Nogle grundlæggende begreber

Transkript

1 BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element i mængden A, skrives x A, og at x ikke er element i A, skrives x A. I en given sammenhæng er de mængder vi betragter, altid indeholdt i en og samme overordnede mængde (grundmængde), f.eks. mængden af hele tal eller mængden af komplekse tal. Mængder kan i nogle tilfælde specificeres ved at man i mængdekonstruktører, dvs. { }, skriver en liste med mængdens elementer, f.eks. er {25,36,49} en mængde med tre elemener, nemlig de tre tal 25, 36 og 49; den rækkefølge elementerne står i, er uden betydning, så {25,36,49} = {49,25,36}. Man kan bruge tre prikker for at angive at listen skal fortsættes i det uendelige efter en opskrift som formodes at være»umiddelbart indlysende«, f.eks. kan man skrive K = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...} for mængden af kvadrattal. En anden mulighed er at specificere mængden med en konstruktion af formen {x A betingelse}, der skal læses (og tolkes) som»mængden af de elementer x fra mængden A for hvilke betingelsen er opfyldt«. Eksempel Hvis K er mængden af kvadrattal, K = {1,4,9,16,...}, kan mængden af lige kvadrattal skrives som {x K x er lige}; da et kvadrattal er lige hvis og kun hvis det er kvadratet på et positivt lige heltal, kan mængden af lige kvadrattal også skrives som {x 2 x = 2,4,6,...} (som er en anden skrivemåde for {x 2 x {2,4,6,...}}), eller som {(2x) 2 x = 1,2,3,...}. I det følgende er A og B to mængder som begge er delmængder af en grundmængde U. Der er forskellige mængdeoperationer der frembringer nye mængder: A B er fællesmængen 1 af A og B, dvs. mængden af elementer som er fælles for A og B, altså A B = {x U x A og x B}. De to mængder A og B siges at være disjunkte 2 hvis deres fællesmængde er tom. 1 engelsk: intersection. 2 engelsk: disjoint.

2 Nogle grundlæggende begreber Side 2 af 6 A B A \ B er foreningsmængen 3 af A og B, dvs. mængden af elementer som tilhører mindst en af mængderne A og B, altså A B = {x U x A eller x B}. er differensmængen mellem A og B, dvs. mængden af elementer som tilhører A men ikke B, altså A \ B = {x U x A og x B}. A er komplementærmængden til A, dvs. mængden af elementer som ikke tilhører A, altså A = U \ A = {x U x A}. Mængder kan stå i forskellige relationer til hinanden: A B A er en delmængde af B, dvs. hvis x A så er også x B. B A betyder det samme som A B. A B A er en ægte delmængde af B, dvs. A B, men der findes elementer i B som ikke tilhører A, altså A B og B \ A. A B har samme betydning som A B. B A betyder det samme som A B. A = B To mængder er lig med hinanden netop når de indeholder de samme elementer, dvs. A B og B A. Produktmængder Ud fra to ikketomme mængder A og B kan man danne en ny mængde, nemlig mængden af ordnede par (a,b) hvor a A og b B. Denne mændge kaldes produktet af A og B og betegnes A B: A B = {(a,b) a A,b B}. Lidt mere generelt defineres produktet af n ikketomme mængder A 1,A 2,...,A n som A 1 A 2 A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a1 A 1,a 2 A 2,...,a n A n }. Endvidere definerer man A n ved A n = A A A. } {{ } Særlige talmængder n faktorer Visse talmængder har standardsymboler: N er mængden af naturlige tal, N = {0,1,2,3,...}, 4 Z er mængden af hele tal 5, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}, 3 engelsk: union. 4 Dette er den definition der benyttes i bogen Concrete Abstract Algebra. Man definerer imidlertid ofte de naturlige tal som N = {1,2,3,...}, hvor altså 0 ikke regnes med. 5 engelsk: integers. (Symbolet Z kommer fra det tyske ord Zahl, der betyder tal.)

