Optimering af energisystemer Et indledende forsøg på dimensionering af energisystemer ved hjælp af optimeringsmetoder(space mapping metoden)

Transkript

1 Downloaded from orbit.dtu.d on: Sep 16, 2017 Optimering af energisystemer Et indledende forsøg på dimensionering af energisystemer ved hjælp af optimeringsmetoder(space mapping metoden) Pedersen, Fran Ørbech; Heller, Alfred Publication date: 2001 Document Version Også aldet Forlagets PDF Lin bac to DTU Orbit Citation (APA): Pedersen, F., & Heller, A. (2001). Optimering af energisystemer: Et indledende forsøg på dimensionering af energisystemer ved hjælp af optimeringsmetoder(space mapping metoden). (BYG Rapport; Nr. R-015). General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. You may not further distribute the material or use it for any profit-maing activity or commercial gain You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the wor immediately and investigate your claim.

2 Fran Pedersen Alfred Heller Optimering af Energisystemer Et indledende forsøg på dimensionering af energisystemer ved hjælp af optimeringsmetoder DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Rapport BYG DTU R ISSN ISBN

3 Optimering af Energisystemer Et indledende forsøg på dimensionering af energisystemer ved hjælp af optimeringsmetoder Fran Pedersen Alfred Heller Department of Civil Engineering DTU-bygning Kgs. Lyngby

4 1 Forord Nærværende rapport gengiver de ativiteter der er igangsat vedrørende anvendelse af optimering til dimensionering af energisystemer, herunder solvarmeanlæg, fjernvarmesystemer og meget mere. Den her afrapporterede del er finansieret gennem basisbevilling, år 2001, til Solenergicentret fra Energistyrelsen. Ta til Energistyrelsen for denne håndsræning. Formålet med rapporten er bl.a. at få igangsat disussionen om anvendelse af numeris optimering i ingeniørfagene. Dette er nødvendig da ie-optimale systemer forårsager ressourcespild som vores øosystemer ie an bære. Herudover er gennemgangen nedsrivning af de første resultater i bestræbelsen af at udvile algoritmer/procedurer til optimering der udnytter de forhold der er gældende for energisystemer og som an medføre meget hurtigere metoder. Rapporten er srevet til energiteniere og ie matematiere, hvorved sproget er holdt relativ simpelt. Alligevel ræves matematis notation for at forlare tingene hvilet nogle læsere vil studse over. 1

5 Indholdsfortegnelse 1 FORORD...1 INDHOLDSFORTEGNELSE INDLEDNING BAGGRUND PROBLEMSTILLING MODELLEN DER SKAL OPTIMERES PRISMODELLER ILLUSTRATION AF PROBLEMSTILLINGEN INDFØRELSE AF MATEMATISK NOTATION NELDER-MEAD SIMPLEX METODEN RESULTATER OPNÅET MED NELDER-MEAD SIMPLEX METODEN SPACE MAPPING METODEN RESULTATER OPNÅET MED SPACE MAPPING METODEN STRUKTUR AF MATLAB KODEN KONKLUSION LITTERATURLISTE

