellem u og v Giver en partition af grafens knuder V : De kaldes grafens sammenhængskomponenter (CC er). Finde dem? Via DFS eller BFS (med ydre driver, som i DFS). Knuderne i hvert genereret træ er en CC, da alle knuder, som kan nås fra en startknude s, vil blive nået, og ingen andre knuder kan nås (jvf. punkt 1 og 2 i sætning om BFS).

9 Ækvivalensrelationer på en grafs knuder Uorienterede grafer: For v, u V : v u der er en (uorienteret) sti mellem u og v Giver en partition af grafens knuder V : De kaldes grafens sammenhængskomponenter (CC er). Finde dem? Via DFS eller BFS (med ydre driver, som i DFS). Knuderne i hvert genereret træ er en CC, da alle knuder, som kan nås fra en startknude s, vil blive nået, og ingen andre knuder kan nås (jvf. punkt 1 og 2 i sætning om BFS). Tid?

10 Ækvivalensrelationer på en grafs knuder Uorienterede grafer: For v, u V : v u der er en (uorienteret) sti mellem u og v Giver en partition af grafens knuder V : De kaldes grafens sammenhængskomponenter (CC er). Finde dem? Via DFS eller BFS (med ydre driver, som i DFS). Knuderne i hvert genereret træ er en CC, da alle knuder, som kan nås fra en startknude s, vil blive nået, og ingen andre knuder kan nås (jvf. punkt 1 og 2 i sætning om BFS). Tid? O(n + m).

11 Ækvivalensrelationer på en grafs knuder Orienterede grafer: For v, u V : v u der er en (orienteret) sti fra u til v og der er en (orienteret) sti fra v til u

12 Ækvivalensrelationer på en grafs knuder Orienterede grafer: For v, u V : v u der er en (orienteret) sti fra u til v og der er en (orienteret) sti fra v til u Giver en partition af grafens knuder V : De kaldes grafens stærke sammenhængskomponenter (SCC er). Finde dem?

13 Finde stærke sammenhængskomponenter Algoritme: Her er G T grafen G med alle kanter vendt.

14 Finde stærke sammenhængskomponenter Algoritme: Her er G T grafen G med alle kanter vendt. Tid?

15 Finde stærke sammenhængskomponenter Algoritme: Her er G T grafen G med alle kanter vendt. Tid? O(n + m).

16 Finde stærke sammenhængskomponenter Algoritme: Her er G T grafen G med alle kanter vendt. Tid? O(n + m). Korrekthed?

17 Finde stærke sammenhængskomponenter Algoritme: Her er G T grafen G med alle kanter vendt. Tid? O(n + m). Korrekthed? De næste sider...

18 Sætning: Algoritmen SCC ovenfor er korrekt, dvs. træerne returneret fra det andet kald til DFS repræsenterer præcis G s SCC er.

19 Sætning: Bevis: Algoritmen SCC ovenfor er korrekt, dvs. træerne returneret fra det andet kald til DFS repræsenterer præcis G s SCC er.

20 Sætning: Bevis: Algoritmen SCC ovenfor er korrekt, dvs. træerne returneret fra det andet kald til DFS repræsenterer præcis G s SCC er. Bemærk først at: Der er en sti u v i G Der er en sti v u i G T

21 Sætning: Bevis: Algoritmen SCC ovenfor er korrekt, dvs. træerne returneret fra det andet kald til DFS repræsenterer præcis G s SCC er. Bemærk først at: Heraf følger: Der er en sti u v i G Der er en sti v u i G T u og v i samme SCC i G u og v i samme SCC i G T

22 Sætning: Bevis: Algoritmen SCC ovenfor er korrekt, dvs. træerne returneret fra det andet kald til DFS repræsenterer præcis G s SCC er. Bemærk først at: Heraf følger: Der er en sti u v i G Der er en sti v u i G T u og v i samme SCC i G u og v i samme SCC i G T Så G og G T har de samme SCC er.

23 Hvid-sti lemma: Hvis findes en sti af hvide knuder fra u til w når u kommer på stakken (dvs. til tid u.d), da kommer w på stakken inden u kommer af.

24 Hvid-sti lemma: Hvis findes en sti af hvide knuder fra u til w når u kommer på stakken (dvs. til tid u.d), da kommer w på stakken inden u kommer af. Bevis (lemma): Antag at der findes knuder på stien som ikke kommer på stakken før u kommer af, og lad y være den første (set fra u). Dvs. y s forgænger x kom på stakken inden u kom af. Men så kan u ikke komme af inden x gør, og x kan ikke komme af før y har været på stakken (da y er nabo til x vil y blive opdaget/sat på stakken af x, hvis det ikke er sket tidligere). Da w kommer på stakken efter at u kommer på stakken fås: Korollar: I situationen ovenfor haves u.d < w.d < w.f < u.f.

25 For en knudemængde C V defineres f (C) = max v C v.f (hvor f angiver tiden fra første DFS i SCC-algoritmen). Lemma: Hvis C, C er to forskellige SCC er i G, og (x, y) er en kant i G med x C og y C, da gælder f (C) > f (C ).

26 For en knudemængde C V defineres f (C) = max v C v.f (hvor f angiver tiden fra første DFS i SCC-algoritmen). Lemma: Hvis C, C er to forskellige SCC er i G, og (x, y) er en kant i G med x C og y C, da gælder f (C) > f (C ). Da G T er G med alle kanter vendt, og da SCC erne er de samme i G T og G, haves: Korollar: Hvis C, C er to forskellige SCC er i G T, og (x, y) er en kant i G T med x C og y C, da gælder f (C) < f (C ).

