Foreløbig udgave August 2015

Foreløbig udgave August 205 MATeMATiK lærervejledning/web 5 Michael Wahl andersen Bent lindhardt rikke saron dalsgaard Alinea

KonteXt+ 5, Lærervejledning Forfattere: Bent Lindhardt, Rikke Saron Dalsgaard og Michael Wahl Andersen Ekstern redaktør: Bent Lindhardt Forlagsredaktion: Susanne Schulian Grafisk tilrettelægning: Jesper Frederiksen Omslag: Jesper Frederiksen Illustrationer: Jesper Frederiksen Tryk: 205 Alinea, København - et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, Egmont. udgave,. oplag 205 ISBN: 978-87-2353-20 www.alinea.dk

Indhold X Ideen bag Kontext+ XX Elementerne til Kontext+ XX Læringshjulet XX Forenklede Fælles mål XX De matematiske kompetencer XX Digitale værktøjer XX It som medie XX Regn med store tal XXX Brøker XXX Vinkler og figurer XXX Negative tal og koordinatsystemet XXX Decimaltal og procent XXX Rumfang og flade XXX Tal og bogstaver XXX Data og chance 3

Ideen bag KonteXt+ Systemets navn er ikke tilfældigt. KonteXt tager udgangspunkt i, at matematik er lettest at lære, når det opleves i en sammenhæng, som eleverne kan indleve sig i. Derfor introduceres de matematiske begreber i et genkendeligt hverdagssprog i en mulig virkelighed. Der skabes således kontakt mellem hverdagens erfaringer og sprog og så matematikkens verden. Vi har hentet vores inspiration fra det kendte hollandske forskningscenter Freudenthal Institut, som i mange år har arbejdet med, hvad de kalder Realistic Mathematical Education at lære matematik ved at se den gennem genkendelige og mulige virkelighedsnære sammenhænge. Disse sammenhænge omtaler vi som scenarier. Disse fortællinger er ikke den rigtige virkelighed men en tillempet virkelighed, så de bedst muligt illustrerer de matematiske pointer, der er udvalgt. Man kunne sammenligne det med et teaterstykke, hvor man indordner lyd og lys og kulisser, så de er rettet mod og fremhæver stykkets pointer. Fast og overskuelig kapitelstruktur Hvert kapitel følger en fast og overskuelig læringsstruktur, som gør det genkendeligt og enkelt for både lærer og elev. Vi bevæger os fra en indledende klassesamtale og afsøgning af forståelse og præcisering af det indhold der er, gennem 2-3 scenarier som præsenterer matematikken i en kontekst, og gennem praktiske, eksperimentelle og spillende aktiviteter til matematisk opsamling i Viden om samt træning og problemløsning i breddeopgaverne. Der afsluttes med en evalueringsprocedure Eftertanken som også involverer mere kompetencelignende opgaver. I overensstemmelse med forenklede Fælles Mål Indholdet i Kontext+ er revideret gennemgribende, så det er i overensstemmelse med forenklede Fælles Mål. Der indgår således anvisninger på de færdigheds-og vidensmål, som er valgt til at repræsentere matematikken på femte klassetrin samt deres nedbrydning til læringsmål for de enkelte kapitler. Der er også anvisninger på tegn på læring og evalueringspraksis i overensstemmelse med UVMs læringsmålstyret undervisning. Vi har valgt IKKE at skrive læringsmålene direkte i kernebogen men derimod skrive dem i lærervejledningen som inspirationskilde til læreren. Den indledende sætning på hver af kapitlernes side I dette kapitel skal du lære om er således mere en listning, som kan bruges af læreren til selv at formulere de mål, som passer til den enkelte klasse. Fokus på evaluering Hvert kapitel afsluttes med en række evalueringstiltag. Eftertanke-siden som retter sig mod mere kompeteceorienterede opgaver inden for ræsonnements og tankegangskompetencen, problembehandlingskompetencen og kommunkationskompetencen. Der indgår et tosiders EVA-ark som på side undersøger deres færdighedsniveau og på side 2 mere fokuserer på deres problemløsnings adfærd og evner. Eleverne samler egen viden i Huskeren, der anvendes som faglig logbog. Der er på hjemmeside anvisninger på tegn på læring knyttet til de enkelte læringsmål. Differentierede og varierede arbejdsformer og opgaver Der er læringsværdi i varieret undervisning såvel i form som organisation. Hvert kapitel lægger derfor op til forskellige arbejdsformer fx makkerpar arbejde i scenarier, gruppearbejde i aktiviteterne hvor der spilles, leges, undersøges osv., individuelt arbejde i breddeopgaverne, hvor der øves og trænes samt klasseaktiviteter, hvor der samles op og igangsættes. Opgaverne er differentierede, idet de veksler mellem at være lukkede og mere udfordrende opgaver, samt veksler mellem at være rent matematiske færdighedsopgaver og mere virkelighedsnære tekstopgaver. IDEEN BAG KONTEXT+

Dialogen er vigtig KonteXt lægger vægt på kommunikation at bruge sproget som limen i forståelse. Der indtænkes derfor både i elev-elevsamtaler og lærer-elevsamtaler, hvor opgaveløsning diskuteres, og hvor viden opsummeres og begrundes. Der indgår således flere steder krav til at eleverne sammen argumenterer og begrunder deres valg. Faglig læsning Skal eleverne opnå fortrolighed med matematikken senere i deres liv, skal de kunne afkode og læse matematikholdige tekster. De skal også kunne udvælge relevant data til løsning af matematiske opgaver. Derfor gør vi noget ud af tidligt at sætte matematikken i en tekstuel kontekst og ikke kun præsentere matematik som rene matematikopgaver. Vi lader informationen og data til opgaverne være uden for opgaven, så de skal bruge energi på at søge efter de nødvendige oplysninger hvilket er en træning i senere livsførelse. Integrering af digitale værktøjer og medier It indgår som et naturligt hjælpemiddel i KonteXt se beskrivelse senere. Det inddrages såvel som medie, som læringsmiddel og som værktøj til matematisk problembehandling. Der er sat hovedfokus på, at eleverne anvender få alsidige programmer som GeoGebra og regneark typisk Excel. Programmerne er knyttet til de opgaver, der stilles i kernebogen. I 5. klasse vil der primært være præfabrikerede filer, som eleverne skal arbejde ud fra. Alle filer kan downloades fra kontextplus.dk. Der er udformet en strategi for, hvordan de forskellige funktioner i de udvalgte programmer kan anvendes, så eleverne gradvist bliver fortrolige med dem. Se senere. It som medie indgår med film, der viser eksempler på de matematiske pointer i virkeligheden og film som uddyber Viden om med animationer og forklaringer. Den er også som en del af elevernes mulighed for at kommunikere matematisk viden. IDEEN BAG KONTEXT+ 5

ISBN 978-87-2350-228 Elementerne til Kontext+ Til femte klasse indgår der følgende elementer: KonteXt+ 5, Kernebog/Web Kontext+ 5, Lærervejledning/Web www.kontextplus.dk med hjælpeark, arbejdsark, videofilm, filer, facitliste. læringsmål, EVA-ark m.m. Tavlebog, Kontext+ 5 Træningshæfte, Kontext+ 5 eller Flexbog, Kontext+ 5, Kernebog, som er en digital udgave af kernebogen med elementer fra web indllejret og tilknyttet KonteXt+ 5, Lærervejledning i en digital udgave Vinkler og figurer Klassesamtalen Hvilke slags geometriske figurer kan I se på fotoet? Kan I se rette vinkler? Er der vinkler, der ser ud til at være lige store? Hvor mange vinkler kan I se på det blå stel? Hvilke vinkler er ikke spidse? Hvordan vil I lave en skitse af cyklen? Klasseaktivitet: Find vinkler I skal undersøge vinkler i og uden for klassen. I skal afgøre, om det er en ret vinkel, eller om vinklen er større eller mindre end en ret vinkel. a. Fremstil eller skaf en genstand, som har en ret vinkel. Den kan I bruge som vinkelmål. b. Find steder og udfyld et skema som dette: Tegning eller beskrivelse af sted Ret vinkel Større Mindre c. Afgør hvilke vinkelstørrelser, I mener, der er typiske og hvorfor. d. Fremlæg jeres undersøgelse for resten af klassen. I dette kapitel skal du lære om at beskrive vinkler ud fra deres gradtal. at måle vinkler med en vinkelmåler. at måle vinkler på computeren. at undersøge egenskaber ved figurer. at aflæse og fremstille skitser. at konstruere nøjagtige tegninger. at tegne ud fra et målestoksforhold. Hvornår står viserne på et ur vinkelret på hinanden? vinkler og figurer 3 ldet er skrevet ud fra de nye forenklede ed en gennemtænkt og afprøvet struktur. ind i matematikkens verden af symboler nnem EVA-ark og observationer på tegn e opgaver. terede opgaver. g synliggørelse af de faglige områder. ontekst. pille osv. e samles op og præciseres. on, ræsonnement og problemløsning. tøjer oftest regneark og GeoGebra.. Filerne er dels demonstrationsfiler t til opgaverne i kernebogen og greber og lære programmerne at kende. ev adgang til www.kontextplus.dk.: giver læreren en udvidet adgang til entarer MATeMATiK Kernebog 5 AlineA Kernebog 5 Michael Wahl andersen Bent lindhardt MATeMATiK Kernebog rikke saron dalsgaard svend hessing AlineA Den trykte bog hedder kernebogen, fordi det er kernestoffet for matematikundervisningen, som står her. Kernebogen fører eleverne gennem stoffet, så man opfylder de faglige målsætninger, man kan sætte på femte klassetrin ud fra forenklede Fælles Mål. Det er samtidig kernebogen, som styrer og giver blikket for, hvordan de supplerende materialer kan indgå i det løbende arbejde. Kernebogen til femte klasse er på 6 sider og opdelt i otte kapitler som er: Regn med store tal Brøker Vinkler og figurer Negative tal og koordinatsystemet Decimaltal og procent Rumfang og flade Tal og bogstaver Data og chance Lærervejledning Den trykte lærervejledning indeholder En gennemgang af systemets opbygning og ide. Faglige og didaktiske baggrundsviden, som har formet Kontextsystemet. En grundig side-til-side vejledning med anbefalinger til læringsmål, supplerende aktiviteter, faglige uddybende kommentarer og gode råd. 6 ELEMENTERNE TIL KONTEXT+

