NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK NOVEMBER 009 MATEMATIK A-NIVEAU 3g Prøve November 009 1. delprøve: timer med formelsamling samt. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler 1. delprøve består af 1 spørgsmål. delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point STX1109-MAA-net
I bedømmelsen af helhedsindtrykket i besvarelsen af de enkelte spørgsmål vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation. (Udkast til ændring af Undervisningsvejledningen til Matematik, St)
side 1 af 6 Delprøven med formelsamling timer Opgave 1 Der er givet to ensvinklede trekanter ABC og ADE. B D A E C Der er givet sidelængderne AB = 7, AD = 18 og AE = 1. a) Bestem sidelængden AC. Opgave Et andengradspolynomium har forskriften ( ) f = + 4 6. a) Løs ligningen 4 6 0, og faktorisér f. + = ( ) ( ) b) Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i punktet Q 1, f () 1. Opgave 3 a) Bestem integralerne ( + 5) d og 1 3 d. 0 3 + 1
side af 6 Opgave 4 For at beskytte fuglebestanden på en australsk ø, Macquarie Island, fjernede man i 000 de katte, som levede frit på øen. Da kattene hidtil havde holdt kaninbestanden på øen nede, betød det, at kaninbestanden på øen voksede eksponentielt. I år 000 var der 1050 kaniner på øen, og bestanden voksende herefter med 67 % pr. år. a) Indfør passende variable, og opstil en model, der beskriver udviklingen i antallet af kaniner på øen som funktion af tiden målt i år efter år 000. Nedenfor ses 3 grafer for funktioner. b) Gør rede for, hvilken af de tre grafer, der svarer til modellen beskrevet ovenfor. y A B C 5000 1 Opgave 5 Der er givet to vektorer 4 p 3 = og q =. 6 a) Bestem skalarproduktet mellem p og q, og forklar hvad denne værdi fortæller om vektorerne. Nedenfor ses repræsentanter for to andre vektorer a og b. a b Vektor b s projektion på vektor a betegnes b a. b) Angiv fortegnet for skalarproduktet a b, og argumentere for retningen af projektionsvektoren. b a
side 3 af 6 Opgave 6 Nedenfor ses graferne for de to polynomier f og g, hvor g er stamfunktion til f. B y A a) Gør rede for, hvilken af de to grafer, A eller B, der er graf for g. b) Skitser på vedlagte bilag grafen for et andet polynomium, h, hvorom der gælder, at: 1) h er stamfunktion til ) h har ingen rødder. f Opgave 7 En ligesidet trekant har sidelængden, som vist på figuren. h a) Bestem højden, h udtrykt ved. Opgave 8 Der er givet en funktion f ved forskriften hvor > 0. 1 ( ) ln( ) f =, a) Bestem monotoniforholdene for f. Besvarelsen afleveres efter timer
side 4 af 6 Delprøven med alle hjælpemidler 3 timer Opgave 9 De ægte antiloper findes i Afrika og Asien. De findes i forskellige størrelser fra pygmæantiloper, som er 30 cm høje ved skuldrene, til gigantiske elsdyrantiloper, som er 180 cm høje ved skuldrene. Kilde: Freeimage4u.com I filerne Opgave9Data.htm og Opgave9Data.ls findes data, der beskriver længden og diameteren af en række skulderknogler fra afrikanske antiloper. I en model kan sammenhængen mellem længden og diameteren af en skulderknogle beskrives ved funktionen L = b, ( ) a hvor er diameteren af skulderknoglen angivet i mm, og L( ) er længden også angivet i mm. a) Bestem a og b på baggrund af data. b) En antilope har en skulderknogle med en diameter på 55 mm. Bestem længden af denne skulderknogle. c) En elandantilope har en skulderknogle, hvor diameteren er 3 gange så stor som skulderknoglen fra en hesteantilope. Hvor mange gange er skulderknoglen fra elandantilopen længere end skulderknoglen fra en hesteantilope?
side 5 af 6 Opgave 10 Grafen for funktionen ( ) 3 f = 0, 0044 0,17 + 1, 7+, 63 afgrænser sammen med koordinatakserne og linjen med ligningen = en punktmængde M (se figur 1). y Figur 1 Figur f M Rumfanget af en grøn cm høj gummivase (se figur ) kan tilnærmelsesvist beskrives matematisk, som det omdrejningslegeme man får, når M drejes 360 om førsteaksen. a) Bestem rumfanget af vasen. b) Vasen står på et bord, og der er 000 cm 3 vand i vasen. Hvor højt over bunden står vandet? Opgave 11 I perioden 000-007 kan udviklingen i antallet af sendte sms er fra mobiltelefoner i Danmark beskrives ved modellen 13,4 1 19,5e ( ) =, 0, + 0,7 S hvor er antal år efter år 000, og S ( ) er antal sms er opgjort i milliarder. a) Tegn grafen for S for 0 15, og bestem hvor mange sms er, der ifølge modellen blev sendt fra danske mobiltelefoner i år 005. b) Bestem det tidspunkt, hvor der ifølge modellen bliver sendt 13 milliarder sms er fra danske mobiltelefoner. c) Bestem S (4), og forklar betydningen af dette tal i relation til modellen.
side 6 af 6 Opgave 1 To funktioner f og g er givet ved 1 f ( ) = sin( ) og g( ) = +. 3 Graferne for de to funktioner f og g afgrænser sammen med y-aksen og linjen med ligningen = 3π en punktmængde T. a) Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem, og bestem arealet af T. Opgave 13 Ved folketingsvalget d. 13. november 007 fik partiet SF 13,0 % af stemmerne. Op til kommunalvalget i november 009 vil et analyseinstitut undersøge om vælgertilslutningen til SF har ændret sig. Derfor spørges 1000 tilfældige vælgere, om de ville stemme på partiet SF, hvis der var valg i dag. 159 vælgere svarer, at de vil stemme på SF. a) Kan man på 5% signifikansniveau slutte, at vælgertilslutningen til SF har ændret sig? Analyseinstituttet overvejede at bede teleselskabet TDC om at foretage undersøgelsen blandt deres mobilkunder, som skulle svare via sms, og de ville anvende de 1000 først indkomne sms-svar. b) Diskuter med henblik på systematiske fejl, om denne metode kunne påvirke undersøgelsens pålidelighed. Opgave 14 Punkterne A (,3), B ( 1,4) og C (3,6) danner sammen trekant ABC. a) Bestem arealet af trekant ABC. En ret linje l gennem punktet B har parameterfremstillingen l: 1 1 = + t y 4 5. b) Bestem koordinaterne for de punkter P på linjen l, for hvilke arealet af trekant APC bliver 17.