Herunder ser du et forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag.

Kære selvstuderende i hf matematik C Herunder ser du et forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag. Eksamensspørgsmålene til mundtlig eksamen ses til sidst. Link til fagets læreplan: www.uvm.dk. Det er undervisningsministeriets hjemmeside og her skal du gå ind under Uddannelser og dagtilbud og vælge Love og regler under Gymnasiale uddannelser (http://uvm.dk/uddannelser/dagtilbudsomraadet/love-og-regler-fordagtilbud). Vælg så Studieretninger og fag, hfe, Læreplaner ( h t t p : / / u v m. d k / U d d a n n e l s e r / G y m n a s i a l e - u d d a n n e l s e r / F a g - ogl a e r e p l a n e r ) og til sidst Matematik C under de nye læreplaner. (Klik evt. her: http://uvm.dk/uddannelser/gymnasialeuddannelser/fag-og-laereplaner/fag-paa-hf/matematik-hf) Vær opmærksom på at den mundtlige eksamen "skal inddrage gennemførte projektforløb og temaopgaver". I den forbindelse er vedhæftet tre oplæg til rapporter, der kan inddrages i den mundtlige eksamination i visse spørgsmål. Til den mundtlige eksamen bedømmes din udarbejdede rapport ikke. Bemærk at vi har en hold-side på Fronter. Kig endelig på den (vores rum hedder s1mac005v14/15)! Her kan du f.eks. finde lektionsnoter, løsninger til opgaver, mm. Husk du kan få en times vejledning med mig. Men lav en aftale i god tid. Jeg kan kontaktes på mailadressen: sish@kvuc.dk Med venlig hilsen Siavash Sharifi 1

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Hvis du ønsker ændringer, skal det godkendes af din vejleder inden 1. april (sommereksamen) / 1. november (vintereksamen). Tag kontakt til din vejleder. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser: Termin Kursusår sommer 2015, Maj Juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) 2HF Matematik C Navn: Siavash Sharifi e-mail: sish@kvuc.dk Hold Selvstuderende (s1mac005v14/15) Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel 3 Titel 4 Titel 5 Titel 6 Titel 7 Titel 8 Introduktionsforløb - Ligninger og tal Geometri Procent og rente variabelsammenhænge: Funktioner - lineære funktioner Eksponentielle funktioner Potensfunktioner Statistik Ubekendte og beviser Titel 1 Indhold Introduktionsforløb - Ligninger og tal Kernestof: Regningsarter, hierarki, parenteser, simple ligninger, talmængder. Brug af symboler til matematisk omformning af simple problemstillinger Undervisningsmateriale: 2

Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 1: Ligninger og tal (side 19-47) samt Lektionsnoter om talmængder (6 sider) Supplerende note: Ligninger og tal (2 sider om at opstille ligninger og brug af formler hentet fra lærernes online materiale) Bemærk: Dette forløb indgår ikke i eksamensgrundlaget da det vil være dækket af de andre forløb. Forløbet dækker fundamentale regnetekniske færdigheder. Omfang Særlige fokuspunkter Anvendt uddannelsestid: 13 lektioner + 6 timer til skriftlige opgaver Kompetencer og Faglige mål: Talforståelse Kunne håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Brug af lommeregner Progression: For at give kursisterne lyst til at lære matematik og beskæftige sig med den har introduktionsforløbet strakt sig over lang tid med langsom progression i sværhedsgrad og abstraktionsniveau, og en decideret gennemgang af emnet brøkregning er derfor ikke medtaget her. Men de væsentlige aspekter heraf er blevet fremhævet og redegjort for under opgaveregninger i det omfang læreren skønnede det nødvendigt. Væsentligste arbejdsformer Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper Skriftlige hjemmeopgaver Titel 2 Indhold Geometri Kernestof: Trekanter, herunder ensvinklede trekanter Retvinklede trekanter, herunder cosinus, sinus og tangens Vilkårlige trekanter, herunder sinus- og cosinusrelationerne Undervisningsmateriale: Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 3: Geometri (side 83-125) samt Lektionsnoter om geometri (9 sider), bevis for ensliggende vinkler (5 sider), bevis for Pythagoras' sætning (5 sider) samt et resumé over trigonometriske metoder (2 sider). Tillæg om vilkårlige trekanter (Side 296-307) fra bogen Vejen til Matematik C hentet som fri pdf-fil fra forlaget HAX hjemmeside (www.hax.dk). Rapportopgave /Skriftlig fremstilling:. At træne i skriftlig fremstilling og redegørelser 3

