Opgave 1 (10%) I det følgende angiver log n 2-tals-logaritmen af n. Ja Nej. n+3n er O(2n)? n 6 er O(n 5 )? nlogn er O(n 2 /logn)? 4n 3 er O(3n 4 )?

Transkript

1 Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) I det følgende angiver log n -tals-logaritmen af n. n+n er O(n)? n 6 er O(n )? nlogn er O(n /logn)? n er O(n )? n er O(n )? n er O(n )? n er O(n )? n er O( n )? /n er O(logn)? logn er O( n)? n er O( n)? n er O((n ) )? n +8 er O(n )? n n er O(n )? n/logn er O(n)? n+ n er O(n n)? n n er O(n)? n n er Ω(n)? 8 logn er Θ(n)? n n er O( n )? Opgave (%) Lad v være en knude i et rød-sort søgetræ, og antag der er n elementer i v s venstre undertræ. Hvor mange elementer kan der så maksimalt være i v s højre undertræ, dvs. hvor ubalanceret kan en knude v være i et rød-sort søgetræ? Θ(n) Θ(nlogn) Θ(n n) Θ(n ) Θ( n )

2 Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) Angiv for hver af nedenstående algoritmer udførselstiden som funktion af n i O-notation. Algoritme Loop(n) for i = to n j = i while j > j = j/ Algoritme Loop(n) s = for i = to n for j = i to n s = s+i Algoritme Loop(n) i = j = while i n i = i+i while j < i j = j + Algoritme Loop(n) i = j = n while i j i = i+i j = j Loop Loop Loop Loop Loop Loop6 Algoritme Loop(n) i = s = while i n for j = i to n s = s+ i = i+i Algoritme Loop6(n) i = j = while i n j = j + i = i+j O(logn) O(n) O(nlogn) O(n ) O(n n) O( n) O(n ) O((logn) ) Opgave (%) Angiv hvordan ovenstående binære max-heap ser ud efter Heap-Extract-Max

3 Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) Angiv den binære max-heap efter indsættelse af elementerne,,,,, 6, og i den givne rækkefølge, startende med den tomme heap Opgave 6 (%) Angiv hvordan ovenstående array ser ud efter anvendelsen af Build-Max-Heap. Opgave (%) Betragt Radix-Sort anvendt på nedenstående liste af tal (d =, k = 6) Angiv den delvist sorterede liste efter at radix-sort har sorteret tallene efter de tre mindst betydende cifre

4 Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side 6 af sider Opgave 8 (%) Angiv resultatet af at anvende Partition(A,,) på ovenstående array Opgave (%) A H B E C D F G Angiv i hvilke blade A-H i ovenstående ubalancerede binære søgetræ elementerne,, 6, og skal indsættes. Insert() Insert() Insert(6) Insert() Insert() A B C D E F G H

5 Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) For hver af nedenstående delmængder, angiv om nedenstående binære træ er et lovligt rød-sort træ hvis netop disse knuder farves røde. 8,,,,, 6,,,,,,,,6,8,, 6,,,,8,,,,,,8,,6 Opgave (%) 6 8 Angiv det resulterende rød-sorte træ når man indsætter i ovenstående rød-sorte træ (dobbeltcirkler angiver røde knuder)

6 Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side 8 af sider Opgave (%) Angiv den resulterende union-find struktur efter nedenstående sekvens af operationer, når der anvendes union-by-rank og stikomprimering. makeset(a) makeset(b) makeset(c) makeset(d) makeset(e) makeset(f) union(a,b) union(c,d) union(e,f) union(b,c) union(b,e) find(a) f d d d a d e a b c f a b c f e b c f b c e a e Opgave (%) I følgende hashtabel er anvendt linear probing med hashfunktionen h(k) = k mod. 6 8 Angiv positionerne de tre elementer, og vil blive indsat på i hashtabellen (for hver af indsættelserne antager vi at hashtabellen kun indeholder elementerne,, og ). Insert() Insert() Insert() 6 8

