Træer. Datastrukturer & Algoritmer, Datalogi C Forelæsning 9/
|
|
- Einar Kjeldsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Datastrukturer & Algoritmer, Datalogi C Forelæsning 9/ Træer En meget vigtig datastruktur Repræsentation af sprog (i meget generel betydning), syntakstræer: Java (i en compiler), SQL (i et databasesystem), XML... Naturligt sprog Søgetræer: Generel repræsentation af (sorterede) mængder og funktioner Databasesystemer... Dagens program: Hvad er et træ (datalogisk set)? Eksempel på syntakstræer udtrykt vha. nedarvning NB: udenfor bogen; find Javafiler via kursets hjemmeside Java-stil implementation af generiske træer Traversering af træer vha. TreeIterator preorder, postorder, inorder, levelorder Binære søgetræer Princip og generisk implementation i Java Balancerede træer, AVL-træer (+ omtale af et par andre) (1)
2 Hvad er et træ? Matematikeren: Et specialtilfælde af en graf: En sammenhængende skov, hvor en skov er en orienteret, acyklisk graf, med højst én vej mellem to forskellige knuder Og så kan vi jo bare bruge kendte repræsentationer for grafer og grafalgoritmer... Datalogen udnytter naturlig rekursion: Et træ består af et stykke data samt nul eller flere træer kaldet deltræer Træalgoritmer Naturligt rekursive f.eks. summe træer med tal... Sum( t(k,t 1,...,T n ) ) = k + Sum(T 1 ) Sum(T n ) En gang imellem benytte en stak (og sommetider en kø...) (2)
3 Eksempel på repræsentation af syntaktræer vha. nedarvning Træer for udtryk defineret ved følgende abstrakte grammatik <udtryk> ::= <tal> <udtryk> + <udtryk> <udtryk> * <udtryk> Et udtrykstræ er enten Et tal-træ, som indeholder en talkonstant (og 0 deltræer) Et plus-træ har to deltræer, som er udtrykstræer Et gange-træ har to deltræer, som er udtrykstræer + / \ 1 * / \ 2 3 (3)
4 Brug af Javas nedarvning til repræsentation af syntakstræer abstract class ExpressionTree { } class PlusTree extends ExpressionTree { ExpressionTree first; ExpressionTree second; public PlusTree(ExpressionTree f, ExpressionTree s) {first=f;second=s;} } class TimesTree extends ExpressionTree { ExpressionTree first; ExpressionTree second; public TimesTree(ExpressionTree f, ExpressionTree s) {first=f;second=s;} } class NumberTree extends ExpressionTree { int value; public NumberTree(int v) {value=v;}} (Alternativt: Definere klasse for binære operatorer, og så specialisere den...) Nedarving udnyttes til at definere et typehierarki modsat generiske træer i Java-stil. (4)
5 Syntakstræer kan bygges eksplicit ExpressionTree exp = new PlusTree ( new NumberTree(1), new TimesTree( new NumberTree(2), new NumberTree(3))); Eller i praksis ved en parser, som læser tegn ind fra fil og konstruerer træ efterhånden, enten top-down, eller bottom-up Rekursive metoder udnytter også nedarvning... (5)
6 abstract class ExpressionTree { public abstract void printstackcode(); } class PlusTree extends ExpressionTree { ExpressionTree first; ExpressionTree second; public void printstackcode() {first.printstackcode(); second.printstackcode(); System.out.println("PLUS");} } class TimesTree extends ExpressionTree { ExpressionTree first; ExpressionTree second; public void printstackcode() {first.printstackcode(); second.printstackcode(); System.out.println("TIMES");} } exp.printstackcode(); ==> PUSH 1 PUSH 2 PUSH 3 TIMES PLUS Analogt post-order traversal 1. gør noget ved deltræerne, 2. gør noget for denne knude class NumberTree extends ExpressionTree { int value; public void printstackcode() {System.out.println("PUSH "+value);} } (6)
7 abstract class ExpressionTree { public abstract void printexpression(); } class PlusTree extends ExpressionTree { ExpressionTree first; ExpressionTree second; public void printexpression() {System.out.print("("); first.printexpression(); System.out.print("+"); second.printexpression(); System.out.print(")");} } exp.printexpression(); ==> (1+(2*3)) Ser vi bort fra udskrift af parenteserne: Analogt in-order traversal 1 Gør noget ved venstre deltræ, 2 Gør noget for denne knude, 3 Gør noget ved højre deltræ class TimesTree extends ExpressionTree { ExpressionTree first; ExpressionTree second; public void printexpression() {System.out.print("("); first.printexpression(); System.out.print("*"); second.printexpression(); System.out.print(")");} } class NumberTree extends ExpressionTree { int value; public void printexpression() {System.out.print(value);} } (7)
8 abstract class ExpressionTree { public abstract void printlispcode(); } class PlusTree extends ExpressionTree { ExpressionTree first; ExpressionTree second; public void printlispcode() {System.out.print("(PLUS"); first.printlispcode(); second.printlispcode(); System.out.print(")");} } exp.printlispcode (); ==> (PLUS 1(TIMES 2 3)) Ser vi bort fra udskrift af parenteserne: Analogt pre-order traversal 1 Gør noget for denne knude, 2 Gør noget ved deltræerne class TimesTree extends ExpressionTree { ExpressionTree first; ExpressionTree second; public void printlispcode() {System.out.print("(TIMES"); first.printlispcode(); second.printlispcode(); System.out.print(")");} } class NumberTree extends ExpressionTree { int value; public void printlispcode() {System.out.print(" "+value);} } (8)
9 Repræsentation af Java-stil generiske binære træer public class BinaryNode { // konstruktorer og de metoder kan kan forvente private Object element; private BinaryNode left; private BinaryNode right; } public class BinaryTree { // konstruktorer og de metoder kan kan forvente private BinaryNode root; } abstract class TreeIterator { public TreeIterator( BinaryTree thetree ) {t=thetree;current=null;} // den slags metoder som hører til en iterator... // blandet abstract og def. vha. abstract protected BinaryTree t; protected BinaryNode current; } (9)
10 class PostOrder extends TreeIterator { //definition af abstrakte metoder fra TreeIterator... //internt snask: protected static class StNode { } protected Stack s; } class InOrder extends PostOrder { } // usmukt genbrug :( class PreOrder extends TreeIterator {... også noget med en stak } class LevelOrder extends TreeIterator {... noget med en kø} (10)
11 abstract class TreeIterator { public TreeIterator(BinaryTree thetree) {t = thetree; current = null;} abstract public void first( ); final public boolean isvalid( ) {return current!= null;} final public Object retrieve( ) { if( current == null ) throw... ; return current.getelement( ); } abstract public void advance( ); protected BinaryTree t; protected BinaryNode current; } (11)
12 class PostOrder extends TreeIterator {...} Hvis Java havde haft ægte co-rutiner kunne det implementeres ved rekursion Pseudokode: class PostOrder extends TreeIterator {...} public void first {postordertraverse(t.getroot());} private void postordertraverse(binarynode t); { if(t==null) return; postordertraverse(t.getleft()); postordertraverse(t.getright()); current=t; detach(); return;} public void advance( ); {resume()} } Primitiver a la Simula68 (ikke i Java) detach() læg metode til at sove indtil der kommer en resume() resume() start en detach et proces OBS: Preorder og inorder fås ved at bytte rundt linjerne i xxxordertraverse() Disse primitiver findes ikke i Java, så derfor programmeres med eksplicit stak. (12)
13 class PostOrder extends TreeIterator { // Intern stak i mangel på rekursion: protected static class StNode { BinaryNode node; int timespopped; StNode( BinaryNode n ) {node = n; timespopped = 0;}} protected Stack s;... } (13)
14 class PostOrder extends TreeIterator { // Intern stak i mangel på rekursion: protected static class StNode { BinaryNode node; int timespopped; StNode( BinaryNode n ) {node = n; timespopped = 0;}} protected Stack s; public PostOrder( BinaryTree thetree ) {super(thetree); s=new ArrayStack(); s.push(new StNode(t.getRoot()));} public void first( ) {s.makeempty( ); if( t.getroot( )!= null ) {s.push(new StNode(t.getRoot())); advance();}} (14)
15 public void advance( ) {if( s.isempty( ) ) {if( current == null ) throw...; current = null; return; } StNode cnode; for( ; ; ) {cnode = ( StNode ) s.topandpop( ); if( ++cnode.timespopped == 3 ) {current = cnode.node; return;} s.push( cnode ); if( cnode.timespopped == 1 ) { if(cnode.node.getleft()!=null) s.push(new StNode(cnode.node.getLeft()));} else // cnode.timespopped == 2 {if(cnode.node.getright()!=null) s.push(newstnode(cnode.node.getright()));}}} } //NB: der stilles ingen eksamensspørgsmål om hvordan den stak bruges // (læreren synes det er noget knoldkode) (15)
16 Binært søgetræ En måde at opbevare og vedligeholde en samling objekter på. objekterne holdes sorterede o dvs. at finde objekter log n indsættelse af nye objekter kræver ikke ny sortering eller flytning af n/2 elementer indsættelse med inkrementel sortering log n Definition: Et binært søgetræ er et binært træ hvor hver knude holder et element af en mængde udstyret med < og =, således at alle værdier i venstre deltræ < værdi på knude < alle værdier i højre deltræ Eksempel 7 / \ / \ 2 9 / \ 1 5 / 3 (16)
17 Eksempel 7 / \ / \ 2 9 / \ 1 5 / 3 Egenskab: Hvis et binært søgetræ udskrives in-order kommer elementerne ud i voksende rækkefølge Skitse af definition: En binært træ er balanceret hvis det er ca. lige dybt over det hele. Egenskab: Et balanceret, binært træ med n elementer har højde log n. Dvs. søgning i balanceret, binært søgetræ er O(log n). (17)
18 Repræsentation af Binære søgetræer i Java-stil Upraktisk at specialisere fra BinaryTree, da Object erne skal være Comparable + lukke for modifikationer. class BinaryNode { BinaryNode(Comparable theelement){element=theelement;left=right=null;} Comparable element; BinaryNode left; BinaryNode right; } public class BinarySearchTree { public BinarySearchTree( ) {root = null; } // diverse nyttige metoder, bl.a. public void insert (Comparable x) { halv-kompliceret stads } public Comparable find( Comparable x ) // returnerer x hvis den findes;ellers null { return elementat( find( x, root ) );} private Comparable elementat( BinaryNode t ) {return t == null? null : t.element;} private BinaryNode find( Comparable x, BinaryNode t ) { while( t!= null ) { if( x.compareto( t.element ) < 0 ) t = t.left; else if( x.compareto( t.element ) > 0 ) t = t.right; else return t; } return null; } protected BinaryNode root; } (18)
19 Indsættelse af element x At lede efter elementet x, og hvis det ikke findes, indsætte det, hvor det burde have været: I Java: Metode i BinarySearchTree: public void insert(comparable x) { root = insert(x, root); } BinaryNode insert(comparable x, BinaryNode t) { if (t == null) t = new BinaryNode(x, null, null); else if (x.compareto(t.element) < 0) t = insert(x, t.left); else if (x.compareto(t.element) > 0) t = insert(x, t.right); else throw new DuplicateItemException(x.toString()); return t; } (19)
20 Sletning af element x i binært søgetræ Bemærk: Problemet kan altid reduceres til at fjerne x i position som rod af et træ (det undertræ, som har x i toppen). Erstat roden med den knude, der er mindst i rodens højre undertræ. Denne knude befinder sig længst til venstre i rodens højre undertræ. Hvis det højre undertræ er tomt, fjernes roden blot fra træet. (20)
21 I Java: public void remove(comparable x) {root = remove(x, root);} protected BinaryNode remove( Comparable x, BinaryNode t ) {if( t == null ) throw new ItemNotFoundException( x.tostring( ) ); if( x.compareto( t.element ) < 0 ) t.left = remove( x, t.left ); else if( x.compareto( t.element ) > 0 ) t.right = remove( x, t.right ); else if( t.left!= null && t.right!= null ) // Two children { t.element = findmin( t.right ).element; t.right = removemin( t.right ); } else t = ( t.left!= null )? t.left : t.right; return t; } findmin søg til venstre removemin søg rekursivt til venstre, og da minimum element ikke har to undertræer, kan træet trækkes sammen (21)