Læreradgangen: 2 hjælpeark Hjælpeark i en samlet udgave og serviceark, som kan understøtte opgaverne i kernebogen Supplerende arbejdsark til de hurtige elever Facitliste til kernebogens opgaver. Tosiders EVA-ark med tilhørende observationsark med anvisning på tegn på læring og bemærkninger til målopfyldelse. Tavlebog www.kontextplus.dk Til KonteXt +5 hører der en hjemmeside med en lang række supplerende materialer. Elevadgangen til www.kontextplus.dk fås automatisk ved køb af kernebøgerne, og læreradgangen fås ved køb af lærervejledningen. Hjemmesiden er påtænkt løbende at blive videreudviklet og udbygget. Elevadgangen: GeoGebrafiler og regnearksfiler, der er vist med ikon i kernebogen se senere. Der er ca. 80 filer til femte klasse. Der skelnes mellem: demo-filer, til brug ved klassesamtalen. øve-filer, som er supplerende træning til breddeopgaverne værksteds-filer, hvor eleverne eksperimenterer, visualiserer og anvender it som alsidigt og raffineret værktøj. Instruktionsvideoer til Geogebra og Excel i form af screencast. Viden om videoer knyttet til hvert af de otte kapitler. Korte videoer som gennemgår centrale dele af det matematiske stof i kapitlet. Kan fx bruges individuelt af eleverne eller til klassesamtalen. Ekstra fotomateriale, som supplerer fotografiet på introsiderne i hvert kapitel. Hjælpeark, som understøtter opgaverne i kernebogen Kernebogen udgives også som tavlebog. En tavlebog er en avanceret pdf-udgave af bogen til brug på IWB. Flexbog Flexbog, KonteXt+ 5, er kernebogen og webdelen samlet i et digitalt produkt. Det vil sige, at der i den digitale udgave af bogen er indsat klikbare ikoner for film, digitale-filer, arbejdsark og lignende. Man skal altså ikke ind på et site og hente den. Man kan skrive og tegne på siderne og arbejdsarkene, man kan indsætte egne noter, man kan skrive løsninger i filen, man kan kommunikere elev/lærer og elev/ elev. De arbejdsark, der indeholder brikker, grafer, figurer eller lignende, kan printes. Træningshæfte Der vil kunne suppleres med et træningshæfte på 8 sider, som knytter sig til kernebogens breddeopgaver. Træningshæftet er delt op i to dele: Opslag hvor alle opgaver er direkte i kontakt med de enkelte kapitler. Opslag hvor opgaverne er blandede fra alle dele af de forskellige kapitler akkumuleret igennem hæftet. ELEMENTERNE TIL KONTEXT+ 7

negative tal og koordinatsystemet 5 m 0 m 5 m m 2 m 0 m 8 m 6 m m 2 m 0 m 2 m m 6 m 8 m 0 m 2 m m 6 m 8 m 20 m 22 m 2 m 26 m 28 m 30 m A fugl D Dykker E Fisk F Dykker 2 H Havbund B Top af kran C Havoverflade G Skibsvrag Læringshjulet Tænk efter og evaluering Førtanken, læringsmål og værksteder Opgaveløsning Matematik i en kontekst Målramme eleverne får en angivelse af det der skal læres om, som læreren kan bruge som basis for klassens læringsmål. Kapitlerne i kernebogen er opbygget efter en særlig struktur som vi kalder for læringshjulet blandt andet med inspiration fra Gudrun Malmer og Freudenthals planlægningsmodeller (se evt. Brå matematik for alle og Freudenthals model som omtales The iceberg ). Begge lægger vægt på, at der skal bygges på erfaringer, hverdag og sproglig formåen for at skabe forståelse for de matematiske begreber fra det enkle til svære, fra det hverdagsorienterede konkrete og uformelle matematik til det abstrakte og formelle matematik. Deres synspunkt er, at grunden til, at eleverne mangler forståelse, er, at de for hurtigt udsættes for øvelser og træning i den formelle og abstrakte matematik uden nogen kontakt til deres forforståelse. Fase. Intro og synlige mål (Førtanken) Negative tal og koordinatsystemet Klassesamtalen Hvad viser termometret? Hvordan ser man på dette termometer forskel på minusgrader og plusgrader? Hvor mange grader har temperaturen ændret sig, hvis den før var 3 grader og nu er + grader? Hvor mange minusgrader tror I, at den koldeste måned i Danmark har været inden for de sidste 00 år? Hvis man tegner en tallinje og sætter et nulpunkt, hvor vil så 7 og +7 ligge? Hvorfor er 7 større end 0? Klasseaktivitet: Talhjulet Materialer: Hjælpeark med talhjul og spilleplade, clips og spillebrikker. deltagere: 2- personer. Regler:. Stil alle deltagernes spillebrikker på 0. 2. Hver spiller drejer clipsen på Talhjulet. Spilleren med højeste tal begynder. 3. Hver spiller drejer clipsen to gange.. Er summen af tallene negativ, så rykker man baglæns. Er resultatet positivt, så rykker man fremad. 5. Den, der først når 20 eller 20, vinder. I dette kapitel skal du lære om tal før nul på tallinjen, som kaldes de negative tal. at der til hvert positivt tal er et modsat negativt tal fx +6 og 6. at finde afstanden mellem negative og positive tal på tallinjen. at beregne enkle opgaver med negative tal. at koordinatsystemet beskriver punkter gennem talpar fx ( 3,5). at placere, navngive og sammenligne punkter i et koordinatsystem. Giv et eksempel på to negative tal hvor forskellen er 5. Introen foregår som en klasseaktivitet og er knyttet til de første to sider i kapitlet. Den har til formål at inddrage elevernes erfaringer, associationer og intuitive forståelser fra hverdagen og samtidig give læreren et indledende indtryk af, hvor eleverne er læringsmæssigt i kapitlets stofområde. Den har også til formål at skærpe elevernes opmærksomhed og fokuseringen for de matematiske begreber, der skal arbejdes med. Introen består af tanker og tale som: Fællessamtale en indledende dialog med en lang række forslag og inspiration i lærervejledningen. Fællesamtale 2 oplæg/spørgsmål med udgangspunkt i introfotoet. Spørgsmålene uddybes i lærervejledningen. Fællesaktivitet, der er aktiviserende praktiske opgaver, som giver eleverne mulighed for at snuse til emnet og læreren mulighed for at iagttage deres umiddelbare viden og færdigheder i emnet. 65 Fase 2. Kontekst (Fordybelse) 50 m 5 m 0 m 5 m Krigsskibet der sank En dag i 628 sejlede et af de største og flotteste svenske krigsskibe Vasa ud fra Stockholm. Kongen, hans følge og mange nysgerrige var mødt op for at se det. Blot en time efter, på vej ud af skærgården, gik det galt. Et vindpust fik skibet til at krænge. Vandet løb ind, så Vasa efter kort tid sank. Du kan på tegningen se, hvordan skibet så ud, inden det sank. Opgave a. Hvor langt er der fra havets overflade til mastens top? b. Hvor langt er der fra havets overflade til bunden af skibet? c. Hvorfor står der 5 m på tegningen? d. Hvor langt er der fra skibets bund til mastens top? Først mange år senere i 956 fandt nogle dykkere vraget. Senere blev det bjærget, så man i dag kan se det udstillet. Opgave 2 a. Hvor mange meter under havoverfladen lå skibet? b. Hvor langt var der fra havoverfladen til kranernes top? c. Hvordan vil du svare på opgave a og b, hvis du skulle bruge + og til at beskrive afstande over og under havoverfladen? Opgave 3 a. Beskriv hver af placeringerne A - H med plustal og minustal fx Dykker er ved 6 m. b. Hvor vil dykker D være, hvis han er 3 m højere oppe? Skriv med minustal. c. Hvor vil fisk E være, hvis den er 2 m dybere? Skriv med minustal. Opgave a. Hvad er afstanden mellem toppen af kranen B og havbunden H? b. Hvad er afstanden mellem fisk E og dykker? c. Hvad er afstanden mellem toppen af kranen B og dykker F? 66 negative tal og koordinatsystemet negative tal og koordinatsystemet I fase 2 er der 2-3 små fortællinger eller scenarier, der indeholder beskrivelser og spørgsmål, hvor de matematiske begreber præsenteres i en mulig kontekst. Det hele er forsøgt holdt i en hverdagssproglig form. Det giver mulighed for, at eleverne via indlevelse kan skabe sig mentale billeder af hvad det handler om. Det skal bemærkes, at scenarierne ikke er virkeligheden, men en konstrueret virkelighed, som blot skal understøtte forståelsen af matematikken. Det er således ikke emnearbejde eller projektarbejde, men fantasien, som er det bærende element i konteksten. Det er ikke meningen, at eleverne skal udføre og undersøge men i stedet indleve sig og forestille sig. Det hele foregår på tankens plan, som ved et teaterstykke med udvalgte miljøer og personer, som skal understrege en bestemt pointe for publikum. Fase 2 er udpræget et dialogbaseret arbejde, som vi anbefaler kan foregå som makkerpar arbejde. Fase 3. Aktiviteter (Praktisk og eksperimentel matematik) Ud over at tænke og tale matematik skal eleverne opleve matematikken ved at gøre og røre. En alsidig og varieret læring cementerer forståelsen bedre. I denne fase indgår der praktiske og eksperimentelle aktiviteter, hvor der spilles, måles, bygges, matematiseres og hvor der indgår modelleringsopgaver. Nogle af de matematiske begreber er reserveret til en sådan førstehåndserfaring fx ved arbejdet med sandsynlighedsbegrebet. Der kan således også være nyt stof i aktiviteterne. Der inddrages enkle og billige materialer, som vil findes Fig. Nr..5 Havbunden skal benævnes h) 67 8 LÆRINGSHJULET

