Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Bedømmelse af besvarelse...2 Eksempel 1 Lineære sammenhænge...3 Eksempel 2 Geometri...5 Eksempel 3 Deskriptiv statistik...6 Eksempel 4 Regressionsmodeller...8 Eksempel 5 Integralregning...10 Eksempel 6 Differentialregning og optimering...11 Eksempel 7 Vektorregning...12 Eksempel 8 Differentialligninger...13 Slutnoter...14 Indledning Besvarelse af eksamensopgaver med computerbaserede CAS-værktøjer har den fordel, at dokumentation og redegørelse for anvendelse af faciliteter kan foregå løbende. Ved besvarelse i hånden med anvendelse af lommeregner som CAS-værktøj har det ved skriftlige eksamener vist sig at det er generelt problem at eleverne har svært ved at redegøre for den anvendte fremgangsmåde og brug af de forskellige faciliteter, som lommeregneren tilbyder. Samtidigt er der fare for, at redegørelsen er fejlagtig hvorimod skrivefejl i syntaksen til kommandoer ved computerbaserede besvarelser opdages, idet outputtet ikke svarer til det forventede. 1 Ved computerbaserede besvarelser vil det desuden være lettere at følge elevens tankegang når eleven ved fejlagtig brug skal redegøre for, hvorfor det ikke er lykkedes at løse opgaven. 2 Endeligt kan programmet let afbrydes hvis en kommando resulterer i at der genereres uendelige beregningsløkker. 3 I denne vejledning vises hvorledes computer softwareversionen af TI-Nspire CAS kan anvendes til besvarelse af eksamensopgaver på C, B og A niveau. TI-Nspire kan bruges til løsning af samtlige opgaver i delprøven med hjælpemidler på alle niveauer. 4 Ved den skriftlige eksamen er der givet mulighed for at skanne og udlevere opgavesættet elektronisk ved eksamen. 5
Bedømmelse af besvarelse Det vil i denne vejledning blive vist, hvorledes TI-Nspire kan anvendes til at tilfredsstille kravene til god besvarelse. I foråret 2009 kom ny anbefalinger til bedømmelse af skriftlige opgaver i det daglige og til eksamen. Anbefalingerne kom fra en projektgruppe nedsat af LMFK i samarbejde med Institut for Naturfagenes Didaktik. Udviklingsprojektet havde titlen: Den nye skriftlighed i matematikundervisningen 6. Anbefalingerne indgår nu som retningslinjer for bedømmelse af eksamensbesvarelser 7 : Bemærkninger i denne vejledning, der er skrevet med kursiv, knytter sig til ovenstående opstilling af punkter til bedømmelse af en besvarelse af et skriftligt eksamenssæt. BEMÆRK at der i denne vejledning er lagt vægt på at vise hvorledes TI-Nspire CAS på en hensigtsmæssig måde kan anvendes til besvarelse af eksamensopgaver. Det er ikke et forsøg på at lave paradigmatiske eksempelbesvarelser, men er udelukkende et forsøg på at vise hvorledes programmet kan anvendes til at tilfredsstille kravene til en god besvarelse. 2
Eksempel 1 Lineære sammenhænge Opgaven er taget fra vejledende eksempler på eksamensopgaver for HF C-niveau, hvor den er nummereret som opgave 2.002. Bemærk at opgaveformuleringen her fungerer som indledning til vores opgave og vi sikrer dermed en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. Besvarelse af opgaven afrundes med en præcis konklusion, præsenteret i et klart sprog og med brug af almindelig matematisk notation. 3
Eksempel 1 kan også løses ved hjælp af lineær regression: 4
Eksempel 2 Geometri Opgaven er taget fra vejledende eksempler på eksamensopgaver for HF C-niveau, hvor den er nummereret som opgave 1.022. Bemærk at der her at tale om en geometrisk løsning af opgaven. En geometrisk løsning forudsætter en konstruktionsforklaring for at opnå fuldt point. Konstruktionsforklaringen laves i Noter. Geometriopgaver kan også løses algebraisk ved hjælp af trigonometriske ligninger, definitioner og relationer: Bemærk: Løses opgaven algebraisk er det vigtigt at tilføje en skitse af figuren, der ikke behøver at være målfast, men dog skal stemme overens med den type figur der er relevant for opgaven altså skal skitsen af trekanten i dette eksempel ligne en retvinklet trekant med en vinkel omkring 27º. Dermed sikres en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer og tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5