27 Bevis (lemma): Lad u være den første knude i C C som opdages.

28 Bevis (lemma): Lad u være den første knude i C C som opdages. Case 1: u C. Her er der en sti fra u til w for alle w C C, så udsagnet følger af korollar til hvid-sti lemma.

29 Bevis (lemma): Lad u være den første knude i C C som opdages. Case 1: u C. Her er der en sti fra u til w for alle w C C, så udsagnet følger af korollar til hvid-sti lemma. Case 2: u C. Her er der en sti fra u til w for alle w C, så af samme korollar haves f (C ) = u.f.

30 Bevis (lemma): Lad u være den første knude i C C som opdages. Case 1: u C. Her er der en sti fra u til w for alle w C C, så udsagnet følger af korollar til hvid-sti lemma. Case 2: u C. Her er der en sti fra u til w for alle w C, så af samme korollar haves f (C ) = u.f. Hvis der fandtes en knude v C med v.d < u.f, ville der være et tidpunkt hvor v og u var på stakken samtidig (da u.d < v.d, eftersom u var den først opdagede i C C ). Da det er en invariant under DFS at der i grafen findes en sti mellem knuderne på stakken (fra tidligere til senere push ede knuder), ville dette betyde en sti fra u C til v C. Sammen med kanten (x, y) ville dette medføre at alle knuder i C C var i samme SCC, i modstrid med at C og C er to forskellige SCC er.

31 Bevis (lemma): Lad u være den første knude i C C som opdages. Case 1: u C. Her er der en sti fra u til w for alle w C C, så udsagnet følger af korollar til hvid-sti lemma. Case 2: u C. Her er der en sti fra u til w for alle w C, så af samme korollar haves f (C ) = u.f. Hvis der fandtes en knude v C med v.d < u.f, ville der være et tidpunkt hvor v og u var på stakken samtidig (da u.d < v.d, eftersom u var den først opdagede i C C ). Da det er en invariant under DFS at der i grafen findes en sti mellem knuderne på stakken (fra tidligere til senere push ede knuder), ville dette betyde en sti fra u C til v C. Sammen med kanten (x, y) ville dette medføre at alle knuder i C C var i samme SCC, i modstrid med at C og C er to forskellige SCC er. Derfor haves v.d > u.f for alle v C, så f (C) > u.f = f (C ).

32 Vi viser nu sætningen om korrekthed af SCC-algoritmen ved at vise at for alle k gælder: Knuderne i de k første træer genereret under den anden DFS i SCC-algoritmen udgør hver især en SCC i G T. Da SCC erne i G og G T er de samme, og da alle knuder i grafen er i et af træerne, viser dette korrektheden.

33 Vi viser nu sætningen om korrekthed af SCC-algoritmen ved at vise at for alle k gælder: Knuderne i de k første træer genereret under den anden DFS i SCC-algoritmen udgør hver især en SCC i G T. Da SCC erne i G og G T er de samme, og da alle knuder i grafen er i et af træerne, viser dette korrektheden. Vi viser ovenstående udsagn via induktion på k.

34 Vi viser nu sætningen om korrekthed af SCC-algoritmen ved at vise at for alle k gælder: Knuderne i de k første træer genereret under den anden DFS i SCC-algoritmen udgør hver især en SCC i G T. Da SCC erne i G og G T er de samme, og da alle knuder i grafen er i et af træerne, viser dette korrektheden. Vi viser ovenstående udsagn via induktion på k. Skridt: Antag sandt for k, vis sandt for k + 1. Det (k + 1) te træ genereres ved det (k + 1) te kald til DFS-Visit i for-løkken i den ydre driver i DFS. Lad u være knude, der kaldes på. Hvis vi stiller knuderne op i for-løkkens rækkefølge (efter aftagende v.f -værdi), ser situationen sådan ud på tidspunktet for dette kald:

35 u V : v.f: for-loop: Sorte knuder er de indtil nu opdagede under DFS, hvide er de uopdagede. Lad C være SCC en indeholdende u, og lad T være træet genereret af kaldet på u. Af induktionsantagelsen udgør de sorte knuder præcis k af grafens SCC er. Derfor må alle andre SCC er ligge inden i de hvide knuder, og C er en af disse (da u er hvid). Eftersom der ved starten af kaldet er en hvid sti fra u til alle w C, giver korollar til hvid-sti lemma at C T.

36 Lad C være en vilkårlig hvid SCC forskellig fra C. Pga. for-løkkens rækkefølge ses u.f = f (C) > f (C ), så af korollar til lemma ovenfor fås at ingen kant i G T kan gå fra C til C. Da DFS-Visit ikke besøger de sorte knuder, kan den derfor ikke forlade C. Heraf ses T C. Vi har i alt vist T = C, hvilket viser udsagnet for k + 1.

37 Lad C være en vilkårlig hvid SCC forskellig fra C. Pga. for-løkkens rækkefølge ses u.f = f (C) > f (C ), så af korollar til lemma ovenfor fås at ingen kant i G T kan gå fra C til C. Da DFS-Visit ikke besøger de sorte knuder, kan den derfor ikke forlade C. Heraf ses T C. Vi har i alt vist T = C, hvilket viser udsagnet for k + 1. Basis: Samme argument, blot lidt simplere (der er ingen sorte knuder, og u er første knude i rækkefølgen), viser udsagnet for k = 1.