3 Nogle grundlæggende begreber Side 3 af 6 Q er mængden af rationale tal, R er mængden af reelle tal, C er mængden af komplekse tal. Funktioner/afbildninger En funktion eller afbildning 6 f fra mængden A til mængden B, kort f : A B, kan man tænke på som en forskrift der til hvert element i A knytter et og kun et element i B. I den forbindelse kaldes A for domænet for f og B for codomænet for f. Man benytter som bekendt ofte skrivemåden f (x) for det element i codomænet, som af f knyttes til elementet x i domænet. For en del meget kendte funktioner bruges dog andre skrivemåder, tænk f.eks. på funktionen + fra Z Z til Z, hvor man jo almindeligvis skriver x + y og ikke +(x,y). En afbildning f : A B siges at være surjektiv hvis billedet f (A) af A er hele B, altså hvis der til hvert y B findes et x A så f (x) = y. Man taler også om at f afbilder A på B. En afbildning f : A B siges at være injektiv hvis forskellige elementer i A afbildes over i forskellige elementer i B, altså hvis der for alle x 1,x 2 A gælder at hvis x 1 x 2 så er f (x 1 ) f (x 2 ). Man taler også om at f er en enentydig afbildning. En afbildning f : A B siges at være bijektiv hvis den er både surjektiv og injektiv. Eksempler Her er nogle eksempler til illustration af begreberne surjektivitet, injektivitet og bijektivitet. Bemærk også at pilene og bruges til hvert sit formål. f : Z Z x 3x er injektiv, men ikke surjektiv f : Z Z x 3 + x er bijektiv f : Z Z x 8 er hverken surjektiv eller injektiv f : Z {8} x 8 er surjektiv, men ikke injektiv 6 engelsk: map.

4 Nogle grundlæggende begreber Side 4 af 6 f : Z (Z \ {0}) Q er surjektiv, men ikke injektiv (x,y) x y Ækvivalensrelationer Bogen definerer begrebet ækvivalensrelation i Appendix afsnit A.2. Her er en lidt mere jordnær forklaring: Ækvivalensrelationer er en generalisering af det almindelige lighedstegn =, så lad os først finde ud af hvad lighedstegnet»egentlig«er. Lighedstegnet er som bekendt et symbol der anvendes på den måde at man skriver et udtryk (f.eks. x) på venstre side af det og et udtryk (f.eks. y) på højre side, og derved får man et nyt udtryk (x = y) som enten har værdien Sand eller værdien Falsk, f.eks. har udtrykket = 7 1 værdien Falsk, og udtrykket = har værdien Sand (begge udtryk er meningsfulde, fordi højresideudtrykket og venstresideudtrykket er af samme slags, nemlig udtryk der efter udregning giver et tal). Man taler om at = er en dyadisk funktion der antager værdierne Sand og Falsk. Ordet dyadisk kommer fra græsk og betyder noget med to, og det henviser til at lighedstegnsfunktionen har to argumenter, et der skrives på venstre side og et der skrives på højre side. 7 En ækvivalensrelation er ligeledes en dyadisk funktion. For at leve op til matematikerens normer om præcision, er man nødt til at specificere hvilke slags argumenter man kan give til denne funktion, så derfor vil vi tale om en ækvivalensrelation på en mængde S: Lad S være en mængde og en dyadisk funktion på S med værdierne Sand og Falsk. Vi siger at er en ækvivalensrelation på S hvis der gælder at er refleksiv, dvs. x x har værdien Sand for alle x S, symmetrisk, dvs. x y er det samme som y x, for alle x,y S, transitiv, dvs. hvis x y og y z, så er x z, for alle x,y,z S. Ækvivalensklassen indeholdende x er mængden af elementer i S som er ækvivalente med x, altså {y S y x}. Ækvivalensklassen indeholdende x betegnes undertiden [x], 8 Der gælder altså for vilkårlige x,y S at [x] = {y S y x}. y x hvis og kun hvis y [x]. (1) Hvis [x] er en ækvivalensklasse og x et element i [x], så siger man at x er en repræsentant for ækvivalensklassen [x]. 7 Betegnelsen dyadisk har altså ikke noget at gøre med at der kun er de to værdier Sand og Falsk. 8 Med denne skrivemåde er det underforstået hvilken ækvivalensrelation der anvendes.