7 Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) I følgende hashtabel af størrelse er anvendt dobbelt hashing med hashfunktionerne h (k) = k mod og h (k) = +(k mod 6). 6 6 Angiv positionerne de tre elementer, og vil blive indsat på i hashtabellen (for hver af indsættelserne antager vi at hashtabellen kun indeholder elementerne 6,, og ). Insert() Insert() Insert() 6 Opgave (%) Givet en streng T indeholdende bogstaver og start- og slut-parenteser ( og ), antages at alle positionerne med parenteser er gemt i et søgetræ, sorteret fra venstre-modhøjre efter stigende position. En knude v gemmer en position v.p og den tilhørende parentes v.c = T[v.p] fra T. For T = a)b(cd(x)dc(a gemmes i træet v.p, v.c parrene,),,(,,(,,) og,(. Vi ønsker at vedligeholde information om parenteserne er balancerede. I ovenstående eksempel er parenteserne )(()( ikke balancerede, da kun de markerede parenteser går ud mod hinanden. De restende parenterser )(( vil altid være R )-parenteser efterfulgt af L (-parenteser, hvor R og L. I eksemplet har vi R = og L =. I en knude v i træet gemmes disse værdier v.r og v.l for delsekvensen af parenteserne i v s undertræ. Angiv hvorledes v.r kan beregnes når v.c = ) og R og L værdierne er kendt ved de to børn v.left og v.right (det kan antages at disse begge eksisterer). v.left v v.right v.r = v.left.r++v.right.r v.left.r+v.right.r+ v.left.l v.left.r+max{,v.right.r+ v.left.l} v.left.r + + max{, v.right.r v.left.l}

8 Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Transitionssystem ZigZag Konfigurationer: {[i,j] heltal i og j } [i,j] [i,j +i] if i > [i,j] [i,j ] if j > Opgave 6 (%) For hvert af nedenstående udsagn, angiv om de er en invariant for ovenstående transitionssystem ZigZag. Startkonfigurationen antages at være [n, n], hvor n. i n j n i +j n i +j n +n i(i )+j n Opgave (%) For hver af nedenstående funktioner, angiv om de er en termineringsfunktion for ovenstående transitionssystem ZigZag. µ(i,j) = i+j µ(i,j) = i j µ(i,j) = i +j µ(i,j) = i +j µ(i,j) = i +j Opgave 8 (%) Antag, at et givet array A[..n] repræsenterer en binær max-heap indeholdende n elementer. Hvor hurtigt kan man konstruere et søgetræ (ikke nødvendigvis balanceret) indeholdende elementerne A[..n], givet at A er en binær max-heap? Θ(logn) Θ(n) Θ(nlogn) Θ(n )

9 Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Antag A[..n] er et sorteret array med n forskellige positive heltal. Lad squares(a) angive antal A[i] hvor A[i] også forekommer i A. F.eks. er squares(,,,,,6) =, da =, = og = 6. Nedenstående algoritme Squares beregner squares(a). Algoritme Squares(A[..n]) Inputbetingelse : A[..n] array med n heltal < A[] < A[] < < A[n] Outputkrav : r = squares(a) Metode : i ; j ; r ; {I} while j n do if A[i] < A[j] then i i+ if A[i] = A[j] then i i+; j j +; r r + if A[i] > A[j] then j j + Opgave (%) For hvert af nedenstående udsagn, angiv om de er en invariant I for ovenstående algoritme Squares. Det antages at A[] = og A[n+] = +. i j n i j A[i ] < A[j] r = squares(a[..j]) A[i ] < A[j] r = squares(a[..j ]) r = j Opgave (%) For hver af nedenstående funktioner, angiv om de er en termineringsfunktion for ovenstående algoritme Squares. µ(n,i,j,r) = i µ(n,i,j,r) = i+j µ(n,i,j,r) = j i µ(n,i,j,r) = (n+) i j µ(n,i,j,r) = n i j

10 Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) Antag at et array A[..n] indeholder n heltal. Positionen i i A siges at være dominerende hvis A[i] > A[j] for alle j < i. Lad dom(a) angive antal dominerende positioner i i A, hvor i n. Nedenstående algoritme til venstre beregner dom(a). For hvert af udsagnene til højre, angiv om de er en invariant I for algoritmen. Algoritme Domination(A) Inputbetingelse : Array A[..n] med n heltal Outputkrav : r = dom(a) Metode : i ; x A[]; r ; {I} while i < n do i i+; if A[i] > x then x A[i]; r r+ i < n x = A[i] x A[i] r = dom(a[..n]) r = dom(a[..i]) Opgave (%) Betragt en tæller med n cifre x,...,x n, hvor hvert ciffer er et tal fra {,,}, og hvor værdien af tælleren er n i= x i i. En tæller kan tælles én op og én ned med operationerne Inc og Dec: Inc() i while i < n and x i = do x i i i+ if i < n then x i x i + Dec() i while i < n and x i = do x i i i+ if i < n then x i x i Med en passende potentialefunktion kan man argumentere for at Inc og Dec begge tager amortiseret O() tid. Angiv for hver af nedenstående om dette er en sådan potentialefunktion Φ. {i i < n x i = } {i i < n x i } {i i < n x i = } {i i < n x i = } n i= x i n i= x i