DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi

Transkript

1 DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 7. august 009, kl Eksamenslokale: Åbogade 34, Benjamin bygningen, indgang B Tilladte medbragte hjælpemidler: Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger og notater). Computer må ikke medbringes. Materiale der udleveres til eksaminanden: Årskort Navn

2 Side af 1 sider Skriftlig Eksamen Datalogisk Institut Aarhus Universitet Fredag den 7. august 009, kl Dette eksamenssæt består af en kombination af små skriftlige opgaver og multiplechoice-opgaver. Opgaverne besvares på opgaveformuleringen som afleveres. For hver opgave er angivet opgavens andel af det samlede eksamenssæt. For multiple-choice-opgaver gælder følgende. Hvert delspørgsmål har præcist et svar. For hvert delspørgsmål, kan du vælge ét svar ved at afkrydse den tilsvarende rubrik. Et multiple-choice-delspørgsmål bedømmes som følgende: Hvis du sætter kryds ved det rigtige svar, får du 1 point. Hvis du ikke sætter nogen krydser, får du 0 point. Hvis du sætter kryds ved et forkert svar, får du 1 svarmuligheder. k 1 point, hvor k er antal For en multiple-choice-opgave med vægt v % og med n delspørgsmål, hvor du opnår samlet s point, beregnes din besvarelse af multiple-choice-opgaven som: { max 0, s } n v %

3 Side 3 af 1 sider Opgave 1 (4%) n + n 3 er O(4n )? n /3 er O(n 1/3 )? n 3 er O(n log n)? n er O((log n) )? 7n er Ω(n 7 )? Ja Nej Opgave (4%) Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen (bemærk at log n betegner totals logaritmen): n (log n) log n n n/ log n Opgave 3 (4%) Antag f(n), f 1 (n), f (n), g(n), g 1 (n) og g (n) er heltallige positive ikke-aftagende funktioner. Hvilke af følgende udsagn er sande? f(n) = O(g(n)) = g(n) = O(f(n))? f(n) = Ω(g(n)) = f(n) = O(g(n))? f(n) = O(g(n)) = g(n) = Ω(f(n))? f 1 (n) = O(g 1 (n)) f (n) = O(g (n)) = f 1 (n) f (n) = O(g 1 (n) g (n))? f 1 (n) = O(g 1 (n)) f (n) = O(g (n)) = f 1 (n) f (n) = O(g 1 (n) g (n))? Ja Nej

4 Side 4 af 1 sider Opgave 4 (4%) Angiv for hver af nedenstående algoritmer udførselstiden som funktion af n i O-notation. Algoritme Loop1(n) x 1 for i 1 to n for j i to n for k i to j x x + 1 Algoritme Loop(n) x 1 for i 1 to n for j 1 to n x x + 1 for k 1 to n x x + 1 Algoritme Loop3(n) i 1 while i n do i 3 i Svar Loop1: Svar Loop: Svar Loop3: Opgave 5 (4%) Angiv for hver af nedenstående algoritmer udførselstiden som funktion af n i O-notation. Algoritme Loop1(n) if n 0 then return 1 else return Loop1(n 1) + Loop1(n 1) Algoritme Loop3(n) i 1 s 0 while s n do j 1 while j i do j j s s + i i i + 1 Svar Loop1: Svar Loop: Svar Loop3: Algoritme Loop(n) x 0 i 1 s 0 while i n do for k 1 to s for l 1 to k x x + 1 s s + i i i + 1

5 Side 5 af 1 sider Opgave 6 (4%) Tegn hvordan nedenstående binære max-heap ser ud efter indsættelse af elementet Tegn hvordan nedenstående binære max-heap ser ud efter en heap-extract-max operation Opgave 7 (4%) Tegn den binære max-heap efter indsættelse af elementerne 1,, 3, 4, 5, 6, 7 i den givne rækkefølge, startende med den tomme heap. Opgave 8 (4%) Angiv hvordan nedenstående array ser ud efter anvendelsen af build-max-heap for arrayet

6 Side 6 af 1 sider Opgave 9 (4%) Betragt Counting-Sort anvendt på nedenstående liste af tal fra {0, 1,..., 9}. Angiv arrayet C efter tallene er blevet sorteret med Counting-Sort A Opgave 10 (4%) Angiv resultatet af at anvende Partition(A,,11) på nedenstående array A Opgave 11 (4%) Angiv den asymptotiske tid for quicksort på et input af størrelse n. Bedste tid? Værste tid? Forventede tid for et tilfældigt input? Opgave 1 (4%) Nedenstående angiver en del af et søgetræ. Angiv x, y, z, og w i sorteret voksende rækkefølge. x y T 5 T 1 z w T 4 T T 3

