Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 5n 4. logn. n 4n 5 n/logn. n n/logn 5n

Transkript

1 Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) n er O(n 7 )? (logn) er O( n)? n(logn) er O(n)? n er O( n )? n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n logn n n n/logn Opgave (%) logn n n/logn n n Angiv for hver af nedenstående summer deres sum som function af n i O-notation: n i = i= n logi = i= logn i= i = O(n ) O(n logn) O(n) logn i= n i i = O(n)

2 Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) Angiv for hver af nedenstående algoritmer udførselstiden som funktion af n i O-notation. Algoritme Loop(n) i while i n do j i while j n do j j + i i+ Algoritme Loop(n) i while i n do j i while j do j j i i+ Algoritme Loop(n) i j while i n do i i+j j j + Svar Loop: O(n ) Svar Loop: O(n ) Svar Loop: O( n) Opgave (%) Angiv for hver af nedenstående algoritmer udførselstiden som funktion af n i O-notation. Algoritme Loop(n) i s while i n do j while j s do j j + i i+ s s Algoritme Loop(n) i n while i > do j while j < i do j j + i i/ Algoritme Loop(n) for i to n do j while j i do j j Svar Loop: O( n ) Svar Loop: Svar Loop: O(n) O(n logn)

3 Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) Tegn hvordan nedenstående binære max-heap ser ud efter indsættelse af elementet Tegn hvordan nedenstående binære max-heap ser ud efter en heap-extract-max operation Opgave 7 (%) Tegn den binære max-heap efter indsættelse af elementerne,,, 9, 7,, 8 i den givne rækkefølge, startende med den tomme heap Opgave 8 (%) Angiv hvordan nedenstående array ser ud efter anvendelsen af build-max-heap for arrayet

4 Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave 9 (%) Betragt radix-sort anvendt på nedenstående liste af tal (d =, k = ). Angiv den delvist sorterede liste efter at radix-sort har sorteret tallene efter de tre mindst betydende cifre Opgave (%) Angiv resultatet af at anvende Partition(A,,) på nedenstående array A Opgave (%) Er følgende sorteringsalgoritmer stabile: InsertionSort MergeSort RadixSort QuickSort HeapSort Opgave (%) Hvilke af følgende udsagn om rød-sorte træer er sande? Antal interne røde knuder antal interne sorte knuder i et rød-sort træ En indsættelse i et rød-sort træ laver worst-case O() rotationer Pladsforbruget af et rød-sort træ med n elementer er O(logn) En indsættelse i et rød-sort træ omfarver worst-case O() knuder En indsættelse i et rød-sort træ omfarver amortiseret O() knuder

5 Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) Tegn hvordan nedenstående ubalancerede binære søgetræ ser ud efter indsættelse af elementet Tegn hvordan nedenstående ubalancerede binære søgetræ ser ud efter slettelse af elementet Opgave (%) Angiv hvorledes knuderne i nedenstående binære søgetræ kan farves røde og sorte, således at det resulterende træ er et lovligt rød-sort træ

6 Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) Tegn hvordan nedenstående rød-sorte træ (dobbeltcirkler angiver røde knuder) ser ud efter indsættelse af elementet Opgave (%) Tegn en hashtabel hvor der anvendes kædede lister til at håndtere kollisioner, når hashfunktionen er h(k) = k mod 7 og der indsættes elementerne, 7,,,,, og i den givne rækkefølge. 7 Opgave 7 (%) Tegnhvordanenhashtabelderanvenderlinear probing serudefteratelementerne,,,,,, og indsættes i den givne rækkefølge, når hashfunktionen er h(k) = k mod Opgave 8 (%) Tegnhvordanenhashtabelderanvenderquadratic probing serudefteratelementerne, 9,,, og indsættes i den givne rækkefølge, når hashfunktionen er h(k,i) = k +7i+i mod

7 Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side 7 af sider Opgave 9 (%) Angiv for hver af nedenstående datastrukturer tiden for at understøtte operationerne Find, Insert, og Delete-Max. Find(x) Insert(x) Delete-Max() Max-heap O(n) O(log n) O(log n) Rød-sort søgetræ O(log n) O(log n) O(log n) Sorteret dobbelt-kædet liste O(n) O(n) O() Opgave (%) Angiv den resulterende union-find struktur efter Union(d, k), når der anvendes union-by-rank og stikomprimering (tallene angiver knudernes rang). b f a c e g i d h j l k f b e g i l k a c d h j

8 Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side 8 af sider Transitionssystem Frem-og-tilbage Konfigurationer: {[i,j] heltal i,j i j } [i,j] [i+,j ] if j [i,j] [i,j +] if i [i,j] [i+,j ] if j Opgave (%) For hvert af nedenstående udsagn, angiv om de er en invariant for ovenstående transitionssystem Frem-og-tilbage. Startkonfigurationen antages at være [n, n] hvor n. i+j i+j n i j i+7j n i (n j) Opgave (%) For hver af nedenstående funktioner, angiv om de er en termineringsfunktion for ovenstående transitionssystem Frem-og-tilbage. µ(i,j) = i µ(i,j) = j µ(i,j) = i+j µ(i,j) = i+7j µ(i,j) = i+j

9 Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side 9 af sider Algoritme SquareRoot(n) Inputbetingelse : heltal n Outputkrav : r n < (r +) Metode : i s {I} while s n do s s+i+i+ i i+ r i Opgave (%) For hver af nedenstående udsagn, angiv om de er en invariant I for ovenstående algoritme SquareRoot. i s i n s = i s = s+i+ s = n Opgave (%) For hver af nedenstående funktioner, angiv om de er en termineringsfunktion for ovenstående algoritme SquareRoot. µ(i,s,r) = i µ(i,s,r) = n i µ(i,s,r) = n s µ(i,s,r) = n +i s µ(i,s,r) = i s

10 Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) Givet et array A = A[]A[] A[n] og et element x, beregner nedenstående algoritme det største element x i arrayet. Denne værdi betegnes Pred(A,x) = max{a[i] i n A[i] x}. For at vise gyldigheden af algoritmen skal I i og I r væreinvarianter omkring variablerne i og r. Angiv invarianter hvormed gyldigheden af algoritmen kan bevises (bevis for invarianterne kræves ikke). Det antages at A og n ikke kan ændres af algoritmen. Algoritme Predecessor(A) Inputbetingelse : array A med n heltal, n, og et heltal x Outputkrav : r = Pred(A, x) Metode : r ; i ; {I r I i } while i n do if A[i] x and A[i] > r then r A[i]; i i+; Svar I i : i n+ Svar I r : r = Pred(A[..i ],x) For at kunne bevise at algoritmen terminerer, kræves en passende termineringsfunktion. Angiv en termineringsfunktion (bevis for at termineringsfunktionen har de nødvendige egenskaber kræves ikke). Svar µ: n+ i