Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe101-mat/b-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-13.00
Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Til delprøven uden hjælpemidler hører et bilag. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 7-12 med i alt 14 spørgsmål. De 20 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. 2. NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.
hf matematik B juni 2010 side 1 af 6 Delprøven uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 Opgave 1 a) Reducér udtrykket 5 aa ( 2) + 3 a. Løs ligningen 8x+ 18= 2x 6. Opgave 2 Bilag vedlagt Figuren viser grafen for et tredjegradspolynomium f. a) Løs ved hjælp af grafen ligningen f ( x) = 0. Angiv de lokale ekstrema for f. Opgave 3 På en bestemt fabrik er antallet af producerede enheder siden 2005 faldet med 3 % om året. I 2005 producerede fabrikken 126 000 enheder. a) Indfør passende betegnelser, og opstil en formel, der beskriver udviklingen i antallet af producerede enheder pr. år i årene efter 2005. Opgave 4 a) Bestem integralet 1 4 (5x + 4 xdx ). 0
hf matematik B juni 2010 side 2 af 6 Opgave 5 En funktion f er givet ved f x x x 3 ( ) = + 2. a) Bestem f ( x), og gør ved hjælp heraf rede for, at f er voksende. Opgave 6 Bilag vedlagt Figuren viser to parabler, som er graf for funktionerne 1 = + + og 2 2 f ( x) x 2x c 1 g x x x c 2 2 ( ) = 2 +. a) Bestem tallet c ved aflæsning på figuren. Hvilken parabel svarer til funktionen f? Begrund svaret. Besvarelsen af delprøven uden hjælpemidler afleveres kl. 10
hf matematik B juni 2010 side 3 af 6 Delprøven med hjælpemidler kl. 9.00-13.00 Kun én af opgaverne 12a og 12b må afleveres til bedømmelse Opgave 7 Kilde: Berlingske Tidende, 3. maj 2007 For perioden 1997-2006 kan indbetalingerne til arbejdsmarkedspensioner med god x tilnærmelse beskrives ved modellen f ( x) = b a, hvor x er antal år efter 1997, og f ( x ) er årets samlede indbetaling, målt i mia. kr. a) Bestem tallene a og b ved at benytte oplysningerne på figuren. b) Bestem fordoblingstiden, og forklar, hvad dette tal fortæller om udviklingen. c) Med hvor mange procent er indbetalingerne vokset pr. år ifølge modellen? Med hvor mange procent er indbetalingerne vokset i en 5-årsperiode ifølge modellen?
hf matematik B juni 2010 side 4 af 6 Opgave 8 Figuren viser en model af en park ABCD. Nogle af målene er anført på figuren. Fra A til C går der en sti, der deler parken i to dele. a) Hvor lang er stien AC? b) Bestem vinkel D i trekant ACD. c) Hvilken af de to dele af parken har størst areal? Opgave 9 I 2009 betalte hver forbruger i Holstebro 34,15 kr. pr. kubikmeter vand samt et fast årligt abonnement på 581,25 kr. a) Opstil en formel, der beskriver sammenhængen mellem den samlede udgift (i kr.) til vand i 2009 og vandforbruget (målt i kubikmeter) for en forbruger i Holstebro. For Hillerød beskrives den tilsvarende sammenhæng ved formlen y = 49,38 x+ 308,75, hvor x er vandforbruget (målt i kubikmeter), og y er den samlede udgift (i kr.). b) Hvor stort skal vandforbruget være, for at en forbruger i Holstebro skal betale mindre end en forbruger i Hillerød?
hf matematik B juni 2010 side 5 af 6 Opgave 10 En bestemt type minivindmølles årlige produktion af elektrisk energi kan beregnes ved hjælp af formlen E 2 = 0,14 x, hvor E betegner den årlige produktion (målt i kwh), og x er vingelængden (målt i cm). a) Bestem den årlige produktion i kwh fra en minivindmølle med en vingelængde på 50 cm. Hvor stor skal vingelængden være, hvis den årlige produktion skal være 600 kwh? En familie ønsker at udskifte sin minivindmølle med en ny minivindmølle med 50 % større årlig produktion. b) Hvor mange procent skal vingerne på den nye vindmølle være længere end vingerne på den gamle? Kilde: www.bolius.dk og Dansk Folkecenter for Vedvarende Energi Opgave 11 En funktion f er givet ved f x x x x 4 3 2 ( ) = 2 + 3 + 1. a) Bestem monotoniforholdene for f, og tegn grafen for f. b) Bestem en ligning for tangenten t til grafen for f i punktet P( 2, f( 2)). Tangenten t er også tangent til grafen for f i et andet punkt Q. c) Bestem koordinatsættet til punktet Q.
hf matematik B juni 2010 side 6 af 6 Opgave 12a En funktion f er givet ved f( x) = 4x+ 2ln( x), x> 0. F er en stamfunktion til f, og F (1) = 5. a) Bestem F( x ). Opgave 12b Figuren viser grafen for funktionen f x x x x 3 2 ( ) = + 8 17 + 10. a) Bestem arealet af det skraverede område. Kun én af opgaverne 12a og 12b må afleveres til bedømmelse
Undervisningsministeriet
BILAG hf matematik B juni 2010 Bilaget kan indgå i opgavebesvarelsen Kursus Hold Kursist nr. Navn Ark nr. Antal ark i alt Tilsynsførende 2. 6. Besvarelsen af delprøven uden hjælpemidler afleveres kl. 10