EKSAMENSOPGAVER I MATEMATIK

Transkript

1 VEJLENDENDE EKSEMPLER PÅ EKSAMENSOPGAVER I MATEMATIK STX A-NIVEAU INKLUSIV STX B-NIVEAU 1

2 Forord Matematik A i stx er beskrevet gennem henholdsvis læreplan, undervisningsvejledning og de to vejledende eksamenssæt De faglige mål for undervisningen og bedømmelseskriterierne ved de afsluttende eksamener findes beskrevet i læreplanen Om specielt den skriftlige prøve hedder det i læreplanen: Det skriftlige eksamenssæt består af opgaver stillet inden for kernestoffet og skal evaluere de tilsvarende faglige mål I undervisningsvejledningens hovedafsnit er der gennem en lang række eksempler redegjort nærmere for, hvad dette betyder Med de vejledende eksamenssæt illustreres dels omfang og opbygning af et sådant sæt, dels hvorledes den konkrete udformning af forskellige spørgsmål kunne være De vejledende eksamenssæt er udarbejdet af en vejledende opgavekommission I forarbejdet blev der produceret betydeligt flere opgaver, end der blev anvendt Disse velegnede, men overskydende opgaver har opgavekommissionen stillet til rådighed for Matematiklærerforeningen med henblik på en udgivelse Denne udgivelse af vejledende eksamensopgaver kan ikke træde i stedet for læreplan og undervisningsvejledning, men skal alene ses som et yderligere materiale til støtte for undervisningen frem mod den skriftlige eksamen Antallet af opgaver inden for et bestemt emne er ikke udtryk for en vægtning af pågældende emne Specielt gøres opmærksom på, at alle opgaver, der kan stilles til B-niveau, også kan stilles til A- niveau Opgaverne til B-niveau findes derfor også i denne opgavesamling med de samme numre tilføjet et B Opbygning af eksamenssættene Til den skriftlige prøve på A-niveau gives der 5 timer Den første del af sættet, delprøve 1, skal besvares uden hjælpemidler Til denne del af prøven gives der 1 time, hvorefter besvarelsen afleveres Under den anden del af prøven, delprøve, må eksaminanden benytte alle hjælpemidler, bortset fra kommunikation med omverdenen Opgaverne til denne del af prøven udarbejdes ud fra den forudsætning, at eksaminanden råder over et CAS-værktøj, der kan udføre symbolmanipulation De nærmere krav er beskrevet i undervisningsvejledningens afsnit 33 Delprøven med hjælpemidler kan indeholde valgfrie opgaver Er dette tilfældet vil det tydeligt fremgå, hvor mange af de valgfrie opgaver der må afleveres til bedømmelse Hvert spørgsmål i et eksamenssæt repræsenterer 5 point Et spørgsmål kan indeholde delspørgsmål En fuldstændig besvarelse giver 15 point I hvert sæt vil et antal point være reserveret til en bedømmelse af helhedsindtrykket af opgavebesvarelsen Formulering af eksamensopgaverne Af undervisningsvejledning og følgebrevet til de vejledende eksamenssæt fremgår: Ved beregninger af enhver art arbejdes der inden for mængden af reelle tal eller delmængder heraf Komplekse tal vil derfor aldrig høre med til en ønsket løsningsmængde I en opgavetekst vil det ofte forekomme, at grundmængden for en ligning ikke direkte er nævnt Det er da altid underforstået, at grundmængden skal vælges så omfattende som muligt inden for de reelle tal Ligeledes vil det ofte forekomme, at definitionsmængden for en givet reel funktion ikke udtrykkeligt er angivet i opgaveteksten I sådanne tilfælde er det altid underforstået, at definitionsmængden er den mest omfattende delmængde af de reelle tal, inden for hvilken den angivne forskrift har mening En modelsituation kan lægge begrænsninger på variationen af de variable ud over de rent matematiske

3 begrænsninger Er dette ikke eksplicit angivet i opgaveformuleringen, er det en del af besvarelsen at redegøre for, hvilke intervaller der arbejdes indenfor Brug af ord som skitse og tegn er ikke udtryk for, at der ønskes en bestemt fremgangsmåde Det er en del af undervisningen, at eleverne opnår indsigt i, hvilke detaljer der bør medtages i en skitse eller modeltegning En skitse af et grafisk forløb eller en modeltegning af en geometrisk situation skal vise de karakteristiske egenskaber eller fænomener, som er væsentlige for opgavens besvarelse Eksempelvis tegnes spidse vinkler som spidse og modeller af trekanter tegnes ikke som retvinklede, hvis dette ikke fremgår af oplysningerne For et grafisk forløb kan skæringspunkter med akserne, beliggenhed af lokale ekstrema, monotoniforhold eller asymptotisk forløb hver for sig være væsentlige at tage med i en skitse, alt afhængig af opgaven Brug af formuleringer som løs ligningen, bestem nulpunkter eller beregn skæringspunkter mellem to grafer er ikke udtryk for, at der ønskes en bestemt fremgangsmåde Det er en del af undervisningen, at eleverne opnår indsigt i styrke og svagheder ved symbolske over for numeriske metoder til at løse ligninger og andre matematiske problemer Dette vil sætte eleverne i stand til at vurdere hensigtsmæssigheden i en given løsningsmetode samt at finde andre veje frem, hvis en bestemt løsningsstrategi slår fejl I opgaver, hvor der ønskes en begrundelse for antallet af løsninger eller for, at den samlede løsningsmængde er bestemt, vil dette fremgå af opgaveteksten I opgaver, hvor der skal argumenteres for, at den samlede løsningsmængde er bestemt, eller hvor der skal bestemmes lokale ekstrema, vil der ofte være forskellige veje til målet, og der foreskrives ikke nogen bestemt metode Det er en del af undervisningen, at eleverne opnår indsigt i dette, herunder hvorledes man kan argumentere ved hjælp af f '( x) I opgaver inden for integralregning vil det altid fremgå af opgaveteksten, hvis man ønsker angivelse af en stamfunktion eller et ubestemt integral Når ubestemte integraler bestemmes ved hjælp af et CASværktøj, forventes det ikke, at eleverne kan omskrive et svar, hvori der indgår funktioner, som ikke er en del af kernestoffet I delprøven med hjælpemidler kan der i modelsituationer optræde funktionsudtryk, som ikke direkte er nævnt i kernestoffet Sådanne udtryk forventes eksaminanderne at kunne differentiere og integrere med brug af et CAS-værktøj, jf vejledningens afsnit d Derimod gælder det, at i alle opgaver, hvor der skal løses en differentialligning, vil denne kunne omskrives til en af de typer, der er omtalt under kernestoffet Eksaminanderne må naturligvis gerne løse en sådan differentialligning med brug af et CAS-værktøj I en modelopgave kan eksaminanderne få et datamateriale for sammenhængen mellem variable samt oplysninger om, hvilken matematisk modeltype der kan beskrive materialet Eksaminanderne skal kunne opstille og håndtere denne model, herunder stille spørgsmål til og besvare spørgsmål vedrørende modellen, men de forventes ikke ved den skriftlige eksamen at kunne begrunde én bestemt model frem for andre Det forventes, at eksaminanderne kan udføre lineær, eksponentiel og potensregression Matematisk notation og matematiske symboler vil i alle tilfælde, hvor der ikke foreligger entydige internationale regler, blive anvendt ud fra det sigte at gøre opgaveteksten læsevenlig for eksaminanden I prøven uden hjælpemidler vil funktionsudtryk som c a formen x x b altid være omskrevet på kx x 1 Ligesom e, a, x og x både kan betegne funktionen og en funktionsværdi, således kan det også generelt forekomme, at symbolet f (x) anvendes til både at betegne en funktion og en funktionsværdi 3

