Algoritmer og invarianter
|
|
|
- Hedvig Jespersen
- 9 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Algoritmer og invarianter
2 Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker.
3 Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker. Eksempel: Sekventiel søgning (i usorteret liste): i = 1 while element i mål og i < liste : i = i + 1 if element i = mål: then rapporter at mål findes på plads i else rapporter at mål ikke findes i liste
4 Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker. Eksempel: Sekventiel søgning (i usorteret liste): i = 1 while element i mål og i < liste : i = i + 1 if element i = mål: then rapporter at mål findes på plads i else rapporter at mål ikke findes i liste Eksempel: Sekventiel søgning (i stigende sorteret liste): i = 1 while element i < mål og i < liste : i = i + 1 if element i = mål: then rapporter at mål findes på plads i else rapporter at mål ikke findes i liste
5 Iterative algoritmer Eksempel: InsertionSort: for i = 1 til liste 1: j = i + 1 while j te element < (j 1) te element: ombyt j te og (j 1) te element j = j 1
6 Rekursive algoritmer En algoritmen som kalder sig selv (med et mindre input).
7 Rekursive algoritmer En algoritmen som kalder sig selv (med et mindre input). Eksempel: Binær søgning: BinSearch(liste) if liste == 0: then mål findes ikke i liste else m = liste /2 if m te element = mål: then mål findes på denne plads. else if mål < denne plads: then BinSearch (liste fra 1 til m 1) else BinSearch(liste fra m + 1 til liste )
8 Iteration vs. rekursion Ofte kan en algoritme udtrykkes på begge måder. Eksempler:
9 Iteration vs. rekursion Ofte kan en algoritme udtrykkes på begge måder. Eksempler: Rekursiv sekventiel søgning.
10 Iteration vs. rekursion Ofte kan en algoritme udtrykkes på begge måder. Eksempler: Rekursiv sekventiel søgning. Rekursiv InsertionSort.
11 Iteration vs. rekursion Ofte kan en algoritme udtrykkes på begge måder. Eksempler: Rekursiv sekventiel søgning. Rekursiv InsertionSort. Iterativ binær søgning.
12 Analyse af algoritmer Korrekthed (giver de altid det rigtige svar?) Køretid (hvor lang tid bruger de på at svare?)
13 Invarianter Metode til at argumentere om korrekthed for iterative algoritmer. En invariant er et udsagn, som beskriver state (dvs. værdien af alle variable) undervejs under algoritmens udførsel.
14 Invarianter Metode til at argumentere om korrekthed for iterative algoritmer. En invariant er et udsagn, som beskriver state (dvs. værdien af alle variable) undervejs under algoritmens udførsel. Man skal kunne argumentere for, at udsagnet altid gælder. Både før første iteration, og efter hver ny iteration.
15 Invarianter Metode til at argumentere om korrekthed for iterative algoritmer. En invariant er et udsagn, som beskriver state (dvs. værdien af alle variable) undervejs under algoritmens udførsel. Man skal kunne argumentere for, at udsagnet altid gælder. Både før første iteration, og efter hver ny iteration. Når algoritmen stopper, skal udsagnet gøre det nemt at se, at output er korrekt.
16 Invarianter Eksempler:
17 Invarianter Eksempler: Sekventiel søgning: Målet findes ikke blandt den allerede gennemsøgte del af listen.
18 Invarianter Eksempler: Sekventiel søgning: Målet findes ikke blandt den allerede gennemsøgte del af listen. InsertionSort: Hvis man ser bort fra j te element, er 1 ste til (i + 1) te element sorteret, og det j te element er < end de (j + 1) te til (i + 1) te element.
19 Invarianter Eksempler: Sekventiel søgning: Målet findes ikke blandt den allerede gennemsøgte del af listen. InsertionSort: Hvis man ser bort fra j te element, er 1 ste til (i + 1) te element sorteret, og det j te element er < end de (j + 1) te til (i + 1) te element. Binær søgning (iterativ version): hvis målet findes, er det mellem element i og j.
20 Invarianter Eksempler: Euclids algoritme for største fælles divisor af M og N: m = max af M og N n = min af M og N while n ikke går op i m m = n n = rest ved division af n op i m returner n som svar
21 Invarianter Eksempler: Euclids algoritme for største fælles divisor af M og N: m = max af M og N n = min af M og N while n ikke går op i m m = n n = rest ved division af n op i m returner n som svar Korrekthed?
22 Invarianter Eksempler: Euclids algoritme for største fælles divisor af M og N: m = max af M og N n = min af M og N while n ikke går op i m m = n n = rest ved division af n op i m returner n som svar Korrekthed? Ikke oplagt...
