Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave
2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen
Matema10k. Matematik for hf C-niveau 2. udgave 2. udgave, 2. oplag, 2013 Frydenlund og forfatterne,2013 ISBN 978-87-7118-271-2 Redaktion: Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Grafisk tilrettelæggelse: Jan Gralle/Jimmy Staal Matematiske illustrationer: Jimmy Staal Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copy-Dan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser. Frydenlund Alhambravej 6 DK-1826 Frederiksberg C Tlf. 3393 2212 post@frydenlund.dk www.frydenlund.dk/gymportalen.dk Tilmeld dig forlagets nyhedsmail på www.frydenlund.dk/nyhedsservice
5 Indhold Indhold Introduktion... 11 Om denne bog... 11 Forudsætninger... 12 Hvordan kommer du videre?... 12 Bogens struktur... 13 Hvordan kommer man til at kunne matematik?... 15 Del 1: Ligninger og tal 19 Mål med kapitlet... 19 Hvad er en ligning?... 19 Nullet en epokegørende opdagelse... 20 Regler ved løsning af ligninger.. 20 Hvad må jeg gøre?... 21 Afrunding af tal... 23 De skjulte tegn... 24 Regningsarter... 25 Parenteser... 26 Regningsarternes hierarki... 28 Eksempel på anvendelse af ligning 29 Lighedstegnet... 30 Talmængder... 31 Matematikken: En bygning uden stillads?... 33 Flere eksempler på løsning af ligninger... 34 5 Hvor mange løsninger har en ligning?... 36 Hvorfor gælder ligningsreglerne?. 37 Oversigt over indhold i del 1... 38 Hvad skal jeg kunne?... 39 Er matematikken nyttig?... 40 Algebra... 41 Resultater til øvelserne... 49 Del 2: Procent og rente 51 Mål med kapitlet... 51 Hvorfor regne med procent?... 51 Regning med procent... 52 Procentdel ud af... 52 Procent af... 53 Et redskab: fremskrivningsfaktoren 53 At udregne procentændringer ved hjælp af fremskrivningsfaktor... 55 Endnu mere om fremskrivningsfaktoren.. 57 Procentændring fra kort til lang periode og omvendt... 59 Gennemsnitlig procentvis ændring forskellige procenter... 63 Indekstal... 65 Renters rente... 68
6 Kapitalfremskrivning... 69 Beregninger med kapitalfremskrivning... 70 Hvad er logaritmer?... 73 At udregne n i formlen for kapitalfremskrivning... 73 Mere avancerede økonomiske beregninger videre arbejde 75 Mere om F = 1 + r... 76 Oversigt over indhold i del 2... 77 Øvelser til procent og rente... 78 Resultater til øvelserne... 81 Del 3: Geometri 83 Mål med kapitlet... 83 Geometri historisk betragtet... 83 Vinkler... 83 Trekanter... 84 Den vilkårlige trekant... 84 Den ligesidede trekant... 84 Den ligebenede trekant... 85 Ensvinklede trekanter... 85 Areal af trekanter... 87 Den retvinklede trekant... 88 Pythagoras sætning om retvinklede trekanter. 89 Cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter... 91 Når man skal udregne en sidelængde ved hjælp af cos, sin eller tan... 93 Når man skal udregne en vinkel. 95 Beregninger i ligebenede trekanter 97 Hvad nu hvis trekanten ikke er retvinklet?... 98 Hvornår skal man anvende cosinusrelation?... 99 Hvornår skal man anvende sinusrelation?... 99 Trekanters areal... 100 Fem eksempler med beregninger i vilkårlige trekanter... 101 Geometriske beviser... 105 Bevis: vinkelsum i trekanter... 106 Bevis: Pythagoras sætning... 107 Definition af cosinus og sinus... 110 Bevis: formlerne med cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter... 112 Bevis: sinusrelationen... 113 Oversigt over indhold i del 3... 117 Hvad skal jeg kunne?... 120 Er universet matematisk?... 120 Øvelser til geometri... 121 Resultater til øvelserne... 125 Del 4: Funktioner 127 Hvad er en variabel?... 129 Mål med kapitlet... 129 Forskellige variable... 129 Funktioner: sammenhænge mellem variable... 133 Mål med kapitlet... 133 Hvad er en matematisk beskrivelse af en sammenhæng mellem variable?... 133 På vej mod modeller for sammenhænge... 135 Ligefrem proportionalitet... 137 Omvendt proportionalitet... 138 At afgøre om sammenhænge er ligefrem eller omvendt proportionale... 139
