Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A?
6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit 4 6.3 Kapitalfremskrivig 6 6.4 Auitetsopsparig 10 6.5 Auitetslå 14 6.6 Idextal 18 6.7 Lieær programmerig 21 6.8 Opgaver 26 Facitliste 34 Kapiteloversigt 36 Title til dette hæfte er måske lidt prætetiøs. 'Matematik og økoomi' hadler mest om, hvorledes ma reger med procettal og reter, og hvorledes ma ka behadle forskellige lå- og opsparigstyper matematisk. Me sidst i hæftet skal du have e forsmag på lieær programmerig. Dette er e metode til at løse visse problemer, som avedes utroligt meget ude i de virkelige verde. God arbejdslyst! 1
6.1 Procettal Procettal er e ofte beyttet måde at agive forhold på. Ordet procet kommer fra lati og betyder hudrededele. Eksempel Thomas' mor har et blomsterbed med 40 blomster. E dag river Thomas 12 af blomstere op. Hvor mage procet af blomsterbedet har Thomas ødelagt? Svaret er, at de brøkdel af blomstere, Thomas har ødelagt, er 12 = 0, 3 40 For at få agivet dee brøkdel i procet, så skal vi gage med 100%: 0, 3= 0, 3 100% = 30% Ma skal her tæke på, at 100% = 1 - der går jo 100 hudrededele på 1. Når ma agiver f.eks. stigiger eller fald i procet, så skal ma passe lidt på: Eksempel Hase er de lykkelige ejer af to aktier - e i Matmyst A/S og e i Mytmast A/S. Begge har e pålydede værdi på 10000 kr, og begge er ede i kurs 60. Hvor meget er hver aktie værd? Svar: Kurs 60 betyder, at aktiere i dag ka sælges til 60% af deres pålydede værdi. Hver af aktiere er altså 60% 10000= 0, 60 10000= 6000 kr. værd. Aktie i Matmyst A/S stiger u 10 poits (eller 10 procetpoits). Hvad er de u værd? Svar: E stigig på 10 poits betyder, at kurse stiger med 10 fra 60 til 70. Aktie er altså 70% 10000= 0, 70 10000= 7000 kr værd. Aktie i Mytmast A/S stiger med 10%. Hvor meget er de u værd? Svar: E stigig på 10% betyder, at akties værdi u er 100% + 10% = 110% af de gamle værdi. Aktie er altså 110% 6000= 1, 10 6000= 6600 kr værd. 2
Opgaver 1.1 Omskriv edeståede procettal til decimaltal: a) 45% b) 17% c) 72,4% d) 0,16% e) 0, 01% f) 1,01% g) 192% h) 0,0001% Omskriv edeståede decimaltal til procettal: i) 0,02 j) 0,352 k) 0,0352 l) 1,01 m) 0,101 ) 90 o) 1 p) 2 1.2 a) Hvor mage procet udgør 300 af 6000? b) Hvor mage procet udgør 19 af 210? c) Hvor meget er 15% af 230? d) Hvor meget er 190% af 0,1? 1.3 E aktie med pålydede 50000,- ligger i kurs 140. Hvor meget er aktie værd? Kurse siger u med 40 poits. Hvor meget er aktie u værd? Hvor mage procet af akties værdi udgjorde stigige? 1.4 På Pladderballe Gymasium er 25% af elevere sproglige, 40% af elevere matematikere og 35% af elevere HF'ere. Der er 60 matematikere. Hvor mage elever er der i alt? Hvor mage sproglige og HF'ere er der? 1.5 Matematiklærere kommer id i 1.u og siger bistert: "I er så dumme, at 90% af jer dumper til eksame!", hvorefter e elev udbryder med forbløffelse i stemme: "Jame, vi er jo ku 22 elever!" Hvorfor er dette morsomt? 3
6.2 Vejet geemsit Vejede geemsit bruges i forbidelse med edeståede problemstilliger: Eksempel I 1.x har ma udersøgt, hvor mage søskede, hver ekelt elev har. Resultatet er agivet i edeståede tabel: Atal 0 1 2 3 %-del 30 % 40 % 20 % 10 % Her står at læse, at f.eks. 20 % af elevere har to søskede. Hvad er det geemsitlige atal søskede? For at rege dette ud, skal ma udrege det vejede geemsit: 0 30% + 1 40% + 2 20% + 3 10% = 1, 1 Hver elev har altså i geemsit 1,1 søskede. I oveståede geemsit kaldes procetdelee for de vægte, hvormed atal søskede skal medreges. F.eks. idgår atallet 2 søskede med vægte 20% i det vejede geemsit. Lidt mere kriglet bliver det i problemer af type edefor: Eksempel Et vaskepulverfirma har lavet e forbrugerudersøgelse. Af de fremgår det, at 60% af de daske husmødre (som firmaet kalder si målgruppe) er over 40 år, og at 20% af disse husmødre over 40 år bruger firmaets vaskepulver. Edvidere bruger 40% af husmødree uder 40 år firmaets vaskepulver. Firmaet spørger u sig selv: a) Hvor stor e del af Damarks husmødre beytter vort vaskepulver? b) Hvor stor e del af vores forbrugere udgør de husmødre, som er uder 40 år? For at kue besvare disse spørgsmål, er det emmest at lave et kassediagram. Dette diagram repræseterer i dette tilfælde alle husmødre i Damark, og forskellige procetdele heraf repræseteres ved arealer af forskellig størrelse. Kvadratet er iddelt i 10x10 felter - hvert felt repræseterer altså 1 % af de totale husmodermægde. 4