4 Konteksten vil afgøre, om det er hensigtsmæssigt eller ej at anvende parenteser i udtryk som ln(x) og ln x osv Kan det misforstås, vil man altid sætte parenteser, som i ln(a b) Inden for analytisk geometri og vektorregning er det ofte hensigtsmæssigt at identificere en vektor med vektorens koordinater: a r = Den samme form for identifikation vil også blive anvendt ved 3 beskrivelse af punkter Man kan her både møde formuleringer som: punktet P(,3), punktet (,3) og P = (,3) Den samme notation vil blive anvendt ved beskrivelse af punkter på en graf Der anvendes som standard dansk komma: 1,53 og ikke 153 Ved angivelse af koordinater kan der dog blive anvendt decimalpunktum, hvis det danske komma kan give anledning til misforståelser Vi vil tillade os at skrive: (15, 4) i stedet for (1,5, 4) Hvis et udklip benytter decimalpunktum, vil denne notation ikke blive ændret i gengivelsen Delprøven uden hjælpemidler Af undervisningsvejledningen og følgebrevet til de vejledende eksamenssæt fremgår, at det forventes eksaminanderne kan: opstille enkle formler ud fra en sproglig beskrivelse anvende nulreglen og løse simple første og andengradsligninger anvende kvadratsætningerne og reducere udtryk sætte tal ind i forskrifter anvende Pythagoras læresætning foretage beregninger i ensvinklede trekanter håndtere eksponentiel notation og anvende potensreglerne isolere ukendte størrelser, herunder anvende logaritmer og rødder redegøre for andengradspolynomiers grafer bestemme regneforskrifter for lineære, eksponentielle og potensfunktioner kx differentiere polynomier, potensfunktioner, e og ln(x) anvende de regneregler for differentiation, som er beskrevet i kernestoffet bestemme en tangentligning anvende viden om sammenhængen mellem afledet funktion og monotoniforhold aflæse væksthastighed grafisk kx 1 bestemme integraler af polynomier, potensfunktioner, e samt funktionen x anvende viden om sammenhængen mellem stamfunktion, bestemt integral og areal anvende de regneregler for integration, som er beskrevet i kernestoffet redegøre for om en given funktion er en løsning til en differentialligning opstille parameterfremstillinger for linjer i plan og rum og opstille ligninger for planer omskrive cirkel- og kugleligninger med henblik på at bestemme centrum og radius bestemme skæringspunkter med linjer både i planen og i rummet anvende reglerne for vektorregning bestemme afstand fra punkt til linje i planen og fra punkt til plan i rummet anvende vektorielle værktøjer til at svare på spørgsmål om ortogonalitet, parallelitet, areal og projektion 4

5 Bedømmelse af opgavebesvarelsen I læreplanens afsnit 43 er opridset de bedømmelseskriterier, der lægges til grund for bedømmelsen af såvel skriftlige som mundtlige præstationer Det vil altid afhænge af det konkrete eksamensspørgsmål, hvilke af de omtalte kriterier der er i spil i den givne situation I nedenstående citat er således udeladt nogle punkter, der ikke vedrører skriftlig eksamen: Bedømmelsen er en helhedsvurdering af, i hvilket omfang eksaminandens præstation lever op til de faglige mål, som er angivet i 1 Der lægges vægt på, om eksaminanden: 1 har grundlæggende matematiske færdigheder, herunder kan håndtere matematisk symbolsprog og matematiske begreber har kendskab til matematiske metoder og kan anvende dem korrekt er i stand til at bruge it-værktøjer hensigtsmæssigt kan anvende matematik på foreliggende problemer, herunder kan vælge hensigtsmæssige metoder til løsning af forelagte problemer kan præsentere et matematisk emne eller en fremgangsmåde ved løsning af et matematisk problem på en klar og overskuelig måde kan redegøre for foreliggende matematiske modeller og diskutere deres rækkevidde 3 har overblik over og kan perspektivere matematik, herunder: kan bevæge sig mellem fagets teoretiske og praktiske sider i forbindelse med modellering og problembehandling I undervisningsvejledningens afsnit 4g hedder det specielt om bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt, at der i bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik en dokumentation ved et passende antal mellemregninger en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde, herunder den eventuelle brug af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder en brug af figurer og illustrationer en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af almindelig matematisk notation Mange spørgsmål har en sådan udformning, at der kan være flere veje til en fuldt tilfredsstillende besvarelse Alle spørgsmål kan besvares til fuldt pointtal på grundlag af kernestoffet Men har eksaminanderne en yderligere indsigt, som de forstår at udnytte, vil dette blive belønnet i helhedsindtrykket Bjørn Grøn, fagkonsulent 5

6 1 OPGAVER UDEN HJÆLPEMIDLER 1001 B a) Forkort brøken x + x 4x B a) Reducér 8a 3 b a (b) 1003 B a) Omskriv 4x 1x + 9 til formen ( ax + b) B a) Undersøg om 1 er løsning til ligningen 8x + x + x = B a) Bestem k, så - er rod i polynomiet p( x) = x + kx 3x B a) Løs ligningen ( x 1)( x 4) = B a) Bestem en forskrift for den lineære funktion f, hvis graf går gennem punkterne (, 10) og (- 3, 0), og løs ligningen f ( x) = B a) Bestem rødderne i andengradspolynomiet f ( x) = x x, og faktorisér polynomiet 1009 B En parabel er bestemt ved ligningen y = x x a) Bestem toppunktet for parablen, og skitsér parablen 6

7 1010 B På figuren ses grafen for tre forskellige andengradspolynomier f ( x) = ax + bx + c Med d betegnes diskriminanten a) Bestem for hver af de tre andengradspolynomier fortegnet for a og d 1011 B En funktion f er bestemt ved f ( x) x = 7 ln x a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)) 101 B En funktion f er bestemt ved 1 3 f ( x) = x x 5x 3 a) Bestem monotoniforholdene for funktionen f 1013 B Om en funktion f( x) oplyses det, at f '( x) = x 1x a) Bestem monotoniforholdene for f( x) 1014 B a) Tegn en mulig graf for en funktion f, der opfylder følgende: f har definitionsmængde ] ;10[ f har værdimængde [ 3; 8] f er differentiabel fortegn og nulpunkter for f ' er som angivet på tallinjen: 7

8 1015 B 0 a) Bestem hvert af integralerne x 3 dx og x dx ) 1016 B a) Bestem integralet ( 4x x dx, og giv en geometrisk fortolkning af resultatet A a ) Reducer udtrykket (a + 3b) 3b(4a + b) (a + b)(a b) 1018 A a) Forkort brøken a 6a + 9 a A En cirkel har centrum (-,1) og radius 5, og en linje l er bestemt ved ligningen x + y 6 = 0 a) Undersøg om linjen l skærer cirklen 100 A Trykket i atmosfæren, målt i atm, aftager som funktion af højden, målt i km, over jordoverfladen med god tilnærmelse som en eksponentiel udvikling P med en halveringshøjde på 5 km a) Opskriv et regneudtryk for P, som funktion af højden h, idet trykket ved jordoverfladen er 1 atm 101 A Trykket i atmosfæren, målt i atm, som en funktion P af højden h, målt i km, over jordoverfladen er bestemt ved h 5 1 P = Volumen af en idealgas er ved konstant temperatur omvendt proportional med trykket a) Opskriv et regneudtryk for volumen V af en idealgas som funktion af højden h, når volumen ved jordoverfladen er L 8

9 10 A En funktion f er bestemt ved 3 f ( x) = x + x + 4x 3 a) Vis, at tangenten i punktet P(0, f (0)) er parallel med linjen m, der har ligningen 4 x y + = A En funktion f er bestemt ved 3 f ( x) = x + bx + 3x + 4, hvor b er et tal a) Bestem de værdier af b, for hvilke f er en voksende funktion A a) Bestem integralet ( + x) dx x 105 A Der er givet en funktion f x 3 ( ) x 4 = x Grafen for f( x) afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde, der har et areal a) Bestem arealet af denne punktmængde 106 A Grafen for funktionen f med forskriften f ( x) = 9 x og grafen for funktionen g med forskriften g( x) = x + 3 afgrænser en punktmængde, der har et areal a) Skitsér punktmængden, og bestem punktmængdens areal 9

10 107 A På figuren ses grafen for en funktion, som skærer førsteaksen i punkterne S 1 (-3,0), S (-,0), S 3 (,0) og S 4 (3,0) Grafen afgrænser sammen med førsteaksen tre punktmængder M 1, M og M 3, der hver for sig har et areal Disse arealer er henholdsvis, og a) Bestem f ( xdx ) og 3 3 f ( xdx ) A Tabellen viser nogle funktionsværdier for funktionerne f, g og h x f(x) g(x) h(x) Det oplyses, at f er stamfunktion til g, og at g er stamfunktion til h a) Bestem tallet 1 g( x) dx, og bestem en ligning for tangenten til grafen for g i punktet P(1, g(1)) 10