6 2 Indledning Mangeårig erfaring fra samarbejde med forsere, rådgivende ingeniører og industrien, har vist at optimeringen ofte er brugt ubevist og at metoderne er ret simple. Typis beregner man hele problemdomænen i faste intervaller og problemet begrænses typis til 1-2 dimensioner, da man ellers taber overbliet. Resultaterne plottes som grafer og man vælger de parametre, der giver den laveste værdi, som de optimale parametre. Fremgangsmåden er meget simpel, og gør det enelt at selne mellem loale og globale optima. På trods af disse fordele anbefales det dog at anvende numerise metoder der an lare mere omplese problemer med flere optimerbare parametre end den nævnte ad-hoc metode. Den foreliggende rapport er et første forsøg fra forfatternes side til at tilvejebringe metoder og værtøjer der letter overgangen til en automatiseret optimering og dermed øger anvendelsen af numeris optimering i ingeniørernes arbejde. Det postuleres at være nødvendigt, da vi ellers får for mange ie-optimale og måse endda dårlige løsninger og dermed spild af ressourcer som vores øosystem ie an lare. Ved dimensionering af energianlæg vil øonomise fatorer tit være afgørende for realiseringen af projetet. Det er altså ofte tenise størrelse, omregnet til øonomise værdier der anvendes til at optimere tenise systemer. F.es. vil man omregne et solvarmeanlægs ydelse til r. pr. energienhed, der sammenholdes med investeringen og den tid der går inden investeringen er indtjent i form af besparelser. Derfor er det typis disse øonomise tal der anvendes som riterier for en optimering. Optimeringen selv går ud på at finde et sæt parameter (f.es. dimensioner af omponenter) der medfører den optimale værdi af et givent valitetsmål for løsningen, objetfuntionen. Der findes utallige optimeringsmetoder. Denne rapport omhandler optimering af energisystemer vha. Nelder-Mead simplex metoden, samt space-mapping metoden. Nelder-Mead metoden er meget simpel, og har langsom onvergens, dvs. der sal foretages mange modelsimuleringer inden en tilfredsstillende løsning er fundet. Til gengæld er den meget robust. Space mapping metoden er specielt udvilet til optimering af beregningstunge modeller, og er tidligere anvendt til løsning af optimeringsproblemer indenfor mirobølgeteni og reservoirgeologi, se [4,5,6,7]. Metoden vurderes egnet til løsning af optimeringsproblemer vedrørende energisystemer. Denne metode er stadig under udviling, men det forventes muligt at finde en mere robust udgave, der an optimere de betragtede modeller med betydeligt færre modelsimuleringer end tilfældet er for Nelder-Mead metoden. 3 Baggrund Energisystemer optimeres typis med hensyn til ydelse for fastholdt investering, pris- /ydelsesforhold eller energi prisen. Dette udføres i design og opbygningsfasen. Tiden er her ie en ritis fator men udfordringen ligger i den ofte uoversuelige frihedsgrad, dvs. de mange valgmuligheder. Alternativt an formålet med optimeringen være at styre driften af et varmeanlæg for at minimere driftsomostningerne. Dette ræver svar meget hurtig, ofte real time det vil sige at svaret indgår i styringen der sal udføres med det samme og dermed påvirer 3

7 systemet løbende. Derfor ræves at optimeringen gennemføres hurtigt, hvilet udeluer en hel ræe metoder. Optimeringen har til formål at finde frem til et sæt parametre, der fastlægger systemets design på en sådan måde at et givet valitetsmål for systemet minimeres/masimeres. Det ligger i sagens natur at man un ønser at justere de parametre, der påvirer det valgte valitetsmål. Mange i prasis foreommende systemer er ofte ret omplicerede og dynamise, hvorfor man har brugt mange ressourcer på at udvile computermodeller, der an benyttes til simulering af deres viremåde. Kvalitetsmålet for et givet sæt parametre an f.es. fremomme ved at man simulerer systemets viremåde over et eller flere år, hvorefter en størrelse, der besriver systemets samlede viremåde benyttes som valitetsmål. For et energisystem an dette f.es. være den årlige energiprodution, eller pris-/ydelsesforholdet. Det betragtede system optimeres ved at den valgte optimeringsmetode iterativt estimerer de optimale parametre. Disse overføres til det pågældende simulationsprogram, der foretager en simulering af systemet, hvorefter valitetsmålet for de atuelle parametre bestemmes. På baggrund af denne størrelse foretager optimeringsmetoden et nyt estimat af de optimale parametre. Denne proces gentages indtil en tilfredsstillende løsning er opnået. Såvel modeller til energisystemer som metoder til optimering er mangfoldige. I det følgende anvendes den samme model mens der sammenlignes to grundlæggende forsellige optimeringsmetoder. Den første metode viser den mere traditionelle måde at optimere på, mens den anden metode er under udviling til det foreliggende formål, optimering af beregningsrævende modeller, f.es. modeller der besriver energisystemer. 4 Problemstilling I det følgende betragtes et soleesempel for optimering af store solfangeranlæg. Der ønses bestemt hvor langt solfangerne sal stå fra hinanden og hvilen hældning de sal have, for at minimere systemets pris-/ydelsesforhold. Denne størrelse afhænger af solens indfaldsvinel, der afhænger af solfangernes hældning, syggevirningen mellem solfangerræerne og omostninger for installation og grundarealet. 4.1 Modellen der sal optimeres Den anvendte model er opbygget i TRNSYS, [2], der er et simuleringsprogram der anvendes internationalt til dimensionering af solvarmeanlæg. Der ses udeluende på solfangerfeltet. Indløbstemperaturen er holdt onstant på 30 C hvilet er en tilnærmelse. Der anvendes en såaldt max-flow-metode der er disuteret nærmere i [2] og sammenlignet med andre metoder. Metoden er simpel og reproducerbar, hvorfor den er valgt til foreliggende opgave. Resultaterne fra metoden er ie helt rigtige da væsestrømmen gennem solfangerne er urealistis høj. Værdierne er ideale og ligger 5-10% højere end realistise væsestrømme. Dog vurderes værdierne egnede til sammenligning af forsellige systemer. Et andet forhold der gør værdierne for høje, er at indløbstemperaturen er relativt lav for fjernvarmesystemer, specielt om sommeren. Dette forhold an meget enelt tilpasses ved optimeringerne og tages ie i betragtning i det følgende, da det er optimeringsalgoritmerne der står i fous. Det betragtede anlæg består af 32 ræer med 10 solfangere i hver ræe. Hver solfanger er 2 6 m. Det samlede transparente solfangerareal er dermed 3840 m 2. 4

