STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011
Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling Delprøve 2: 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 12 spørgsmål Delprøve 2 består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. 2. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.
STX-Matematik A Net august 2011 side 1 af 6 Delprøve 1 Kl. 09.00 11.00 Opgave 1 a) Bestem en ligning for den linje, der går gennem punkterne A (1, 2) og B (3,8). Opgave 2 To vektorer a og b er bestemt ved 1 a = t og b 4 =, 2 hvor t er et tal. a) Bestem t, når det oplyses, at a og b er ortogonale. 2 2 Opgave 3 a) Bestem integralet ( x ) 1 3 4 dx. Opgave 4 Udviklingen i antal individer i en bestemt population kan beskrives ved Nt () = 500 0,95 t, hvor N() t er antal individer til tidspunktet t (målt i døgn). a) Gør rede for, hvad tallene 500 og 0,95 fortæller om udviklingen i antal individer i populationen. Opgave 5 En cirkel har centrum i punktet C (2,3) og radius 5. a) Opskriv en ligning for cirklen. b) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem cirklen og linjen med ligningen y = x.
Stx matematik A Net august 2011 side 2 af 6 Opgave 6 BMI (Body Mass Index) anvendes i vurdering af en persons risiko for at udvikle sygdomme som følge af overvægt. I tabellen til højre ses sammenhængen mellem BMI og risikovurderingen. På et gymnasium har man undersøgt 31 pigers BMI. Resultatet af undersøgelsen er illustreret ved nedenstående boksplot. BMI Risiko for følgesygdomme 18,4 Forhøjet / moderat forhøjet 18,5-24,9 Middel 25 29,9 Let Forhøjet 30 34,9 Forhøjet 35 39,9 Svært forhøjet 40 Meget svært forhøjet 15 20 25 30 35 a) Bestem kvartilsættet for pigernes BMI, og vurdér på baggrund heraf pigernes risiko for følgesygdomme. Opgave 7 En billedramme har form som vist på figuren. 6 8 8 h a) Opskriv rammens omkreds udtrykt ved h. b) Bestem det areal, som rammen dækker, når omkredsen er 54. Opgave 8 Figuren viser graferne for tre funktioner f, g og h. Hver af de tre funktioner er løsning til netop en af differentialligningerne: A: dy = 0 dx B : dy = 2 dx C: dy = 0,1 y dx a) Gør rede for, hvilken af differentialligningerne A, B og C, der hører til hvilken af funktionerne f, g og h.
Stx matematik A Net august 2011 side 3 af 6 Opgave 9 En funktion f er bestemt ved f( x) = ln x x, x> 0. a) Bestem monotoniforholdene for f. Den rette linje l er bestemt ved ligningen y = 2x+ 1. Grafen for f har en tangent t, der er parallel med l. b) Bestem førstekoordinaten til røringspunktet mellem t og grafen for f. Besvarelsen afleveres kl. 11.00
Stx matematik A Net august 2011 side 4 af 6 Delprøve 2 Kl. 09.00-14.00 Opgave 10 Foto: http://www.colourbox.dk/ Tabellen viser udviklingen i antallet af ynglende skarver i Danmark i perioden 2005-2009. År 2005 2006 2007 2008 2009 Antal 39906 38014 35261 33700 32851 a) Indfør passende variable, og opstil en eksponentiel model, som beskriver antallet af ynglende skarver i Danmark som funktion af antal år efter 2005. b) Hvornår vil antallet af ynglende skarver i Danmark ifølge modellen være under 20000? Opgave 11 Figuren viser trekant ABC, hvor sidelængderne er AB = 6, AC = 7 og BC = 4. a) Bestem B. Vinkelhalveringslinjen fra B skærer siden AC i punktet D. b) Bestem arealet af trekant ABD.
Stx matematik A Net august 2011 side 5 af 6 Opgave 12 To vektorer i rummet er givet ved 2 a = 3 6 og 3 b = 5. 4 a) Bestem arealet af det parallelogram, der er udspændt af a og b. Planen β har ligningen 3x+ 6y 2z+ 8= 0, og punktet P har koordinaterne P(20, 10,18). b) Bestem afstanden fra P til β. Opgave 13 a) Løs ligningen 2 4 x 5 =. 5 3 y 6 Opgave 14 I en model inddeles en bestemt population i to kategorier A og B. Antallet af individer i henholdsvis kategori A og B i år n betegnes a n og b n. Det oplyses, at udviklingen i fordelingen mellem antal individer i de to kategorier fra år til år kan beskrives ved an+ 1 an = M, b b n+ 1 n hvor 0,8 0,4 M =. 0, 2 0,6 Det oplyses, at a 0 = 0 og b 0 = 30. a) Bestem a 4 og b 4. b) Gør rede for, hvad tallene i matricen M fortæller om udviklingen i fordelingen mellem antal individer i de to kategorier fra år til år.
Stx matematik A Net august 2011 side 6 af 6 Opgave 15 En funktion f er bestemt ved f( x) = (1 x)( x a), a> 1. a) Bestem førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og førsteaksen. Grafen for f afgrænser sammen med koordinatakserne i fjerde kvadrant en punktmængde M, der har et areal. Ligeledes afgrænser grafen for f sammen med førsteaksen i første kvadrant en punktmængde N, der har et areal. b) Bestem arealet af M udtrykt ved a, og bestem tallet a, så arealerne af M og N bliver lige store. Opgave 16 I en model for udviklingen af en bestemt type kræftknude i mus kan væksten f (målt i mio. celler/døgn) som funktion af antal celler x (målt i mio.) beskrives ved sammenhængen f( x) = 0, 046173 x (9,36334 ln( x)), x> 0. a) Bestem ved hjælp af modellen, hvor mange celler der er i kræftknuden, når væksten er størst. b) Bestem ved hjælp af modellen det maksimale antal celler, der kan være i kræftknuden. Kilde: L. Simpson-Herren and H. H. Lloyd (1970), Kinetic parameters and growth curves for experimental tumor systems, Cancer Chemother. Rep. Part I, 54, 143-174.