20% 40% 60% 40% Heraf ses, at i alt 20% 60% + 40% 40% = 28% af husmødree bruger firmates vaskepulver. Edvidere udgør husmødre uder 40 år procetdele 40% 40% 16% = 0 571 57 1 28% 28%, =, % af firmates forbrugerskare. Opgaver 2.1 På Pladderballe Gymasium har ma udersøgt eleveres rygevaer. Det viser sig, at 47% af pigere og 26% af dregee ryger. Edvidere er 55% af elevere piger. Hvor mage procet af elevere på skole ryger? Hvor stor e procetdel af rygere udgør pigere? 2.2 I det lokale supermarked forhadler ma ku to slags vaskepulver, A og B. I 30% af pakkere med vaskepulver A er der klistermærker, mes der i pakkere med B er klistermærker i hele 70%. 35 % af supermarkedets beholdig af vaskepulver udgøres af pakkere med pulver A. Hvor stor e procetdel af pakkere i supermarkedet ideholder klistermærker? Hvor stor e procetdel af klistermærke-pakkere udgør pakkere med pulver A? 5
6.3 Kapitalfremskrivig De geerelle problemstillig idefor kapitalfremskrivig er: E perso idsætter k 0 kroer på e koto. På dee koto tilskrives der reter e gag pr. termi. Retesatse er r. Hvor mage pege, k, står der på kotoe efter termier? Fra hæftet 'Exp, pot og log' keder vi allerede svaret - fremskrivigsfaktore, som er de faktor, beløbet på kotoe skal gages med for at komme fra e termi til de æste, er jo a = 1 + r. Efter termier er beløbet på kotoe derfor (1) k = k ( + r) 0 1 Dee formel kaldes reteformle eller kapitalfremskrivigsformle. Ovefor brugte vi ordet termi. Idefor fiasverdee er e termi periode mellem hver retetilskrivig. Tilskrives der f.eks. rete hver måed, så er termie lig e måed, og retesatse r i formle er de måedlige rete. Vi giver et par eksempler på avedelse af dee formel: Regede opgaver Opgave: Niels idsætter 1000 kr. på e koto med årlig rete på 10%. Hvor meget står der på kotoe efter 5 år? Svar: Opgave: Reteformle giver 5 5 k 5 = 1000 ( 1+ 10%) = 1000 1, 10 = 1610, 51 Der står altså 1610,51 kr. på kotoe efter 5 år. Jes får til si 18 års fødselsdag e bakbog af si gradtate. På bakboge står der 4813,24 kr, de årlige rete er 5%, og gradtate Olga idsatte det opridelige beløb, da Jes blev født. Hvor meget idsatte gradtate Olga? Svar: Vi skal fide k 0 i reteformle. =18, k 18 = 4813, 24 og r = 5%, så dette ka gøres ved at omskrive reteformle lidt: 18 k18 k18 = k0 ( 1+ r) k0 = 18 ( 1+ r) Idsættes vores tal, så fås 4813, 24 k 0 = = 2000, 00 18 ( 1+ 0, 05) 6
Gradtate Olga startede altså med at idsætte 2000,00 kr. Opgave: Svar: I e reklame for e "Ygle-Pege-koto" lover Doggerbake, at "1000 kroer bliver til 3000 kroer på ku 20 år". Hvor meget giver Doggerbake i årlig rete på e såda koto? Vi skal u fide r i reteformle: k k k = k0 ( 1+ r) ( 1+ r) = 1+ r = k k k r = 1 k 0 0 0 Idsættes værdiere k 0 = 1000, k 20 = 3000 og = 20, så fås 3000 r = 20 1 0, 0564 = 5, 64% 1000 De årlige rete er altså på ca. 5,64%. Opgave: Svar: Hvor lag går der, før 1 kroe er vokset til 1000000 kroer, år de årlige rete er 1%. Her skal vi fide. Dette gøres vha. logaritmer: k k = k0 ( 1+ r) ( 1+ r) = k0 k k log(( 1+ r) ) = log( ) log( 1+ r) = log( ) k0 k0 log( k / k0 ) = log( 1+ r) Idsættes de relevate værdier, så fås log( 1000000/ 1) = = 1157, 03 log( 1+ 0, 01) Det varer altså godt 1157 år, får vi får e millio kroer ud af e kroe! Alle disse regerier mider uhyggeligt meget om regeriere omkrig ekspoetielle udvikliger. Og dette er ikke oget tilfælde - reteformle siger jo etop, at kapitale k vokser ekspoetielt med fremskrivigsfaktore a = 1 + r. 7