8 4.2 Prismodeller Grundarealet, dvs. det areal som solfangeren står på, fås som afstanden mellem ræerne gange antal mellemrum mellem ræerne gange længden af hver ræe, dvs. d m = d 620 m, hvor d er afstanden mellem ræerne i meter. Ved at sætte grundens arealpris til 200r/m 2 fås følgende model for grundprisen: r GrundPris = d m Prisurven for HT-solfangere fra ARCON Solvarme A/S er vist i figur 1. Denne an approsimeres med følgende udtry: ( Areal) SolfangerA realpris = ln. Med et areal på 3840 m 2 fås dermed en arealpris på 1604 r/m 2, og den samlede pris for solfangerne er dermed r Priser [r/m 2 ] y = -79,809Ln(x) ,4 R 2 = 0,9709 Solganger pris Log. (Solganger pris) Collector areal [m2] Figur 1. Prisurve for HT solfangere fra ARCON A/S. En logaritmis approsimation er tillige vist. Rørføringspris sættes til 200 r./m, hvilet er en erfaringspris fra RAMBØLL som har dimensioneret de fleste store anlæg i Danmar. Ræerne sal forbindes med hinanden i hver ende, dvs. der sal bruges et antal meter rør svarende til det dobbelte af den totale længde af grunden, hvilet giver 2 31 d. Prismodellen for rørføringen bliver dermed: Den samlede prismodel bliver dermed: r RørPris = d m r SamletPris = d r m 5

9 Pris-/ydelsesforholdet fås dermed som forholdet mellem investeringen og den producerede energi, som omregnes fra MWh til Wh: Pris/Ydels e SamletPris = 1000 Ydelse r Wh hvor ydelsen som nævnt beregnes vha. simuleringsprogrammet TRNSYS. 4.3 Illustration af problemstillingen Den samlede energiprodution afhænger af solens gang på himlen samt solfangerens evne til at udnytte indstrålingen ved forsellige vinler. Forsellige solfangere vil derfor have forsellig optimal hældning. En afvigelse fra den optimale hældning vil medføre lavere prodution, og dermed højere pris-/ydelsesforhold. I figur 2 er vist et plot af den årlige ydelse som funtion af solfangerens hældning samt afstanden mellem ræerne. Vi ser at ydelsen bliver ved med at vose med afstanden mellem solfangerræerne. Figur 2. Plot af ydelsen som funtion af solfangernes hældning samt afstanden mellem ræerne. Vi ser at ydelsen øges med afstanden, og at hældningen medfører en øget prodution fra vandret til værdier mellem 30-40, hvorefter ydelsen aftager igen. For fastholdt hældning vil større afstand mellem ræerne give højere prodution, da solfangerne dermed oversygger hinanden mindre. Ydelsen vil vose mod en mætningsværdi, da den gensidige oversygning går mod 0 for stigende afstand. Antages grundprisen at være proportional med arealet, medfører dette at pris-/ydelsesforholdet aftager for små afstande og voser for store afstande. Dette betyder at pris-/ydelsesforholdet vil have et minimum, der an findes vha. optimeringsmetoder. I figur 3 er vist et plot af pris-/ydelsesforholdet som funtion af de optimerbare parametre. 6