11 109 A Betragt funktionen f( x) = x 1 a) Beregn det bestemte integral 9 f ( xdx ), 0 og fortolk resultatet ved hjælp af en skitse 1030 A Om en funktion f( x ) oplyses, at P (,) er et punkt på grafen for f( x), samt at funktionen er en løsning til differentialligningen dy 3y x dx = a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f( x) i P 1031 A Om en bestemt løsning til differentialligningen dy ( x 1)( y 1 dx = + ), x R og y > 1 oplyses, at grafen forløber i området R ]1; [ a) Bestem ekstremumssted og monotoniforhold for denne løsning til differentialligningen 103 A I et koordinatsystem i planen er der givet tre punkter A (4,), B (1,8) og C (9,14) a) Tegn i et koordinatsystem en skitse af den trekant, som de tre punkter udspænder, og bestem arealet af trekanten 1033 A En cirkel C og en linje l er bestemt ved C: x 4x + y + y = 11 l : y = x + 1 a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem l og C 1034 A En cirkel har centrum i punktet C(3,-) og går gennem punktet P(0,) a) Bestem en ligning for tangenten til cirklen i punktet P 11

12 1035 A En kugle er bestemt ved ligningen x + 8x + y + 4y + z z = 9 a) Bestem koordinatsættet til kuglens centrum og kuglens radius 1036 A En kugle K og en plan α er bestemt ved K: x 6x + y + 4y + z 10z + = 0 α : x + y z = 5 a) Undersøg, om α er tangentplan til K 1037 A En kugle er givet ved ligningen ( x+ ) + ( y ) + z =8 a) Bestem kuglens skæringspunkter med koordinatsystemets førsteakse 1038 A I et koordinatsystem i rummet har en plan α ligningen x y+ z+ 3 = 0, og en linje l har parameterfremstillingen x 1 1 y = + t 1, z 3 1 t R a) Undersøg, om P(4, -1, 6) er et punkt på l, og bestem projektionen af P på α 1039 A I et koordinatsystem i rummet er der givet et punkt A(, -, 1) og en linje l med parameterfremstillingen x 1 y = 1 + t 1, z 1 5 t R På linjen l ligger et punkt P, som opfylder, at OP OA a) Bestem koordinatsættet til P, og beregn arealet af trekant OAP 1

13 1040 A I et koordinatsystem i rummet er der givet et punkt P(1,-5,-) og en vektor 3 a r = 1 4 a) Bestem en ligning for den plan α, der indeholder punktet P og har a r som normalvektor, og bestem en parameterfremstilling for den linje l, der går gennem punktet P, og som har a r som retningsvektor 1041 A Givet to vektorer i rummet 5 t r a = ur 1 og ct = t 11, 11 t R a) Bestem længden af den længste af diagonalerne i det parallelogram, der udspændes af vektor a r og vektor c r 4 13

14 OPGAVER MED HJÆLPEMIDLER Geometri og vektorer 001 B I en trekant ABC er C ret Endvidere er siden b = 3, og vinkelhalveringslinjen v = 4 A a) Tegn en model af situationen, og bestem de ukendte sider og vinkler i trekant ABC 5 00 B I trekant ABC gælder BC = AB og AC = AB a) Bestem cos C b) Bestem arealet af trekant ABC udtrykt ved c 003 B To skibe A og B sejler med konstant hastighed parallelt med en kystlinje l A sejler i afstanden 100 meter fra l, mens B sejler i afstanden 1000 meter fra l Klokken 100 er vinklen v mellem sejlretningen for A og sigtelinjen fra A til et fyrtårn F lig med 40, mens det for B gælder, at den tilsvarende vinkel u er lig med 48 a) Beregn afstanden fra hvert af de to skibe til fyrtårnet b) Beregn afstanden mellem skibene Et halvt minut senere er v = 4 og u = 51 c) Beregn det tidspunkt, hvor de to skibe passerer hinanden 14

15 004 B Det astronomiske fænomen»lysende sky«kan iagttages i Danmark i perioden juni til august En enkel metode til at bestemme afstanden fra jorden til en lysende natsky består i, at to observatører A og B måler vinklen mellem vandret og sigtelinjen til skyen C De to observatører er anbragt, så punktet D ligger lodret under C og den vandrette linje gennem A og B a) Beregn afstanden DC fra jorden til skyen, når der foreligger følgende målinger: α = 7,, β = 37, 6 og AB = 50 km Kilde: Astronomisk Tidsskrift 1994/ 005 B I NATO s varslingskæde indgår AWACS-fly, der er flyvende radarstationer De flyvende radarstationer har den fordel i forhold til radarstationer på jorden, at de kan iagttage flyvemaskiner, som ellers ville være skjult på grund af jordkrumningen og uregelmæssigheder i terrænet Et AWACS-fly befinder sig i højden 9 km På figuren tænkes flyet at befinde sig i punktet F A og B angiver yderpunkter i det område, flyets radar kan dække Jordens radius r sættes til 6371 km a) Bestem længden af linjestykket AB samt længden af cirkelbuen AB 15

16 006 A I en trekant ABC er siden BC dobbelt så lang som siden AB, og siden AC er halvanden gang så lang som siden AB a) Bestem trekantens vinkler Det oplyses, at længden af højden fra B er 5 b) Bestem længden af siderne og trekantens areal 007 B En trekant har sidelængderne 1, x og y Det oplyses, at trekantens omkreds er 10, og at x > y a) Bestem x, når det oplyses, at trekanten er retvinklet 008 B En cirkel er givet ved ligningen x + 4x + y 6y 3 = 0 a) Bestem afstanden fra cirklens centrum til linjen l med ligningen 3 x 4y 4 = 0 Cirklen har to tangenter og t, der er parallelle med linjen l t1 b) Bestem en ligning for hver af disse to tangenter 009 A I et koordinatsystem er to vektorer a r og b r bestemt ved t a r t = og b r =, t + 1 t + 1 hvor t er et tal a) Bestem for t = arealet af det parallellogram, der udspændes af vektorerne a r r og b r r b) Bestem for t = koordinatsættet til projektionen af b på a c) Bestem de værdier af t, for hvilke vinklen mellem vektorerne a r r og b er 60º 16

17 010 A På figuren ses en koncertscene, der er lagt ind i et koordinatsystem, således at z -aksen går lodret op i midten af scenens front, og scenens gulv ligger i xy -planen Scenekassens hjørnepunkter betegnes som på figuren, og punktet C har koordinatsættet ( 5,5,0) Der ophænges spots i tagplanen i P og Q, hvor P har koordinatsættet ( 1, 5, 4) En parameterfremstilling for den linie l, som spotlyset følger fra Q til B er givet ved x 1 3 y = 5 + t 5 z 4, t R a) Bestem en parameterfremstilling for linjen m, der følger spotlyset fra P til C b) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet S mellem de to spotlinier l og m 17

18 011 A På figuren ses en koncertscene, der er lagt ind i et koordinatsystem, således at z -aksen går lodret op i midten af scenens front, og scenens gulv ligger i xy -planen Scenetagets hjørner er punkterne E(1, 6, 4), F( 4, 5,3), G( 4,5,3) og H (1, 6, 4) a) Bestem en ligning for scenens tagplan β, der indeholder punkterne E, F, G og H, og bestem den vinkel, som tagplanen β danner med vandret 01 A I et koordinatsystem i rummet har en kugle ligningen ( x 1) + ( y ) + ( z 1) = 49 Punkterne N (1,,8) og P(3,5,7) ligger på kuglen, og en linje l går gennem kuglens centrum C og punktet P a) Bestem skæringspunktet mellem l og tangentplanen til kuglen i punktet N 013 A I et koordinatsystem i rummet er givet et punkt P(, y0,4), hvor y 0 > 0, og en plan α med ligningen z = 6 Punktet P ligger på en kugle, der har centrum i O(0,0,0), og som tangerer α En linje l går gennem O og P a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem l og α 014 A I et koordinatsystem i rummet er givet en plan α med ligningen x y+ z+ 3 = 0, og en linje l med parameterfremstillingen x 1 1 y = + t 1, t R z 3 1 a) Bestem koordinatsættet til det punkt P på l, hvis projektion på α har koordinatsættet (,,3) 18