Tit og ofte kommer ma ud for, at retesatsere ikke er kostate, me varierer fra termi til termi. Her ka det betale sig at sakke om de geemsitlige rete. Eksempel På e bakkoto er rete 3%, 5%, 2% og 6% i løbet af de fire første år. Hvor stor var de geemsitlige rete? Med de geemsitlige rete forstås de retesats som ville give der samme ideståede som oveståede, me hvor retesatse er kostat. For at fide dee, forestiller vi os, at vi idsætter f.eks. 100 kr. på kotoe. I løbet af de fire første år trækker de 100 kr. reter og vokser til 100 ( 1+ 3%) ( 1+ 5%) ( 1+ 2%) ( 1+ 6%) Var retesatse kostat lig med r, så skulle ideståede ifølge 4 reteformle være 100 ( 1+ r ). Sætter vi disse ideståeder lig hiade, så fås 4 100 ( 1+ 3%) ( 1+ 5%) ( 1+ 2%) ( 1+ 6%) = 100 ( 1+ r ) eller 1+ r = 4 ( 1+ 3%)( 1+ 5%)( 1+ 2%)( 1+ 6%) = 1, 0398 De geemsitlige rete var altså på 3,98%. Bemærk, at startbeløbet på 100 kr. ikke betød oget for selve udregige. Derfor udlader ma ormalt at avede et startbeløb, me reger direkte på fremskrivigsfaktorere. Oveståede eksempel giver aledig til følgede defiitio: Defiitio 2 De geemsitlige rete r af de retesatser r 1, r 2, r 3,..., r er bestemt ved 1+ r = ( 1+ r1 )( 1+ r2 )( 1+ r3 )...( 1+ r ) Bemærk, at der er forkert bare at tage geemsittet af retesatsere - der er jo tale om 'gagevækst' ved kapitalfremskrivig, ikke om 'plusvækst' 8
Opgaver 3.1 I edeståede skema forestiller ma sig, at kapitale k 0 idsættes i termier til retesatse r, hvorefter kapitale er vokset til k. Udfyld de tomme felter: k 0 r k 2000 3% 12 3500 1,25% 14 0,6% 4 500 11% 18 1000000 100 10 1000 4000 4 7500 800 25,6% 2500 2000 7,4% 12000 100 14 1000 4000 15,7% 9600 3.2 Doggerbake har etop lavet e y kotoform, hvor rete det første år er 2%, rete de æste år er steget til 4 %, og fra det tredie år og fremover er rete på 7%. Hvor stor er de geemsitlige rete i løbet af de første 5 år. 3.3 Firmaet Matmyst A/S's idtjeig voksede i 1990 med 5%, i 1991 med 3%, me i 1992 faldt idtjeige med 10%. Hvor stor var de geemsitlige vækst i idtjeige i løbet af dee periode på 3 år? 9
6.4 Auitetsopsparig Mage opsparigsformer, f.eks. bolig- og børeopspariger og kapitalpesioer, er såkaldte auitetsopspariger. Disse er karakteriseret ved, at ma hver termi idbetaler det samme beløb, ydelse, på opsparige. Vi vil fide e formel, som beskriver sammehæge mellem ydelse og opspariges værdi efter termier. For at kue gøre dette har vi brug for e hjælpesætig: Sætig 3 Lad a 1, og lad være et helt, positivt tal. Så er summe 2 3 s = 1+ s+ s + s +... + s lig med udtrykket s = a +1 1 a 1 Bevis: Vi har 2 3 s = 1+ a + a + a +... + a og derfor as = a( 1+ a + a + a +... + a ) = a + a + a +... + a + 2 3 2 3 1 Trækker vi disse to udtryk fra hiade, så fås 2 3 + 1 2 + 1 as s = ( a + a + a +... + a ) ( 1+ a + a +... + a ) = a 1 idet alle leddee æder hiade på ær leddet 1 og a +1. Vi har altså +1 as s = a 1 eller + 1 s ( a 1) = a 1, hvilket giver formle. Bemærk, at dee formel ikke gælder, år a = 1. Vi ka u udlede auitetsopsparigsformle: 10
Sætig 4 I e auitetsopsparig med retesatse r og ydelse y er værdie af opsparige A efter termier givet ved A ( 1+ r) 1 = y r Bevis: For simpelheds skyld skriver vi a = 1 + r. De første termi idsætter vi y kroer, dvs. A1 = y. Disse pege trækker reter til æste termi, hvor vi ige idsætter y kroer. Derfor er A2 = a A1 + y = ay+ y. Dette beløb trækker ige reter, og ige idsætter vi y kroer. Derfor gælder, at 2 A = aa + y = a( ay+ y) + y = a y + ay+ y. 3 2 Dette fortsætter idtil de 'te termi, hver der så står 1 2 3 2 A = a y + a y+... a y + a y + ay+ y. Sætter vi y udefor e paretes, og beytter vi hjælpesætige 3, så fås A y a a a a a y a 1 2 3 2 1 = ( + +... + + + + 1) = a 1 Idet vi husker på, at a = 1 + r, så fås edelig ( 1+ r) 1 ( 1+ r) 1 A = y = y 1+ r 1 r Eksempel E boligopsparig oprettes 1. jauar 1990. Det måedlige idskud er 200,-, og de måedlige rete er 1,2%. Hvor meget står der på boligopsparige 1. jauar 1995? Idet opsparige løber over 5 år à 12 måeder, så er = 60. Auitetes værdi er derfor 60 ( A 60 200 1 + 0, 012 ) = 1 = 17427, 45 0, 012 Dette skal sammeliges med, at der i alt er idsat 60 200 = 12000 kroer på kotoe. 11