10 Figur 3. Plot af pris-/ydelsesforholdet som funtion af de optimerbare parametre. Funtionen har et optimum beliggende ca. i puntet [30,5m]. Vi ser at funtionen har et minimum, der er beliggende ca. i puntet [30,5m]. Bemær desuden at der er et stort område tæt på optimum, hvor pris-/ydelsesforholdet ie ændres nævneværdigt. Denne egensab gør at de fleste esisterende anlæg ie vil påvires nævneværdigt ved at gå fra næsten optimale parametre til optimale parametre. For optimeringsopgaver med mere udpræget variation af objetfuntionen tæt på optimum, an man forvente en større ændring i objetfuntionen, ved at finde de optimale parametre. 5 Indførelse af matematis notation Optimering er en matematis og numeris disciplin, hvilet nødvendiggør en introdution af den anvendte notation. De parametre, der justeres med henbli på optimering af systemet, aldes de optimerbare parametre, og er i dette tilfælde givet ved: x = [ α,d] T hvor α er hældningen af solfangerne i forhold til vandret, og d er afstanden mellem ræerne. For de optimale parametre benyttes følgende notation: [ α d ] T x =, Objetfuntionen F er i dette tilfælde pris-/ydelsesforholdet, og er en funtion af de optimerbare parametre, F ( x). De optimale parametre er de parametre, der minimerer F, dvs. de er givet ved F ( x ) = min F( x) 7

11 Mængden af vetorer, hvor F antager sin minimumsværdi, benævnes arg min F( x) x arg min F ( x), dvs. Normalt antages optimum at være uni, hvilet betyder at denne mængde un indeholder et enelt element. Derfor benyttes ofte følgende notation: x = arg min F I prasis er objetfuntionen ofte enten en salær funtion, dvs. F : R n R, eller den n m er givet som normen af en vetorfuntion, dvs. F ( x ) = f ( x), hvor f : R R. Her angiver n antal optimerbare parametre, og m antal funtioner der indgår i vetorfuntionen f ( x) = [ f ( x) f ( x) f ( )] T 1, 2, K, m x. Ønses f.es. et solfangeranlæg optimeret med hensyn til ydelsen, ved at benytte diverse designparametre som optimerbare parametre, an dette gøres enten ved at benytte summen af ydelsen i de enelte måneder som objetfuntion (salær objetfuntion), eller ved at benytte en 12-dimensional vetor, bestående af ydelserne i de enelte måneder (vetoriseret objetfuntion). Ved at benytte 1-normen af denne vetorfuntion som objetfuntion, fås den samlede ydelse, idet F ( x) m f i x 1 i= 1 ( x ) = f ( x) = ( ) At minimere normen af en vetorfuntion svarer til at sørge for at alle funtioner, der indgår i vetorfuntionen, er nul. Haves en vetoriseret objetfuntion, an løsningsvetoren x dermed betragtes som løsning til følgende m ulineære ligninger med n ubeendte: f ( x) = 0 Normalt ræves at m > n, således at ovenstående ligningssystem er overbestemt, hvilet gør løsningen mere veldefineret. Er det muligt at vetorisere objetfuntionen, opnås mere information (flere ligninger) om objetfuntionen, hvilet er at foretræe frem for en salær objetfuntion. Dette valg afhænger dog tillige af de tilgængelige metoder til løsning af optimeringsproblemet. Nelder-Mead metoden er udvilet til optimering af salære funtioner, mens space mapping metoden, i sin nuværende form, an benyttes til optimering af vetoriserede objetfuntioner. 6 Nelder-Mead simplex metoden Nelder-Mead simplex metoden er en optimeringsmetode, der er udvilet til optimering af salære funtioner, hvor de afledede ie er endte. Metoden blev besrevet første gang af [1]. Metoden er baseret på begrebet simplex, der også endes fra lineær programmering. En simplex er en geometris figur, frembragt af n+1 punter i et n-dimensionelt vetorrum. I et 2-dimensionelt rum er en simplex en treant, og i et 3-dimensionelt rum er det en pyramide. I hver iteration benyttes en metodi, der har til formål at fjerne det punt i simplex en, hvor objetfuntionen giver den dårligste (højeste) værdi. Metoden benytter følgende trin: 8