19 3 Formler og ligninger 3001 B Body-Mass-Index, BMI, er et mål for sammenhængen mellem en persons vægt og højde For voksne over 0 år falder BMI i en af følgende 4 kategorier: BMI Vægt status Under 18,5 Undervægt 18,5-4,9 Normalvægt 5,0-9,9 Overvægt 30,0 og derover Svær overvægt Kilde: Centers for Disease Control and Prevention, 1600 Clifton Rd, Atlanta, GA 30333, USA En persons BMI kan beregnes ved at dividere vægten i kg med kvadratet på højden målt i meter a) Indfør passende variable, og opstil en formel for BMI b) Undersøg, om en person med en vægt på 70 kg og en højde på 180 cm har normal vægt i henhold til skemaet ovenfor En kvinde er 165 cm høj c) Opstil en funktion, som beskriver BMI, som funktion af vægten for denne kvinde, og undersøg, hvilket vægtinterval denne kvindes vægt skal ligge indenfor, hvis hun ønsker at tilhøre kategorien Normalvægt 300 B Når spinat blancheres, ændrer vitaminindholdet y sig (målt i bestemte enheder) efter forskriften hvor t er tiden y = 31,5 0, 887 a) Bestem t for y =19 t, Nitratindholdet i spinat ændrer sig samtidig og følger forskriften z = 0,3 + 61,4 0, 884 t, hvor t er tiden a) Bestem nitratindholdet, når vitaminindholdet er 15 19

20 3003 B Det radioaktive stof strontium 90 henfalder, så der efter 1 år er forsvundet,45% af stoffet Et laboratorium indkøber 7 g af stoffet i 004 a) Bestem, hvor mange gram der er tilbage efter år b) Indfør passende betegnelser, og opskriv et matematisk udtryk, der beskriver, hvor mange gram radioaktivt stof, der vil være tilbage efter et givet antal år c) Bestem, hvor mange år der går, før der er mindre end 1 g tilbage af stoffet 3004 B En trekants areal er bestemt ved dens højde og dens grundlinje, og en cirkels areal er bestemt ved dens radius En trekant og en cirkel skal have samme areal a) Indfør passende variable, og opstil et udtryk, som beskriver denne sammenhæng b) Udtryk radius i cirklen ved trekantens højde og grundlinje 3005 B En bestemt type glas har udvendig form som en cylinder med højden h og grundfladeradius r Det indre af glasset har form som en kegle med højde h og grundfladeradius r Glasset skal kunne rumme 1dm 3 a) Bestem h som funktion af r Glassets udvendige overflade O består af cylinderens krumme overflade og bund b) Bestem en forskrift for O som funktion af r 3006 B Grafen for en funktion f( x) er en parabel, som skærer koordinatsystemets akser i punkterne P(,0), Q(8,0) og R(0,4) a) Bestem en forskrift for f( x) 3007 B En kasse med kvadratisk bund har rumfang 15 a) Angiv arealet af kassens samlede overflade som en funktion af sidelængden x i den kvadratiske bund 0

21 3008 B Styrken af et jordskælv kan angives ved det såkaldte Richtertal Sammenhængen mellem den energimængde E (målt i joule), et jordskælv frigiver, og Richtertallet m er givet ved følgende formel log E =,4m 1, a) Bestem den energimængde et jordskælv med Richtertallet 6,5 frigiver, og bestem 13 Richtertallet for et jordskælv, der frigiver en energimængde på 8,0 10 joule I en model for antallet af jordskælv i det sydlige Californien kan sammenhængen mellem Richtertallet m og det gennemsnitlige årlige antal jordskælv y med mindst dette Richtertal angives ved følgende formel y = 1, , 188 m b) Bestem det gennemsnitlige antal årlige jordskælv i det sydlige Californien med Richtertal mindst 4,5 Bestem det Richtertal, der svarer til et gennemsnitligt antal årlige jordskælv på 10 med mindst dette Richtertal c) Opstil en ligning, der angiver sammenhængen mellem E og y Kilde: Ignacio Rodriguez-Iturbe, Andrea Rinaldo: Fractal River Basins: Chance and Selforganization, Cambridge University Press, B Af en kugle med radius 10 udskæres en cylinder (figur 1) På figur ses et snit gennem cylinderens akse indlagt i et koordinatsystem a) Vis, at sammenhængen mellem cylinderens rumfang V og cylinderens halve højde t er bestemt ved V = 00π t π t 3 1

22 3010 B Arbejdsprocesser udføres ofte mere effektivt, efterhånden som udøveren af arbejdet får større erfaring I en model for arbejdsprocessers effektivitet gælder, at effektiviteten f (t), som funktion af tiden t (uger) udøveren har været beskæftiget med arbejdet, er givet ved t f ( t) = 1,00 0,60 0, 9, t 0 a) Hvor længe skal udøveren have været beskæftiget med arbejdet, før effektiviteten er 0,95? 3011 A Betragt funktionen x π f( x) = sin( ) +, hvor 0 x 4π a) Bestem funktionens nulpunkter, og skitsér grafen for funktionen b) Gør rede for, at funktionen har et maksimum, og bestem x-værdien hørende til dette 301 A På figuren ses en 5 m lang stige, der er stillet op mod et hus, der ligger 1,5 m bag en m høj mur, som stigen hviler på a) Vis, at der gælder følgende sammenhæng mellem x og y (se figuren) 3 y = og ( x + 1,5) + ( y + ) = 5 (*) x Reducer (*) til én ligning, som x skal opfylde, og løs denne ligning for at bestemme de mulige afstande mellem muren og det sted, hvor stigen rører jorden 3013 A Om en ny dug, der er,0 m lang og 1,1 m bred, oplyses, at dugens areal ved første vask vil krympe 5,0 %, og at længden og bredden reduceres med x% a) Opstil en ligning, som x skal opfylde

23 3014 A En bestemt type beholdere, der skal rumme 0 dm 3, er sammensat af en cylinder med bund og en halv kugleflade med samme radius som cylinderens bund (se figuren) a) Bestem en formel for rumfanget af en sådan beholder udtrykt ved cylinderens højde og cylinderens radius, og isolér højden i formlen b) Bestem beholderens overflade udtrykt ved cylinderens højde og radius 3015 A Når spinat blancheres, ændrer vitaminindholdet y sig (målt i bestemte enheder) efter forskriften t y = 31,5 0, 887, hvor t er tiden a) Bestem t udtrykt ved y Nitratindholdet i spinat ændrer sig samtidig og følger forskriften z = 0,3 + 61,4 0, 884 t, hvor t er tiden b) Bestem en forskrift for nitratindholdet som funktion af vitaminindholdet 3016 A En trekant ABC er indskrevet i et kvadrat med sidelængden 1, som vist på figuren a) Opstil en forskrift for arealet af trekanten som funktion af x b) Bestem den værdi af x, der giver trekanten det største areal 3

24 4 Statistik og sandsynlighedsregning 4001 B Ovenstående viser et boksplot over karaktererne ved en prøve a) Angiv kvartilsættet for datasættet 400 B På en skole med 700 elever ønsker en af de politiske ungdomsorganisationer at få mulighed for at stille et bord op, hvor eleverne i spisefrikvarteret kan hente materialer og få information Da skolens ledelse siger nej, opfordrer organisationen alle elever til at tilkendegive, om de er for eller imod dette 17 afgav deres stemme og heraf støttede 9 forslaget Organisationen omdeler derefter løbesedler, hvor de skriver: Elevundersøgelse viser, at over 70 % støtter de politiske organisationers ret til at uddele materialer på skolen a) Kommentér denne påstand med brug af statistiske begreber som stikprøve, population, systematiske fejl og skjulte variable 4003 B Vil indtagelse af urtete styrke helbredet hos de ældre? Dette ønsker en gruppe studerende at undersøge Over en periode på 6 måneder besøger de nogle tilfældigt udvalgte beboere på et plejehjem og serverer urtete for dem Efter 6 måneder viser det sig, at de beboere, der fik serveret urtete, faktisk har færre sygedage, end de som ikke fik serveret noget De studerende publicerer resultatet af deres undersøgelse under overskriften: Urtete styrker helbredet hos de ældre a) Kommentér denne påstand ved at stille mindst tre kritiske spørgsmål til undersøgelsen 4004 B I Hite-rapporten, der omhandler amerikanske kvinders seksuelle adfærd, er en af konklusionerne: Amerikanske kvinder er langt mere frigjorte, end hidtil antaget Undersøgelsen kom til veje gennem udsendelse af spørgeskemaer til kvinder, hvoraf 4500 svarede a) Kommentér påstanden med brug af statistiske begreber som stikprøve, population, systematiske fejl og skjulte variable 4