negative tal og koordinatsystemet 2 3 5 6 3 2 0 9 8 7 6 5 3 2 0 2 3 5 6 7 8 9 3 2 0 9 8 7 6 5 3 2 0 2 3 5 6 7 8 9 negative tal og koordinatsystemet 7 8 9 0 C 0 30 20 0 0 0 20 C 0 30 20 0 0 0 20 C A B C D 0 30 20 0 0 0 20 C 0 30 20 0 0 0 20 Kontinent Højeste punkt Over havet Laveste punkt Under havet Nordamerika Mount Mckinley 6096 m Den Døde Dal 85 m Afrika Kilimanjaro 5802 m Assaløen 5 m Asien Mount Everest 8708 m Det Døde Hav 39 m Sydamerika Mount Aconcagua 689 m Peninsuladalen 39 m Australien Mount Kosciusko 2228 m Eyre søen 5 m Europa Mount Elbrus 5553 m Det Kaspiske Hav 28 m Antarktis Vinson bjerget 5059 m Bentley Kløften 298 m 2 3 3 2 0 9 8 7 6 5 3 2 0 2 3 5 6 7 8 9 B ( 3,2) E ( 3,0) 5 3 2 5 3 2 2 3 5 G (, 3) 2 3 5 F (0,5) D (0, ) C (2,0) A (,5) H (, 3) 5 6 7 ( 3,2) D C ( 3, 2) 5 3 2 0 negative tal og koordinatsystemet 3 2 2 3 (3,2) A 2 3 B (3, 2) negative tal og koordinatsystemet A B. dag 2. dag 3. dag. dag 5. dag 5 cm 7 cm 0 cm cm 2 cm C 2 3 5 6 negative tal og koordinatsystemet 8 9 Førsteaksen 0 2 5 Andenaksen 6 8 20 2 Julies hjemby M K L N 0 km negative tal og koordinatsystemet A 22 23 2 B 25 AA C D C D E BB C D E negative tal og koordinatsystemet AKTIVITETER Gæt det næste tal Materialer: 6 stykker papir/karton i spillekortstørrelse. deltagere: 2 personer. Klip 6 stykker papir ud i spillekortstørrelse fx ved at folde to A-ark tre gange. Skriv tallene fra 7 til +7 og to kort med 0. Læg dem med bagsiden op ad i en tilfældig rækkefølge. I skemaet kan du se nogle af verdens højeste bjerge og dybeste huller i havet. Lav en illustration, som viser, hvor højt bjergene rager op over havoverfladen, og hvor dybt der kan være Regler: bestemte steder på havene. a. Tegn et koordinatsystem. Det første kort vendes. Det er i dette spil 2. Skaf et stort stykke papir, så fx cm svarer til 00 m, dvs at Mckinley er ca. 6 cm og Den Døde Dal er ca. cm. b. Indtegn punkterne (,) (,3) (3,) (3,3) og For hver gang skal deltagerne beslutte, om det næste kort er større eller mindre end det foregående. tegn linjer mellem punkterne, så det danner Næste kort er 0. I det her tilfælde er tallet større, idet 0 er større end 2. et kvadrat. Gætter man rigtigt får man et point. Stjerneløb på skolen c. Gør alle koordinaterne dobbelt så store og tegn Den deltager der har flest point, når det sidste kort er vendt, har vundet. den nye figur. d. Beskriv forskellen mellem de to figurer. Der er koldt i Thule Et af de nordligste bosteder på Grønland er Qaanaaq. Stedet hed Thule tidligere. I nærheden er der en stor amerikansk militærbase. a. Tegn tabellen og udfyld de manglende felter, a. Fremstil en tabel for temperaturen for hver måned som du mener passer. gennem et år for Qaanaaq og København. b. Tegn tallene ind i en graf i et koordinatsystem. Find det på nettet. c. Beskriv den graf der kan tegnes. b. Vis det på en graf. Brug regneark til hjælp. d. Hvis grafen fortsætter, vil så talparret (-, 2) være c. Beskriv forskellen i temperaturerne for hver måned. I et stjerneløb har man et startpunkt og løber frem og tilbage til posterne. med på grafen? Vil talparret (00,20) også d. Hvornår er forskellen størst? Mindst? Lav et stjerneløb, der kan bruges på din skole. være med på grafen? Brug et luftfoto fx fra Google maps og sæt det ind i et koordinatsystem. Brug (0,0) som startpunkt. Lav selv nogle opgaver, man skal løse på posterne. Find en temperaturtabel over vejret for den kommende uge fx www.dmi.dk. Brug vejledningen på hjælpearket Stjerneløb og GeoGebra. Tegn et koordinatsystem og en graf, som viser temperaturen fra dag til dag i den uge. 76 77 Julie skal besøge fire byer på en rejse. Hun begynder og slutter i sin hjemby. Figuren viser, hvor byerne ligger. Vejene ligger kun på stregerne i gitteret. Hvilken rute bliver den korteste? det? på de fleste skoler eller som er nemme og overkommeligt Hvilket tal er det? 82 økonomisk at anskaffe. Der er således tale om centicubes, terninger, cm-mål, stopur, udendørs vinkelmålere m.m. Disse aktiviteter er typisk gruppearbejde. Fase. Viden om (Matematisk viden) VidenoM VidenoM Tallinjen De hele tal Tallene, 2, 3,... kaldes de positive hele tal. Man kalder dem også for de naturlige tal. Tallene... 3, 2, kaldes de negative hele tal. 3, 2,, 0,, 2, 3 kaldes samlet for de hele tal. Man kan fortsætte tallinjen til venstre for nul. De tal kalder man de negative tal. Når man tegner en tallinje, skal man bestemme sig for, hvor nulpunktet skal være. Alle tal til venstre for nul, er de negative tal fx 5. Alle tal til højre for nul, er de positive tal fx +5 eller bare 5. 0 9 8 7 6 5 3 2 0 2 3 5 6 7 8 9 0 Hver gang man bevæger sig til venstre på tallinjen, bliver tallene mindre. Hver gang man bevæger sig til højre, bliver tallene større. Over og under havoverfladen Materialer: Stort papir ca. i A2 størrelse, stor lineal, farver. At finde forskellen Skal man finde forandringen fra 9 til + svarer det til 3 hop til højre på tallinjen. Resultatet er +3. +3 Punkterne får en plads og et navn Et koordinatsystem består af to tallinjer. Den ene har navnet førsteaksen. Den anden har navnet anden akse. Der, hvor de to tallinjer møder hinanden, er nulpunktet (0,0). Tallinjen er inddelt i enheder fx, 2, 3 osv. Der er ikke altid den samme enhed på de to akser. 3 2 I eventyret om Pinocchio vokser hans næse, når han lyver. Den bliver 8 cm længere. Hvis han taler sandt bagefter bliver den 3 cm kortere. Da hans næse var 7 cm lang, sagde han fem sætninger og efter det var hans næse 25 cm lang. Hvor mange af sætningerne var sande? Øjentallene på en terning er placeret på en særlig måde. Lægger man øjentallene over for hinanden sammen, får man altid 7, fx er og 6 overfor hinanden. Fremstil en terning, hvor summen af de modsatte tal er. Flyt diagrammerne A, B, C, D og E, et af gangen, ind på skemaet. Undersøg, hvilket diagram som dækker det største antal prikker. a. Et tal 7 7 7 giver 2. Hvilket tal er det? b. Et tal er større end 7 og mindre end 2. Det er deleligt med 2, men ikke med 3. Hvilket tal er c. Et tal er ti gange mindre end 5. Fase 6. Eftertanken (Evaluering) EFTERTANKEN Påstanden Tag stilling til hver af de tre påstande. a. Der findes et modsat negativt tal til alle positive tal. b. Man kan ikke udregne 7. c. Tal, som ligger til venstre for 3 på tallinjen, er alle mindre. Undersøg det Læg et tal og det modsatte tal sammen. Hvad giver det? Hvis du nu fortsætter med at lægge tallet til, og så det modsatte tal, og så tallet osv. Hvornår bliver det 0? Hvornår bliver det et positivt tal? Hvornår bliver det et negativt tal? Hvilken regel kan du bruge, hvis du lægger et tal og det modsatte tal sammen? Vis det Brug tegninger og eksempler til at illustrere disse to regnestykker: a. = 3 b. 9 2 = 2 Huskeren Brug dine egne ord. Tegn, skriv, forklar og giv eksempler. Giv en beskrivelse af forskellige typer af firkanter. Giv en beskrivelse af forskellige typer af trekanter. Giv eksempler på figurer, som har rette vinkler. Tegn et koordinatsystem og giv eksempler på talnavne til punkter. 83 Som afsluttende på kapitlet kan der anvendes: De tre kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. Disse opgaver fokuserer primært på opgaver inden for ræsonnements- og tankegangskompetencen, problembehandlingskompetencen og kommunkationskompetencen. Elevernes egen faglige logbog, hvor de formulerer deres viden. Der kan tages udgangspunkt i de oplæg, der er forneden på siden. Man kan regne med negative tal Hvis man skal regne med negative tal, er det en god ide at bruge en tallinje til hjælp. Eksempel: ) Regnestykket 7 5 svarer til at gå fra 7 og så fem hop mod venstre. Resultatet bliver 2. 5 Hvert eneste punkt i koordinatsystemet har sit eget navn. (3,5) beskriver det punkt, som ligger ud for 3 på førsteaksen og 5 på andenaksen. Man kalder (3,5) for punktets koordinater, talpar eller koordinatsæt. Man giver punkterne navne. Som regel bruger man store bogstaver A, B, C osv. Læg mærke til, at der er fire områder i koordinatsystemet. I hvert område ser koordinaterne ud på en bestemt måde. Se forskellene på punkterne A, B, C og D. Evaluering 2) Regnestykket 7 9 svarer til at gå fra +7 og så hoppe 9 hop mod venstre. Resultatet bliver 2. 9 Grafer eller kurver De streger man tegner i koordinatsystemet, kalder man nogle gange for grafer og nogle gange for kurver. Her er fx en graf over værdien på et hus gennem 0 år. VidenoM VidenoM 78 negative tal og koordinatsystemet 79 I Viden om opsummeres elevernes erfaringer til mere formel matematisk viden og det faglige sprog præciseres. Viden om er typisk fællesarbejde for hele klassen. Kan fx anvendes som: samtaleside, hvor der samles op i fællesskab. forberedelsesside, for grupper af elever som efterfølgende fremlægger for resten af klassen. Til denne fase er der knyttet Viden om -film, som kan findes på hjemmesiden www.kontextplus.dk. Fase 5. Breddeopgaver (træning) På hjemmesiden kan man finde et evalueringssæt til hvert kapitel. Det består af Følg ruten Find skatten Koordinatsystemet - 5 BREDDEOPGAVER Undersøg koordinatsystemet Skriv tallene i rækkefølge med det mindste tal først. a. 7 0 2 8 b. 2 3 0 6 c. 0 9 2 9 5 a b 30 20 0 0 0 20 30 Se på tallinjen. Hvilket tal peger pilene på? a. Indsæt følgende tal på en tallinje. 5 9 3 2 2 b. Indsæt, så godt du kan, følgende tal på en tom tallinje fra 00 til +00. 52 35 5 5 23 79 Skriv hele regnestykket. a. 2 + = 7 b. 9 + 9 = c. 0 = c d e f Hvor stor er forskellen fra a. 3 til 5? b. 0 til 0? c. til 2? d. til 8? e. 7 til 0? f. til 99? Sebastian måler temperaturen udenfor til at være 3 C frost og indenfor i stuen viser termometret 22 C. Hvor stor forskel er der på temperaturen inde Gør tallene 3 mindre. a. 9 b. c. 2 d. 0 e. 3 f. 3 g. 000 h. 28 j. 37 Aflæs termometrene. Tag stilling til, om det er rigtigt eller forkert. a. 7 er 2 mindre end 5. b. 0 er større end 23. c. Det modsatte tal af 9 er +8. d. +2 er 6 større end 2. Brug en tallinje til hjælp og udregn. a. 3 + 8 b. 6 c. 23 0 d. 7 22 e. 0 9 f. 5 + 7 Gør tallet 7 større. a. 3 b. 7 c. 0 d. 0 e. 7 f. 0 Skriv tre regnestykker, hvor resultatet giver 3. a. Aflæs koordinatsættet for hver af de otte punkter. b. Punktet A flyttes tre enheder ]til højre til punktet K. Skriv koordinaterne. c. Punktet B flyttes 5 enheder f ned til punktet L. Skriv koordinaterne. d. Punktet C flyttes 5 enheder [til venstre til punktet M. Skriv koordinaterne. a. Indsæt A = (2,2) B = ( 2,2) C = ( 2, 2) i et koordinatsystem. b. Forbind punkterne til en trekant. c. Tegn videre på figuren, så arealet er dobbelt stort. d. Beskriv hjørnernes koordinater. a. Hvilke koordinater har hjørnerne i trekant ABC? b. Tegn trekanten i et koordinatsystem i dit hæfte og spejl den i andenaksen. c. Hvilke koordinater har hjørnerne i den nye trekant? d. Indtegn følgende punkter: A = (,5) B = (, ) C = (5,) D = (5,5) og forbind punkterne, så der kommer en firkant. e. Hvilken figur danner punkterne? a. Tegn et koordinatsystem. Forbind punkterne: (2,) ] (,2) ] (3,3) ] (,) ] (2,5) ] (3,3) ] (,5) ] (5,) ] (3,3) ] (5,2) ] (,) ] (3,3) ] (2,) b. Tegn din egen figur i koordinatsystemet og beskriv tegneruten på samme måde. En plantes højde er målt hver dag. a. Tegn et koordinatsystem med passende enheder for førsteaksen og andenaksen. b. Sæt tallene ind som punkter og fremstil en graf. c. Hvornår har planten vokset mest?. Et EVA-ark, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. Evalueringsarket består af to sider. Første side er færdighedsregning med udvalgte opgaver, som kan afsløre elevernes misopfattelser. Anden side er problemregning, som er mere kontekstorienterede, og hvor der skal udvises en større problemløsningsadfærd. og ude? d. Hvordan kan man se det i koordinatsystemet? 80 8 Breddeopgaverne er et bredt udvalg af træningsopgaver, hvor eleverne individuelt kan arbejde sig igennem. Breddeopgaverne indeholder både lukkede opgaver og mere åbne problemløsende opgaver. De mere grublende opgaver står til sidst og er markeret specielt. Der hører et træningshæfte til, som kan supplere denne træning. 2. Et observations og Tegn på læring sark, som angiver adfærd hos eleverne der kan bruges som angivelse af en vis målopfyldelse. Det er vores holdning, at det er i samtalen, man bedst afslører forståelsesniveauet, så de anviste tegn skal kun opfattes som umiddelbare indikatorer. LÆRINGSHJULET 9