12 Projetion. Det dårligste punt projiceres gennem centerpuntet, ned på den modsatte flade. Reflesion. Det dårligste punt bliver spejlet i det projicerede punt. Espansion. Hvis objetfuntionen giver en bedre værdi end den dårligste værdi i det refleterede punt, espanderes søgeretningen med en fator 2. Kontration. Hvis objetfuntionen ie giver en bedre værdi end den dårligste i det refleterede punt, vælges et punt midt mellem det dårligste punt og det projicerede punt. Kontration omring bedste punt. Hvis objetfuntionen ie giver en bedre værdi i ontrationspuntet, beregnes en ny simplex, hvor alle linier, der udgår fra det bedste punt, er halveret. Metoden foretager som det første reflesion, som vist i figur 4, og afgør derefter hvilet af de resterende typer trin, den sal foretage. De øvrige typer trin er vist i figur 5. Figur 4. Illustration af en simplex i R 3. Tallene i parentes angiver objetfuntionens værdi i de forsellige punter. Puntet hvor objetfuntionens antager den dårligste værdi (x 4 ) projiceres ned på den modsatte flade, gennem simplex ens centerpunt (x c ). Dermed fremommer puntet x p. 9

13 (a) Reflesion omring x p. (b) Reflesion og salering. (c) Kontration. (d) Kontration omring det bedste punt. Figur 5. Illustration af de fire typer trin, Nelder-Mead metoden foretager. Metoden initialiseres ved at generere en simplex, hvor alle n retninger udspænder vetorrummet R n. Dette er nødvendigt, da metoden ellers ie an bevæge sig i alle retninger. Dernæst benyttes førnævnte metodi indtil et stopriterium er opfyldt. Dette an f.es. være at objetfuntionen aftager mindre end en given toleranceværdi, eller at de nye punter ligger i en afstand der er mindre end en given toleranceværdi fra de gamle punter. 10

14 7 Resultater opnået med Nelder-Mead simplex metoden Optimeringsproblemet besrevet i afsnit 3 vedrørende solfangeranlæg løses i første omgang vha. den implementering af Nelder-Mead simplex metoden, der indgår i Matlabs optimerings toolbox. I figur 6 er vist et onturplot (gråtone områderne) af pris-/ydelsesforholdet. Desuden er onvergensforløbet (linien) for Nelder-Mead metoden vist. Metoden er startet i puntet [40 6m], hvor objetfuntionen har værdien 3,01 r./wh, og onvergerer mod puntet [30,3 4,81m], hvor objetfuntionen har værdien 2,96 r./wh. I forhold til det valgte startpunt opnås dermed en forbedring på ca. 1,7% af objetfuntionen. Konvergensforløb an desuden illustreres ved at betragte objetfuntionens relative afvigelse i forhold til objetfuntionens værdi i optimum, dvs. følgende størrelse betragtes: F F ( x ) ( x ) x er løsningsvetoren i den te iteration, og hvor ( ) ( ) ( ) hvor F x = F x F x. Denne størrelse er vist i figur 7. Vi ser at fra iteration 22 og frem er den relative afvigelse mindre end 0,1%, hvilet må betragtes som en tilfredsstillende præcision af løsningen. Figur 6. Konturplot af pris-/ydelsesforholdet som funtion af de optimerbare parametre. Konvergensforløbet for Nelder-Mead metoden er tillige vist. Afstanden mellem onturlinierne er 0,02 r./wh. 11

15 Figur 7. Plot af den relative forsel mellem objetfuntionen i optimum og i de enelte iterationer Efter 22 simuleringer af den fine model er der opnået en løsning, hvor den relative afvigelse i objetfuntionens værdi i forhold til optimum er mindre end 0,1%. I prasis løses mange optimeringsopgaver ved at evaluere objetfuntionen i en ræe punter, hvor der varieres på en eller to parametre. De optimale parametre an dernæst findes manuelt ved at betragte et onturplot. Konturplottet i figur 6 er genereret ved at beregne objetfuntionen på et net, dvs. der er benyttet 400 simuleringer i alt, men da funtionen er så glat som den er, ville det muligvis have været tilstræeligt med et net, dvs. 100 simuleringer. Nelder-Mead metoden har i dette tilfælde fundet en tilfredsstillende løsning efter 22 iterationer, dvs. en forbedring med mindst en fator 4 i forhold til den manuelle optimeringsmetode. Desuden må man betragte det som lidt af en ufordring at optimere mere end to parametre manuelt. Hvis den benyttede model er meget ompliceret, vil selv 22 simuleringer tage lang tid. Man må desuden forvente, at jo flere optimerbare parametre der benyttes, jo flere simuleringer sal der foretages inden en tilfredsstillende løsning er fundet. Spørgsmålet er derfor om det er muligt at nedbringe antallet af simuleringer yderligere. I næste afsnit besrives space mapping optimeringsmetoden, der er specielt udvilet med hensyn til optimering af beregningsrævende modeller. 8 Space Mapping Metoden Det tilgængelige simuleringssoftware er endetegnet ved være til tider meget beregningsrævende og derfor vanseligt at anvende til designoptimering og endnu vanseligere at anvende til driftsoptimering. Derfor er der udvilet simple og hurtige modeller til formålet, dog er resultaterne til gengæld mindre pålidelige. Det er lige denne situation der gøre 12