Eksempel Mette vil gere købe e hest. Såda e koster 10000 kroer. Hu ka spare 500 kroer op om måede. Hu sætter sie pege id på e opsparigskoto, som giver 0,5 % i rete om måede. Hvorår har Mette råd til at købe si hest? Her skal termisatallet bestemmes, således at A = 10000. Vi isolerer i auitetsopsparigsformle: ( 1+ r) 1 Ar A = y = ( 1+ r) 1 r y A r Ar ( 1+ r) = + 1 log( 1+ r) = log( + 1) y y log( Ar / y + 1) = log( 1+ r) De kedte størrelser idsættes log( 10000 0, 005/ 500+ 1) = 139, 0 log( 1+ 0, 005) Mette ka altså først købe si hest efter 139 måeder. Opgaver 4.1 Bereg følgede summer vha. formle i sætig 3: a) 11 12 1+ 2 + 4+ 8+ 16+... + 2 + 2 b) 4 + 4 + 4 +... + 4 c) 1, 01 + 1, 01 + 1, 01 +... + 1, 01 d) 1 + 1 + 1 +... + 1 12
4.2 I edeståede tabel er det tale om e auitetsopsparig med ydelse y, rete r, atal termier og auitetes edelige værdi A. Udfyld tabelle. y r A 200 11% 10 1000 6% 4 2100 3% 20 8% 30 1000000 2% 10 50000 13% 6 8000 250 13% 1620 200 17% 26007 2000 8,3% 29389 150 5,6% 15 3,2% 9 8900 1105 7,2% 20000 4.3 De 1/1 1980 opretter Helles forældre e børeopsparig. De årlige rete er på 9%, og der idbetales 1000 kr. om året. a) Hvor meget står der på børeopsparige efter 10 år? Herefter hestår børeopsparige ude idskud, me til samme rete, i 8 år. b) Hvor mage pege står der u på kotoe? c) Hvor stor e del af ideståede på koto efter de 18 år er reter? 4.4 Doggerbake har to forskellige former for uddaelsesopspariger. I de første form idskydes 2000 kr. årligt i 18 år. I de ade form idskydes 4000 kr. årligt i 9 år, hvorefter pegee står ude at blive rørt i edu 9 år. Rete er i begge tilfælde på 7,5%. a) Hvor mage pege ville der stå på e koto, som følger de første form? b) Hvor mage pege ville der stå på e koto, som følger de ade form? c) Hvorfor står der flere pege på kotoe i b) ed de i a) - ma har jo idbetalt det samme beløb? 13
6.5 Auitetslå Auitetslå er i e vis forstad det modsatte af auitetsopspariger. Ved et auitetslå låer ma e vis mægde pege, kaldet grudstole. Ma afdrager så lået ved at betale det samme beløb, ydelse, hver termi, idtil lået er idfriet. Dette tager et atal termier, kaldet låets løbetid. Vi starter med at fide e formel, som beskriver auitetslå: Sætig 5 For et auitetslå med grudstole G, ydelse y, løbetide termier og retesats r (pr. termi), gælder 1 ( 1+ r) G = y r Bevis: For at bevise dee formel skal ma lave et lille kustgreb. Ma skal forestille sig, at bake, år de får ydelsere tilbage, ikke bruger pegee til at afdrage på lået, me i stedet sætter dem id på e auitetsopsparig. Bake har altså to koti: De opridelige låkoto, hvor kude låte beløbet G, og som der ikke sker mere med, og e auitetsopsparig, hvor der hver termi idsættes ydelse y. Begge koti forretes aturligvis med retesatse r. Efter termier er lået idfriet. Til dette tidspukt står der på de opridelige låkoto beløbet G ( 1 + r) (reteformle) og på auitetsopsparige ( 1+ r) 1 y (auitetsopsparigsformle) r Bake taber jo ikke pege på dette, så derfor må de to beløb være es: ( 1+ r) 1 G ( 1+ r) = y r c + r r G = y = + ( 1 ) 1 1 ( 1 ) r ( 1+ r) r hvilket viser formle. Afbetaligsordiger er typisk auitetslå: 14