Eksempel 3 Deskriptiv statistik Opgaven er taget fra vejledende eksempler på eksamensopgaver for STX B-niveau, hvor den er nummereret som opgave 8.011. 6
Bemærk: Brugen af figurer (diagrammer) fungerer som dokumentation for de mellemregninger der skal bruges til besvarelse af spørgsmålet med programmet. Der redegøres for hvorledes det udvidede kvartilsæt udledes for hold1 og for hvorledes boksplottet for hold1 tegnes. Der redegøres for hvorledes observationerne for hold2 indtastes i tabellen som rådata. Der refereres til tabel og graf for at give tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. Som afrunding af spørgsmålet sammenholdes de to tegnede boksplot, idet middelværdierne er tilføjet. Som dokumentation for aflæsning af de statistiske deskriptorer i boksplottet for hold2 laves En-variabel statistik på hold2 i en Grafregner applikation. 7
Eksempel 4 Regressionsmodeller Opgaven er taget fra vejledende eksempler på eksamensopgaver for STX B-niveau, hvor den er nummereret som opgave 8.023. 8
Bemærk: Potensregressionen gennemføres i Grafregneren således at der foreligger dokumentation for brug af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Potensregressionen kunne også være gennemført i Lister og Regneark applikationen, men så ville det ikke være muligt at se alle detaljer der knytter sig til den indbyggede kommando. Bemærk desuden at navngivningen af konstanterne i den indbyggede potensmodel er byttet om i forhold til den i Danmark almindelige brug af a for eksponenten og b for koefficienten. Residualplottet tilføjes let til modellen og vil kunne bidrage til helhedsindtrykket. Det er i denne type opgaver altid vigtigt at tegne grafen for modellen (brug af figurer og illustrationer). Som kontrol løses opgaverne i delopgave b) let grafisk, hvilket også vil bidrage til helhedsindtrykket. De forskellige delspørgsmål afrundes hver med præcise konklusioner i almindeligt sprog med matematisk notation. 9
Eksempel 5 Integralregning Opgaven er taget fra vejledende eksempler på eksamensopgaver for STX B-niveau, hvor den er nummereret som opgave 7.002. Bemærk: Arealet af punktmængden bestemmes ved hjælp af det bestemte integral, idet grænserne for x-intervallet først bestemmes ved ligningsløsning. Der argumenteres for at arealet netop kan bestemmes ved hjælp af det bestemte integral idet funktionen i dette x- interval er positiv. Som kontrol bruges grafen for funktionen til grafisk at bestemme arealet af punktmængden idet der redegøres for brugen af det indbyggede integralværktøj. Spørgsmålet afrundes med en præcis konklusion i almindeligt sprog med matematisk notation. 10
Eksempel 6 Differentialregning og optimering Opgaven er taget fra vejledende eksempler på eksamensopgaver for STX B-niveau, hvor den er nummereret som opgave 6.003. Bemærk: Med forbindende tekst redegøres der for opstilling af funktionen for virksomhedens fortjeneste. Graf tegnes! 11
Eksempel 7 Vektorregning Opgaven er taget fra vejledende eksempler på eksamensopgaver for STX A-niveau, hvor den er nummereret som opgave 2.009. Bemærk: To-dimensionelle vektorregningsopgaver kan som det ses ovenfor alle løses både algebraisk og geometrisk og opgaver med vektorer i 3 dimensioner kan løses algebraisk. 12
Eksempel 8 Differentialligninger Opgaven er taget fra vejledende eksempler på eksamensopgaver for STX A-niveau, hvor den er nummereret som opgave 8.011. Bemærk: Linjeelementer konstrueres med en hjælpefil der findes på Web-adresessen: http://education.ti.com/educationportal/sites/danmark/nonproductmulti/laerere_un dervisning.html 13