16 anvendelse af space mapping metoden atuel. Her forudsættes tilstedeværelse af to modellasser: Pålidelige, men beregningsrævende modeller (fine modeller). Mindre pålidelige, men meget lidt beregningsrævende modeller (grove modeller). Målet er at optimere problemområdet så resultatet er i overensstemmelse med den fine model, dog med den fordel at man gennemfører størstedelen af beregninger i den grove, hurtige model og dermed sparer simuleringer af den fine model. Den grove model benyttes til at forudsige den fine model, og eventuelle forselle mellem de to modeller nedbringes vha. en "parametermapping", der benytter et relativt lille antal simuleringer af den fine model. Målet med parametermappingen er altså at nedbringe forsellen mellem den fine og grove model, således at den grove model bliver bedre til at forudsige den fine model. Space mapping metoden ræver som sagt at brugeren forsyner den med følgende to modeller: ( f ) m ( f ) n Den fine model: f : S R, hvor S R. Det overordnede mål er at optimere denne model med hensyn til en norm i R m. Objetfuntionen der ønses optimeret er dermed F ( x ) = f ( x). Den fine model er pålidelig, men beregningsrævende. Den an være ie-lineær, og det antages at de afledede ie beregnes. Vetoren x indeholder de optimerbare parametre for den fine model, og ( f ) S er det fine løsningsrum. ( c) m ( c) n Den grove model: c : S R, hvor S R. Denne model antages at være betydeligt mindre beregningsrævende, men også mindre pålidelig. Denne model an ligeledes være ie-lineær, og det antages at de aflede beregnes. Den grove model antages at være så beregningsmæssigt billig, at beregningstiden ie stiger nævneværdigt ved beregning af en differenstilnærmelse til de afledede. Denne model benyttes til at forsøge at forudsige den fine model. Vetoren z indeholder (c) de optimerbare parametre for den grove model, og S er det grove løsningsrum. Mange optimeringsmetoder, der benyttes til optimering af ie-lineære modeller, er så aldte descent metoder, dvs. metoder der un accepterer trin, hvis objetfuntionen aftager. Disse metoder beregner en midlertidig næste iterand i hver iteration. Hvis objetfuntionen i den midlertidig iterand er lavere end i den hidtil bedste løsning, bliver den bedste løsning opdateret med den midlertidige iterand. Space mapping metoden tilhører den mere generelle lasse af surrogat optimerings metoder. Disse metoder beregner den midlertidige iterand ved at optimere et surrogat for den dyre model, dvs. en beregningsmæssigt billig erstatning for den dyre model. Disse metoder an besrives i følgende pseudo-ode: 13

17 hvor Given φ 0 x 0 arg min F f Repeat ~ x x ( ) 0 x φ 0 ( x) arg min φ x S ( f ) ~ F f ~ If F +1 < F x ~ 1 x ~ F F ( ~ x ) End If Update, Until stop x ( x) φ and stop : Den hidtil bedste iterand. f : ( ) f x, dvs. den fine model evalueret i den bedste iterand x~ : Den midlertidige næste iterand. ~ f x. : f ( ~ x ), dvs. den fine model evalueret i den midlertidige iterand x~. φ : Surrogatet. stop : Stopriteriet. Space mapping metoden benytter en sammensat afbildning af den grove model samt ( f ) ( c) parametermappingen p : S S som surrogat. Hensigten med p er at få den grove model til at ligne den fine model så meget som muligt, ved at afbilde parametrene hørende til den fine model over i parameterrrummet hørende til den grove model. Afbildningen er derfor defineret til at være den afbildning, der minimerer forsellen mellem den fine og den grove model: p ( x) = argmin f ( x) c( z) ( c S ) z Evalueringen af p aldes også parameter estrations problemet. Da hver evaluering af p indebærer en evaluering af den fine model f, benyttes i stedet en approsimation p ( x) p( x) i surrogatet. Hensigten er at eliminere brugen af den fine model, når surrogatet sal minimeres. Space mapping metoden benytter dermed følgende surrogat: φ ( x) c( p ( x) ) = Som approsimation til p an f.es. en linearisering benyttes, dvs. 14

