TERMINSPRØVE APRIL 2018 3x MA, 3z MA og 3g MA/2 MATEMATIK onsdag den 11. april 2018 Kl. 09.00 14.00
Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 7-14 med i alt 19 spørgsmål. De 25 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Bedømmelsen af terminsprøven I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. 2. NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.
Terminsprøve for 3g MA/2, 3x MA og 3z MA på Tårnby Gymnasium stx matematik A, april 2018, side 1 af 5 Delprøven uden hjælpemidler Kl. 09.00-10.00 Opgave 1 Reducér udtrykket y 2 + 2x(y + 3x) (x + y) 2. Opgave 2 På figuren ses en skitse af graferne for tre eksponentielle funktioner f (x) = 2 1,5 x g(x) = 3 1,5 x (2) h(x) = 2 0,5 x Gør for hver af graferne A, B og C rede for, hvilken af de tre funktioner den er graf for. (1) Opgave 3 En funktion f er givet ved f (x) = 1 + 2x 4ln(x), x>0. Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 4 I 2010 var der i en by 326 alvorlige ulykker med cyklister. I årene efter har man løbende ført en kampagne for at undgå disse ulykker, og i årene efter 2010 er antallet af disse ulykker faldet med 18 % om året. Indfør passende variable, og opstil en model, der beskriver udviklingen i det årlige antal alvorlige ulykker med cyklister i byen. Opgave 5 I et koordinatsystem i planen er en cirkel givet ved ligningen x 2 6x + y 2 + 8y + 9 = 0. Bestem cirklens radius og koordinatsættet til dens centrum. Opgave 6 En funktion f er løsning til differentialligningen dy 3x y dx. På grafen for f ligger et punkt P med andenkoordinat 2. Det oplyses at tangenten til grafen for f i punktet P har hældningskoefficienten 10. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. Besvarelsen af delprøven uden hjælpemidler afleveres kl. 10
Terminsprøve for 3g MA/2, 3x MA og 3z MA på Tårnby Gymnasium stx matematik A, april 2018, side 2 af 5
Terminsprøve for 3g MA/2, 3x MA og 3z MA på Tårnby Gymnasium stx matematik A, april 2018, side 3 af 5 Delprøven med hjælpemidler Kl. 09.00-14.00 Opgave 7 Ved en arkæologisk udgravning har man fundet en række lerfigurer. Tabellen viser nogle af figurernes længde (i cm) og vægt (i g). Længde (cm) 5,2 6,4 8,1 8,9 9,5 12,7 Vægt (g) 63 108 175 226 259 546 Det viser sig, at sammenhængen mellem figurernes længde og vægt med god tilnærmelse kan beskrives ved en model af typen f (x) = b x a, hvor f (x) er vægten (målt i g), og x er længden (målt i cm). a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene a og b. b) Benyt modellen til at bestemme længden af en figur, hvis vægt er 34 g. c) Bestem hvor mange procent vægten øges, når længden øges med 35 %. Opgave 8 En funktion f er bestemt ved 3 f ( x) x 3x 2. a) Tegn grafen for f, og bestem koordinatsættet til hvert af funktionens nulpunkter. b) Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 9 Trekant ABC har et areal på 38. Det oplyses desuden, at A = 35 og AC = 12. a) Bestem længden af siden AB. Vinkelhalveringslinjen for vinkel B skærer siden AC i et punkt D. b) Bestem BD.
Terminsprøve for 3g MA/2, 3x MA og 3z MA på Tårnby Gymnasium stx matematik A, april 2018, side 4 af 5 Opgave 10 I en afrikansk landsby er der mange familier der holder høns. Man vil undersøge, om det at familien har høns afhænger af mandens alder. Man har udtaget en stikprøve på 337 familier. alder 30 30 < alder 40 40 < alder Holder høns 41 54 49 Holder ikke høns 78 63 52 a) Opstil en nulhypotese der kan anvendes til at teste, om der er sammenhæng mellem det at familien holder høns og mandens alder, og opstil på grundlag heraf en tabel over de forventede værdier. b) Bestem χ 2 -teststørrelsen, og undersøg, om nulhypotesen kan forkastes på et 5 % signifikansniveau. Opgave 11 Figuren viser grafen for funktionen f (x) = x 2 + 1 samt punkterne P(x, f (x)) og Q(1, 0). a) Gør rede for, at længden af linjestykket PQ er (2) 4 2 PQ x 3x 2x 2. (1) b) Bestem den mindste længde linjestykket PQ kan have. Opgave 12 I et koordinatsystem i rummet er der givet to vektorer 3 a 1 2 og 4 b 2. 0 Den plan, som er udspændt af vektorerne a og b, og som indeholder punktet P(2, 1, 5), betegnes med. a) Gør rede for, at planen er bestemt ved ligningen 2x + 4y + 5z + 17 = 0. En linje l er bestemt ved parameterfremstillingen x 0 1 l : y 0 t 2, z 2 1 t. b) Bestem den spidse vinkel mellem l og. c) Bestem en ligning for den kugle der har centrum i O(0, 0, 0) og har som tangentplan.
Terminsprøve for 3g MA/2, 3x MA og 3z MA på Tårnby Gymnasium stx matematik A, april 2018, side 5 af 5 Opgave 13 I en model kan antallet af insekter i et bur som funktion af tiden beskrives ved differentialligningen dn 0, 02N 2, dt hvor N(t) betegner antallet af insekter til tidspunktet t (målt i døgn). Til tidspunktet t = 0 er antallet af insekter i buret 230. a) Benyt modellen til at bestemme tilvæksten pr. døgn i antallet af insekter, når antallet af insekter er 500. b) Benyt modellen til at bestemme antallet af insekter til tiden 50 døgn. Opgave 14 En funktion f er bestemt ved f (x) = x 2 8x + 17. En linje l er givet ved y = k, hvor k er et tal der er større end 1. Grafen for f og linjen med ligningen y = k afgrænser en punktmængde M, der har et areal. a) Bestem arealet af M, når k = 2. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme der fremkommer, når M drejes 360 om førsteaksen, når k = 2. c) Bestem k, så arealet af M er 4.
Tå r n b y G ymnasiu m, K J, MS