Eksempel Mette er blevet træt af at vete på at få råd til e hest. I stedet køber hu e på afbetalig. Prise er stadigvæk 10000 kroer, og sælgere kræver e kotat udbetalig på 1200 kroer. Rete for afbetaligslået er 10% pr. halvår, og afbetalige skal løbe over 5 år. Hvor mage pege skal Mette slippe pr. halvår? For at besvare dette spørgsmål, dvs. fide ydelse y, skal vi bruge auitetslåsformle. I dee er r = 10% = 0, 10 =10 (løbetide er 5 år = 10 halvår) og G = 10000 1200 = 8800 G er jo det beløb, som låes, og som der skal betales reter af. Idsættes i formle fra sætig 4, så fås 1 ( 1+ r) r G = y y = G r 1 ( 1+ r) og 0, 10 y = 8800 = 1432, 16 10 1 ( 1+ 0, 10) Mette skal altså afbetale 1432,16 kr. hvert halve år. I alt kommer Mette til at betale 1200+ 10 1432, 16 = 15521, 60 for heste. I di tabelsamlig fider der tabeller over både auitetsopspariger og auitetslå. Disse er ormalt ikke til meget ytte - det er meget emmere at rege størrelsere ( 1+ r) 1 1 ( 1+ r) og r r ud direkte på lommeregere. Ku år ma skal fide rete r, ka tabellere bruges med fordel. Det er emlig umuligt at isolere r i formle i sætig 5. Vi giver et eksempel: Eksempel 15
E radiobutik tilbyder at sælge et stereoalæg på afbetalig. Kotatprise er 2540 kr., udbetalige er 112 kr., de måedlige ydelse er 110 kr., og afbetalige skal løbe over 48 måeder. Hvor stor er de måedlige rete med 1 decimal? For at besvare dette skal vi først idetificere de forskellige størrelser: G = 2540 112 = 2428 y = 110 = 48 Vi ved altså, at 48 1 ( 1+ r) G 2428 = = = 22, 0727 r y 110 I tabelle søger vi u efter dette tal ud for række, hvor = 48. Vi ka ikke direkte fide tallet 22,0727, me vi fider de to ærmeste tal: Når r = 3 50, %, så er G y år r = 4, 00%, så er G y = 23, 0912, og = 21, 1951. Rete ligger derfor imellem 3,50% og 4,00%, og er ok ærmere ved 4,00% ed ved 3,50%. Betragt u edeståede talliie: 3,50% 3,55% 3,65% 3,75% 3,85% 3,95% 4,00% Her er itervallet 3, 50% ; 4, 00% opdelt i de delitervaller, hvori ma afruder til e decimal. F.eks. vil samtlige tal i itervallet 3, 75% ; 3, 85% blive afrudet til 3,7%. Vores opgave er u at fide placerige af r på dee talliie. For at kue dette bereger vi G r = + 48 1 ( 1 ) for alle tallee på y r talliie. Resultatet bliver 3,50% 3,55% 3,65% 3,75% 3,85% 3,95% 4,00% 22,8898 22,4952 22,1111 21,7373 21,3735 23,0912 21,1951 Heraf ka ma se, at rete r må ligge mellem 3,75% og 3,85%. Med e decimal er rete derfor 3,7% pr. måed. 16
Det er ormalt ikke ødvedigt at udrege alle G y -værdiere, bare ok til, at ma ka spærre låets G y -værdi ide mellem to 'afrudigspukter'. Opgaver 5.1 I edeståede tabel er der tale om et auitetslå med ydelse y, grudstole G, atal termier og rete r. Udfyld skemaet. G r y 120000 8 9% 50000 16 12% 80000 48 2% 24 7% 1000 10 14% 200 7 3,2% 224,31 8000 13% 2001,23 9000 2% 352,80 6000 3% 436 4 11% 2000 5.2 Michael vil købe e kallert på afbetalig. Kotatprise er 14999 kr, og der kræves e udbetalig på 1500 kr. De måedlige ydelse er 2407,60 kr., og der skal afdrages over 6 måeder. Bestem de måedlige rete med e decimal. 5.3 E vare koster ved kotatkøb 3740 kr. To forretiger tilbyder vare på afbetalig. I forretig A forlages 740 kr. i udbetalig, og restbeløbet betales med e fast måedlig ydelse i 24 måeder. Rete er 1,2 % pr. måed. Bestem de måedlige ydelse ved dee afbetaligsordig. I forretig B forlages e udbetalig på 1000 kr., og restbeløbet betales over 18 måeder med 173,25 kr. pr. måed. Bestem, i hvilke af de to forretiger de måedlige rete (i procet) er størst. 17
6.6 Idextal I økoomiske sammehæge har ma ofte brug for at vide, hvorledes e størrelse har udviklet sig geem åree. Dette kue f.eks. være udviklige i priser på sommerhuse i periode 1971-1975. E måde at beskrive dee udviklig på er at tage prise på et typisk sommerhus og så tabellere prisere for dette sommerhus geem åree: 1971 1972 1973 1974 1975 140000 166600 214200 256200 273000 Dette er jo ikke specielt overskueligt, og edvidere er det jo ikke alle sommerhuse, som koster 140000 kr. E bedre idé er at udrege forholdee mellem sommerhusprisere. Ma ka f.eks. øjes med at agive forholdet mellem sommerhusprise i år og i år 1971. Dette giver edeståede tabel: 1971 1972 1973 1974 1975 1 1,19 1,53 1,83 1,95 Dette er meget bedre, me alligevel ikke helt godt. Bl.a. er det irriterede, at der er så mage decimaltal. Ma gager derfor alle forholdee med 100 og kalder dem idextal. 1971 1972 1973 1974 1975 100 119 153 183 195 Dette gælder helt geerelt: Når ma skal beskrive e udviklig af e størrelse, så vælger ma et basisår. Idextallet for et givet år er da størrelse i året divideret med størrelse i basisåret gaget med 100: størrelsei år idextal = 100 størrelsei basisår Hvorda ka dette avedes? 18