25 4005 B For en bestemt gruppe på 15 læger blev det undersøgt, hvor ofte de havde udført et kirurgisk indgreb, der medførte fjernelse af livmoderen Antallet af sådanne operative indgreb var for hver af de 15 læger henholdsvis: En tilsvarende undersøgelse blev foretaget i en gruppe på 10 kvindelige læger, og antallet af sådanne operative indgreb, som de havde udført var: a) Lav på samme figur boksplot af hver af de to datasæt b) Kommentér undersøgelsen gennem en sammenligning af de to boksplot 4006 B Figuren nedenfor viser et histogram, der beskriver fordelingen af iltmolekylers fart, målt i meter pr sekund, ved en temperatur på 0 C a) Tegn sumkurven, og bestem medianen 4007 B Nedenstående tabel viser fordelingen af nogle iltmolekylers fart ved en temperatur på 0 C iltmolekylers fart m/sek Procentdel 10, ,5 15,5 1,5 a) Tegn sumkurven, og bestem hvor stor en procentdel, der har en fart på over 750 m/sek 5

26 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 5001 B Tabellen viser sammenhørende værdier af trykket P, målt i Pa, og temperaturen t målt o i C t 5,0 10,1 9,9 40,0 70, 90,1 P 31,1 35,1 51,1 60, 85,1 301,5 Det oplyses, at trykket, målt i Pa, med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær funktion g af t a) Bestem en forskrift for g Sammenhængen mellem temperaturen t, målt i fahrenheit, er givet ved F = 1,8 t + 3 o C, og temperaturen F, målt i grader b) Bestem et udtryk for trykket som funktion af temperaturen målt i grader fahrenheit 500 B Tabellen viser for 3-slået polyester tovværk sammenhængen mellem tovværkets diameter (målt i mm) og tovets brudstyrke (målt i kg) Diameter (mm) Brudstyrke (kg) Det oplyses, at brudstyrken f (x) (kg) som funktion af diameteren x(mm) er en potensfunktion a) Benyt tabellen til at bestemme f (x) b) Benyt den fundne forskrift for f (x) til at bestemme, hvor mange gange så stor diameteren skal være, hvis brudstyrken skal fordobles 6

27 5003 B Tabellen viser sammenhørende værdier af temperaturen T (målt i ºC) i en fryser og holdbarheden D (målt i døgn) af en rullepølse, der opbevares i en fryser Temperatur T Holdbarhed D Det oplyses, at D med god tilnærmelse er en eksponentielt aftagende funktion af T a) Bestem en forskrift for denne funktion b) Bestem ved hjælp af den fundne forskrift holdbarheden ved en temperatur på 18ºC, og bestem temperaturen, hvis holdbarheden er 180 døgn c) Bestem ved hjælp af den fundne forskrift halveringskonstanten for holdbarheden, og bestem den procentvise ændring i holdbarheden, når temperaturen øges ºC Kilde: Poul Erner Andersen og Jørgen Risum, Introduktion til Vore Levnedsmidler, Bind 6, Polyteknisk Forlag 1999, ISBN B Når en bestemt type gammastråler sendes gennem en blyvæg, er der følgende sammenhæng mellem intensiteten I 0 før passage gennem blyvæggen og intensiteten I efter passage: I = I 0 e 0,0393x hvor x angiver blyvæggens tykkelse, målt i mm, a) Beskriv, hvilken information funktionen giver om reduktion af gammastrålingens intensitet 5005 A Et rektangel, hvor den ene side har længden x, indskrives i en cirkel med radius a) Bestem en forskrift og definitionsmængden for den funktion, der angiver arealet af rektanglet som funktion af x 7

28 5006 A Nedenstående tabel viser sammenhørende værdier af den gennemsnitlige masse M, målt i kg, og det gennemsnitlige hvilestofskifte B, målt i watt, for en række dyreracer Masse kg Hvilestofskifte watt 0,16 0,6 0,30, ,97 1,45 1,55 4,8 14, I en model kan sammenhængen mellem hvilestofskifte B og massen M, med god tilnærmelse beskrives ved B = k M r a) Benyt tabellens data til at bestemme k og r b) Benyt denne sammenhæng til at bestemme massen for en dyreart med et hvilestofskifte på 100 watt Kilde: Life's Universal Scaling Laws, Geoffrey B West and James H Brown, September 004 Physics Today 5007 A Grafen viser et plot af samhørende værdier af logaritmen til antal træer N og logaritmen til stammens diameter D Stammens diameter er målt i cm, og målingerne er fra en skov i Malaysia i 1981 a) Benyt grafen til at vurdere antal træer med en stammediameter på 100 cm b) Opstil en matematisk model for sammenhængen mellem D og N, når det oplyses, at den rette linje på figuren går gennem punkterne ( 086,30) og (, 05) Kilde: Life's Universal Scaling Laws, Geoffrey B West and James H Brown, September 004 Physics Today 8

29 5008 A Kugle: Radius R Rumfang: 4 R 3 V = π 3 Kegle: Grundfladeradius r Sidelinie s Højde h Krumme overflade: O= π rs 1 Rumfang: V = π r 3 h Der skal laves en ny skulptur i Odense i anledningen af H C Andersens 00 års fødselsdag Skulpturen skal være et symbol på forfatterens eventyr ''Toppen og bolden'', og den konstrueres som en kegle med en grundfladeradius r og højden h og med en kugle, der har en radius på 0,5 meter ''Bolden'' findes allerede, og keglen skal konstrueres således, at den har samme rumfang som kuglen a) Gør rede for, at funktionen 1 O ( r) = π r + π r + r, 4 4 r beskriver keglens overfladeareal, som funktion af keglens radius Skulpturen skal forgyldes, og man ønsker derfor at konstruere keglen, så overfladen bliver så lille som mulig b) Bestem den radius, der gør keglens overfladeareal mindst mulig, og bestem den tilsvarende højde for keglen 9

30 6 Differentialregning og modellering med f 6001 B Der er givet funktionen f x = x x x+ 1 3 ( ) 4 4 a) Tegn grafen for f, og bestem koordinatsættet til hvert af grafens skæringspunkter med førsteaksen b) Bestem ligningen for den tangent t 1 til grafen for f, der går gennem det skæringspunkt P, der har den mindste førstekoordinat Grafen for f har en anden tangent t, som også går gennem P c) Bestem koordinatsættet til røringspunktet for denne tangent 600 B En bestemt type af beholdere, der skal rumme 0 dm 3, er sammensat af en cylinder med bund og en halvkugleflade, der har samme radius som bunden af cylinderen (se figuren) Det oplyses, at overfladen Ox ( ) (dm ) for en sådan beholder som funktion af cylinderens radius x (dm) er givet ved O( x) = π x + 3 x a) Bestem overfladen, når radius i cylinderen er dm, og bestem radius i den beholder, der har den mindste overflade 6003 B En virksomhed fremstiller en vare Omkostningerne O(x) ved fremstilling af x tons pr uge af denne vare er givet ved 3 O( x) = x 30x + 500x + 30, hvor O(x) er udtrykt i en møntenhed, som er underordnet i denne forbindelse Den producerede varemængde kan sælges til en fast pris på 308 pr ton a) Bestem det antal tons, som virksomheden skal fremstille pr uge, hvis fortjenesten skal være maksimal 30

31 6004 B Fra et dambrug udledes ved et uheld spildevand i et vandløb Dette forårsager et iltunderskud i vandløbet I en model beskrives iltunderskudet ved funktionen 039t f ( t) = 97,5 t e, t 0, hvor f (t) måles i mg pr liter, og t er antal døgn efter udledningen a) På hvilket tidspunkt er iltunderskudet størst? 6005 B En partikel bevæger sig på en ret linje Den strækning s (meter), partiklen har bevæget sig til tidspunktet t (sekunder), er givet ved 1 s ( t) = 5t a) Bestem det tidspunkt, hvor partiklens hastighed er m/s 6006 A En kasse med kvadratisk bund med sidelængden x, målt i cm, og højden h, målt i cm, er lavet af et materiale A til siderne og et materiale B til låg og bund Prisen for materiale A er kr pr cm, og prisen for materiale B er 3 kr pr cm a) Opstil et regneudtryk for udgiften til materialeforbruget til kassen udtrykt ved x og h Prisen for materialerne til kassen må højst være 100 kr b) Opstil et regneudtryk for h og kassens rumfang V(x) som funktion af x, når udgiften til materialeforbruget er 100 kr c) Bestem den værdi af x, der giver kassen det størst mulige rumfang, når udgiften til materialeforbruget er 100 kr 6007 A I stratosfæren kan trykket (målt i mb) for højder mellem 11 km og 5 km beskrives ved en funktion givet ved regneforskriften 0157( h 11) p ( h) = 6e, hvor h angiver højden (målt i km) a) Bestem tallet p (15), og forklar, hvad dette tal angiver Kilde: W Dansgaard: Klima, Vejr og Menneske, Geografiforlaget, ISBN