23 Invarianter Eksempler: Euclids algoritme for største fælles divisor af M og N: m = max af M og N n = min af M og N while n ikke går op i m m = n n = rest ved division af n op i m returner n som svar Korrekthed? Ikke oplagt... Invariant: største fælles divisor af m og n = største fælles divisor af M og N
Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning
Søgning og Sortering Søgning og Sortering Philip Bille Søgning. Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x. Sorteret tabel. En tabel A[0..n-1] er sorteret hvis A[0]
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Søgning og Sortering. Philip Bille
Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Introduktion. Introduktion. Algoritmer og datastrukturer. Eksempel: Maksimalt tal
Philip Bille Algoritmer og datastrukturer Algoritmisk problem. Præcist defineret relation mellem input og output. Algoritme. Metode til at løse et algoritmisk problem. Beskrevet i diskrete og entydige
Introduktion. Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3. Philip Bille
Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Philip Bille Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Algoritmer
Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Rekursion C#-version
Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannn i Informationsteknologi Rekursion C#-version Finn Nordbjerg 1 Rekursion Rekursionsbegrebet bygger på, at man beskriver noget ved "sig selv". Fx. kan tallet
Danmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave
Dynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer
Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:
Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus
Divide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer
Søgning og Sortering. Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering. Philip Bille
Søgning og Sortering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering Philip Bille Søgning og Sortering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering
Divide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer
Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Danmarks Tekniske Universitet
Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Dynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde
22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned.
22 Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. Indsættelse i hobe. Sletning af minimalt element i hobe. Repræsentation. 327
Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort
Sortering Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4! 2 4 7 9 7 2! 2 7 9 4! 4 9 7! 7 2! 2 9! 9 4! 4 1 2 Del-og-hersk Merge-sort Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data
Introduktion til funktioner, moduler og scopes i Python
Denne guide er oprindeligt udgivet på Eksperten.dk Introduktion til funktioner, moduler og scopes i Python Denne artikel er fortsættelsen af "I gang med Python", som blevet publiceret her på sitet for
14 Algoritmeanalyse. Noter. Algoritmebegrebet. Hvad er algoritmeanalyse? Problemstørrelse og køretid. Køretid for forskellige kontrolstrukturer.
14 Algoritmeanalyse. Algoritmebegrebet. Hvad er algoritmeanalyse? Problemstørrelse og køretid. O og Ω. Køretid for forskellige kontrolstrukturer. Eksempler på algoritmeanalyse. Eksponentiel og polynomiel
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 6. juni 2016, kl. 15:00 19:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Danmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
DM02 opgaver ugeseddel 2
DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion
Divide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer
Divide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer (af samme type). 2. Løs delproblemerne ved rekursion (dvs. kald algoritmen
Algoritmeanalyse. Øvre grænse for algoritme. Øvre grænse for problem. Nedre grænse for problem. Identificer essentiel(le) operation(er)
Algoritmeanalyse Identificer essentiel(le) operation(er) Øvre grænse for algoritme Find øvre grænse for antallet af gange de(n) essentielle operation(er) udføres. Øvre grænse for problem Brug øvre grænse
Sammenhængskomponenter i grafer
Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv
Danmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
DM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2010 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 24. april, 2010 (let justeret 10. maj og 21. maj 2010) Dette projekt udleveres i tre
DM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Danmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Datalogi C + Datastrukturer og Algoritmer
Datalogi C + Datastrukturer og Algoritmer Velkommen til DatC erne Dagens emne: Hvad er D&A, mål for effektivitet Kursuslærer: Henning Christiansen [email protected], http://www.ruc.dk/~henning Hjælpelærer
University of Southern Denmark Syddansk Universitet. DM502 Forelæsning 2
DM502 Forelæsning 2 Repetition Kompilere og køre Java program javac HelloWorld.java java HeloWorld.java Debugge Java program javac -g HelloWorld.java jswat Det basale Java program public class HelloWorld
Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version
Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte
Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik
Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal
Intervalsøgning. Algoritmisk geometri. Motivation for intervaltræer. Intervalsøgning. Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed
Algoritmisk geometri Intervalsøgning 1 2 Motivation for intervaltræer Intervalsøgning Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Vi kan
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 7. juni 00, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Martin Olsen. DM507 Projekt Del I. 19. marts 2012 FOTO: Colourbox
Martin Olsen DM0 Projekt 0 Del I. marts 0 FOTO: Colourbox Indhold Indledning... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Kildekode til SimpleInv.java... Kildekode til MergeSort.java...
Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo
Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):
Procedurer og funktioner - iteration og rekursion
Procedurer og funktioner - iteration og rekursion Procedurer De første procedurer vi så på var knyttet til handlinger, der skulle udføres, fx at klikke på en knap for at lukke en form eller afslutte et
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Tirsdag den 20. marts 2012, kl.