Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Transkript

1 Korteste veje

2 Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

3 Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste sti fra u til v. Sættes til hvis ingen sti findes.

4 Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste sti fra u til v. Sættes til hvis ingen sti findes. Single-source shortest-path problemet: Givet s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V.

5 Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste sti fra u til v. Sættes til hvis ingen sti findes. Single-source shortest-path problemet: Givet s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V.

6 Korteste veje i vægtede grafer Bemærk: problemet er ikke veldefineret hvis der findes kredse (som kan nås fra s) med negativ sum: Omvendt: hvis der ikke findes sådanne negative kredse, kan vi nøjes med at så på simple stier (ingen knuder gentages). Der er et endeligt antal sådanne (< n n, f.eks.), så længde af korteste sti er veldefineret.

7 Relaxation

8 Relaxation

9 Relaxation

10 Relaxation Invariant hvis man efter Init-Single-Source kun ændrer v.d og v.π via Relax: Hvis v.d < er der en sti fra s til v af længde v.d, og denne sti kan gennemløbes (baglæns) ved at følge π-pointere.

11 Bellman-Ford [1958]

12 Bellman-Ford [1958] Køretid:

13 Bellman-Ford [1958] Køretid: O(nm)

14 Bellman-Ford [1958] Køretid: O(nm) Sætning: Hvis der findes en negativ kreds, som kan nås fra s, svarer algoritmen FALSE. Ellers svarer den TRUE, og v.d og v.π er sat korrekt for alle v V når den stopper.

15 Bellman-Ford [1958] Køretid: O(nm) Sætning: Hvis der findes en negativ kreds, som kan nås fra s, svarer algoritmen FALSE. Ellers svarer den TRUE, og v.d og v.π er sat korrekt for alle v V når den stopper. Bevis: Invarianten er, at efter k iterationer af første for-løkke passer v.d og v.π værdierne for de korteste veje med højst k kanter.

16 Bellman-Ford, eksempel

17 Dikjstras algoritme [1959] Grådig algoritme som trinvis opbygger mængde S af knuder med korrekte v.d og v.π. Bruger en prioritetskø Q. Kræver alle kantvægte 0.

18 Dikjstras algoritme [1959] Grådig algoritme som trinvis opbygger mængde S af knuder med korrekte v.d og v.π. Bruger en prioritetskø Q. Kræver alle kantvægte 0. Køretid:

19 Dikjstras algoritme [1959] Grådig algoritme som trinvis opbygger mængde S af knuder med korrekte v.d og v.π. Bruger en prioritetskø Q. Kræver alle kantvægte 0. Køretid: n Insert (eller een Build-Heap), n Extract-Min og m Decrease-Key (i Relax).

20 Dikjstras algoritme [1959] Grådig algoritme som trinvis opbygger mængde S af knuder med korrekte v.d og v.π. Bruger en prioritetskø Q. Kræver alle kantvægte 0. Køretid: n Insert (eller een Build-Heap), n Extract-Min og m Decrease-Key (i Relax). I alt O(m log n) hvis prioritetskøen implementeres med en heap.

21 Dikjstras algoritme [1959] Grådig algoritme som trinvis opbygger mængde S af knuder med korrekte v.d og v.π. Bruger en prioritetskø Q. Kræver alle kantvægte 0. Køretid: n Insert (eller een Build-Heap), n Extract-Min og m Decrease-Key (i Relax). I alt O(m log n) hvis prioritetskøen implementeres med en heap. Sætning: Når algoritmen stopper er v.d og v.π sat korrekt for alle v V (hvis alle kantvægte er 0). Bevis: næste gang.

22 Dijkstra, eksempel

23 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m).

24 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m).

25 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m). Køretid:

26 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m). Køretid: O(n + m).

27 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m). Køretid: O(n + m). Sætning: Når algoritmen stopper er v.d og v.π sat korrekt for alle v V.

28 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m). Køretid: O(n + m). Sætning: Når algoritmen stopper er v.d og v.π sat korrekt for alle v V. Bevis: invarianten er at når den ydre for-løkke når til knude u, er v.d og v.π sat korrekt for alle tidligere knuder.

29 Algoritmen for DAG, eksempel

30 Korteste veje i vægtede grafer All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V.

31 Korteste veje i vægtede grafer All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V. Een mulighed: køre Dikjstra fra hver source s V :

32 Korteste veje i vægtede grafer All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V. Een mulighed: køre Dikjstra fra hver source s V : O(nm log n) tid.

33 Korteste veje i vægtede grafer All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V. Een mulighed: køre Dikjstra fra hver source s V : O(nm log n) tid. En anden mulighed: Floyd-Warshalls algoritme. O(n 3 ) tid.

34 Korteste veje i vægtede grafer All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V. Een mulighed: køre Dikjstra fra hver source s V : O(nm log n) tid. En anden mulighed: Floyd-Warshalls algoritme. O(n 3 ) tid. Bruger adjacency-matrix repræsentationen. Output også på matrice-form: D = (d ij ), d ij = δ(v i, v j ) = længden af en korteste sti fra v i til v j. Sættes til hvis ingen sti findes.

35 Korteste veje i vægtede grafer All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V. Een mulighed: køre Dikjstra fra hver source s V : O(nm log n) tid. En anden mulighed: Floyd-Warshalls algoritme. O(n 3 ) tid. Bruger adjacency-matrix repræsentationen. Output også på matrice-form: D = (d ij ), d ij = δ(v i, v j ) = længden af en korteste sti fra v i til v j. Sættes til hvis ingen sti findes. Π = (π ij ), π ij = sidste knude før v j på en korteste sti fra knude v i til knude v j. Sættes til NIL hvis ingen sti findes.

36 Floyd-Warshalls algoritme [1962] Dynamisk programmeringalgoritme (kun konstruktion af D-matricen vises).

37 Floyd-Warshalls algoritme [1962] Dynamisk programmeringalgoritme (kun konstruktion af D-matricen vises). Køretid:

38 Floyd-Warshalls algoritme [1962] Dynamisk programmeringalgoritme (kun konstruktion af D-matricen vises). Køretid: O(n 3 ).

39 Floyd-Warshalls algoritme [1962] Dynamisk programmeringalgoritme (kun konstruktion af D-matricen vises). Køretid: O(n 3 ). Plads: O(n 2 ) (kun forrige D (k) matrice behøves gemmes).

40 Floyd-Warshalls algoritme [1962] Dynamisk programmeringalgoritme (kun konstruktion af D-matricen vises). Køretid: O(n 3 ). Plads: O(n 2 ) (kun forrige D (k) matrice behøves gemmes). Sætning: Når algoritmen stopper er d ij og π ij sat korrekt for alle v i, v j V.

41 Floyd-Warshalls algoritme [1962] Dynamisk programmeringalgoritme (kun konstruktion af D-matricen vises). Køretid: O(n 3 ). Plads: O(n 2 ) (kun forrige D (k) matrice behøves gemmes). Sætning: Når algoritmen stopper er d ij og π ij sat korrekt for alle v i, v j V. Bevis: Invarianten er, at D (k) indeholder længden af korteste veje mellem v i og v j som passerer knuderne v 1, v 2,..., v k (udover endepunkterne v i og v j ).

42 Floyd-Warshall, eksempel