Forenklede Fælles Mål Læringsmål Læringsmål Læringsmål Evaluering Undervisningsaktiviteter Evaluering Evaluering Tænk Tænk efter efter og og evaluering Opgaveløsning Førtanken, læringsmål og og værksteder Matematik i i en en kontekst Aktiviteter Aktiviteter Tegn på læring Tegn på læring Tegn Tegn på på læring Kontext+ har stort fokus på de forandringer og ikke mindst den progression og systematik som de nye forenklede Fælles Mål lægger op til. I forenklede Fælles Mål, har man lagt vægt på, at man skal målstyre frem for aktivitetstyre sin undervisning. Der er sat fokus på, at eleverne får synliggjort de læringsmål, der er for undervisningen. I udgivelsen Læringsmålstyret undervisning introduceres en planlægningsmodel for et forløb, som vi mener fint passer ind i vores struktur på et kapitel. Se ellers tidligere Vi hilser velkomment, at man fra det politiske niveau ønsker et stærkere fokus på overvejelserne om, hvad der skal undervises i. Det er dog ikke så enkel en øvelse, så vi har forsøgt at hjælpe uden at handlingslamme eller overtage lærerens eget valg. Vi har: udvalgt færdigheds-og vidensmålene fra forenklede Fælles Mål, så de nu passer til et tre målpar pr. kapitel. Udvalgene af målpar er fortrinsvis hentet fra fase 2 på.-6. klassetrin men dog også med strejftog i fase og 3. Derudover samler vi op på tidligere mål, så der foregår en vis gentagelse. beskrevet en målramme for eleverne i hvert kapitel. På introsiderne i hvert kapitel indgår der en introduktion til arbejdet I dette kapitel skal du lære om og derefter en række dots, som kan give en ide om det faglige indhold. Det er bevidst, at vi IKKE skriver dem som læringsmål, idet vi overlader til klassens matematiklærer at vælge de konkrete læringsmål. Det er bevidst, at vi viser ydmyghed og trækker os lidt tilbage, så der er plads til disse valg, der passer sig bedst til den sammenhæng undervisningen foregår i. fremstillet forslag til læringsmål til læreren, beskrevet i indledningen til hvert scenarie og aktivitet. Man kan således forholde sig til disse læringsmål og udvælge eller omforme dem som det passer de skal altså tænkes som inspiration og samtidig angive den faglige retning vi har valgt. Den viden og de færdigheder, eleverne skal opnå for at leve op til formålet, skal være et samspil mellem kompetenceområdet Matematiske kompetencer og de læringsmål, der er knyttet til stofområderne Tal og algebra, Geometri og måling samt Statistik og sandsynlighed. Elevernes udvikling og udøvelse af matematiske kompetencer finder sted i deres arbejde med faglige stofområder, og elevernes arbejde med stofområderne bliver meningsfuldt, når det forbindes med de processer og arbejdsmåder, der er beskrevet i de matematiske kompetencer. I læseplanen til forenklede Fælles Mål indgår der en arbejdsog planlægningsmodel, som beskriver denne samhørighed mellem de matematiske kompetencer og det matematiske stof. Matrixmodel Tal og Algebra Geometri og måling Statistik og sansynlighed Problembehandling Modellering Resonnement og tankegang Repræsentation og symbolbehandling Kommunikation Hjælpemidler 0 FORENKLEDE FÆLLES MÅL

De matematiske kompetencer Hvordan håndterer vi det i Kontext? I oplægget om læringsmålstyret undervisning angiver man læringsmål i relation til undervisningsforløb af 3- uger varighed. Det kunne svare til et kapitelforløb i kernebogen. Som det ses af overskrifterne i kernebogen er der tænkt i at fordele de udvalgte færdigheds og vidensmål ud på de otte kapitler. De stoffaglige mål er derfor rimeligt overskuelige og tydeliggjorte kapitel for kapitel. Det stoffaglige er formodentligt også, det der er flest erfaringer og stærke traditioner omkring, som gør det enklere at handle på. Anderledes står det til med de matematiske kompetencer, som angivet i Matrixmodellen. Det er mere komplekse mål, og det kan være ganske vanskeligt at få dem ned i elevhøjde, så de på den ene side ikke taber i værdi, idet de bliver for banale eller på den anden side ikke er så højtflyvende, så de ikke kan omsættes til undervisning. Derudover kan det være vanskeligt at skille kompetencerne fra hinanden, idet mange kompetenceorienterede opgaver inddrager flere kompetencer. Symbolbehandlingskompetencen er næsten med i de fleste matematikprocesser, hjælpemiddelskompetencen er med alle de gange, man anvender papir, it, konkrete materialer, måleinstrumenter osv., problembehandling og ræsonnementskompetencen er tæt forbundet osv. Når det er sagt, bør det ikke handlingslamme os til ikke at fokusere på kompetenceundervisning i samspil med det stoffaglige. Vi vil i det næste redegøre nærmere for dette. I planlægningen af hvert undervisningsforløb skal læreren udvælge læringsmål fra både de matematiske kompetencer og fra de matematiske stofområder. I hvert undervisningsforløb sigtes der således samtidigt på udvalgte mål fra en eller flere af de matematiske kompetencer og på udvalgte mål fra et eller flere af stofområderne. I det følgende har vi forsøgt generelt at beskrive og eksemplificere, hvordan vi gennem kernebogen har indtænkt hver af de seks kompetencer. Problembehandling Problembehandling vedrører løsning og opstilling af matematiske problemer, dvs. matematiske spørgsmål, der ikke kan besvares udelukkende med rutinemetoder. Det er individuelt, om et matematisk spørgsmål udgør et problem for en elev. Et spørgsmål, som for nogle elever udgør et matematisk problem, kan for andre elever være en rutineopgave Fase Fase 2 Eleven kan opstille og løse matematiske problemer Eleven kan anvende forskellige strategier til matematisk problemløsning Eleven har viden om kendetegn ved lukkede, åbne og rene matematiske problemer samt problemer, der vedrører omverdenen Eleven har viden om forskellige strategier til matematisk problemløsning, herunder med anvendelse af digitale værktøjer Opfyldelse af kompetencemål I scenarierne vil der løbende være spørgsmål som er ikke-rutineprægede opgaver. Det er opgaver, hvor eleverne skal gå på opdagelse i begreberne. Det involverer elevernes egentænkning og en vilje til at undersøge. Ved hvert af de enkelte scenarier afsluttes der som hovedregel med en udfordrende opgave, som appellerer til øgede evner til problembehandling. Disse opgaver er ofte af mere åben karakter. I Breddeopgaverne er de sidste opgaver af mere grublende karakter og vil udfordre elevernes kreative problemløsningsadfærd. Udvalget af opgaver i Eftertanken har klare referencer til problembehandlingskompetencen. DE MATEMATISKE KOMPETENCER

Modellering Modellering vedrører dels processer, hvor matematik anvendes til behandling af situationer og problemstillinger udenfor matematikken dels analyse og vurdering af matematiske modeller, som beskriver forhold i virkeligheden Fase Fase 2 Problemstilling i virkeligheden Svar i virkeligheden Eleven kan gennemføre enkle modelleringsprocesser Eleven kan anvende enkle matematiske modeller Kritik og justering af model Indkredsning og matematisk beskrivelse Tolkning og vurdering Eleven har viden om enkle modelleringsprocesser Eleven har viden om enkle matematiske modeller Opfyldelse af kompetencemål Vi har forkortet modelleringsprocessen til følgende: Matematisk model 3 2 Matematiske resultater Matematisk analyse ) Det hele starter i virkeligheden. En eller anden problemstilling synes interessant. Det tænkes og formuleres i hverdagstermer. Som et eksempel kunne man stille spørgsmålet Hvor meget tandpasta bruges der på en dag i Danmark?. Denne problemstilling kan ikke løses med et beregningsmæssigt snuptag. Den behøver en indkredsning og en oversættelse til matematik for, at man kan regne på den. Det kræver valg af de faktorer, som synes at være relevante for at løse problemstillingen. Det drejer sig således om at indkredse de centrale elementer og udelade andre som ikke synes relevante eller for ubetydelige. Som eksempel kræver det overvejelser om hvad man skal mene med en dag? En diskussion af hvordan man måler dem der børster tænder og dem der ikke gør det osv. 2) Indkredsningen og oversættelsen ender i en matematisk model. Det kunne være en model som: (antal mennesker i Danmark dem der ikke børster tænder) * ml tandpasta pr. tandbørstning. Når variable og præmisserne således er på plads, kan der laves en matematisk analyse fx kan der regnes på modellen måske med forskellige overvejelser om hvilke enheder, der skal regnes i, og hvordan resultatet skal fremstå og præsenteres. Det kan være tandpasta i tuber, km (hvis man måler længden af en tandpastastribe), liter, kubikmeter osv. De tal, man anvender i modellen, kan enten være estimater ud fra en række fornuftige antagelser eller mere minutiøse undersøgelser, hvor man forsøger at finde eller måle sig til de rigtig tal. 3) Når de relevante tal er valgt, skal resultatet tolkes ind i virkeligheden. Kan det passe? Er der kommet et rimeligt svar på problemstillingen? I en vis sammenhæng er her tale om en form for konklusion på baggrund af analysen under punkt 2. ) Afslutningsvis forholder man sig kritisk til den model man har brugt. Kunne den nuanceres og forbedres? Er de valg der gjort fornuftige og relevante nok.? Det kan i sidste ende give anledning til en justering af modellen og en ny runde. Ræsonnement og tankegang Ræsonnement og tankegang vedrører matematisk argumentation og karakteristika ved matematisk tankegang. Fase Fase 2 Eleven kan anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde Eleven kan anvende ræsonnementer til at udvikle og efterprøve hypoteser Eleven har viden om enkle ræsonnementer knyttet til undersøgende arbejde, herunder undersøgende arbejde med digitale værktøjer Eleven har viden om enkle ræsonnementer knyttet til udvikling og efterprøvning af hypoteser Opfyldelse af kompetencemål I Eftertanken er indlagt udsagn formodninger hypoteser - som eleverne skal vurdere rigtigheden af. I det hele taget 2 DE MATEMATISKE KOMPETENCER