32 7 Integralregning B På figuren ses grafen for funktionen f( x) = x 13x + 36 Grafen skærer førsteaksen i punkterne S ( 3,0) 1, S (,0), S (,0) og S (3,0) 3 4 I første og anden kvadrant afgrænser grafen for funktionen sammen med førsteaksen en punktmængde M, som har et areal a) Bestem arealet af M B Grafen for f ( x) = x 9x afgrænser sammen med x-aksen i anden kvadrant en punktmængde, som har et areal a) Bestem arealet af denne punktmængde 7003 B Parablen med ligningen y = 9 x og linjen med ligningen y = x + 3 afgrænser en punktmængde M, der har et areal a) Skitsér M i et koordinatsystem og bestem arealet af M 3

33 7004 B Figuren viser gavlen af en parabelformet hal a) Indlæg på passende vis gavlen i et koordinatsystem, og angiv en forskrift for parablen b) Bestem arealet af gavlen x A a) Bestem integralet e dx, og giv en fortolkning af dette tal x 7006 A a) Bestem en stamfunktion til funktionen f ( x) = e sin x 7007 A Graferne for funktionerne f ( x) = x 5x 6 og g ( x) = x 6 afgrænser en punktmængde, der har areal a) Bestem dette areal 7008 A En funktion f er bestemt ved x f ( x) = e 4x I fjerde kvadrant afgrænser grafen for der har et areal f sammen med førsteaksen en punktmængde, a) Bestem arealet af denne punktmængde 33

34 7009 A Betragt de to funktioner f( x) = 4 x 1 og gx= x+ x+ 1 ( ) 5 3 Graferne for funktionerne afgrænser sammen med koordinatakserne en punktmængde M, der har et areal Funktionerne bruges som model for fremstilling af en træskål, som dannes, idet punktmængden M drejes360 omkring x -aksen a) Bestem skålens trærumfang 7010 A En funktion f er givet ved forskriften f ( x) = x + sin( x) a) Bestem f '( x) b) Gør rede for, at ligningen f ( x) = c har netop én løsning for alle c Grafen for f, koordinatsystemets førsteakse og linjen x = a, a > 0, afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal c) Bestem a, så arealet af M bliver 7011 A I et koordinatsystem med enheden 1 cm på begge akser er en punktmængde M afgrænset af førsteaksen, andenaksen, linjen med ligningen x = 10 og graferne for funktionerne f og g, hvor 4 f ( x) = 1,5 + x g ( x) = x 1 Formen af en 10 cm høj glasvase fremkommer ved, at punktmængden M drejes 360 omkring førsteaksen a) Bestem, hvor meget vand der kan være i vasen b) Bestem, hvor meget glas vasen består af 701 A Formen af en skål med flad bund fremkommer ved en drejning på 360 om førsteaksen af grafen for funktionen hvor a er et positivt tal 0 ( [ 0;1] f x) = x + a, x, a) Bestem a, så denne skåls rumfang bliver 4 34

35 7013 A To funktioner f og g er givet ved f ( x) x = 13, 13 x 3 g( x) = 10 x, 3 x 5 Grafen for f, koordinatsystemets førsteakse og linjen med ligningen x = 3 afgrænser en punktmængde M, der har et areal a) Bestem arealet af punktmængden M Graferne for de to funktioner og førsteaksen afgrænser en punktmængde N b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden N drejes 360 om førsteaksen 7014 A To funktioner f og g er givet ved f ( x) = 10 x og g( x) = x Graferne for de to funktioner, førsteaksen samt linjen med ligningen x = 3 afgrænser en punktmængde M, der har et areal a) Bestem arealet af punktmængden M b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden M drejes 360 om førsteaksen 7015 A For den tid T (minutter), der går mellem, at en bil og den nærmest følgende bil passerer et bestemt sted på en bestemt motorvej, gælder følgende: Sandsynligheden for, at T ligger i tidsintervallet [1;3], er arealet af den punktmængde, der afgrænses af førsteaksen, linjerne med ligningerne x = 1 og x = 3 samt grafen for funktionen 6x f ( x) = 6e a) Bestem sandsynligheden for, at T ligger i [1;3] 35

36 8 Differentialligninger 8001 A En funktion f (x) er løsning til differentialligningen dy x + =, dx y og grafen for f (x) går gennem punktet P (, ) a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f (x) i punktet P 800 A En funktion f (x) er løsning til differentialligningen dy dx = x y, og grafen for f (x) går gennem punkterne (1,e) og (-1,e) a) Bestem et gradtal for den spidse vinkel mellem tangenterne til grafen i de to punkter 8003 A a) Bestem til differentialligningen y'= 5y den løsning, hvis graf går gennem punktet P(0, 4) 8004 A a) Bestem til differentialligningen dy + 3 y = dx 0 den løsning, hvis graf går gennem punktet P(1, 4) 8005 A a) Bestem til differentialligningen y ' + y = 0x + 3 den løsning, hvis graf går gennem punktet P(1, 4) 36

37 8006 A a) Bestem til differentialligningen dy x 3 y = e dx den løsning, hvis graf i punktet ligningen y = x 5 P( 1, f (1)) har en tangent der er parallel linien med 8007 A Det indre af en dyb skål har form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når funktionen f ( x) = x, x 0, o roteres 360 omkring førsteaksen Skålen fyldes med væske, der tilføres med en konstant hastighed c pr tidsenhed a) Bestem væskens rumfang som funktion af dybden h b) Opstil en differentialligning til beskrivelse af rumfanget V af væsken i skålen som funktion af tiden t c) Bestem et udtryk for V (t), når det oplyses, at skålen er tom til tiden t = 0 d) Bestem et udtryk for dybden af væsken h som funktion af tiden t 8008 A I en model for, hvordan en bestemt population udvikler sig i tidens løb, antages det, at populationens væksthastighed er proportional med populationens størrelse Tiden t måles i døgn, og proportionalitetskonstanten er 0,084 Det antages, at der til at begynde med er 10 individer i populationen a) Opskriv en differentialligning, der beskriver populationens udvikling b) Bestem ved hjælp af modellen antallet af individer efter 7 døgn I modellen antages det, at populationens vækst efter de 7 døgn ændrer sig, således at antallet y af individer i populationen som funktion af tiden t opfylder differentialligningen dy dx = 0,00 y(100 y) c) Bestem, hvor mange døgn der går, før antallet af individer i populationen er nået op på 90% af populationens maksimum 37

38 8009 A Man har undersøgt løgfrøens overlevelsessucces i forskellige vandhuller på Djursland Der er udsat et antal løgfrøhaletudser i hvert vandhul, og derefter har man målt løgfrøhaletudsernes længde hver dag i en periode på 3 måneder Det har vist sig, at haletudsernes længde som funktion af tiden opfylder nedenstående differentialligning ds dt t K St ( S max St ) =, S max hvor S er længden (cm), til tiden t (døgn), S (cm) er den øvre grænse for længden t af en løgfrøhaletudse, og K er en konstant For et af de undersøgte vandhuller er K = 0, 069 og S 1 Desuden oplyses, at startlængden S = 0,5 0 max max = a) Bestem ud fra de givne oplysninger løsningen til differentialligningen for det betragtede vandhul, og beregn løgfrøhaletudsens længde, når den er 0 døgn gammel b) Bestem den alder en løgfrøhaletudse fra det pågældende vandhul har, når den vokser hurtigst Kilde: Løgfrøens (Pelobates fuscus) forekomst og ynglesucces i 50 vandhuller på Norddjursland Bente Hansen, Specialerapport ved Biologisk Institut, Botanisk Afdeling Århus Universitet, A Man har undersøgt løgfrøens overlevelsessucces i forskellige vandhuller på Djursland Der er udsat et antal løgfrøhaletudser i hvert vandhul, og derefter har man målt løgfrøhaletudsernes længde hver dag i en periode på 3 måneder Det har vist sig, at haletudsernes længde som funktion af tiden opfylder nedenstående differentialligning ds dt t = 0,00575 St (1 St ) hvor S t er længden (cm), til tiden t (døgn) Det oplyses, at til tiden t = 0 er længden af en løgfrøhaletudse 0,5 a) Bestem væksthastigheden for længden til det tidspunkt, hvor længden af en løgfrøhaletudse er 4 cm b) Tegn en skitse af, hvorledes væksthastigheden for længden afhænger af længden Kilde: Løgfrøens (Pelobates fuscus) forekomst og ynglesucces i 50 vandhuller på Norddjursland Bente Hansen, Specialerapport ved Biologisk Institut, Botanisk Afdeling Århus Universitet, 00 38