Eksempel Opgave: Et sommerhus kostede i 1972 89000 kr. Hvad kostede det i 1974? Svar: Opgave: Svar: Her skal vi tage idextallet for 1974, dividere med idextallet for 1972 og gage med prise i 1972: 183 pris i 1974 = 89000 13685 55 119 =, Et sommerhus kostede i 1973 165000 kr og i 1977 282550 kr. Bestem idextallet for 1977. 282550 idex for1977 = 153 262 165000 = (Tallet 153 er idexet for 1973) Der er e tæt sammehæg mellem idextal og vækstrater: Eksempel Idextallet for sommerhusprisere (med 1971 som basisår) var for 1978 lig 315 og 1979 lig 361. Bestem vækste i sommerhuspriser fra 1978 til 1979. Dette er emt ok - fremskrivigsfaktore a for sommerhusprisere er etop de to idextal divideret med hiade: 361 a = 315 1, 146 Fratrækkes dette tal 1, så ses, at sommerhusprisere er steget med 14,6%. 19
Opgaver 6.1 Det såkaldte forbrugerprisidex er e måde at agive, hvorledes de geemsitlige pris på e række dagligvarer udvikler sig. I tabelle edefor er agivet forbrugerprisidexet for periode april 1984 til marts 1985. Prisidexet for 1980 er sat til 100. april 84 maj jui juli august september 138,0 139,5 140,2 139,9 140,6 141,5 oktober ovember december jauar 85 februar marts 142,1 143,0 142,8 143,2 144,8 145,3 Besvar følgede spørgsmål: a) I to måeder var der tale om et fald i forhold til prixidexet måede før. Hvilke? b) Hvad var prise i jauar 1985 for e vare, som kostede 143 kr i maj 1984? c) E vare kostede i august 1984 208 kr og i april 1985 216 kr. Bestem prisidexet for april 1985. d) Med hvor mage procet steg prisere fra jui 1984 til oktober 1984? e) Hvor stor var de geemsitlige prisstigig pr. måed fra jui 1984 til oktober 1984? f) Hvor stor var de årlige prisstigig fra april 1984 til april 1985? (Brug svaret fra c). g) Giv på grudlag af svaret til f) e progose for forbrugerprisidex i april 1990. 20
6.7 Lieær programmerig Idefor drifte af virksomheder kommer ma ofte ud for e bestemt type problemer - ma skal maksimere idtjeige, me samtidigt er der ogle betigelser, f.eks. leverace af råvarer, arbejdskraft, osv., som skal overholdes. Sådae problemer ka ofte formuleres som problemer idefor lieær programmerig. Eksempel E bager har 150 kg mel, 22 kg sukker og 25 kg smør. Ha har to opskrifter, e på basser og e på liser. For at bage et dusi basser skal ha bruge 3,0 kg mel, 1,0 kg sukker og 1,2 kg. smør. For at bage et dusi liser skal ha bruge 5,0 kg mel, 0,5 kg sukker og 0,5 kg smør. Fortjeeste på et dusi basser er 20 kr., og fortjeeste på et dusi liser er 30 kr. Hvorda skal bagere tilrettelægge si produktio, således at has idtjeig bliver størst mulig? Som det første skridt i at løse dette problem idfører vi oget otatio: x = atal dusi basser, bagere skal bage y = atal dusi liser, bagere skal bage Bageres idtjeig K afhæger altså af x og y på følgede måde: K( x, y) = 20x + 30 y Bogstavet K skyldes, at dee fuktio kaldes kriteriefuktioe. (Tekisk set er K e fuktio af to variable, me det er midre vigtigt i øjeblikket). De betigelser, som bageres råvarelager lægger på x og y er: x 0 (ma ka ikke bage et egativt atal basser) y 0 (ma ka ikke bage et egativt atal liser) 3x + 5y 150 (mel) x + 0, 5y 22 (sukker) 1, 2x + 0, 5y 25 (smør) Disse fem betigelser afgræser tilsamme et område, hvori de mulige værdier for x og y ka ligge - ma taler om kriteriefuktioes rådighedsområde. Lad os tege dette rådighedsområde: 21