At tilegne sig færdigheder i at bevise geometriske sætninger og overskue geometriske konstruktioner At beherske og forstå principperne for vilkårlige trekanter Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede individuelle rapporter. Omfang Særlige fokuspunkter Anvendt uddannelsestid: 30 lektioner + 12 timer til skriftlige opgaver Kompetencer og Faglige mål: Kunne anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske opgaver Større forståelse for matematiske ræsonnementer/beviser Progression: Træning i geometriske bevisførelser vha. simple sætninger (topvinkler, vinkelsum i en trekant) afsluttet med bevis for sinus- og cosinusrelationerne. Væsentligste arbejdsformer Titel 3 Indhold Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper. Skriftlige hjemmeopgaver samt en afsluttende skriftlig rapport om et emne (bestemmelse af højder og afstande) inden for geometri og trigonometri Procent og rente Kernestof: Regning med procenter Den absolutte og relative tilvækst, fremskrivningsfaktor og renteformel Omregning af procent over én periode til procent over flere perioder og omvendt samt gennemsnitlig procent/rente Indekstal Undervisningsmateriale: Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 2: Procent og rente (side 51-81) samt Lektionsnoter om procent og rente (5 sider) og indekstal (4 sider). Rapportopgave og emneforløb:. At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om procent og rente i situationer fra dagligdagen At træne i at formulere problemer med matematisk indhold i et almindeligt sprog og omvendt i at afdække det matematiske indhold fra daglige udsagn fra trykte og elektroniske medier At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede grupperapporter. Omfang Anvendt uddannelsestid: 20 lektioner + 12 timer til skriftlige opgaver 4

Særlige fokuspunkter Væsentligste arbejdsformer Kompetencer og Faglige mål: At have en forståelse for ovennævnte emner og kunne anvende de tilegnede koncepter og færdigheder i matematiske opgaver Progression: Kravene til kursisternes matematiske tankegang og forståelse er gradvist blevet større (eksempelvis ved renteformel, sammenligning af indekstal og gennemsnitstyper), og matematiske ræsonnementer og beviser er blevet introduceret. Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper. Skriftlige hjemmeopgaver samt gruppearbejde i forbindelse med rapportopgaven. Titel 4 Indhold variabelsammenhænge: Funktioner - lineære funktioner Kernestof: Variabelbegrebet Ligefrem og omvendt proportionalitet Funktionsbegrebet, regneforskrift, tabel og graf Lineære funktioner og lineære modeller Undervisningsmateriale: Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 4: Funktioner (side 127-149) og lineære funktioner (side 151-171) samt Lektionsnoter om funktioner sammenhænge mellem variable (20 sider). Supplerende stof: Bevis for hældningskoefficient Det generelle funktionsbegreb f(x) Definitionsmængden og værdimængden for en funktion Geometrisk og analytisk fortolkning af hældningskoefficienten Analytisk fortolkning af parallelle linjer v.h.a hælningskoefficienter. Rapportopgave og emneforløb:. At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om lineære funktioner til at modellere data (lineær vækstmodel) At træne i at formulere problemer med matematisk indhold i et almindeligt sprog og omvendt At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter og i at kunne opstille en simpel prognose ud fra en foreliggende model Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede rapporter. Omfang Særlige fokuspunkter Anvendt uddannelsestid: 24 lektioner + 12 timer til skriftlige opgaver Kompetencer og Faglige mål: At forstå formeludtryk til beskrivelse af ligefrem og omvendt 5