indgår der løbende gennem et kapitel opgaver, hvor eleverne stilles over for spørgsmålet hvorfor som afkræver et argument eller en forklaring. Det kan for mange elever være vanskeligt at redegøre for egne tanker og være klare i deres argumenter, så der forventes ikke fyldestgørende svar, men snarere eksempler og som om situationer som kan illustrere en besvarelse. Det er også muligt at inddrage skitser og tegninger til at vise sine tanker. I evnen til at ræsonnere indgår der sproglige vendinger som fordi eller hvis så. I tankegangskompetencen indgår der evnen til selv at formulere spørgsmål, som kan besvares med brug af matematik. Opgaver, hvor eleven skal formulere en opgave eller historie, som kan danne begrund for et matematisk spørgsmål, indgår jævnligt. Repræsentation og symbolbehandling Repræsentation og symbolbehandling vedrører anvendelse og forståelse af repræsentationer i matematik, herunder matematisk symbolsprog. Fase Fase 2 Eleven kan oversætte regneudtryk til hverdagssprog Eleven kan oversætte mellem hverdagssprog og udtryk med matematiske symboler Eleven har viden om hverdagssproglige betydninger af regneudtryk Eleven har viden om hverdagssproglige betydninger af udtryk med matematiske symboler Opfyldelse af kompetencemål Anvendelse af matematiske symboler er en del af den viden, vi bibringer eleverne gennem Viden om. De matematiske symboler er dog begrænset til det nødvendige for at illustrere de matematiske begreber. Vi vil på mellemtrinnet undlade at lære symboler for symbolernes egen skyld. Repræsentationer er en central forståelsesfaktor udover en kompetence, så den lægges der stor vægt på i hele Kontext+ systemet. Vi forsøger derfor en spændvidde i brugen af beregningsmetoder, i brug af matematiske modeller, i brug af værktøjer, i brug af kontekstuelle iklædninger, i anvendelse af konkrete materialer osv. Vi tænker bl.a. i repræsentative hovedgrupper som følgende Matematiske holdbare udsagn herunder symbolsk notation Sproglige hverdagsudtryk såvel mundtligt som skriftligt Visuelle udtryk herunder såvel tegning som film Modeller for sammenhænge Konkrete matrialeorienterede udtryk Kommunikation Kommunikation vedrører det at udtrykke sig med og om matematik og at sætte sig ind i og fortolke andres udtryk med og om matematik. Fase Fase 2 Fase 3 Eleven kan læse og skrive enkle tekster med og om matematik Eleven kan skriftligt og mundtligt kommunikere varieret med og om matematik Eleven kan anvende fagord og begreber mundtligt og skriftligt Eleven har viden om formål og struktur i tekster med og om matematik Eleven har viden om skriftlige og mundtlige kommunikationsformer med og om matematik, herunder med anvendelse af digitale medier Eleven har viden om fagord og begreber Opfyldelse af kompetencemål Netop kommunikation via tekst er en væsentlig del af Kontext+. Vi tænker, at tal og tekst er uhjælpeligt forbundet, og at man gør eleverne en bjørnetjeneste ved at undlade at lære dem at forbinde disse udtryksformer i en sammenhæng ved at kunne læse, skrive og forstå via tekst samt kunne omsætte fra tekst til symboler og tilbage igen. Vi sætter fokus på formidlingsdelen i Eftertanken. Her skal eleverne via opgaver som Vis det og Forklar det kommunikere deres viden til klassekammeraterne ikke mindst ved brug af et varieret brug af digitale værktøjer. Hjælpemiddel Hjælpemidler vedrører kendskab til, anvendelse og valg af relevante hjælpemidler i matematik. Fase Fase 2 Eleven kan anvende hjælpemidler med faglig præcision Eleven kan vælge hjælpemidler efter formål Eleven har viden om forskellige hjælpemidlers anvendelighed i matematiske situationer Eleven har viden om forskellige konkrete materialer og digitale værktøjer Opfyldelse af kompetencemål Hjælpemiddelkompetencen består i Kontext+ af brug af et varieret brug af konkrete materialer og måleapparater. En væsentlig del er selv følgelig inddragelse af digitale hjælpemidler som en tankeforlængelse på den matematiske virksomhed som udføres. Se mere under Digitale værktøjer. DE MATEMATISKE KOMPETENCER 3

Digitale værktøjer Som udgangspunkt betragter vi it som et hjælpemiddel og ikke et mål i sig selv. En sådan måldimension hører mere til en teknologidiskussion end en matematikdiskussion. Det er således ikke programmerne i sig selv, som er interessante, men hvordan de kan bidrage til øget læring i matematik. Vi arbejder primært med brugen af det dynamiske geometriprogram GeoGebra, regneark som Excel og et indledende kendskab til CAS programmer. Gennem kernebogen er der således henvisninger til hjælpefiler markeret ud for de opgaver, som hjælpefilerne relaterer sig til. På nuværende tidspunkt er der ca. 80 filer, som kan ændre sig over tid. Hjælpefiler Der vil løbende gennem Kernebogen være henvisning til hjælpefiler markeret ud for de opgaver, som hjælpefilerne relaterer sig til. GeoGebrafiler angives med Regnearksfiler angives med Eleverne kan downloade de relevante filer fra www.kontextplus.dk ved at bruge deres uni-login. Når filen åbnes, ser eleverne en opgavebeskrivelse og eventuelle hints til hjælp. Til mange af opgaverne vil der være en respons, så eleverne trygt kan gå videre uden først at rådføre sig med andre elever eller læreren. Da hjælpefilen altid indeholder en beskrivelse af opgaven, behøver eleverne ikke at have Kernebogen ved siden af sig opgaven står på skærmen. Filerne vil i de indledende opgaver indeholde et tip om, hvilket redskab eleverne kan bruge til at løse opgaven. Andre filer er mere komplekse. De kan fx indeholde starten på en geometrisk konstruktion, som eleverne skal undersøge nærmere. Filerne kan deles op i tre typer (med glidende overgange) med følgende formål: Demo-filer Som navnet antyder, er der tale om filer, som kan anvendes på klassebasis fx præsenteret på en interaktiv tavle. Det kan f.eks. være tale om en fil, der viser, hvordan man bruger forskellige slags vinkelmålere. Øve-filer Filer der træner færdigheder som variation. De kan overflødiggøre træningsopgaver på papir og har samtidig den fordel, at eleverne får en respons uden en lærers medvirken. Værksteds filer Filer til eksperimenter og som avanceret værktøj. Eleverne undersøger vinkelsummen i en trekant eller firkant eller konstruerer en figur præcist og enkelt ud fra en skitse og angivne mål. Dynamisk geometri I Kontext+ fokuserer vi på at anvende GeoGebra som dynamisk geometri-program. Det er der flere grunde til. Programmet er gratis. Det kan anvendes på flere platforme (pc, tablets, Linux, Mac og er på vej til telefoner). GeoGebra favner bredt, også langt ud over geometri, og samtidig er det forholdsvis nemt at gå til. Det tillader både at arbejde med geometri, regneark, CAS og simulering. Det giver mulighed for at opfylde en lang række af de mål, som står i nye Fælles Mål. Ligesom anvendelsen af lommeregner har ændret matematikundervisningen ved at mindske behovet for træning i talbehandling og anvendelse af tabeller, ændrer anvendelsen af GeoGebra matematikundervisningen. En stor del af det traditionelle arbejde med at konstruere f.eks. polygoner med bestemte egenskaber vil naturligt foregå på computeren frem for på papir. Samtidig bliver der mulighed for at udvide elevernes arbejde med geometrisk konstruktion, analyse og opbygning mønstre, undersøgelser med henblik på forståelse af geometriske regler og ræsonnementer. Der fokuseres på følgende læringsfaciliteter i GeoGebra Øger muligheden for visualisering af de matematiske begreber. Letter tegnearbejdet og fremmer muligheden for at arbejde undersøgende og eksperimenterende. Øger muligheden for at præsentere flere og sværere matematiske problemstillinger. Kan fremme erfaring og forståelse af geometriske formler og sammenhænge. Øger motivationen hos eleverne. I Kontext+ arbejdes der med GeoGebra på en systematisk måde. GeoGebras mange funktioner inddrages gradvist helt fra. trin. For overskuelighedens skyld vises på de første trin kun de værktøjer, som eleverne skal bruge. På mellemtrinnet DIGITALE VÆRKTØJER