I et koordiatsystem teger ma først liiere med ligigere l : x = 0 m : y = 0 : 3x + 5y = 150 p : x + 0, 5y = 22 q : 1, 2x + 0, 5y = 25 altså de ligiger, ma får ved at erstatte ulighedstegee i betigelsere med lighedsteg. Resultatet bliver: y p q 30 20 10 m l 10 20 30 x Bemærk, at liiere l og m falder samme med koordiataksere. For at fide rådighedsområdet, skal vi u kigge på ulighedstegee. Betigelse x 0 fortæller, at rådighedsområdet ligger over liie l, dvs. over x-akse. Tilsvarede fortæller betigelse, at y 0, at rådighedsområdet ligger til højre for m, dvs. til højre for y-akse. Betigelse 3x + 5y 150 fortækker, at rådighedsområdet ligger uder liie. Edelig fortæller de to sidste betigelser, at rådighedsområdet ligger uder liiere p og q. Rådighedsområdet bliver derfor det med gråt skraverede område: 22
y p q 30 20 10 m l 10 20 30 x Vi skal u fide ud af, hvor ide for dette rådighedsområde kriteriefuktioe K( x, y) = 20x + 30 y er størst. Vi skal derfor betragte iveauliiere for kriteriefuktioe - dette er de liier, hvor K er kostat. E typisk iveauliie for K har ligige 20 x + 30y = k hvor k er de kostate værdi. Me dee ligig er jo ligige for e ret liie (på ormalform), og hvis vi skriver ligige på de almidelige form: 20 k y = x + 30 30 så ser vi, at alle iveauliiere er parallelle, idet hældigskoefficiete ikke afhæger af k. Edvidere ser vi, at jo højere oppe på y-akse, iveauliie skærer, jo større er kriteriefuktioes værdi k. Vi skal derfor lægge e iveauliie så 'højt oppe' i rådighedsområdet som muligt. Det er emmest at forestille sig, at ma lægger e lieal parallel med e iveauliie og derefter skubber lieale opad til højre mest muligt, idtil de lige præcis stadigvæk rører rådighedsområdet: 23
y p q 30 20 10 m l 10 20 30 x Det ses, at de 'bedste' iveauliie lige præcist rører i skærigspuktet mellem liiere og p. I dette pukt atager x og y derfor de værdier, som gør kriteriefuktioe størst. Vi magler bare at fide disse værdier. Dette ka ete gøres ved at aflæse på figure, me det er u bedre at rege sig frem - vi skal jo bare fide skærigspuktet mellem to liier: 3x + 5y = 150 3x + 5y = 150 x + 0,5y = 22 x = 22 0,5y 3 (22 0,5y) + 5y = 150 x = 22 0,5y y = 24 x + 0,5y = 22 3,5y = 84 x = 22 0,5y y = 24 x = 10 Bagere får altså maksimal idtjeig ved at bage 10 dusi basser og 24 dusi liser. Has idtjeig bliver K ( 10,24) = 20 10 + 30 24 = 920 kr. I de store virksomheder kommer ma aturligvis ud for meget mere komplicerede problemer, hvor ma skal maksimere kriteriefuktioer, som 24
afhæger af måske 100 variable. Disse problemer ka selv sagt ikke løses grafisk, så derfor bruger ma de såkaldte simplex-metode, som vi dog ikke skal komme ærmere id på her. Ma har fudet ud af, at de mest udbredte avedelse af EDB i verde er til løsig af problemer idefor lieær programmerig. Opgaver 7.1 I edeståede opgaver skal kriteriefuktioe K maksimeres uder hesytage til de agive betigelser. Løs problemere grafisk. a) K( x, y) = 3x + 4 y Betigelser: x 0, y 0 3x + 2 y 6 x + 4y 4 b) K( x, y) = 11x + 20 y Betigelser: x 0, y 0 x + 2y 10 3x + 5y 27 c) K( x, y) = 2x + 5 y Betigelser: x 0, y 0 2x + 3y 6 7x 2y 14 x + y 5 7.2 Vaskepulverfirmaet A producerer to typer vaskepulver, X og Y. Fortjeeste på 1 to X er 7000 kr, og på 1 to Y på 10000 kr. Produktioe af 1 to X kræver 3 tos fosfater, 1 to itrater og 2 tos sulfater. Produktioe af 1 to Y kræver 5 tos fosfater, 3 tos itrater og 2 tos sulfater. Firmaet har 3900 tos fosfater, 2100 tos itrater og 2200 tos sulfater til rådighed. Hvorledes skal firmaet tilrettelægge si produktio, således at fortjeeste bliver maksimal? 25