5 Nogle grundlæggende begreber Side 5 af 6 Mængden af ækvivalensklasser betegnes undertiden S/, dvs. S/ = {[x] x S}. Ifølge Sætning 1 og 2 på side 5 gælder: Hvis x og y er elementer i S, så er de enten ækvivalente, x y, eller også er de det ikke, x y, men ikke begge dele; muligheden x y indtræffer hvis og kun hvis deres ækvivalensklasser er ens ([x] = [y]), og muligheden x y indtræffer hvis og kun hvis deres ækvivalensklasser er disjunkte ([x] [y] = ). Ethvert element i S tilhører præcis en ækvivalensklasse. Mængden af ækvivalensklasser udgør en såkaldt klassedeling 9 af S. Eksempel Hvis S er en mængde af personer og x y defineres som»x har samme fornavn som y«, så bliver en ækvivalensrelation på S. En ækvivalensklasse består af alle personer med et givet fornavn. Der bliver en ækvivalensklasse for hvert fornavn der er repræsenteret i S. Hvis både Hans Nielsen og Hans Jensen er blandt personerne i S, så er Hans Nielsen en repræsentant for ækvivalensklassen [Hans Jensen]. Eksempel Hvis S er mængden Z af hele tal, og x y defineres som»x y er delelig med 2«, så er en ækvivalensrelation. (Gør rede for det at det er tilfældet!) Der bliver to ækvivalensklasser, nemlig mængden af lige tal og mængden af ulige tal. Tallene 3 og 5 er begge repræsentanter for ækvivalensklassen [1]. Nedenfor er to sætninger med tilhørende beviser; beviserne er skrevet ud i mange detaljer, flere end man normalt vil skrive ned. I beviserne benyttes egenskaberne ved ækvivalensrelationer og ækvivalensklasser samt formel (1). Sætning 1: (= Lemma A.2.3) Lad være en ækvivalensrelation på mængden S. Så gælder for vilkårlige x og z i S at x z hvis og kun hvis [x] = [z]. Bevis Først viser vi»hvis-delen«, dvs. at hvis [x] = [z], så er x z. Antag altså at [x] = [z]. Da er refleksiv, er x x, og derfor er x [x]. Da [x] = [z], gælder så også at x [z], og dermed x z. Dernæst skal vi vise»kun hvis-delen«, dvs. at hvis x z, så er [x] = [z]. Vi går derfor nu ud fra at x z. For at vise at de to mængder [x] og [z] er ens, skal man vise at ethvert element i den ene mængde tilhører den anden mængde, og omvendt. Vi vil vise at hvis y [x], så er også y [z]. Antag derfor at y [x]. Da y [x], er y x. Da x z ifølge antagelse, og da er transitiv, er dermed y z, 9 En klassedeling (engelsk: partition) af en mængde S er et system af delmængder af S således at 1) delmængderne er parvis disjunkte, og 2) foreningsmængden af alle delmængderne er hele S.

6 Nogle grundlæggende begreber Side 6 af 6 hvilket er det samme som at y [z]. Hermed har vi vist at [x] [z]; af symmetrigrunde gælder da også at [z] [x], så alt i alt er [x] = [z]. Sætning 2: (= Korollar A.2.4) Lad være en ækvivalensrelation på mængden S. Så gælder for vilkårlige x og z i S at enten er [x] = [z] eller også er [x] [z] =. Bevis Påstanden kan vises ved at vise at hvis [x] [z], så er [x] = [z]. Antag derfor at y [x] [z]. Da y [x] [z], er y x og y z. Da er symmetrisk, er x y. Da nu x y og y z, giver transitiviteten af at x z. Af Sætning 1 følger da at [x] = [z]. Bemærk: Implikationspilene, og kan være velegnede i forbindelse med en tavlepræsentation, men bør benyttes yderst sparsomt i skriftlig matematik. Deres betydning er, skrevet ganske uformelt, som bekendt denne: p q hvis p er sand, så er q sand, p q betyder det samme som q p, p q der gælder både p q og p q.