vises alle værktøjer og vi fortsætter med at inddrage nye værktøjer, så eleverne på de ældste klassetrin vil kende GeoGebra som et naturligt værktøj til løsning af et bredt spektrum af matematiske problemstillinger. Funktion. kl. 5.kl. Benytte flyt (pile)-værktøj x x Benytte knapper x x Polygonværktøjet x x Farve polygoner x x Linjestykkeværktøjet x x Vinkelrette linjer x x Parallelle linjer x x Linjestykker med given længde x x Spejlingsværktøjet Benytte skydere x x Vise længde af linjestykker x x Finde midtpunkt af linjestykke Vise akser og gitter x x Regulære polygoner Tegne kvadrater og rektangler x x Koordinatsystemet x x Vise areal af polygoner Tekstværktøjet x x Isometrisk tegning Måle vinkler Afsætte vinkler med given størrelse Tegne polygoner med givne mål Regneark i GeoGebra Regneark som digitalt værktøj Regneark er oprindeligt udviklet som et bogholderiprogram, men har i dag så mange muligheder, at det er blevet attraktivt at anvende i matematikundervisningen. Udover at det er attraktivt, er det også efter nye Fælles Mål blevet obligatorisk fra 3. kl. x x x x x x x x Et regneark kan bruges i mange situationer i matematikundervisningen: Statistik Budget/regnskab Simulering Fremskrivninger Sortering Et regneark indeholder et stort antal faciliteter, hvoraf mange er særdeles avancerede og rækker langt udover, hvad eleverne i folkeskolen skal kunne benytte. Derfor er der i Kontext+ foretaget et udvalg af faciliteter, som bliver inddraget på en systematisk måde. Der begyndes med de mest simple og i løbet af mellemtrinnet bygges disse gradvist op. Funktion. kl. 5.kl. Grundlæggende kendskab til regneark, herunder navngivning og formatering af celler Ændre cellefarve x x Tegne søjlediagram/pindediagram x x Formler: autosum x x Benytte andre formler x x Kopiere formler (udfyld) x x Tegne kurvediagram (xy-diagram) Der findes et stort udvalg af regneark og de fleste indeholder de samme grundlæggende faciliteter fx.: Excel (er en del af Office-pakken). Programmet er ikke gratis og skal installeres på computeren. Calc (er en del af Open Office-pakken og Libre Office). Programmet er gratis og skal installeres på computeren. Calc kan åbne Excel-filer og gemme i Excel format. Regnearket i Google Dokumenter. Programmet er gratis og skal ikke installeres på computeren. Dokumenterne ligger online, så eleverne kan arbejde videre med dem derhjemme. x x x DIGITALE VÆRKTØJER 5

It som medie Der indgår løbende gennem hele Kontext+ 5 brug af it som medie. Det falder i to grupper. Oplæg til elevproducerede tekster med brug af videokameraer, Ipad, mobiltelefoner eller lignende Forlagsproducerede film med forskellige typer af information De elevproducerede tekster I forbindelse med Aktivitetssider i hvert kapitel kan der være oplæg til, at eleverne anvender diverse programmer til præsentation af resultater og problemstillinger. Heri kan indgå brugen af power point, grafiske programmer, tegneprogrammer m.m. Da udviklingen på dette område er rivende stærk, og der hele tiden dukker nye programmer op, som kan andet og mere, overlader vi til skolen selv at vælge det mest hensigtsmæssige. Der vil særligt i Eftertanken være oplæg til, at eleverne anvender digitale værktøjer til kommunikation fx via deres Ipad, mobiltelefon, kameraer eller andre medier. Se nærmere under de enkelte kapitler. De forlagsproducerede film Ved hvert af de otte kapitler i Kernebogen indgår der et Viden om afsnit. I dette kan der indgå -3 små klip i en film af 2-3 minutters varighed, hvor de forskellige matematiske begreber forklares og uddybes gennem eksempler. Her vil eleverne hjemme eller i lektiecafeer få visuelle forklaringer på den matematik, der indgår i det kapitel, der arbejdes med. Der er en række instruktionsfilm, som beskriver udvalgte funktioner i regneark og GeoGebra, der ikke intuitivt er enkle nok at gennemskue. De vil fremstå som screencast, hvor eleverne kan følge hvoran man gør. Der er planlagt små videofilm, som anskueliggør kapitlets faglige pointer gennem situationer fra virkeligheden. De vil kunne bruges, som intro til de enkelte scenarier. Dens primære mål er at supplere klassesamtalen. Altså en motiverende videofilm, som understreger, at matematikken også handler om den virkelige verden uden for skolen. Der er ekstra fotos, som kan anvendes fx ved den indledende klassesamtale ved hvert af de faglige kapitler til brug på klassens IWB. 6 IT SOM MEDIE

Regn med store tal side til side-vejledning tal og tælling 7

Om regn med store tal Kernebogen side -2 Fælles Mål Regnestrategier Fase Regneprocesser Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi Eleven har viden om beregninger med de fire regningsarter inden for de naturlige tal, herunder anvendelse af regneark Der er i femte klasse fortsat brug for fordybelse i multiplikations- og divisionsprocesser. At tage stilling til, hvornår en beregning er en multiplikationsproces, og hvornår det er en divisionsproces, kan være vanskeligt. Det er derfor vigtigt, at man i klassen får mange erfaringer med mange forskellige iklædninger af disse regneprocesser. Det er også centralt, at man fortsætter forståelsen af, at multiplikation og division er hinandens modsatte regningsarter. Det drejer sig både om ligheder og forskelle i de to beregninger. Faktorernes orden er ligegyldig i en multiplikationsproces: 7 2 = 2 7 den kommutative lov gælder. Dette er ikke tilfældet i en division. Regnestykket 25 : 5 er noget andet end 5 : 25. Ganske banale konstateringer vil de fleste sige, men det synes ikke så åbenlyst for eleverne. Ifølge den norske KIM undersøgelse (Kvalitet i Matematik- undervisningen ved Gerd Brekke m.fl.) svarer omkring 25 % af eleverne i syvende klasse, at 25 : 5 og 5 : 25 beskriver den samme division. Vi udvider beregningernes sværhedsgrad ved at lade eleverne arbejde med divisionsprocesser, hvor divisoren er tocifret. Det kræver valg af, om beregningen skal foregå som en algoritme på papir, som hovedregning eller lommeregnerregning. Alene valget, hvornår det ene er at foretrække frem for det andet, er en væsentlig matematisk hjælpemiddelkompetence. Regnealgoritmer I debatten om udvikling af elevernes regnekunst er der ofte fokus på deres evne til at gennemføre en regnealgoritme på papir, og spørgsmålet er tit, hvor langt man som lærer skal gå. Spørgsmålene er bl.a.: Hvor svære stykker eleverne skal kunne løse? Hvor solide og hurtige elever skal være? Og hvor ofte de skal øve sig i det til fordel for fx hovedregning og lommeregnerregning? Der er ikke entydige svar på dette, men vi er af den opfattelse, at papirregning langsomt men forudsigeligt forsvinder for at ende som det personlige notat, der kunne minde om den personlige indkøbsliste, når man handler ind. Der bør således være vide rammer til accept af orden og systemer i elevernes valg af algoritme, dog betinget af en professionel lærers vurdering af elevernes mulighed for at forbedre deres vaner. Vi tror ikke på, at man for enhver pris skal acceptere alt, hvad eleverne finder på. Som i så mange andre sammenhænge kan positiv vurdering og kritik samt vejledning være befordrende. I nogle tilfælde vil det således være behjælpeligt at introducere traditionelle algoritmer. Man bør på dette klassetrin og kommende klassetrin sikre sig, at alle elever har tilegnet sig en overskuelig og operationel algoritme i alle fire regningsarter. I den sammenhæng er det interessant, at færdighedsdelen i de seneste afgangsprøver i matematik mere og mere er enkle beregninger, som kan løses ved enkel hoved og notatregning fremfor omfangsrige og komplicerede regnestykker, som skal udregnes gennem fx standardalgoritmer. Det kan fx være opgaver som 5608 : 8 eller * 23. Eleverne skal være bevidste om, hvilke kontekstuelle iklædninger de forskellige regningsarter har. Være opmærksomme på de ord som signaler brugen af regningsart fx at forskel involverer subtraktion, at fem gange større er en multiplikation osv. 8 OM REGN MED STORE TAL

