HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK B-NIVEAU Fredag den 12. december 2008 Kl. 09.00 13.00 HFE083-MAB
Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6-12 med i alt 14 spørgsmål. De 19 spørgsmål indgår med lige vægt ved bedømmelsen. Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik en dokumentation ved et passende antal mellemregninger en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde, herunder den eventuelle brug af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder en brug af figurer og illustrationer en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af almindelig matematisk notation.
hf matematik B december 2008 side 1 af 6 Delprøven uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 Opgave 1 Funktionerne f og g er givet ved f( x) x 4x 3 2 og gx 5x ( ) e. a) Bestem f ( x) og g ( x). Opgave 2 a) Bestem tallet a, så x 4 er løsning til ligningen a x 3x 2. Opgave 3 Der er givet funktionerne f( x) 7,2x 34 gx ( ) 0,83 1,24 x hx ( ) 3,9 0,58. x a) Begrund i hvert af de tre tilfælde, om funktionen er voksende eller aftagende. Opgave 4 a) Løs ligningen 2 ( x 1) ( x 3) 0. Opgave 5 En funktion f er bestemt ved f( x) x 4. a) Gør rede for, at funktionen F 1 givet ved forskriften F x 1 2 2 1( ) x 4x 1 er en stamfunktion til f. På figuren ses grafen for en anden stamfunktion F 2 til f. Bestem forskriften for F 2. Besvarelsen af delprøven uden hjælpemidler afleveres kl. 10
hf matematik B december 2008 side 2 af 6
hf matematik B december 2008 side 3 af 6 Delprøven med hjælpemidler kl. 9.00-13.00 Opgave 6 I år 2000 var der 7600 danskere med en årlig indkomst på mindst 1 million kr. I de følgende år voksede antallet af danskere, der havde en årlig indkomst på mindst 1 million kr., med god tilnærmelse med 1300 om året. a) Opstil en formel, der beskriver udviklingen i antallet af danskere med en årlig indkomst på mindst 1 million kr. Kilde: Berlingske Tidende, 3. marts 2007 Opgave 7 I firkant ABCD er AB 178, BC 135, CD 84, B 81 og D 128. a) Bestem længden af diagonalen AC. b) Bestem A i trekant ACD. Bestem arealet af trekant ACD.
hf matematik B december 2008 side 4 af 6 Opgave 8 Tabellen viser det daglige antal personrejser over Øresundsbroen i perioden 2001-2005. År 2001 2002 2003 2004 2005 Dagligt antal personrejser 35 359 38 960 41 535 46 031 50 118 Det daglige antal personrejser over Øresundsbroen er med god tilnærmelse vokset eksponentielt i denne periode. a) Benyt tabellen til at opstille en model af formen x f ( x) b a, hvor f ( x ) betegner det daglige antal personrejser x år efter 2001. b) Kommentér modellen, idet det oplyses, at det daglige antal personrejser over Øresundsbroen i 2007 var 67 159. Kilde: www.oresundsbron.com
hf matematik B december 2008 side 5 af 6 Opgave 9 f En funktion f er bestemt ved f x x x 2 ( ) 6 3. a) Bestem en ligning for tangenten t til grafen for f i punktet P(2, f (2)). Grafen for f, tangenten t og andenaksen afgrænser et område M, der har et areal. b) Bestem arealet af M. Opgave 10 På en skole begynder man den første skoledag i januar at føre en liste over de elever, der får influenza. Det viser sig, at antallet med god tilnærmelse kan beskrives ved modellen 350 f( x), 0,20x 1 8e hvor f ( x ) er det samlede antal elever, som har eller har haft influenza, og x er antal dage efter den første skoledag i januar. a) Efter hvor mange dage er der 200 elever, der har eller har haft influenza? b) Bestem f (7), og gør rede for, hvad dette tal fortæller. c) Tegn grafen for f. Hvor mange elever vil højst kunne få influenza ifølge modellen?
hf matematik B december 2008 side 6 af 6 Opgave 11 En funktion er givet ved forskriften 2 f( x) 0,5x 5,5x 6 ln( x) 8, hvor x 0. a) Gør rede for, at grafen for f har to vandrette tangenter. b) Benyt differentialregning til at argumentere for grafens forløb. Opgave 12 For en bestemt type bladfjedre gælder, at svingningstiden T, målt i sekunder, er bestemt ved 1,5 T 0,28 x, hvor x er fjederens længde, målt i meter. a) Bestem svingningstiden for en 0,50 meter lang bladfjeder. Hvor lang er bladfjederen, hvis svingningstiden er 0,040 sekunder? b) Hvor mange procent skal fjederens længde øges, hvis svingningstiden skal vokse med 30 %?