22 Dette er altsammen meget godt, men det er kun interessant hvis indsættelser og sletninger ankommer således passende at træet forbliver balanceret. Eksempel: Værdier indsættes i voksende rækkefølge: 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \... Træet degenererer til en hægtet liste. O(log n) ==> O(n) :( Altså: Indsættelse og sletning skal justere på træet så det er nogenlunde balanceret. Bogen omtaler forskellige strategier (og der er mange andre beskrevet i litteraturen) Vi nøjes med at skitsere AVL-træer! (22)
23 AVL-træer (Adelson-Velskii og Landis, 1962) For enhver knude i træet gælder, at højden af dens venstre undertræ og højden af dens højre undertræ højst afviger med 1. Eksempel på AVL-træ: Det kan bevises, at denne egenskab er tilstrækkelig for at sikre log n dybde. (23)
24 Skitse af metode for indsættelse i AVL-træ Indsættelse i X s venstre undertræ kan ødelægge AVL-egenskaben. I det følgende betegner X den dybeste knude, som er rod i et deltræ, der ikke længere opfylder AVLegenskaben. (24)
25 (25)
26 Tilfælde 1: En højrerotation genskaber balancen (26)
27 Tilfælde 2: En højrerotation genskaber ikke balancen Der skal en dobbeltrotation til: Først rotere til venstre i venstre deltræ; dernæst til højre i hele træet! Vi skåner tilhøreren (og læreren!) for implementationen i Java! (27)
28 Afslutning: Træer vigtig datastruktur til at repræsentere af natur træagtige ting syntakstræer katalogstrukturer procestræer i operativsystemer... (Binære) søgetræer: Vigtig datastrukturer til effektiv lagring og genfinding. Essentielt: At holde træerne balancerede! Databasesystemer er fyldt med træer og balanceringsalgoritmer... og hashing som vi kommer til senere... (28)
Søgetræer: Generel repræsentation af (sorterede) mængder og funktioner Databasesystemer...
Datastrukturer & Algoritmer, Datalogi C Forelæsning 11/11-2003 Træer En meget vigtig datastruktur Repræsentation af sprog (i meget generel betydning), syntakstræer: Java (i en compiler), SQL (i et databasesystem),
Læs mereBinære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo
Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.
Læs mereBinære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille
Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor
Læs mereBinære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo
Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):
Læs mereSkriftlig eksamen i Datalogi
Roskilde Universitetscenter side 1 af 11 sider Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Sommer 2000 Opgavesættet består af 6 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 10% Opgave 2 10%
Læs mereStakke, køer og lidt om hægtede lister
Datastrukturer & Algoritmer, Datalogi C Forelæsning 4/11-2003 Henning Christiansen Stakke, køer og lidt om hægtede lister - kapitel 16 og 17 Hvorfor? Fundamentale datastrukturer man får brug for igen og
Læs mereStakke, køer og lidt om hægtede lister - kapitel 16 og 17
Datastrukturer & Algoritmer, Datalogi C Forelæsning 2/11-2004 Henning Christiansen Stakke, køer og lidt om hægtede lister - kapitel 16 og 17 Fundamentale datastrukturer man får brug for igen og igen Et
Læs mereOm binære søgetræer i Java
Om binære søgetræer i Java Mads Rosendahl 7. november 2002 Resumé En fix måde at gemme data på er i en træstruktur. Måden er nyttig hvis man får noget data ind og man gerne vil have at det gemt i en sorteret
Læs mereAlgoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012
Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk
Læs merePrioritetskøer og hobe. Philip Bille
Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af
Læs mereDefinition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er
Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i
Læs mere02105 Eksamensnoter. Lasse Herskind S maj Sortering 3
02105 Eksamensnoter Lasse Herskind S153746 12. maj 2017 Indhold 1 Sortering 3 2 Analyse af algoritme 4 2.1 Køretid.......................................... 4 2.2 Pladsforbrug.......................................