Der vil indgå opgaver, hvor eleverne oplever multiplikation og addition, som er meget almindelig i handelssituationer. Store tal Vi udvider i dette kapitel elevernes kendskab til de naturlige tal ved at arbejde med store tal. Da vi ved, hvor vigtig forståelsen af positionssystemet er, er her samtidig en mulighed for at repetere denne del. At store tal kan skrives i positioner inden for titalssystemet, kan stadig være vanskeligt for nogle elever og bør derfor indgå i samtalerne. Her kan indgå opløsninger af tal i positioner som fx 96 355 = 900 000 + 0 000 + 6000 + 300 + 50 + 5. Der arbejdes på dette trin med millioner og milliarder, som skal sammenlignes og placeres i størrelsesforhold til hinanden. Der kan være elever, som kan have svært ved at styre store tal, når der kommer mange cifre med. Rent auditivt skal de ind i sammenhænge, hvor der kan skabes mentale billeder af svære lydbilleder som fx 3 753 2 tre millioner syv hundrede og treoghalvtreds tusind to hundrede og fjorten. Specielt er der erfaringer for, at tal over fire cifre er vanskelige at fastholde og at gengive. Især når der indgår 0 fx er 20 20 et tal mange elever skal tænke en ekstra gang over, før de gengiver det på skrift. Da store tal ofte er uhåndterlige, vil man i mange sammenhænge foretage en afrunding, fx lade 35 627 afrunde til 36 000. Eleverne vil opdage, at forskellige tal pludselig fremstår ens ved afrunding, og at der kan være problematiske afrundinger, hvor tallet forsvinder. Skal man afrunde 235 6 og 5 52 til nærmeste hundredetusinde, vil der blive tale om tallene 200 000 og 0 hvilket er korrekt matematisk men didaktisk problematisk, idet det opleves, som om det sidste resultat ikke eksisterer. Om lommeregneren Lommeregneren udvider mulighederne for at håndtere avancerede talmæssige problemstillinger i virkeligheden. Lommeregneren som selvstændig fysisk enhed er ved at skifte karakter så den i højere grad er integrereret i mobiltelefoner, eller på Ipad eller Vi bruger fællesbetegnelsen lommeregner for alle disse former. Man kan i nogle tilfælde møde det argument, at lommeregneren fratager elevernes evne til at regne. Vi mener, at den tværtimod understøtter arbejdet i matematik, hvis det vel at mærke foregår som et strategisk valg knyttet til fx kompleksiteten af det regnestykke, som skal udregnes. Lommeregneren skal bruges som en tænkeforlænger og ikke en tankeerstatter. Den har sat færdigheder i at regne med de tidligere standardalgoritmer ganske meget under pres. Der er derfor i dag regnestykker, som man ikke forventer, eleverne kan udføre gennem papirregning som tidligere fx 238,79 : 23 eller lignende sager. Det betyder dog ikke, at eleverne ikke skal kunne foretage enkle beregninger i hovedet og på papir. Opgaver som fx 5 : 5 eller 7 26 bør ikke kræve en lommeregner. Det er heller ikke rimeligt, at elever anvender lommeregneren til et regnestykke som fx 0 55. Lommeregneren kan også virke som et metodisk hjælpemiddel til at gå på opdagelse i forståelsen af tallene og regningsarterne. Hvis man fx trykker ind på lommeregneren og derefter trykker på + og =, =, =..., fremkommer fire- tabellen på mange lommeregnere. Hvis man trykker på gangetegnet og derefter =, får man fordoblinger. Det skal dog bemærkes, at der kan være varianter af dette alt efter hvilket lommeregnermærke, man er i besiddelse af. Tag stilling til, om det er nødvendigt at afsætte tid til, at eleverne undersøger deres lommeregner nærmere, hvis dette ikke er gjort tidligere. Hvad betyder fx MC og MR? Hvorfor står der ^? osv. Der kan være elever, som har anskaffet sig avancerede lommeregnere, der kræver nærmere forklaring. OM REGN MED STORE TAL 9

Kompetence-fokus Kernebogen side -2 35 3 a. Hvor lang tid tager det at tælle til 00? I en kasse er der 252 appelsiner, som skal fordeles Brug stopur. i mindre poser. Der skal være lige mange appelsiner Prag Amsterdam Rom b. Hvor lang tid tager det at tælle til 000? Berlin Madrid i hver pose. London Paris Silje c. Hvor vil lave lang sit tid eget tager diagram det at tælle til million? med de syv populære hovedstæder. a. Hvor mange forskellige muligheder er der? b. Hvilke af mulighederne er realistiske? 36 Opgave a. 38 05 b. 27 20 Populære hovedstæder c. 9 225 a. Beregn indbyggertallene for de syv hovedstæder, Alfreds bil kører 3 km på hvis 37 mm = 00 000 indbyggere. en liter benzin. b. Afrund Fremstil nærmeste et diagram 000. på papir, som viser indbyggertallene. Hvad koster det Alfred Som det kan læses i de indledende side c. a. Tegn 36 32 xx en xx passende b. om de matematiske tallinje 255 7 og vis c. med 75 kompetencer pile, hvor indbyggertallene at køre vil de seks kompetencer til indgå på tværs af a. 26 km? de syv hovedstæder ligger. arbejdet med kapitlet. De vil således gennem 38 de forskellige typer af opgaver og aktiviteter b. 52 uvilkårligt km? udsættes for matematisk d. Fremstil et diagram i et regneark, som viser indbyggertallene for de virksomhed, som berører mange sider Skriv Opgave af de to seks gangestykker, 8 kompetencer. som giver Det ca. 2000. er på den ene side c. naturligt 0 km? og rigtigt at man ikke bare kan syv hovedstæder. tale om at en opgave udelukkende orienterer a. Hvor mange sig mod indbyggere en kompetence, bor der i København? men det kan på den anden side i en læringssituation camouflere de arbejdsprocesser, som indgår b. Hvor i de mange enkelte vil der kompetencer. bo i København, hvis der bor 000 flere? 39 5 Opgave Hvad 2 På denne side kan man se eskempler a. på c. Tegn de Hvor koster dele mange mest? en tallinje af kapitlet, vil der bo, 0 - million. som hvis Indsæt peger der bor mod 00 interval de 000 på forskellige flere? Hvilke tal skal der stå 50 000 for kompetencer. a. 8 toast til 5 kr. eller 6 toast til 8 kr.? i stedet hver for d. Hvor mange vil der bo, hvis der bor 0 gange flere? b. centimeter. 5 is til 9 kr. eller 7 is til kr.? spørgsmålstegnene? b. Indsæt på tallinjen de fem hovedstæder fra skemaet i opgave 3 med Silje ønsker at gøre oplysningerne mere overskuelige, så indbyggertallet er nemmere at aflæse. Hun afrunder derfor indbyggertallet til 0færrest indbyggere. Kompetence Eksempel Sandt eller falsk? 6 a. hele 5 millioner 6 + 3 = 3 + fx 5 hvis 6 der b. i 3 en + 7 hovedstad 8 = 80 bor 36 22 mennesker, Dette år vil det på dagen efter min fødselsdag være Problembehandling kan det afrundes til ca. 000 000. Udfordringen c. 36 7 5 = d. + 9 6 = + 9 6 korrekt at sige dagen efter i morgen er en onsdag. Fx Udfordringen samt grublerne i Breddeopgaverne Indbyggertal afrundet Silje e. 36 har : 9 svært 3 = 6ved at forestille f. 7 3 sig, - 20 hvor = 85 mange - 50 mennesker Hvilken der egentlig dag har jeg fødselsdag? bor Hovedstad i København. Hun forestiller Indbyggertal sig derfor, at alle byens til millioner indbyggere 7 stiller sig op i en række. Silje afsætter m pr. person. Hvilke af disse tre tal har det største ciffer på 7007 er et tal, der er det samme, når du læser det 0-tusindernes plads? forfra og bagfra. a. Hvor lang vil rækken af mennesker blive i meter? I kilometer? a. 3 097 5 768 8 092 Hvilke af de følgende tal er ikke det? b. Kig på et Europakort. Hvor i Europa kan rækken af mennesker ende, b. 90 22 708 385 673 09 a. 3993 b. 22 c. 22 c. hvis 8 687 den 2 starter 390 i København? 7 Beskriv 2 033 55 tre forskellige forslag. d. 8888 e. 9 f. 3232 c. Hvor lang vil rækken blive, hvis der stod 3 mennesker for hver meter? Opgave 5 mennesker 9 2 for hver meter? 8 a. Afrund indbyggertallene fra de fem største og fem mindste hovedstæder til hele millioner. Se skemaet i opgave 2. Hvor stor er den højeste værdi af summen af Asger har 9 hundrede-kroner, 9 ti-kroner og cifrene i et tre-cifret tal? 0 en-kroner. Hvor mange penge har Asger i alt? b. Kig på Reykjavik, Islands hovedstad. Forklar, hvorfor afrundingen af regn med store tal indbyggertallet bliver speciel. Modellering 20 regn med store tal Fx Aktivitetsopgave Vandforbrug Silje beslutter at gøre tallene mere præcise. Hun afrunder derfor alle indbyggertallene til 00-tusinder i stedet for millioner. AKTIVITETER Materialer: Ur, måleglas, litermål m.m. Vandforbrug 9 Hovedstad Indbyggertal Indbyggertal i 00-tusinder Ræsonnement og tankegang Fx opgaver som kræver argumentation og begrundelse. 8 Eftertanken regn med store tal Opgave 0 a. Afrund indbyggertallene i de samme hovedstæder til 00-tusinder. Se hjælpearket fra opgave 2. b. Hvilken afrunding vil du vælge, hvis du skal fortælle en ven hvor mange indbyggere, der er i de fem største hovedstæder? Begrund dit svar. EFTERTANKEN a. Hvor meget vand bruger man, når man skyller ud i toilettet? Undersøg det. b. meget vand bruger den danske befolkning hver dag på toiletbesøg? På en uge? På et år? Hvorfor det? c. Hvor meget vand bruger man på at børste tænder på en dag? På et år? a. Hvorfor kan et gangestykke skrives som et plusstykke? Vis et eksempel. b. Lommeregneren Hvorfor kan et divisionsstykke regn jer tæt skrives på 000 som et minusstykke? Materialer: Vis et eksempel. Lommeregner. c. Hvorfor er det rigtigt, at 3 89 796 kan afrundes til 3 000 000? I skal benytte alle cifrene fra 0 til 9. Hvert ciffer må kun benyttes én gang. I må bruge alle fire regnetaster. Giv en historie 20 KOMPETENCE-FOKUS REGN MED STORE TAL a. Hvor tæt kan I komme på 000? b. Hvor få tast behøver I? Skriv en historie, hvor mindst 3 regningsarter indgår. regn med store tal