18 ( x) = B ( x x ) z p + n n n hvor B R og z R. Surrogatet φ opdateres dermed i hver iteration ved at opdatere B og z. Detaljerne vedrørende opdatering af disse parametre gennemgås ie i nærværende rapport. De foreløbige resultater tyder på at metoden opfører sig uhensigtsmæssigt, når den sal håndtere punter, der befinder sig på randen af det fine løsningsrum. Derfor har vi i nærværende rapport valgt startgæt, der er relativt tæt på løsningen, for at sire at metoden ie finder punter på randen i løbet af onvergensforløbet. 9 Resultater opnået med space mapping metoden Vi betragter det samme optimeringsproblem som i afsnit 3, men ønser denne gang at løse problemet vha. space mapping metoden. Som nævnt ræver denne metode tilstedeværelse af både en fin og en grov model. Som fin model benyttes den nævnte TRNSYS-model, og som grov model benyttes en model baseret på simple, aritmetise udtry, der er genereret således at den grove model tilnærmelsesvis ligner den fine model. I figur 8 er vist et plot af den årlige ydelse, beregnet ved hjælp af den grove model. I figur 9 er vist et plot af pris- /ydelsesforholdet beregnet på basis af den grove model. Figur 8. Plot af ydelsen beregnet ved hjælp af den grove model, som funtion af de optimerbare parametre. 15

19 Figur 9. Plot af pris-/ydelsesforholdet, baseret på den grove model, som funtion af de optimerbare parametre. I figur 10 er vist et onturplot af pris-/ydelsesforholdet, baseret på den fine model, samt onvergensforløbet for space mapping metoden. Metoden er startet i samme punt som Nelder-Mead metoden, dvs. puntet [40 6m], og onvergerer mod puntet [31,3 4,87m], hvor objetfuntionen har værdien 2,96 r./wh, dvs. der opnås tillige en forbedring på 1,7% med space mapping metoden. 16

20 Figur 10. Konturplot af pris-/ydelsesforholdet som funtion af de optimerbare parametre. Konvergensforløbet for space mapping metoden er tillige vist. Afstanden mellem onturlinierne er 0,02 r./wh. Sammenlignes med figur 6, ses at metoden lader til at finde optimum hurtigere. I figur 11 er vist den relative afvigelse i objetfuntionens værdi, i forhold til værdien i optimum. Fra iteration 12 og frem er den relative afvigelse mindre end 0,1%, dvs. space mapping metoden an i dette tilfælde finde en løsning med samme præcision som Nelder-Mead metoden, men med næsten halvt så mange simuleringer af den fine model. Umiddelbart lader space mapping metoden til at være meget velegnet til løsning af det betragtede optimeringsproblem. Det sal dog mindes om at metoden ræver tilstedeværelse af en grov model, hvilet an være tidsrævende at udvile. For energisystemer er det dog ofte tilfældet at man har en hel ræe simple modeller, f.es. statise modeller, som direte an anvendes som grove modeller. Dermed er ravet ie problematis i forhold til de fleste energitenise problemstillinger. Hvis forholdene er anderledes lader det dog til at det er muligt at generere grove modeller ud fra viden om tendenser for den fine model. Haves en sådan viden, an det muligvis lade sig gøre at automatisere genereringen af grove modeller, baseret på simple aritmetise udtry. I dette tilfælde har det vist sig at den anvendte grove model var præcis no til at unne fungere som præditor for den fine model. Eventuelle uoverensstemmelser mellem den fine og den grove model burde blive justeret ved hjælp af den nævnte parameter mappings teni, dvs. del af selve optimeringsproceduret som en bruger ie behøver at tæne over. Figur 11. Plot af den relative forsel mellem objetfuntionen i optimum og i de enelte iterationer. Efter 12 simuleringer af den fine model er der opnået en løsning, hvor den relative afvigelse i objetfuntionens værdi i forhold til optimum er mindre end 0,1%. En anden ulempe ved space mapping tenien er, at den opfører sig uhensigtsmæssigt, når den sal håndtere punter på randen af løsningsrummet. Dette er tilfældet når optimum 17

