MATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve Kl STX0310-MAA-net

Transkript

1 NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl STX0310-MAA-net

2 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling Delprøve 2: 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 12 spørgsmål Delprøve 2 består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af helhedsindtrykket i besvarelsen af de enkelte spørgsmål vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

3 Stx matematik A-net marts 2010 side 1 af 6 Delprøve 1 Kl Opgave 1 Grafen for funktionen f med forskriften f ( x) = ax+ b går gennem punkterne (0,1) og (3,28). a) Bestem en forskrift for funktionen f. b) Løs ligningen f( x ) = 19. Opgave 2 Andengradspolynomiet p er givet ved forskriften 2 px ( ) = x 10x+ 9. a) Bestem rødderne i p. b) Bestem c i forskriften for q, hvor 2 qx ( ) = x 10x+ c således, at q har netop én rod. Opgave 3 Der er givet to vektorer 4+ 2t a = 4 + t og 5 b =. 10 a) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af vektorerne a og b, når t = 1. b) Bestem t, så a er vinkelret på b. Opgave 4 Funktionen f er givet ved 6,4 2 f( x) = x + 3x + 5. a) Bestem f ( x).

4 Stx matematik A-net Terminsprøve 2010 side 2 af 6 Opgave 5 På figuren ses graferne for de tre polynomier p, q og r, som har forskrifterne p x x x q x x x r x x x ( ) = ( ) = + 2 ( ) = A y B C 1 2 x a) Bestem q (2) og p (1), og bestem hvilke af funktionerne p, q og r, der har A, B og C som graf. Begrund dit svar. Opgave 6 På figuren ses kvadratet ABCD. Linjestykkerne AD og BE er parallelle. E D F C A B a) Gør rede for, at trekant ADF er ensvinklet med trekant ABE. b) Bestem BE, når AB = 6 og DF = 4.

5 Stx matematik A-net Terminsprøve 2010 side 3 af 6 Opgave 7 På figuren ses grafen for f. Grafen afgrænser sammen med akserne en punktmængde M i 1. kvadrant. Ligeledes afgrænser grafen sammen med x-aksen en punktmængde N i 4. kvadrant. Det oplyses, at F er en stamfunktion til f. I tabellen ses udvalgte funktionsværdier for F. y f F (0) = 0 F (2) = 11 F (4) = 5,5 F (6) = 0 M 2 6 N x a) Bestem arealet af punktmængden M. b) Bestem 6 f ( xdx ), 0 og gør rede for, at arealerne af M og N er lige store. Besvarelsen afleveres kl

6 Stx matematik A-net Terminsprøve 2010 side 4 af 6 Delprøve 2 Kl Opgave 8 I tabellen nedenfor ses en opgørelse over prisudviklingen (i kr. pr. måned) for en bredbåndsforbindelse med hastighed 2 Mbit/s i perioden År Månedspris i kr I en model antages det, at månedsprisen f ( t) på en bredbåndsforbindelse med hastighed 2 Mbit/s som funktion af tiden t (antal år efter 2003) med tilnærmelse kan beskrives ved en funktion af typen t f () t = b a, hvor a og b er konstanter. a) Bestem tallene a og b. b) Benyt modellen til at bestemme månedsprisen på en bredbåndsforbindelse med hastighed 2 Mbit/s i Bestem halveringstiden på månedsprisen for en bredbåndsforbindelse med hastighed 2 Mbit/s. Opgave 9 Der er givet punkterne A = ( 1, 2), B = (3,4) og C = (0,3). a) Bestem A i trekant ABC. b) Bestem længden af medianen m c. Opgave 10 Når en mark tilføres gødning, påvirker det udbyttet. Det antages, at udbyttet U( x) bestemt kornsort (målt i tons pr. ha) kan beskrives ved forskriften af en 2,5x2 U( x) = 20 (1 e ) + 11,2, hvor x angiver mængden af gødning (målt i tons pr. ha). a) Tegn grafen for U i et passende koordinatsystem, og bestem den øvre grænse for udbyttet. b) Bestem mængden af gødning, der skal tilføres pr. ha. for at udbyttet bliver 15 tons pr. ha. Bestem U (0,5), og beskriv betydningen af dette tal.

7 Stx matematik A-net Terminsprøve 2010 side 5 af 6 Opgave 11 Indgangen til det berømte parisiske kunstmuseum Louvre sker gennem en glaspyramide (se figur 1). z S B A D y x C Figur 1 Figur 2 En model af pyramiden indlægges i et koordinatsystem (se figur 2), så hjørnerne af pyramiden får følgende koordinater A = (0,0,0), B = (35,0,0), C = (35,35,0), D = (0,35,0) og S = (17.5,17.5,20.6), hvor alle mål er i meter. a) Bestem en ligning for den plan α, der indeholder punkterne A, B og S. I pyramidens top S ophænges et udstillingsobjekt, således at objektets centrum P ligger præcis 5 meter lodret under S. b) Bestem afstanden fra P til planen α. På dage hvor solen skinner falder sollyset i parallelle linjer på pyramiden. På et bestemt 3 tidspunkt falder sollyset i parallelle linjer, der har retningen r = 2. 4 c) Bestem koordinaterne for skyggen af pyramidespidsen i xy-planen. Opgave 12 Den danske landsholdsmålmand i håndbold Kasper Hvidt havde ved EM i Norge i 2008 en redningsprocent på 40 %. Dvs. han reddede 40 % af de skud, som modstanderne skød på hans mål. Ved EM i Østrig 2010 reddede Kasper Hvidt i en bestemt kamp 11 skud ud af 36. a) Opstil en nulhypotese, og undersøg på et 5 % signifikansniveau, om Kasper Hvidts redningsprocent har ændret sig.

8 Stx matematik A-net Terminsprøve 2010 side 6 af 6 Opgave 13 To funktioner f og g er givet ved f( x) = sin( x) + x+ 4 og gx ( ) = k x For k = 2 afgrænser graferne for f og g sammen med akserne og linjen med ligning x = 20 en punktmængde M (se figur), der har et areal. y M 2 x Formen af en 20 cm høj glasvase fremkommer ved, at punktmængden M drejes 360 om x-aksen. a) Bestem rumfanget af vasens glasdel. b) Bestem k, så rumfanget af vasens glasdel er 3000 cm 3. Opgave 14 Kilde: En solsikkes vækst opfylder ifølge Reed og Holland følgende differentialligning y' = 0, y (250 y), hvor y betegner solsikkens højde (målt i cm), som funktion af tiden t (målt i døgn). Deres undersøgelser fra 1919 viste, at højden af en solsikke efter 21 døgn er 67,8 cm. a) Bestem væksthastigheden for en solsikke, når højden er 150,0 cm. Bestem løsningen til differentialligningen. Kilde: Reed, H. S. and Holland, R. H. (1919), Growth of sunflower seeds; Proceedings of the National Academy of Sciences, volume 5, p. 140.