proportionalitet og lineære sammenhænge. xy plot af datamateriale og karakteristiske egenskaber ved lineære sam-menhænge Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse. Progression: Større forståelse for matematiske ræsonnementer/beviser Matematisk brug af IT til forståelse af lineære sammenhænge (online materiale og appletter fra bogens hjemmeside) Væsentligste arbejdsformer Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige hjemmeopgaver Titel 5 Indhold Eksponentielle funktioner Kernestof: Eksponentielle funktioner og modeller Enkeltlogaritmisk papir Undervisningsmateriale: Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 4: Eksponentielle funktioner (side 173-209) samt Lektionsnoter om eksponentielle funktioner (16 sider) Lektionsnoter om logaritme og regneregler (9 sider). Supplerende stof: Eksponentielle ligninger Bevis for formlen for a, T2 og T½. Rapportopgave og emneforløb:. At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om eksponentielle funktioner til at modellere data (eksponentiel vækstmodel) At træne genkendelse af og regning med de eksponentielle vækstmodeller At træne i brugen af pc'er til at udarbejde en projektrapport At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter og i at kunne opstille en simpel prognose ud fra en foreliggende model Omfang Særlige fokuspunkter Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede rapporter. Anvendt uddannelsestid: 24 lektioner + 16 timer til skriftlige opgaver Kompetencer og Faglige mål: Forstå sammenhængen mellem kapitalfremskrivning og eksponentiel vækst xy plot af datamateriale og karakteristiske egenskaber ved eksponentielle sammenhænge. Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse. 6

Progression: Større forståelse for matematiske ræsonnementer/beviser Matematisk brug af IT til forståelse af lineære sammenhænge (online materiale og appletter fra bogens hjemmeside) Væsentligste arbejdsformer Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige hjemmeopgaver, og delvis udarbejdelse af rapporter i grupper Titel 6 Indhold Potensfunktioner Kernestof: Potensfunktioner og modeller Dobbeltlogaritmisk papir Undervisningsmateriale: Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 4: Potensfunktioner (side 211-231) samt Lektionsnoter om potensfunktionerfunktioner (13 sider) Supplerende stof: Bevis for formlen for a og Fy = Fx a Omfang Særlige fokuspunkter Rapportopgave og emneforløb:. At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om potensfunktioner At træne genkendelse af og regning med vækstmodeller af typen potensvækst At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede rapporter. Anvendt uddannelsestid: 20 lektioner + 12 timer til skriftlige opgaver Kompetencer og Faglige mål: Forstå sammenhængen mellem to variable, der hver især har sin egen procentvækst eller procentfald xy plot af datamateriale og karakteristiske egenskaber ved potensfunktioner Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse. Progression: Større forståelse for matematiske ræsonnementer/beviser Matematisk brug af IT til forståelse af lineære sammenhænge (online materiale og appletter fra bogens hjemmeside) Væsentligste arbejdsformer Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige hjemmeopgaver, og delvis udarbejdelse af rapporter i grupper 7

Titel 7 Indhold Statistik Kernestof: Ugrupperede og grupperede observationer Prikdiagram, stolpediagram, histogram og sumkurve Statistiske deskriptorer Kvartilsæt og boksplot Kvartilsæt og sumkurve Undervisningsmateriale: Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, Frydenlund 2005): Del 5: Statistik og stikprøver (side 233-260) samt Lektionsnoter om statistik (29 sider) Supplerende stof: Indsamling af data, stikprøver og statistiske tests Fremvisning af relevante videoer på frividen.dk (http://www.frividen.dk/default.aspx) under ugentlige opsummeringer Omfang Særlige fokuspunkter Væsentligste arbejdsformer Anvendt uddannelsestid: 18 lektioner + 8 timer til skriftlige opgaver Kompetencer og Faglige mål: Hvad statistik er og den kan bruges til Formidle statistiske resultater i almindeligt sprog Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige hjemmeopgaver Titel 8 Indhold Ubekendte og beviser Supplerende stof: Historisk indføring i begrebet logaritme og dets vigtighed Bevis for logaritmeregnereglerne: log(a * b) = log(a) + log (b) log(a/b) = log(a) - log (b) log(a n ) = n.log(a) Omfang Særlige fokuspunkter Induktionsbevis for renteformlen (formlen for kapitalfremskrivning) Undervisningsmateriale: Lektionsnoter om logaritme og regneregler (9 sider) Anvendt uddannelsestid: 4 lektioner Formål: At træne kursisternes opmærksomhed på forskellig brug af bogstaver og symboler i matematik samt introducere bevisets betydning i matematik med henblik på at kunne orientere om eventuel overgang til matematik B. 8