Læs mereVejledende løsninger
Roskilde Universitetscenter side 1 af 8 sider Vejledende løsninger Opgave 1 Spørgsmål 1.1 a = b - a; b = b - a; a = b + a; Opgaven har flere løsninger. En anden løsning er: a = b + a; b = a - b; a = a
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille
Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer
Læs mereDatastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer
Philip Bille. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key og satellitdata x.data. MAX(): returner element med største nøgle. EXTRACTMAX(): returner og fjern
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer
Philip Bille (priority-queues). Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key og satellitdata x.data. MAX(): returner element med største nøgle. EXTRACTMAX():
Læs mereDatastrukturer (recap) Datastruktur = data + operationer herpå
Dictionaries Datastrukturer (recap) Datastruktur = data + operationer herpå Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data (ofte underforstået, også
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs merePrioritetskøer ved»heap«, simulering
Datastrukturer & Algoritmer, Datalogi C Forelæsning 25/11-2003 Prioritetskøer ved»heap«, simulering Yet another teknik til at repræsentere mængder Hvor hashtabellen fremviste: Konstant tid for finde og
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1. Datalogisk Institut Aarhus Universitet. Mandag den 22. marts 2004, kl
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1 Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den. marts 00, kl..00 11.00 Navn Gerth Stølting Brodal Årskort 1 Dette eksamenssæt består af en kombination
Læs mereSkriftlig eksamen i Datalogi
Roskilde Universitetscenter Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1998/99 Opgavesættet består af 5 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 16% Opgave 2 12% Opgave 3 10% Opgave
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereDatastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Læs mereIntervalsøgning. Algoritmisk geometri. Motivation for intervaltræer. Intervalsøgning. Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed
Algoritmisk geometri Intervalsøgning 1 2 Motivation for intervaltræer Intervalsøgning Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Vi kan
Læs mereSkriftlig eksamen i Datalogi
Roskilde Universitetscenter Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Sommer 1999 Opgavesættet består af 5 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 15% Opgave 2 15% Opgave 3 8% Opgave
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4
Eksamen. kvarter 00 Side 1 af sider Opgave 1 ( %) Ja Nej n log n er O(n / )? n 1/ er O(log n)? n + n er O(n )? n( n + log n) er O(n / )? n er Ω(n )? Opgave ( %) Opskriv følgende funktioner efter stigende
Læs mereAlgoritmisk geometri
Algoritmisk geometri 1 Intervalsøgning 2 Motivation for intervaltræer Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Antag, at vi ønsker at
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
ksamen 036, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 036. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 4 n n 3n n 2 /logn 5 n n (logn) 3n n 2 /logn 4 n n 5 n
Side af 0 sider Opgave (%) Ja Nej n er O(0n logn)? n er O(n )? n +n er O(n )? n logn er O(n )? n logn er O(n)? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n
Læs mere1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer
1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer på disse. Typer af lister: Array Enkelt linket liste Dobbelt linket Cirkulære lister Typer af køer: FILO FIFO
Læs mere16 Træer. Noter. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype.
16 Træer. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype. Gennemløb af binære træer. Træer i Eiffel. 229 Definition af et træ.
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mere22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned.
22 Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. Indsættelse i hobe. Sletning af minimalt element i hobe. Repræsentation. 327
Læs mereSkriftlig eksamen i Datalogi
Roskilde Universitetscenter side 1 af 9 sider Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1999/2000 Opgavesættet består af 6 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 5% Opgave 2
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereRekursion og dynamisk programmering
Rekursion og dynamisk programmering Datastrukturer & Algoritmer, Dat C Forelæsning 12/10-2004 Henning Christiansen Rekursion: at en procedure kalder sig selv eller et antal metoder kalder hinanden gensidigt.
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1. Datalogisk Institut Aarhus Universitet
Side af 1 sider Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1 Datalogisk Institut Aarhus Universitet Dette eksamenssæt består af en kombination af små skriftlige opgaver og multiplechoice-opgaver. Opgaverne
Læs mereDivide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2018 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 13. marts, 2018 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereDivide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2018 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 20. marts, 2019 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n n (log n) 2. n 2 + log n 3 n. n n (log n)
Eksamen august 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave ( %) n er O(n log n)? n n er O(n )? Ja Nej n er O(n log n)? n + n log n er O(n n)? n + n er O(n )? Opgave ( %) Opskriv følgende
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mereDivide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer (af samme type). 2. Løs delproblemerne ved rekursion (dvs. kald algoritmen
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 1. april 200, kl..00-11.00
Læs mereDivide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2010 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 24. april, 2010 (let justeret 10. maj og 21. maj 2010) Dette projekt udleveres i tre
Læs mereAlgoritmeanalyse. Øvre grænse for algoritme. Øvre grænse for problem. Nedre grænse for problem. Identificer essentiel(le) operation(er)
Algoritmeanalyse Identificer essentiel(le) operation(er) Øvre grænse for algoritme Find øvre grænse for antallet af gange de(n) essentielle operation(er) udføres. Øvre grænse for problem Brug øvre grænse
Læs mereDatalogi OB, Efterår 2002 OH er, forelæsning 10/ Klasser og nedarvning
Datalogi OB, Efterår 2002 OH er, forelæsning 10/9-2002 Klasser og nedarvning Hvad er formålet? Typer, generisk kode, typeparameterisering Kritisk kig på, hvordan man gør i Java. Eftermiddagens opgave:
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 7. juni 00, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Læs mereBinære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Algoritmer på træer og trægennemløb.
Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Algoritmer på træer og trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse
Læs mereBinære søgetræer og skiplister
Søgning 1 Binære søgetræer og skiplister < 6 S 3 + 2 > 9 S 2 15 + 1 4 = 8 S 1 15 23 + S 0 10 15 23 36 + 2 Ordbog ADT (Dictionary) En ordbog lagrer en samling af emner, der kan søges i Hvert emne er et
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2013 Projekt, del I Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 5. marts, 2013 Dette projekt udleveres i to dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereOrienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk
Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9
Læs mereSortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Læs mereSortering af information er en fundamental og central opgave.
Sortering Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer 1 (003-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 10 (ti)
Læs mereGrådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Læs mereKlasser og nedarvning
Datalogi C, Efterår 2004 OH er, forelæsning 21/9-2004 Klasser og nedarvning Hvad er formålet? Typer, generisk kode, typeparameterisering Kritisk kig på, hvordan man gør i Java. Opgaven til senere: Generalisere
Læs mereSortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Læs mereIntroduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer
Introduktion til datastrukturer Introduktion til datastrukturer Philip Bille Datastrukturer Datastruktur. Metode til at organise data så det kan søges i/tilgås/manipuleres effektivt. Mål. Hurtig Kompakt
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mereIntroduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer
Introduktion til datastrukturer Introduktion til datastrukturer Philip Bille Datastrukturer Datastruktur. Metode til at organise data så det kan søges i/tilgås/manipuleres effektivt. Mål. Hurtig Kompakt
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 26. maj 2009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning
Læs mereSortering af information er en fundamental og central opgave.
Sortering 1 / 36 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2016 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 20. april, 2016 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereSortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:
Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus
Læs mereBRP Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer
BRP 13.9.2006 Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer 1. Opgaverne til i dag dækker det meste af stoffet 2. Resten af stoffet logaritmer binære træer 3. Øvelse ny programmeringsopgave
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve, 14. december 2018, 4 timer Side 1 af 18 Kursus navn: 02101 Indledende Programmering Kursus : 02101 Tilladte hjælpemidler: Ikke-digitale skriftlige hjælpemidler
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n
Eksamen. kvarter 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O(n )? n er O(n )? n er O(n + 0 n)? n + n er O(n )? n log n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner
Læs mereIntroduktion til datastrukturer. Philip Bille
Introduktion til datastrukturer Philip Bille Plan Datastrukturer Stakke og køer Hægtede lister Dynamiske tabeller Datastrukturer Datastrukturer Datastruktur: Metode til at organise data så det kan søges
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =
Læs mereSyntaks og syntaksgenkendelse, særligt regulære udtryk og tilstandsmaskiner og lidt om anvendelser i bioinformatik
Datalogi C, RUC Forelæsning 22. november 2004 Henning Christiansen Syntaks og syntaksgenkendelse, særligt regulære udtryk og tilstandsmaskiner og lidt om anvendelser i bioinformatik Dagens program Hvad
Læs mereIntroduktion til datastrukturer
Introduktion til datastrukturer Datastrukturer Stakke og køer Hægtede lister Dynamiske tabeller Philip Bille Introduktion til datastrukturer Datastrukturer Stakke og køer Hægtede lister Dynamiske tabeller
Læs mereLøsning af møntproblemet
Løsning af møntproblemet Keld Helsgaun RUC, oktober 1999 Antag at tilstandene i problemet (stillingerne) er repræsenteret ved objekter af klassen State. Vi kan da finde en kortest mulig løsning af problemet
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2019 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 10. april, 2019 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereBRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt
BRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt 1. Kursusintroduktion 2. Java-oversigt (A): Opgave P4.4 3. Java-oversigt (B): Ny omvendings -opgave 4. Introduktion til næste kursusgang Kursusintroduktion:
Læs mereTree klassen fra sidste forelæsning
Programmering 1999 Forelæsning 12, fredag 8. oktober 1999 Oversigt Abstrakte klasser. Grænseflader. Programmering 1999 KVL Side 12-1 Tree klassen fra sidste forelæsning class Tree { int age; // in years
Læs mereMindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion
Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 005, F09 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2015 Projekt, del I Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 3. marts, 2015 Dette projekt udleveres i to dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereOrienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer
Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.
Læs mereOrienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.
Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk
Læs mere