Matematik A Studentereksamen stx163-mat/a-07122016 Onsdag den 7. december 2016 kl. 9.00-14.00
Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 7-14 med i alt 19 spørgsmål. De 25 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. 2. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.
Stx matematik A december 2016 side 1 af 6 Delprøven uden hjælpemidler l. 9. 1. Opgave 1 rafen for en lineær funktion f går gennem punkterne P,9 og Q 14,12. Bestem en forskrift for f. Opgave 2 n parabel er givet ved ligningen y= x - x+ 2 2 4. Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt. Opgave 3 n funktion f er bestemt ved f x = ln x + 2x, x >. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P 1, f 1. Opgave 4 educ r udtrykket 2 a+ b 2 2 a - b. Opgave 5 iguren viser to ensvinklede og retvinklede trekanter ACB og BDA, hvor AB =, og BC = AD = 6. D C E 6 6 Bestem arealet af trekant ABE. A 8 B END
Stx matematik A december 2016 side 2 af 6 Opgave iguren viser en punktmængde M, der er afgrænset af graferne for funktionerne f og g. (2) g M f 4 (1) Det vides, at f = g og f 4 = g 4. m to stamfunktioner F og G til henholdsvis f og g oplyses følgende funktionsværdier: x 4 Fx 1 Gx - 1 5 Bestem arealet af M. Besvarelsen afleveres kl. 1.
Stx matematik A december 2016 side af 6 Delprøven med hjælpemidler l. 9. 14. Opgave abellen viser for et bestemt land og for hvert år i perioden 2 9-2 15 det samlede salg af elbiler siden 2 9. rstal 2 9 2 1 2 11 2 12 2 1 2 14 2 15 amlede salg af elbiler 46 7 516 112 174 1 1197 I en model kan udviklingen i det samlede salg af elbiler beskrives ved en funktion af typen hvor t Nt ba, Nt betegner det samlede salg af elbiler til tidspunktet t målt i år efter 2 9. a Benyt tabellen til at bestemme tallene a og b. b ør rede for, hvad tallet a fortæller om udviklingen i det samlede salg af elbiler, og benyt modellen til at bestemme den tid, der går, før det samlede salg af elbiler er fordoblet. c Bestem af elbiler. N 7, og gør rede for, hvad tallet fortæller om udviklingen i det samlede salg Opgave I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved t + 2 a = 2 og 2 b = - 1, hvor t er et tal. a Bestem for t = 1projektionen af a på b. b Bestem de værdier af t, for hvilke a og b har samme længde. Opgave n sammenhæng er givet ved y x -, = 1, x >. a Bestem, hvor mange procent y ændres med, når x vokser med 2.
Stx matematik A december 2016 side 4 af 6 Opgave 1 F z E B 10 10 A(0, 0, 0) B(0, 8, 6) C(0,16,0) A 16 C y x 12,2 D 12,2 å figuren ses en lampe, der er sat sammen af 24 plane firkanter. ver firkant har form som firkant ABCD, hvor AB = BC = 1 cm og CD DA 12,2 cm. Desuden oplyses, at diagonalen AC har længden 16 cm. a Bestem B i firkant ABCD, og bestem længden af diagonalen BD. b Bestem arealet af firkant ABCD. ampen indlægges i et koordinatsystem, sådan at firkant ABCD ligger i yz-planen, og punkterne A, B og C har koordinaterne A,,, B,,6 og C,16,. irkanten ABEF er nabofirkant til ABCD og ligger i planen a med ligningen 5,6 x- 51,6 y+ 6, z=. c Bestem en normalvektor til den plan, der indeholder firkant ABCD, og bestem den stumpe vinkel mellem firkant ABCD og ABEF. Opgave 11 n trigonometrisk funktion f er givet ved forskriften f x = sin 2x + 7, x 2. a kits r grafen for f, og bestem minimum for f. b øs ligningen f x =,5. rafen for f og linjen med ligningen x = 5 afgrænser sammen med koordinatakserne en punktmængde M, der har et areal. c Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 6 om koordinatsystemets førsteakse.
Stx matematik A december 2016 side 5 af 6 Opgave 12 n funktion f er bestemt ved f x x x 2 =- + 4. (2) ise går fra punktet O til punktet A langs en sti på en græsplæne. I en model kan stiens form beskrives ved grafen for funktionen f, hvor x ligger i intervallet 4. år ise befinder sig i et punkt P x, f x på stien, er hendes direkte afstand fra punktet A 4, lig med d= PA. a ør rede for, at O P d f A (1) 4 2 d x x x x+ x = - + 17-16, 4. b Bestem koordinatsættet til det punkt på ruten, hvor ises direkte afstand fra punktet A er størst. Opgave 13 I et eksperiment med chinacea til stimulering af immunforsvaret har man fundet følgende data i en stikprøve fra de personer i Danmark, der deltog i eksperimentet. Infektion lacebo chinacea 2 chinacea 6 chinacea um 17 Ikke infektion 29 um 1 52 52 orskerne bag eksperimentet har opstillet en nulhypotese: En persons infektionsniveau er uafhængigt af størrelsen af den dosis Echinacea personen indtager. a Bestem antallet af personer i stikprøven, og bestem de forventede værdier med udgangspunkt i nulhypotesen. Det oplyses, at 2 -teststørrelsen for stikprøven er 2,925. b ndersøg på et 5 signifikansniveau, om nulhypotesen kan forkastes. END
Stx matematik A december 2016 side 6 af 6 Opgave 14 Grafik: www.colourbox.com I en model for oplæring af nye medarbejdere i en bestemt produktionsvirksomhed kan udviklingen i en medarbejders produktionsevne ved en produktionslinje beskrives ved differentialligningen da =k M -A, dt hvor A betegner medarbejderens produktionsevne målt i enheder pr. dag til tidspunktet t målt i døgn efter starten af oplæringsperioden. or en bestemt produktionslinje oplyses, at M = producere 75 enheder pr. dag til tidspunktet t =., k =, 2, og at en medarbejder kan a Bestem væksthastigheden for medarbejderens produktionsevne til tidspunktet t =. b Bestem en forskrift for A, og benyt modellen til at bestemme, hvor længe en medarbejder skal være under oplæring for at kunne producere 2 enheder pr. dag ved denne produktionslinje. or en anden produktionslinje oplyses det, at M = 25, samt at en medarbejder kan producere 5 enheder pr. dag af varen ved starten af oplæringsperioden og 12 enheder pr. dag efter dages oplæring. c Bestem konstanten k, og forklar betydningen af M. Opgave 15 153177.indd 8 24/10/2016 11.10
AGYM 163-20