39 8011 A Der er givet følgende differentialligning y y = 4x 4x Nogle af løsningerne til denne differentialligning har et eller flere ekstremumspunkter på deres graf a) Bestem en ligning for den kurve, som disse ekstremumspunkter vil tilhøre b) Bestem den løsning til differentialligningen, hvis graf tangerer x-aksen i et punkt med positiv førstekoordinat 801 A En funktion f med definitionsmængde R er løsning til differentialligningen dy = y ( x 9), y > 0, dx og grafen for f går gennem punktet P(, ) a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P b) Bestem monotoniforholdene for f 8013 A I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antal individer i populationen til tiden t (målt i døgn) Den hastighed, hvormed N(t) vokser til tiden t, er proportional med produktet af antallet af individer til tiden t og forskellen mellem 10 6 og antallet af individer til tiden t a) Opskriv en differentialligning, som N(t) må opfylde, når proportionalitetsfaktoren er 10 8 b) Bestem en forskrift for N som funktion af t, når det antages, at antal individer til tiden t = 0 er c) Bestem antal individer i populationen, når væksthastigheden er størst 39

40 8014 A I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antal individer i populationen til tiden t (målt i døgn) Den hastighed, hvormed N(t) vokser til tiden t, er proportional med produktet af antallet af individer til tiden t og forskellen mellem 10 6 og antallet af individer til tiden t a) Opskriv en differentialligning, som N(t) må opfylde, når proportionalitetsfaktoren er Det oplyses, at N (0) =,0 10 b) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst 8015 A I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner Nt () antal individer i populationen til tiden t (målt i døgn) I modellen antages det, at 8 6 N'( t) = 10 N( t) (10 N( t)) a) Bestem væksthastigheden til det tidspunkt, hvor antallet af individer i populationen er b) Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem væksthastigheden og antallet af individer i populationen 8016 A I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antal individer i populationen til tiden t (målt i døgn) I modellen antages det, at 8 6 N'( t) = 10 N( t) (10 N( t)) Det tidspunkt, hvor populationen er nået op på individer, kaldes t1 a) Bestem væksthastigheden for populationen til tidspunktet t 1, og beskriv, hvad denne væksthastighed betyder for udviklingen af antallet af individer i populationen 40

41 8017 A I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antal individer i populationen til tiden t (målt i døgn) Den hastighed, hvormed N(t) vokser til tiden t, er lig med g(n), hvor g er en lineær funktion af N Det oplyses, at 5 4 g(0,1 10 ) = 1,8 10 og 5 3 g (10 ) = 3, 0 10 a) Bestem antallet af individer i populationen til det tidspunkt, hvor vækst- 3 hastigheden er 1, 3 10 individer pr døgn b) Opstil en differentialligning, som N må tilfredsstille 8018 A Når man fylder luft i et bildæk, forbinder man dækkets ventil med en beholder, der indeholder komprimeret luft I det følgende antages, at lufttrykket i beholderen er konstant under påfyldningen Dæktrykket p, målt i kpa, kan beskrives som en funktion af tiden t, målt i sekunder Under påfyldningen vokser dæktrykket på en sådan måde, at den hastighed, hvormed det vokser, er proportional med trykforskellen mellem beholder og dæk Proportionalitetsfaktoren har værdien 0,0 (denne størrelse afhænger blandt andet af bildækkets volumen og af luftmodstanden i ventilen), og lufttrykket i beholderen er 1000 kpa a) Opskriv en differentialligning, der beskriver, hvorledes dæktrykket p under påfyldningen ændrer sig som funktion af tiden t 8019 A Når et varmt metalstykke anbringes i kolde omgivelser, afkøles det I det følgende antages det, at omgivelsernes temperatur er konstant Metalstykkets temperatur y, målt i C, er en funktion af tiden t, målt i sekunder Under passende forudsætninger sker afkølingen på en sådan måde, at den hastighed, hvormed metalstykkets temperatur aftager, er proportional med forskellen mellem metalstykkets temperatur y og omgivelsernes temperatur y 0 Proportionalitetsfaktoren k afhænger af metalstykkets art a) Opskriv en differentialligning, der beskriver, hvorledes metalstykkets temperatur ændrer sig under afkølingen 800 A I en model for rygtespredning inden for en gruppe på 500 personer er antallet af personer y, der har hørt et bestemt rygte, en funktion af tiden t Der gælder, at den hastighed, hvormed y vokser, er proportional med produktet af y og det antal personer, der ikke har hørt rygtet Proportionalitetsfaktoren er 0,0014, når tiden t måles i døgn a) Opstil en differentialligning, som y må opfylde 41

42 801 A En tragt som vist på figuren indeholder væske Væskehøjden i tragten er 5 cm På et tidspunkt åbnes for en ventil i bunden af tragten, hvorved væsken løber ud Under udløbet er den hastighed, hvormed væskehøjden h, målt i cm, ændrer sig fastlagt ved differentialligningen dh dt = 0 h 3 hvor t er tiden, målt i sekunder efter ventilens åbning 5 a) Gør rede for at h ( t) = ( 50t + 315) er en løsning til denne differentialligning 80 A En befolknings størrelse kan beskrives ved en funktion N, således at N(t) er folketallet til tiden t, hvor t angives i år Det antages, at N tilfredsstiller differentialligningen dn dt = ( 0,05 0,0004t) N a) Hvilken information giver ligningen om udviklingen af folketallet? 4

43 9 Vejledende eksamensopgavesæt 43

44 Vejledende opgavesæt nr 1 1 delprøve prøven uden hjælpemidler 9001 Opgave 1 Reducér udtrykket 4a 4ab + b 4a b 900 Opgave En cirkel har centrum i punktet C(3,-) og radius 5 Bestem koordinatsættet til cirklens skæringspunkter med koordinatsystemets andenakse 9003 Opgave 3 Bestem ( x 5 3 x +1 + ) dx og 3 x e dx 9004 Opgave 4 Om to størrelser x og y oplyses, at der er en lineær sammenhæng mellem y og x -1 Følgende tabel viser nogle sammenhørende værdier af x og y: x 1 3 y -1-3 Bestem en ligning, der beskriver sammenhængen mellem x og y 9005 Opgave 5 På figuren ses grafen for funktionen f Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen to punktmængder M 1 og M Det oplyses, at arealet af M 1 er 16 3, og at 3 f ( x) dx = 15 1 Bestem tallet arealet af M 0 f ( x) dx, og bestem Besvarelsen afleveres kl

45 9006 Opgave 1 Vejledende opgavesæt nr 1 delprøve prøven med hjælpemidler I et koordinatsystem er to vektorer a r og b r bestemt ved a r 4 = og b r = 3 1 a) Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a r r og b b) Bestem vinklen mellem vektorerne a r og b r 9007 Opgave Dugongs, også kaldet Søkøer, er havdyr, som kan blive omkring 3 meter lange, og som har en levetid på år Tabellen viser sammenhængen mellem søkøers længde (målt i meter) og deres alder (målt i år) Alder 1,5,5 5,0 7,0 9,5 10,0 13,0 17,0,5 9,0 Længde 1,97,0,15,35,39,41,47,56,70,7 Kilde: Marsh, H R (1980) Age determination of the dugong in Northern Australia and its biological implications Det oplyses, at en søkos længde som funktion af dens alder med tilnærmelse er en a funktion af typen f ( x) = b x, hvor x er søkoens alder, og f ( x) er søkoens længde a) Bestem tallene a og b, og opskriv en forskrift for funktionen f b) Bestem ved hjælp af f længden af en søko, der er 8 år gammel, og bestem alderen på en søko, som har en længde på,5 meter 9008 Opgave 3 Temperaturen (målt i C) i en speciel ovn til brandprøvning udvikler sig som en funktion af tiden t (målt i antal minutter efter at ovnen er tændt) givet ved forskriften f ( t) = ln(8t + 1) a) Bestem temperaturen i ovnen 10 minutter efter at ovnen er tændt, og bestem, hvor lang tid der går, fra ovnen er tændt, til temperaturen i ovnen når op på 500 C? b) Bestem den hastighed, hvormed temperaturen ændrer sig til tiden t = 10 Kilde: DS Brandprøvning Bygningsdeles modstandsevne mod brand,

46 9009 Opgave 4 En funktion f er bestemt ved 4 f ( x) = x x + 4 a) Bestem en ligning for tangenten i punktet (, f()) b) Bestem monotoniforhold og lokale ekstrema for f 9010 Opgave 5 Det radioaktive stof strontium 90 henfalder med,45% pr år Et laboratorium indkøber 7 g af stoffet i 004 a) Indfør passende betegnelser, og opskriv et matematisk udtryk, der beskriver, hvorledes mængden af strontium 90 ændrer sig med tiden 9011 Opgave 6 En høj cylinderformet beholder har et hul i bunden Når der er vand i beholderen, vil det løbe ud gennem hullet Den hastighed, hvormed vandhøjden i beholderen ændrer sig, er til ethvert tidspunkt proportional med kvadratroden af vandhøjden a) Opstil en differentialligning, der beskriver situationen 901 Opgave 7 4 I en trekant ABC er BC = 3 AB og AC = AB a) Tegn en model af trekanten, og bestem A b) Bestem AB, når h = 4 b 9013 Opgave 8 Et sundhedsmagasin ønsker at undersøge, om store doser vitamintilskud forbedrer sundhedstilstanden Bladet anmoder de af læserne, som gennem længere tid har taget store doser vitamintilskud om at skrive ind og fortælle om positive og negative erfaringer med dette 754 læsere skriver ind 93% fortæller, at de kan spore en vis forbedring af helbredet a) Forklar, hvad populationen er, og hvad stikprøven er, og kommenter undersøgelsen med brug af statistiske begreber 46

47 9014 Opgave 9 Grafen for funktionen f med forskriften 3 f ( x) = x 3x afgrænser sammen med koordinatsystemets førsteakse i fjerde kvadrant en punktmængde M, der har et areal a) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om førsteaksen b) Bestem den værdi af t, for hvilken linjen med ligningen x = t deler punktmængden M i to dele, der har samme areal 9015 Opgave 10 En funktion f er løsning til differentialligningen y' = x + 5 y, og linjen med ligningen y = 1 er tangent til grafen for f a) Bestem en forskrift for f 9016 Opgave 11 Figuren viser gavlen af en parabelformet hal a) Indlæg på passende vis gavlen i et koordinatsystem, og angiv en forskrift for parablen I gavlen skal indsættes en rektangulær port b) Bestem den højest mulige port, der kan indsættes, når bredden af porten skal være 3 m, og bestem bredden af den bredest mulige port, der kan indsættes i gavlen, når portens højde skal være 3,5 m 47

48 Vejledende opgavesæt nr 1 delprøve prøven uden hjælpemidler 9017 Opgave 1 En linje l er givet ved ligningen x y + 1 = 0 Bestem en ligning for den linje, der står vinkelret på l og går gennem punktet P(4,3) Opgave Bestem integralet ( 10x + x) dx Opgave 3 Fire variable størrelser er forbundet ved formlerne R = R 0 (1 + α t) og U = R I, hvor og α er konstanter R0 Opstil en formel, der udtrykker t ved U og I 900 Opgave 4 3 Undersøg, om funktionen f ( x) = x + x + x er en løsning til differentialligningen dy 3y = 3 x dx 3 x Opgave 5 For hvilke tal k 0 har ligningen k x netop én løsning + k x 1 = 0 Besvarelsen afleveres kl

49 Vejledende opgavesæt nr delprøve prøven med hjælpemidler Kun én af opgaverne 10a og 10b må afleveres til bedømmelse 90 Opgave 1 Gennem en årrække har man på Sable Island optalt antallet af unger, som gråsælerne fik Nedenstående tabel viser sammenhørende værdier af antal år efter 1970 og antal unger Antal år efter 1970 Antal unger I en model kan antallet af unger som funktion af antal år efter 1970 med tilnærmelse beskrives ved en funktion af typen f ( x) = b a x, hvor f (x) er antal unger, og x er antal år efter 1970 a) Bestem tallene a og b b) Bestem det årstal, hvor der ifølge modellen vil være unger Kilde: ICES Journal of Marine Science, 60,

50 903 Opgave I en trekant ABC er C = 4, h = 35 og m = 37 Fodpunktet for h og m kaldes henholdsvis H og M, og det oplyses, at AMC er spids c) Tegn en skitse af trekanten og bestem MH d) Bestem A i trekant ABC a a a a 904 Opgave 3 En punktmængde M er bestemt ved {( x, y) 0 x 3 0 y + 1 } M = x a) Beregn rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360º om koordinatsystemets førsteakse 905 Opgave 4 En træklods skal være lige så høj som den er bred, men 4 gange så lang som den er bred c) Indfør passende betegnelser, og opskriv en formel for klodsens overfladeareal d) Man ønsker, at klodsen skal have et rumfang på 3 cm 3 Bestem klodsens mål, således at dette er opfyldt 906 Opgave 5 Under en kemisk reaktion mellem bromidioner og bromationer i en sur opløsning ændrer bromkoncentrationen sig med tiden I en matematisk model kan bromkoncentrationen beskrives ved f (t) = 3,00 3, 00 e 0,0116 t, hvor f (t) er koncentrationen målt i mmol pr L, og t er tiden målt i sekunder a) Beskriv, hvilken information den matematiske model giver om bromkoncentrationens udvikling 50

51 907 Opgave 6 Figuren viser et telt indtegnet i et koordinatsystem En bardun skal ligge i forlængelse af linjen gennem BC og fastgøres med en pløk i jorden (xy-planen) a) Bestem koordinatsættet til det punkt, hvor pløkken skal anbringes b) Bestem arealet af teltfladen ABC 908 Opgave 7 En funktion f er bestemt ved f ( x) = 3x 1x + 30 a) Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(5, 10) 909 Opgave 8 Til beskrivelse af sammenhængen mellem antal dyr N og tiden t i en population 1 dn benyttes ofte den relative væksthastighed N Nedenstående tabel viser nogle dt sammenhørende værdier af tiden og den relative væksthastighed Tiden t Relativ væksthastighed 0,3 0,1 0,03 0,191 0,171 0,167 0,15 I en model til beskrivelse af antal dyr antages, at den relative væksthastighed som funktion af tiden med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær funktion f a) Benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for f b) Benyt ovenstående til at opstille en differentialligning til bestemmelse af antal dyr N som funktion af tiden t c) Bestem en forskrift for antal dyr, som funktion af tiden t, idet det oplyses, at der var 780 dyr til tiden t = 7 51

52 9030 Opgave 9 En funktion f er givet ved forskriften f ( x) = x + sin( x) a) Bestem en løsning til ligningen f ( x) = 1 b) Gør rede for, at ligningen f ( x) = c har netop én løsning for alle c 9031 Opgave 10a En funktion f er bestemt ved f ( x) = e x x a) Skitsér grafen for f, og benyt differentialregning til at argumentere for grafens forløb Grafen for f, koordinatsystemets akser og linjen med ligningen punktmængde Mk, der har et areal b) Bestem de værdier af k, for hvilke arealet af M k er 4 x = k afgrænser en 903 Opgave 10b I stratosfæren kan trykket (målt i mb) for højder mellem 11 km og 5 km beskrives ved en funktion givet ved regneforskriften: 0157( h 11) p ( h) = 6e, hvor h angiver højden (målt i km) a) I hvilken højde er trykket 50 mb? b) Giv en beskrivelse af, hvorledes trykket ændrer sig med højden, og inddrag tallet 6 i beskrivelsen Kilde: W Dansgaard: Klima, Vejr og Menneske, Geografiforlaget, ISBN Kun én af opgaverne 10a og 10b må afleveres til bedømmelse 5