7 Side 7 af 1 sider Opgave 13 (4%) Tegn hvordan nedenstående ubalancerede binære søgetræ ser ud efter indsættelse af elementet Tegn hvordan nedenstående ubalancerede binære søgetræ ser ud efter slettelse af elementet Opgave 14 (4%) Angiv hvorledes knuderne i nedenstående binære søgetræ kan farves røde og sorte, således at det resulterende træ er et lovligt rød-sort træ

8 Side 8 af 1 sider Opgave 15 (4%) Tegn hvordan nedenstående rød-sorte træ (dobbeltcirkler angiver røde knuder) ser ud efter indsættelse af elementet Opgave 16 (4%) Angiv alle mulige binære max-heaps for mængden {1,, 3, 4}. Opgave 17 (4%) Tegn en hashtabel hvor der anvendes kædede lister til at håndtere kollisioner, når hashfunktionen er h(k) = k mod 7 og der indsættes elementerne 5,, 7, 9, 8, 15, og 1 i den givne rækkefølge.

9 Side 9 af 1 sider Opgave 18 (4%) Tegn hvordan en hashtabel der anvender linear probing ser ud efter at elementerne 8,, 5, 3, 1, 1, og 13 indsættes i den givne rækkefølge, når hashfunktionen er h(k) = 3k mod Opgave 19 (4%) Tegn hvordan en hashtabel der anvender quadratic probing ser ud efter at elementerne 9, 3, 14, 0, 1, og 1 indsættes i den givne rækkefølge, når hashfunktionen er h(k, i) = k + 3i + i mod Opgave 0 (4%) Angiv den resulterende union-find struktur efter Union(c, j), når der anvendes unionby-rank og stikomprimering (tallene angiver knudernes rang). b f 3 a c e g i 1 d 0 h 0 j 0 l 1 k 0

10 Side 10 af 1 sider Transitionssystem Count-Down Konfigurationer: {[k, i] heltal k, i k 0 i 0} [k, i] [k i, i] if k i [k, i] [k, i 1] if k < i i > 0 Opgave 1 (4%) For hvert af nedenstående udsagn, angiv om de er en invariant for ovenstående transitionssystem Count-Down. Startkonfigurationen [k 0, i 0 ] antages at opfylde i 0+1 > k 0 i 0. k i k i k + i = k 0 + i 0 i+1 > k i k i Ja Nej Opgave (4%) For hver af nedenstående funktioner, angiv om de er en termineringsfunktion for ovenstående transitionssystem Count-Down. µ(k, i) = k + i µ(k, i) = k + i µ(k, i) = k + i i µ(k, i) = k+i i µ(k, i) = i k Ja Nej

11 Side 11 af 1 sider Algoritme Cubed(n) Inputbetingelse : heltal n 0 Outputkrav : k n 3 Metode : i 0 j 0 k 0 {I} while i < n do k k + j + j + j + i + i + i + 1 j j + i + i + 1 i i + 1 Opgave 3 (4%) For hver af nedenstående udsagn, angiv om de er en invariant I for ovenstående algoritme Cubed. k = n 3 j = i k = i 3 i j k j n Ja Nej Opgave 4 (4%) For hver af nedenstående funktioner, angiv om de er en termineringsfunktion for ovenstående algoritme Cubed. µ(n, i, j, k) = n i µ(n, i, j, k) = n 3 k µ(n, i, j, k) = n j µ(n, i, j, k) = i µ(n, i, j, k) = (n i) Ja Nej

12 Side 1 af 1 sider Opgave 5 (4%) Givet et heltal n, beregner nedenstående algoritme den binære heltals logaritme af n, dvs. intlog(n) = max{i i n i er et heltal} For at vise gyldigheden af algoritmen skal I i og I r være invarianter omkring variablerne i og r. Angiv invarianter hvormed gyldigheden af algoritmen kan bevises (bevis for invarianterne kræves ikke). Det antages at n ikke kan ændres af algoritmen. Algoritme intlog(n) Inputbetingelse : heltal n 1 Outputkrav : i = intlog(n) Metode : r 1 i 0 {I r I i } while r n do r r + r i i + 1 i i 1 Svar I i : Svar I r : For at kunne bevise at algoritmen terminerer, kræves en passende termineringsfunktion. Angiv en termineringsfunktion (bevis for at termineringsfunktionen har de nødvendige egenskaber kræves ikke). Svar µ: