Matematik A Studentereksamen stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00
Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 7-15 med i alt 19 spørgsmål. De 25 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. 2. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.
Stx matematik A august 2013 side 1 af 7 Delprøven uden hjælpemidler Kl. 09.00 10.00 Opgave 1 En linje l har parameterfremstillingen æxö æö 1 æö 2 l: = + t, t R. y 3 1 Î çè ø çèø çè ø Bestem en ligning for den linje m, der går gennem punktet (3,4) og er vinkelret på l. Opgave 2 Tre eksponentialfunktioner f g og h er givet ved f( x) = 2 gx ( ) = 3 x x g( x) hx ( ) =. f ( x) Bestem fremskrivningsfaktoren for funktionen h. Opgave 3 En funktion f er bestemt ved x f( x ) = e + 2. Grafen for f, de to koordinatakser og linjen med ligningen x = 1 afgrænser i 1. kvadrant en punktmængde M (se figur). Bestem arealet af M. Opgave 4 4 For en kugle med radius r og volumen V gælder, at V = p r En bestemt kugle har rumfanget 32 p. 3 3. 3 Bestem radius for denne kugle.
Stx matematik A august 2013 side 2 af 7 Opgave 5 En funktion f er bestemt ved f( x) = x - x - 6x+ 7. 3 3 2 2 Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 6 En funktion f er løsning til differentialligningen dy 3y 5. dx = + Grafen for f går gennem punktet P (1,4). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. Besvarelsen afleveres kl. 10.00
Stx matematik A august 2013 side 3 af 7 Delprøven med hjælpemidler Kl. 09.00 14.00 Opgave 7 Nedenstående tabel viser en opgørelse over det årlige antal reklametimer, der blev vist på de danske tv-kanaler i perioden 2000-2010. År 2000 2005 2008 2009 2010 Reklametimer 4963 8249 10296 12459 13661 I en model kan udviklingen i det årlige antal reklametimer på de danske tv-kanaler beskrives ved t f () t= ba, hvor f ( t) er det årlige antal reklametimer på de danske tv-kanaler, og t er antal år efter 2000. a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b. b) Bestem den tid, der går, før det årlige antal reklametimer er fordoblet. c) Bestem f (6), og giv en fortolkning af dette tal. Opgave 8 I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b givet ved æ- 3ö a =ç ç ç çè 7 ø og æ 1ö b =ç ç ç ç- è 4. ø a) Bestem vinklen mellem a og b. b) Bestem arealet af den trekant, der udspændes af a og b.
Stx matematik A august 2013 side 4 af 7 Opgave 9 I en model kan den årlige affaldsproduktion i EU pr. indbygger beskrives ved funktionen hvor wt ( ) betegner den årlige affaldsproduktion pr. indbygger (målt i kg) til tiden t (målt i år efter 1994). a) Benyt modellen til at bestemme, hvor mange kg affald en EU-borger producerede i 1994. I en rapport fra EU hedder det: Produktionen af kommunalt affald i EU er aftaget og har stabiliseret sig på omkring 520 kg pr. indbygger siden 2002. b) Tegn grafen for w, og gør rede for, hvordan modellen understøtter denne påstand. Kilde: Environment and energy, Eurostat, Statistics in focus, 31/2011. Opgave 10 I et stykke legetøj går det ud på at samle tre pyramider, så de danner en kube. Figuren viser en model af en af de tre pyramider. z x A B D C y A(3,0,0) B(3,3,0) C(0,3,0) D(0,0,3) a) Bestem ligningen for den plan a, som fladen ABD er del af. Det oplyses, at den plan b, som fladen BCD er en del af, har ligningen y+ z= 3. b) Bestem den spidse vinkel mellem fladen ABD og fladen BCD.
Stx matematik A august 2013 side 5 af 7 Opgave 11 En forsker vil undersøge, om en persons efterlønsalder er uafhængig af, om personen lever sammen med en partner eller ej. Derfor udtages der en tilfældig stikprøve på 253 personer med følgende resultat: Lever sammen med en partner Efterlønsalder 60 år 61-65 år Ja 28 62 Nej 73 90 a) Formulér forskerens nulhypotese, og opstil med udgangspunkt heri en tabel over de forventede værdier. b) Afgør på et 5% signifikansniveau, om nulhypotesen kan forkastes. Opgave 12 På billedet ses Golden Gate Bridge indlagt i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser. Koordinatsystemets nulpunkt ligger ved vandoverfladen hos den nordlige pylon til venstre i billedet. Bærekablets monteringspunkter på de to pyloner ligger 220 m over vandoverfladen, og kablets laveste punkt er 80 m over vandoverfladen. Afstanden mellem monteringspunkterne er 1280 m. (2) f (1) I en model beskrives bærekablet mellem de to pyloner ved en del af grafen for et andengradspolynomium: Kilde: wikimedia commons. a) Bestem en forskrift for f. Det oplyses, at buelængden af grafen for en funktion f ( x ) i intervallet [ x1; x 2] er givet ved b) Benyt modellen til at bestemme længden af bærekablet mellem de to pyloner.
Stx matematik A august 2013 side 6 af 7 Opgave 13 I en model for koncentrationen af et bestemt rygestopmiddel i blodet hos en person er koncentrationen ct ( ) (målt i m g / L ) som funktion af tiden t (målt i timer efter indtagelsen af stoffet) en løsning til differentialligningen c =-0,035 c. a) Hvor hurtigt aftager koncentrationen af rygestopmidlet, når koncentrationen i blodet er på 1,5 μg/l? b) Bestem en forskrift for ct ( ), når det oplyses, at koncentrationen af rygestopmidlet er 2,0 μg / L til tidspunktet t=0. Opgave 14 A A 20 82 C E C 20 D B Figur 1 Figur 2 Et stykke karton har form som en ligebenet trekant, hvor de lige ben er 20 cm lange, som vist på figur 1. a) Bestem AB, og bestem vinkel A. Kartonstykket foldes til en silhuet af et lille sejlskib, som vist på figur 2. Foldningen sker langs en linje CD, således at B føres over i E. b) Bestem DC, og bestem arealet af trekant CDE. B
Stx matematik A august 2013 side 7 af 7 Opgave 15 To funktioner f og g er bestemt ved f( x) = - + - gx 2 0,15x 2, 205x 0,858 2 ( ) =- 0,12x + 1,3x + 4, 2 Graferne for f og g afgrænser sammen med koordinatsystemets akser i første kvadrant et område M, hvor g( x ) ³ f ( x). En træskål har form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 360 om førsteaksen. Enheden på begge akser er cm. a) Tegn graferne for f og g, og bestem skålens højde. b) Hvor stort er rumfanget af det træ, der udgør skålen?
541 TRYKSAG 457