Væsentligste arbejdsformer Bemærk: Dette forløb indgår ikke i eksamensgrundlaget. Lærergennemgang Rapport om et emne inden for geometri og trigonometri Opgaveformulering Gør rede for, hvordan geometri og trigonometri kan anvendes til at bestemme vinkler, højder og afstande. A. Retvinklede trekanter Gør rede for, hvorledes man benytter Pythagoras sætning samt sinus-, cosinus-, og tangensdefinitionerne til beregning af afstande og højder i retvinklede trekanter. Som eksempel herpå og som inspiration kig på eksempel 1 og 2 (ss. 78-79) i lærebogen, og Opg. 2.005 i eksamenshæftet s.20. Til at belyse dine teorier løs nedenstående opgave (med en fornuftig og kort forklaring) i din rapport. Opgave A.1 Trekanterne ABC og DBC er retvinklede. Nogle af målene fremgår af figuren. a) Beregn sidelængderne i trekanten DBC. b) Beregn arealet af trekanten DBC. c) Beregn sidelængderne AB og AC. d) Beregn arealet af trekanten ABC. Bevis nu i din rapport Pythagoras læresætning. B. Definition af sinus, cosinus og tangens Forklar, hvordan man ud fra enhedscirklen definerer sinus, cosinus og tangens. Tegn en enhedscirkel med de tilhørende akser (sinus-, cosinus- og tangensaksen). Giv også to konkrete eksempler med spidse og stumpe vinkler. Eksempelvis med v = 60º og v = 150º. Afmærk retningspunkterne for de to vinkler i enhedscirklen. Tegn (på en separat figur) også de to standardtrekanter og de to udvidede standardtrekanter, der svarer til disse vinkler. Og skriv sidelængderne på. 9

C. Vilkårlige trekanter Gør nu rede for, hvorledes man benytter arealsætningen, sinusrelationerne, og cosinusrelationerne til beregning af afstande, højder og vinkler i vilkårlige trekanter. Som eksempel herpå og som inspiration kig på eksemplerne i dokumentet Vilkårlige_trekanter.pdf (afleveret til klassen som fotokopi), og de løste opgaver i klassen, eller en af hjemmeopgaverne, f.eks. Opg. 1.045 side 17 i eksamneshæftet. Gør i detaljer og med figurer rede for, hvordan man beviser sætningerne: (1) Arealsætningen (Sætning 3.1, s. 296 i den omtalte fotokopi) (2) Sinusrelationerne (Sætning 3.3, s. 297 i den omtalte fotokopi) (3) Cosinusrelationerne (Sætning 3.5, s. 299 i den omtalte fotokopi) D. Opgaver om vilkårlige trekanter I denne del af rapporten skal der indgås besvarelsen af nedenstående tre opgaver (med en fornuftig og kort forklaring). Opgave D.1 B 6,7 5,0 C A 8,4 Figuren viser en vilkårlig trekant ABC. Nogle af trekantens mål fremgår af figuren. a) Beregn vinkel A. b) Bestem arealet af trekanten ABC. Højden fra B skærer siden AC i punktet D. c) Bestem længden af CD. d) Bestem længden af BD. Opgave D.2 En klasse på KVUC løber orienteringsløb i en skov. Alle mødes ved post A, og pigerne løber ruten ABCA, mens drengene løber ruten ADEA. På figuren er angivet nogle vinkler og afstande (målt i km) for de to løberuter. a) Beregn sidelængden AD. 10