6.8 Opgaver 8.1 I 1979 reklamerede Provisbake for e såkaldt Elite-opsparig. Dette var form for idskudskoto, hvor rete de første år var 8,60%, det adet år 11,50%, det tredie år 14,40%, det fjerde år 17,25% og det femte år 20,10%. Bestem de geemsitlige rete. 8.2 I begydelse af 1990 lover e yudævt direktør sit firma, at de geemsitlige årlige stigig i omsætige vil blive midst 12% pr. år i de kommede 4-års periode. I 1990 blev stigige i omsætig på 7%. I 1991 blev stigige i omsætig på 10%. I 1992 blev stigige i omsætig på 14% Hvor mage procet skal omsætige stige i 1993, for at direktøre skal kue holde, hvad ha lovede. 8.3 I Politike stod der 30. maj 1984 at læse: Midre salg af sodavad Sodavadsafgifte fra 1. jauar i år førte til et geemsitligt fald i salget på 24% i årets første tre måeder. I december sidste år steg salget 48%. I jauar faldt det med 39%. faldet i februar og marts var heholdsvis 15% og 18%. Det oplyser skatte- og afgiftsmiister Isi Foighel (K) i et svar til Folketigets skatte- og afgiftsudvalg. Udersøg, om det er korrekt, at det geemsitlige procetvise fald pr. måed i salget af sodavad har været 24% i periode jauarmarts. Bereg de geemsitlige procetvise ædrig pr. måed for periode december-marts. 8.4 E størrelse er i periode 1975-1980 steget med 7,2% om året, mes de er steget med 4,2% om året i periode 1980-1988. Hvor mage procet er størrelse i alt steget fra 1975 til 1988? Bestem de geemsitlige årlige procetvise stigig i periode 1975-1988. 26
8.5 Det viste udklip fra Samvirke, jauar 1987, hadler om udgiftere til sprøjtemidler i u-ladee og i Damark. -Vi har til stadighed 50 ageter, der rejser rudt og rådgiver ladmædee, siger direktør Bruce Poiter fra ICI Asiatic, e Bagkok-virksomhed, som ØK og de britiske kocer ICI driver i fællesskab. Reklame virker. Side 1978 er u-ladees udgifter til sprøjtemidler vokset med 15% om året. I Damark er ladmædees udgifter steget fra ca. 600 millioer kr. i 1981 til 1,4 milliarder i 1984. Hvor mage procet er u-ladees udgifter til sprøjtemidler steget fra 1978 til 1987? Hvor store ville udgiftere til sprøjtemidler have været i Damark, hvis de side 1981 årligt var steget med samme procet som i u- ladee? 8.6 De årlige procetvise stigig i timeløe for ikke-faglærte arbejdere i åree 1985-1989 fremgår af edeståede tabel. År 1985 1986 1987 1988 1989 Mæd 4,7% 5,1% 9,6% 6,4% 4,0% Kvider 4,0% 3,9% 9,0% 6,7% 4,8% Kilde: Statistisk Tiårsoversigt 1990. Bestem de geemsitlige årlige procetvise stigig i timeløe for heholdsvis mæd og kvider i disse 5 år. I dee 5-årsperiode er forbrugerprisidexet steget fra 229,3 til 283,6. Bestem de geemsitlige årlige procetvise stigig i forbrugerprisidexet i periode. 8.7 E størrelse er over e 5-års periode vokset med 3,5% pr. år. Bestem de samlede procetvise stigig i 5-års periode. De æste 4 år vokser størrelse med i alt 10%. Bestem de geemsitlige årlige procetvise stigig i hele 9-års periode. 27
8.8 Berligske Tidede skrev de 25. jauar 1988 e artikel i aledig af kampage "Bøger i skole, tak". Udklippet stammer fra dee artikel. I gamle dage - ogle ville sige de gode, gamle dage - fik ye elever i gymasiet besked på at møde på med e kuffert. Midre kue ikke gøre det, år de udleverede bøger skulle fragtes hjem. Alt efter temperamet så de ybagte 1.G'er i skræk eller forvetig bogstakke på ispektors kotor vokse som e bøestage. I dag ka det klares med e fjeldræv. Skolebøgeres atal er skrumpet i takt med, at bogkotoe har fået svidsot. På seks år - fra 1980 til 86 - er skolebogssalget gået ed med 44,3 procet. E del af edgage ka forklares ved et fald i elevtallet på 10 procet. Bereg det geemsitlige årlige procetvise fald i skolebogssalget i periode 1980-86. Bereg det geemsitlige årlige procetvise fald i skolebogssalget pr. elev i periode 1980-86. 8.9 Nedeståede figur stammer, i let revideret udgave, fra Berligske Tidede de 12. oktober 1988. SALG AF FARVEFJERNSYN MAJ/JUNI 1987 STIGNING 14% MAJ/JUNI 1988 STIGNING 15% JULI/AUGUST 1987 STIGNING 18% JULI/AUGUST 1988 Salget af farve-tv og video er steget markat i måedere, hvor daskere drejede ateere mod EM i fodbold, OL i Seoul og TV2 i Odese Bereg de geemsitlige måedlige stigig i salget af farvefjersy i periode fra maj/jui 1987 til maj/jui 1988. Bereg de procetvise stigig i salget af farvefjersy fra maj/jui 1987 til juli/august 1988. Bereg de procetvise stigig i salget af farvefjersy fra maj/jui 1987 til juli/august 1987. 28