Slutnoter 1 Eksempel: Jeg har anvendt den indbyggede solve-kommando til løsning af andengradsligningen (2x 2 +4x 6 = 0 således: solve(2x 2 +4x 6 = 0, t). Der er her tale om en skrivefejl der sikkert ikke vil trække ned idet der er redegjort for hvilken ligning der skal løses og hvilken kommando der er anvendt. Det er blot et eksempel på hvorledes skrivefejl kan opstå skrivefejl i syntaksen der vil blive opdaget i en computerbaseret besvarelse (pga. output). 2 Eksempel: Jeg har forsøgt at løse ligningen med den indbyggede solve-kommando men det er ikke lykkedes. Ved en computerbaseret besvarelse vil det være muligt at se hvad der gået galt idet dokumentation foreligger. Har eleven skrevet ligningen forkert ind (+6 i stedet for -6) således at der ikke findes reelle løsninger; solve(2x 2 +4x + 6 = 0, x), har eleven skrevet forkert således at ligningen løses mht. til t og ikke x; solve(2x 2 +4x 6 = 0, t) eller har eleven kun skrevet et udtryk; solve(2x 2 +4x 6, x). 3 Løsning af opgave 14b i STX mat-b maj 2009 (svarende til opgave 14 i STX mat-a maj 2009) resulterer i at flere CAS værktøjer generer uendelige beregningsløkker der kan løse brugen af værktøjet. For at afbryde beregningen trykkes på ON-knap på TI lommeregnere. 4 Kun ved geometrisk løsning af tredimensionelle geometri og vektorregningsopgaver (A-niveau) kan det være nødvendigt at anvende andre programmer som f.eks. Capri-3D eller Autograph. 5 Fagkonsulent Bjørn Grøn udsendte i skoleåret 2007-08 et hyrdebrev hvor der er åbnet for muligheden for at udlevere opgavesættet elektronisk ved eksamen (Informationsbrev 2008-1 findes på EMU en under Matematik eksamen (april 2008) som svar på 5 hyppigt stillede spørgsmål: http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsministeriet/faq.html). Under første del af prøven uden hjælpemidler, indskanner skolen selv delprøven med hjælpemidler, således at denne ligger klar til eleverne, når prøven med hjælpemidler starter. På hf C kan rektor åbne en kuvert en time før prøven afholdes med henblik på at få opgaverne indskannet, så de ligger klar ved prøvens start. Skolen vælger selv den teknisk mest hensigtsmæssige løsning, og rektor sikrer, at hele processen foregår sikkerhedsmæssigt forsvarligt. På har vi praktiseret at skanne opgavesættet således, at de enkelte opgaver indsættes som BIT-map billeder i et tekstdokument som efterfølgende konverteres til en pdf-fil. Skolen har indkøbt et passende antal USB Memory sticks og opgavesættet gemmes som pdf-fil på disse som udleveres til eleverne. Hukommelsespindene kan dermed også fungere til back-up-enhed for eleverne. Med Adope Reader laves let et skærmklip af opgaven som indsættes i opgavebesvarelsen. Eleverne skal være vant til at navigere mellem forskellige programmer. Besvarelsen samles i et tekstdokument idet opgavebeskrivelsen indsættes som skærmklip (fra en pdf-fil) og besvarelsen indsættes som skærmklip fra et TI-Nspire dokument. Med opgavebeskrivelsen indsæt før besvarelsen sikres en præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. Det kan her være en fordel at benytte sig af et skærmfanger -program. MWSnap kan bruges om skærmfangerprogram og findes som freeware på adressen: http://www.mirekw.com/winfreeware/mwsnap.html. I Windows Vista er der indbygget et klippeværktøj. I forbindelse med eksamen vil det være en god ide at starte med at kopiere skærmklip af opgaverne (fra udleverede pdf-fil!) ind i det tekstdokument, der udgør den samlede besvarelse. Gør god plads til besvarelserne således, at hver ny opgave starter på en ny side. Fordelen ved at samle besvarelsen i et tekstprogram som Word er at det er let at tilføje sidehoved, sidetal og printe løbende. 6 DEN NYE SKRIFTLIGHED I MATEMATIKUNDERVISNINGEN: http://uvmat.dk/skrift/index.htm 7 Eksamensopgave Matematik B, stx, den 12. august: http://www.uvm.dk/~/media/files/udd/gym/pdf09/eksamen/eksamensopgaver/stx/090813_opgave_m atb_stx_uden_kode.ashx 14