b) Hvor langt løber drengene? c) Beregn sidelængden AB. d) Beregn sidelængden AC. e) Hvor meget længere løber pigerne end drengene? Opgave D.3 (hf matematik C august 2012) På figuren ses en firkant ABCD, hvor diagonalen BD er tegnet. Vinkel C er 90, og nogle af de øvrige mål fremgår af figuren. C 90º 160 D 200 B 47,9º 87,7º A a) Bestem længden af siden BC. b) Bestem længden af siden AD. c) Bestem arealet af firkant ABCD. Vejledning og fremgangsmåde Start med at vælge og løse en opgave ad gangen. Fortsæt på denne måde, indtil de nødvendige opgaver er besvaret. Benyt undervejs de relevante eksempler i lærebogen og fotokopien. Læs derefer opgaveformuleringen grundigt. Undersøg, hvilke dele af rapporten, der kan besvares med udgangspunkt i de løste opgaver. Søg yderligere hjælp i lærebogen og fotokopien. Vælg den sætning eller de sætninger, som skal bevises i rapporten. Udarbejd omhyggeligt et bevis for den valgte sætning eller de valgte sætninger. Undgå direkte afskrift. Forsøg udelukkkende at overføre din egen opfattelse til læseren. Man lærer bedst ved selv at undervise i det, der skal forstås eller formidles. Din målgruppe er dine egne klassekammerater og ikke manden eller kvinden på gaden. 11

Rapport om emner inden for procent og rente Opgaveformulering Du skal gøre rede for følgende begreber og koncepter, som du har tilegnet dig i kapitlet om procent og rente. Der ud over skal du bevise to formler. * Procentdel ud af (en størrelse) * Procent af (en størrelse) * Fremskrivningsfaktor * Bevis formlen F = 1 + r * Addition og subtraktion af procenter (det at lægge procenter til og at trække procenter fra ved hjælp af fremskrivningsfaktoren) * Procentændring fra kort til lang periode og omvendt * Indekstal * Renters rente * Kapitalfremskrivning * Bevis kapitalfremskrivningsformlen A. Redegørelse Med udgangspunkt i opgaveformuleringen ovenfor udarbejd et teoretisk afsnit med de nævnte matematiske begreber, som du vil behandle i din rapport. Teorien, der ligger til grund for rapporten, er indholdet af kapitlet om procent og rente i lærebogen samt de hertil knyttede lektionsnoter i Fronter. Til at belyse dine teorier løs nedenstående opgaver (med en fornuftig og kort forklaring) i din rapport. Du kan eksempelvis redegøre for et af begreberne ad gangen og efterfølgende vælge og løse en opgave, der passer til afsnittet. På den måde kan du løbe listen af begreberne igennem. Alternativt kan du vælge - til at begynde med- at gøre rede for begreberne rent teoretisk og supplere dem med små selvvalgte eksempler. Til allersidst kan du løse alle opgaverne samlet med 12

korte forklaringer med henvisninger til de teoretiske afsnit. B. Opgaver Opgave 1 En møbelforretning sælger en stol på udsalg for 398 kr. Normalprisen er 585 kr. Hvor mange procent er rabatten på? Opgave 2 En tom sodavandsdåse vejer 25 g. Den fyldes med 330 g sodavand. Hvor mange procent af den samlede vægt udgør dåsen? Opgave 3 I forbindelse med varekøb og tjenesteydelser betaler man moms. Momsen er 25%. En håndværkerregning lyder på 6250 kr. uden moms. Spm. 1 Hvor meget kommer regningen til at lyde på i alt? En anden håndværkerregning lyder på 9456,90 kr. med moms. Spm. 2 Hvad lyder regningen på eksklusiv moms? Opgave 4 (a) Et bilfirma reklamerer med, at man ved afbetalingskøb hos firmaet kan slippe med en rente på 2,5% pr. måned. Omregn denne rentefod til årlig rente. (b) En bank reklamerer med en opsparingskonto, hvor renten er 3,6% pr. år. Hvor meget svarer det til i månedlig rente? Opgave 5 Prisen på en vare stiger i to på hinanden følgende år med henholdsvis 3,45 % og 8,82 %. Beregn den gennemsnitlige årlige procentvise prisstigning. Opgave 6 De første tre år voksede værdien af en aktie med henholdsvis 13%, 23% og 34%. Det næste år faldt aktiens værdi med 17%. Hvor mange procent er aktien vokset med i gennemsnit pr. år? Opgave 7 Den gennemsnitlige forbrugerpris på benzin 98 oktan pr. 10.1. det pågældende år ses i skemaet: År 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Pris kr. 7,77 8,18 8,01 8,47 8,37 8,65 10,13 Spm. 1 Udregn indekstal for forbrugerprisen på benzin 98 oktan fra 2000 til 2006 med 2000 som basisår. Spm. 2 Bestem den procentvise ændring fra 2001 til 2004 samt fra 2005 til 2006 for benzinprisen. 13

Opgave 8 Et beløb er i en bank vokset fra 4913 kr. til 5218 kr. Hvad er den absolutte tilvækst? Hvad er den relative tilvækst? Opgave 9 Kommuneskatten er i en kommune steget fra 19,7% til 21,6%. Hvor mange procentpoint er den steget? Hvor stor er den procentvise stigning? Opgave 10 For tre år siden udtalte direktøren i et firma, at firmaet som målsætning havde at øge sin værdi med i gennemsnit 10% pr. år i en femårig periode. De første 3 år har firmaet kun øget sin værdi med 4,5% pr. år. Hvor meget skal firmaet i gennemsnit øge sin værdi med de sidste to år, for at nå sit mål? Opgave 11 På en bankkonto indsættes 6680 kr. Banken giver 3,75 % i rente om året. Spm. 1 Hvor meget står der på kontoen efter 8 år? Spm. 2 Hvor mange år vil der gå, inden beløbet på kontoen overstiger 10000 kr.? Spm. 3 Hvis de 6680 kr. var vokset til 10000 kr. på 8 år, hvor mange procent havde den årlige rente så været? Rapport om vækstmodeller A. Redegørelse 1. Lineær vækst 1.a Teori Skriv en kort teoretisk redegørelse, der giver svar på nedenstående spørgsmål: Hvad er en lineær funktion? Hvad fortæller tallene a og b om funktionen y = ax + b? For hvilke a er funktionen henholdsvis voksende/aftagende/konstant? Hvordan bestemmes a og b ud fra to punkter på grafen? 14

1.b Modelopstilling ud fra talmateriale: Indiens befolkning * Følgende punkter skal indgå i behandlingen: Graftegning Begrundelse for at udviklingen kan karakteriseres som (tilnærmelsesvis) lineær Bestemmelse af a og b En prognose (forudsigelse) ved hjælp af modellen I 2003 var Indiens befolkningstal 1049,7 mio. Sammenlign med modellen: er den lineære vækst fortsat? * Indiens befolkning År 1965 1970 1975 1980 Befolkningstal (mio.) 495,7 555,0 620,5 687,0 x = antal år efter 1965 y = befolkningstal (mio. mennesker) 2. Eksponentiel vækst 2.a Teori Skriv en kort teoretisk redegørelse, der giver svar på nedenstående spørgsmål: Hvad er en eksponentiel udvikling? Hvad fortæller tallene a og b om funktionen f(x) = b.a x? For hvilke a er funktionen henholdsvis voksende/aftagende/konstant? Hvordan bestemmes a og b ud fra to punkter på grafen? Hvad er det smarte ved et enkeltlogaritmisk koordinatsystem? 15

Hvad er fordoblingskonstanten / halveringskonstanten, og hvordan bestemmes den? 2.b Modelopstilling ud fra talmateriale: Kinas BNP pr. indbygger * Følgende punkter skal indgå i behandlingen: Graftegning i et almindeligt koordinatsystem Begrundelse for at udviklingen kan karakteriseres som (tilnærmelsesvis) eksponentiel Bestemmelse af et funktionsudtryk for modellen Bestemmelse af den årlige vækstrate Bestemmelse af fordoblingstiden En prognose vha. modellen (fx: Hvor stort er BNP pr. indbygger i Kina i 2020, hvis denne udvikling fortsætter?) * Kinas bruttonationalprodukt (BNP) pr. indbygger År 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2003 135 173 269 364 603 856 1067 BNP pr. indbygger (US $) x = antal år efter 1975 y = BNP pr. indbygger (US $) 3. Potensvækst Fortæl kort, hvad potensvækst er, og hvad en potensfunktion er. Bevis formlerne for, hvordan man ud fra 2 kendte punkter kan finde forskriften for en potensfunktion. Bevis formlen for sammenhængen mellem en procentvis stigning i x-værdien og den tilsvarende procentvise ændring i y-værdien. 16

Opgave 1 B. Opgaver Opgave 2 Opg. 1.019 / side 8 i eksamenshæftet Opgave 3 En månedlig elregning er sammensat således: Fast afgift på 60 kr. og 1,50 kr. pr. kwh (kilowatt-time). 1) Opstil en regneforskrift (en model), hvor x angiver elforbruget målt i kwh, og y angiver prisen i kr. Begrund dit valg af modellen. 2) Beregn prisen ved et elforbrug på 350 kwh. 3) Beregn elforbruget ved en pris på 550 kr. Opgave 4 Om en bestemt slags bakterier vides, at de formerer sig med en hastighed på 5,5% i timen. En vandprøve indeholder på et tidspunkt 600 bakterier af den nævnte slags. 17

Spm. 1 Hvor mange bakterier indeholder vandprøven 1 time senere? og 2 timer senere? Spm. 2 Hvor mange procent vokser bakterierne pr. døgn? Opgave 5 FN har skønnet, at jordens befolkning pr. 1. jan. 2005 var 6,43 mia., og at jordens befolkning vokser med 1,4% om året. I det følgende antages, at jordens befolkning fortsat vil vokse med 1,4% om året i det 21. århundrede. Spm. 1 Opstil en eksponentiel model y = b.a x, hvor y angiver jordens befolkningstal i mia., og x angiver antal år efter 1. jan. 2005. Begrund dit valg af model. Spm. 2 Bestem fordoblingstiden for jordens befolkning. Spm. 3 Hvornår vil jordens befolkningstal overstige 8 mia.? Spm. 4 Med hvor mange procent vokser jordens befolkningstal på 7 år? Spm. 5 Hvor lang tid tager det for jordens befolkningstal at forøges med 25%? Opgave 6 Spm. 1 Lad y = 34,1. 1,023 x. Hvor meget fremskrives y med, hvis x forøges med 4? Spm. 2 Lad y = 0,640. 0,92 x. Hvor meget fremskrives y med, hvis x forøges med 0,7? Spm. 3 Bestem forskriften for den eksponentielle funktion y = b. a x, hvis graf går igennem punktet (5; 0,065) og funktionsværdien forøges med 50% hver gang x forøges med 2. Opgave 7 Om en potensfunktion y = b.x a vides det, at hvis x forøges med 15%, da forøges y med 20%. Bestem a. Opgave 8 Et trafikselskab har erfaret, at hvis x betegner billetprisen i kr., da kan det daglige passagertal bestemmes ved funktionen y = 35400. x 0,85. Spm. 1 Hvis billetprisen er 10 kr., hvor stort er det daglige passagertal da? Hvor stor er den daglige omsætning? 18

Spm. 2 Bestem den billetpris, der ifølge funktionen giver 4001 passagerer. Spm. 3 Hvor mange procent falder passagertallet med, hvis billetprisen vokser med 10%? Spm. 4 Opstil udtryk for den daglige billetindtægt før og efter prisstigningen. Spm. 5 Med hvor mange procent øges den daglige billetindtægt ved prisstigningen. Opgave 9 Opg. 1.021 / s. 9 i eksamenshæftet Eksamensspørgsmål Maj - Juni 2015 Matematik C (for selvstuderende) Bemærk: Eksamensspørgsmålene skal til enhver tid godkendes af en kommende censor. Dette betyder, at der rent principielt kan forekomme små ændringer i ordlyden af spørgsmålene. I givet fald vil disse ændringer være minimale og vil ikke gå ud over jeres forberedelsesarbejde. Spm. 1 (Geometri og trigonometri) Du skal redegøre for, hvordan vinkler og sider bestemmes i en retvinklet trekant. Inddrag din rapport om geometri og trigonometri. Spm. 2 (Geometri og trigonometri) Du skal redegøre for, hvordan vinkler og sider bestemmes i vilkårlige trekanter. Inddrag din rapport om geometri og trigonometri. Spm. 3 (Geometri og trigonometri) Du skal redegøre for Pythagoras sætning herunder bevise sætningen. Inddrag din rapport om geometri og trigonometri. Spm. 4 (Geometri og trigonometri) Gør rede for vinkelsummen i en trekant. Gør rede for ensvinklede trekanter, herunder skalafaktoren. Spm. 5 (Procent og rente) Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Forklar hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra ved hjælp af fremskrivningsfaktor. Gør tillige rede for renteformlen. Inddrag din rapport om procent og rente. 19

Spm. 6 (Procent og rente) Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Gør rede for renteformlen og for gennemsnitlig årlig rente ud fra månedlig og kvartalsvis rente, gerne med udgangspunkt i et konkret eksempel. Inddrag din rapport om procent og rente. Spm. 7 (Procent og rente) Fremlæg hvad indekstal er, og hvordan man regner med indekstal. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og dets nytte ved beregninger med indekstal. Spm. 8 (Funktioner) Gør rede for hvad en funktion er, og giv eksempler på funktioner. Herunder skal du fremlægge, hvad ligefrem og omvendt proportionalitet er. Spm. 9 (Lineære funktioner) Du skal redegøre for den lineære funktion og betydningen af konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b bestemmes, når to støttepunkter A(x 1, y 1) og B(x 2, y 2) er givet. Inddrag din rapport om vækstmodeller. Spm. 10 (Eksponentielle funktioner) Du skal gøre rede for eksponentielle funktioners egenskaber, herunder halverings- og fordoblingskonstanter. Inddrag din rapport om vækstmodeller. Spm. 11 (Eksponentielle funktioner) Du skal gøre rede for eksponentielle funktioners egenskaber og betydningen af konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b bestemmes, når to støttepunkter A(x 1, y 1) og B(x 2, y 2) er givet. Inddrag din rapport om vækstmodeller. Spm. 12 (Potensfunktioner) Du skal gøre rede for potensfunktioner og potensvækst og om den procentvise ændring af y-værdien, når x-værdien ændres med en bestemt procent. Inddrag din rapport om vækstmodeller. Spm. 13 (Potensfunktioner) Du skal gøre rede for potensfunktioners egenskaber og betydningen af konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b bestemmes, når to støttepunkter A(x 1, y 1) og B(x 2, y 2) er givet. Inddrag din rapport om vækstmodeller. Spm. 14 (Statistik) Du skal redegøre for, hvordan ugrupperede data behandles statistisk. Du skal definere de forskellige statistiske deskriptorer. Du kan tage udgangspunkt i et eksempel. 20

Spm. 15 (Statistik) Du skal redegøre for, hvordan grupperede data behandles statistisk. Du skal definere de forskellige statistiske deskriptorer. Du kan tage udgangspunkt i et eksempel. 21