Indhold 7 Fra regneforskrift til graf... 140 Tegning af graf... 141 Hvad skal jeg kunne?... 143 Øvelser til funktioner... 145 Resultater til øvelserne... 147 Lineære funktioner... 151 Mål med kapitlet... 151 Kendetegn ved lineære funktioner 151 Eksempler på grafer for lineære funktioner... 152 Mere om hældningskoefficienten 155 Lineære modeller... 156 Prognose... 158 Fortolkning af konstanterne a og b 158 Hvad er regression i matematik?. 159 Eksempel på lineær model... 159 Voksende og aftagende lineære funktioner... 160 Ændringer over flere x-enheder.. 161 Skæring mellem graferne for to lineære funktioner... 161 Bevis: formlen for hældningskoefficienten... 163 Bevis: regneforskrift for lineære funktioner... 164 Bevis: formlen for udregning af a. 165 Oversigt over indholdet i kapitlet. 167 Hvad skal jeg kunne?... 167 Matematikkens Mount Everest er. 168 Øvelser til lineære funktioner... 168 Resultater til øvelserne... 170 Eksponentielle funktioner... 173 Mål med kapitlet... 173 Kendetegn ved eksponentielle funktioner... 173 Mere om fremskrivningsfaktoren (a)... 175 Achilleus og skildpadden... 176 Mere om hvordan den eksponentielle funktion fungerer... 179 Anden måde at skrive forskriften. 180 Hvad er en logaritmisk akse?... 181 Idéen til logaritmerne... 182 Grafer for eksponentielle funktioner... 183 Eksponentielle modeller... 184 Er der flere slags uendeligheder?. 186 Udregninger af procentændringer 188 Det uendelige... 189 Fordoblingskonstant... 189 Halveringskonstant... 192 Beregning af fremskrivningsfaktor ud fra fordoblingseller halveringskonstant.. 193 Eksponentielle ligninger... 194 Yderligere beviser til eksponentielle funktioner. 195 Bevis: formlen for udregning af a. 195 Bevis: formlen for fordoblingskonstanten... 196 Bevis: formlen for halveringskonstanten... 199 Oversigt over indholdet i kapitlet. 200 Hvad skal jeg kunne?... 201 Potensregning 1... 201 Potensregning 2... 203 Øvelser til eksponentielle funktioner... 204 Resultater til øvelserne... 208 Potensfunktioner... 211 Mål med kapitlet... 211 Kendetegn ved potensfunktioner. 211 Mere om potensvækst... 213 Model for potenssammenhængen 213 Eksempel på potensmodel... 215
8 Procent-procent udregning af procentændringer... 215 Hvordan fungerer en potensfunktion?... 217 Voksende og aftagende potensfunktioner... 218 Yderligere beviser vedrørende potensfunktioner... 219 Bevis: formlen for udregning af a. 219 Bevis: potens-potens-udregning. 220 Bevis: grafer for potensfunktioner i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem... 221 Oversigt over indholdet i kapitlet. 224 Øvelser til potensfunktioner... 225 Resultater til øvelserne... 228 Logaritmefunktionen... 229 Del 5: Statistik og stikprøver 233 Mål med kapitlet... 233 Hvad er statistik?... 233 Statistiske redskaber... 233 Konkret eksempel på statistik: befolkningstallet på Læsø. 234 At arbejde med statistik... 244 Når man ikke grupperer data i intervaller... 245 Boksplot... 246 Hvordan bestemmer man kvartilsæt for ikke-grupperet data?... 248 At finde kvartilsæt i grupperet datamateriale... 251 Stikprøver... 252 Oversigt over indhold... 254 Hvad skal jeg kunne?... 254 Øvelser til statistik og stikprøver. 255 Resultater til øvelserne... 258 Del 6: Ubekendte og beviser 261 Ubekendte... 263 Matematikkens bogstaver... 263 Historien om den ubekendte... 265 Historien om begrebet variabel.. 266 Sammenfattende om ubekendte, variable, parametre m.m.. 268 Oversigt over indhold... 269 Hvad skal jeg kunne?... 270 Beviser... 271 Logisk tænkning og beviser... 271 Det første bevis... 272 Hvorfor beviser?... 273 Matematikkens begrænsning om logikkens magt og afmagt... 275 Fermats sætning: næsten 400 år om et bevis!... 275 Et direkte bevis... 276 Computerbeviser: firefarveproblemet... 277 Induktionsbeviser... 277 Indirekte beviser... 280 Hvad skal jeg kunne?... 282 Opgaver 283 Opgaver i ligninger og tal... 284 Vanskeligere opgaver... 288 Opgaver i procent og rente... 290 Vanskeligere opgaver... 295 Opgaver i geometri... 297 Vanskeligere opgaver... 301 Opgaver i funktioner... 303 Vanskeligere opgaver... 306
Indhold 9 Opgaver i lineære funktioner... 307 Vanskeligere opgaver... 309 Opgaver i eksponentielle funktioner... 311 Vanskeligere opgaver... 313 Opgaver i potensfunktioner... 315 Vanskeligere opgaver... 315 Opgaver i statistik... 317 Vanskeligere opgaver... 324 ligninger og tal... 326 procent og rente... 329 geometri... 334 funktioner... 336 lineære funktioner... 340 eksponentielle funktioner. 341 potensfunktioner... 343 statistik... 344 Stikordsregister... 348
10
11 Introduktion Målene med bogen er Målene med bogen er: At føre dig gennem stof fra C-niveau matematik At vise at matematikken kan anvendes At give eksempler på matematikkens fascinerende historie At pirre din nysgerrighed At vise at man kan gennemarbejde matematisk stof med flere forskellige ambitioner At illustrere at matematikken er spændende Om denne bog Denne bog er anden og opdaterede udgave af Matema10k for stx C-niveau. Vi har haft den fornøjelse at første udgave er blevet særdeles udbredt, og bogen har fået ros for at den kan læses og forstås af eleverne. Stoffet i matematik C-niveau er blevet justeret, vi er blevet opfordret til at placere hele statistikstoffet i bogen, og vi har ønsket at få flere træningsopgaver i bogen. Derfor har vi haft behov en gennemgående opdatering af bogen. I bogen gennemgår vi det man kalder kernepensum for C- niveau på stx i matematik. Det betyder at bogen ikke rummer alt hvad du vil støde på i undervisningen i matematik. Den tilhørende hjemmeside www.matema10k.dk indeholder en del af det supplerende stof eller giver idéer til hvad det supplerende stof kan være. Desuden findes bogen som e-bog på www.gymportalen.dk. Hvert kapitel i bogen er skrevet med samme opbygning, nemlig: Først formuleres målene med kapitlet. Dernæst gennemgås det matematiske stof.
12 I hvert kapitel er der gennemregnede eksempler, og der er øvelser med resultater. Sidst i kapitlerne er en oversigt over de gennemgåede emner. Kapitlerne runder af med oversigten Hvad skal jeg kunne?. Undervejs i bogen står en række perspektiverende rammer. Disse rammer søger at sætte det matematiske stof i større perspektiv. De perspektiverende rammer skal opfattes som et tilbud, og det er således ikke nødvendigt at læse dem for at forstå det faglige stof. Bagest i bogen findes en række opgaver af to forskellige sværhedsgrader med resultater. Facitlister til opgaverne er placeret sidst i bogen. Forudsætninger Den vigtigste forudsætning for at lære af denne bog er at du er villig til aktivt og selvstændigt at arbejde med stoffet. Selvom du skulle have haft dårlige oplevelser med matematikken, er bogen skrevet med den forhåbning at du får eller genopdager glæde ved at lære matematik. Vores udgangspunkt er at matematik er spændende og vedkommende. Hvis dine matematiske forudsætninger ligger lidt fjernt for dig, skal du ikke fortvivle. Det er aldrig for sent at lære, og vi forsøger i bogen her at forklare stoffet så det kræver færrest mulige forudsætninger. Desuden finder du på den hjemmeside der hører til bogen, muligheder for at afstive og forbedre dine forudsætninger hvis du har behov for det. Hvordan kommer du videre? Skulle du være så heldig at stoffet falder dig meget nemt, er der flere udfordringer på den tilhørende hjemmeside. Matematikken er fuld af udfordringer og fascinationskraft. Umiddelbart efter denne introduktion finder du afsnittet Hvordan kommer man til at kunne matematik?. Her giver vi input til arbejdet med matematikken.
Introduktion 13 Bogens struktur Bogen er inddelt i følgende seks dele: Del 1: Ligninger og tal Del 1 rummer gennemgangen af ligninger og behandlingen af tal. Vi ser på hvordan man løser ligninger, hvordan man arbejder med parenteser og på rækkefølgen af regningsarterne. Del 1 er et fundament for resten af bogen. Derfor kan det være en fordel jævnligt at bladre tilbage til denne del. I slutningen af del 1 findes afsnittet Algebra. Dette afsnit er en introduktion til regning med bogstaver. Ikke alle skal nødvendigvis gennemarbejde dette afsnit. Aftal med din lærer om du skal arbejde med afsnittet. Del 2: Procent og rente I anden del behandler vi procent og rentesregning. Vi tager udgangspunkt i hvad procent er, og hvordan man regner med procent. Vi arbejder os frem til beregninger af gennemsnitlig procent samt renters rente. På nettet går vi en del videre idet større og mere komplicerede renteberegninger med fordel kan foretages i såkaldte regneark. Del 3: Geometri I del 3 gennemgår vi geometri. Vi ser mest på retvinklede trekanter og såkaldte vilkårlige trekanter og de beregninger der knytter sig til dem. Vi omtaler formler med cosinus, sinus og tangens. Del 4: Funktioner Del 4 er en central del i pensum. Den drejer sig om sammenhænge mellem variable. Selve tankegangen er vigtig når man skal beskrive verden ved hjælp af matematikken. Del 4 består af fem kapitler. Vi indleder med at redegøre for hvad variable er, herefter forklarer vi generelt om sammenhænge og funktioner. Dernæst fortsætter vi med forskellige vigtige typer af funktioner: lineære funktioner, eksponentielle funktioner og potensfunktioner. I slutningen af del 4 er afsnittet Logaritmefunktionen. Det er ikke nødvendigt for alle at gennemarbejde dette afsnit. Aftal med din lærer om du skal gennemarbejde afsnittet.
14 Del 5: Statistik og stikprøver Del 5 omhandler hvordan man kan bearbejde, håndtere og fortolke datamateriale, og vi fremlægger kort hvordan man grundlæggende behandler råt datamateriale ved hjælp af diverse redskaber bl.a. histogrammer, sumkurve, kvartilsæt og boksplot. Desuden indeholder del 5 en introduktion til stikprøver. Del 6: Ubekendte og beviser Del 6 skiller sig ud i forhold til de andre dele. I første kapitel i del 6 går vi lidt bagom de øvrige kapitler ved at se mere overordnet på hvad ubekendte er. I matematikken bruger vi dem på forskellig måde afhængigt af emne. Dette kapitel kan inddrages i forbindelse med del 1 eller sammen med del 4. Det andet kapitel i del 6 behandler hvad matematiske beviser er. Hvad skal vi med beviser? Er der forskellige typer? Kan alting i matematikken bevises? Dette kapitel kan med fordel inddrages når holdet vælger at fokusere på et bevis. Opgaver, facitliste og stikordsregister I slutningen af bogen finder du opgaverne til bogens dele, en facitliste til opgaverne og et stikordsregister. En appetitvækker Vi kan ikke alle have fabelagtige naturlige evner som matematikere. Vi må være beskedne. Det fortælles eksempelvis at det indiske naturtalent i matematik Ramanujan lå meget syg på hospitalet og fik besøg af sin gode ven, matematikeren Hardy. Hardy kom med taxi. Han sagde som det første uden at hilse: Jeg tror nummeret på min taxi var 1729. Det forekom mig at være et kedeligt tal. Hertil svarede Ramanujan: Nej, Hardy! Nej, Hardy! Det er et meget interessant tal. Det er det mindste tal der kan udtrykkes som summen af to kubiktal på to forskellige måder. Hvis man får at vide at f.eks. 8 er et kubiktal da det kan skrives som 2 2 2 (altså et tal ganget med sig selv 3 gange), kan de fleste med lidt hjælp forstå hvad Ramanujan påstår og tjekke på lommeregneren: og at 1 3 + 12 3 = 1 + 1728 = 1729 9 3 + 10 3 = 729 + 1000 = 1729 9 3 + 10 3 = 729 + 1000 = 1729 fortsættes...