21 ligger på yderanten af det domæne man undersøger. En sådanne situation findes ved at se på ydelsen som funtion af ræeafstand for solfangerfeltet, hvor den største ydelse fås ved store afstande. I dette tilfælde vil space mapping metoden have problemer med at finde optimum. Hvordan dette problem sal løses, er der ie taget stilling til på nuværende tidspunt. 10 Strutur af matlab oden Selve optimeringsmetoden er implementeret i MATLAB, som er et meget omfattende matematiprogram. I dette afsnit besrives opbygningen af interfacet mellem MATLAB oden og TRNSYS, dvs. hvordan MATLAB ommunierer med simuleringsprogrammet TRNSYS. Koden består af følgende moduler: Setup modul. Her initialiseres diverse parametre, der benyttes af henholdsvis objetfuntionen og optimeringsmetoden. De datastruturer, der indeholder disse parametre benævnes henholdsvis S og S O. Desuden initialiseres de optimerbare parametre x. Optimeringsmodul. Dette modul benytter en optimeringsmetode til at beregne et estimat af x *, ved at evaluere objetfuntionen i en ræe punter. Objetfuntions modul. Den benyttede objetfuntion F er en øonomis model, hvori solvarmeanlæggets ydelse indgår, der beregnes vha. TRNSYS. Hvis de atuelle optimerbare parametre har medført onvergensproblemer eller andre former for problemer i TRNSYS, an der lægges en strafværdi på F, således at optimeringsmodulet søger væ fra disse parametre. Objetfuntions modulet gemmer x og F i en datafil. Interface til TRNSYS. Dette modul modificerer den fil der besriver modellen til simuleringsdelen i TRNSYS, aldet en DCK-fil, med de optimerbare parametre x. Dernæst aldes TRNSYS med navnet på filen, der foretager en simulering. Resultater samt status for simuleringen gemmes i henholdsvis en resultatfil samt en LST-fil, der scannes af interface modulet. Resultatfilen benyttes til at generere en vetor y, der indeholder ydelsen for hver måned. LSTfilen benyttes til at generere en vetor w, der indeholder antal foreomster af forsellige typer fejlmeddelelser og advarsler i LST-filen. I figur 8 er vist et flow-chart for oden. 18

22 Figur 8. Flow-chart for MATLAB oden, med angivelse af hvile parametre, der benyttes af de forsellige moduler. 11 Konlusion Vi har demonstreret at det er muligt at formulere dimensioneringsproblemer vedrørende energisystemer som optimeringsproblemer, et forhold der måse synes trivielt, dog viser sig at være afgørende, da mange problemer ie an omsrives til optimeringsproblemer. Det er vist at optimeringen an gennemføres af både Nelder-Mead metoden samt space mapping metoden. Nelder-Mead metoden har en langsom slutonvergens, hvilet medfører et højt antal simuleringer inden de optimale parametre er fundet. I det viste esempel blev der fundet en tilfredsstillende løsning efter 22 simuleringer, og man må forvente et større antal simuleringer, inden optimum er fundet, for et større antal optimerbare parametre. Space maping metoden anvender to modeller i bestræbelsen for at finde de optimale parametre, et langsomt og esat model (den fine model) og en hurtigt men tilnærmet model (den grove model). I det atuelle case blev en løsning fundet med samme præcision som med Nelder-Mead med 12 simuleringer med den fine model, dvs. næsten en halvering i forhold til Nelder-Mead metoden. Det sal understreges at antal simuleringer med den grove model ie medregnes i sammenligningen, da det antages at beregningstiden for denne model er usignifiant i forhold til den fine model. Foreløbig er de to metoder ie sammenlignet på problemer med flere end to optimerbare parametre, hvilet lægges ud til ommende arbejde. For solvarmetenier er flere forhold relevant at fremtræe: Anlægget i Marstal står med ræeafstand på 4,5 meter og en hældning på 40. Det fundne optimum i den foreliggende rapport er en afstand på 4,9 meter og 31 hældning. I et område omring optimum ændres pris-/ydelsesforholdet ie nævneværdigt. Den i Marstal anvendte indstilling må dermed betragtes som ganse velegnet. Det må herudover fremhæves at man har dimensioneret anlægget efter at opnå høje ydelser i for- og efteråret, hvilet opnås ved at benytte en større hældning af solfangerne. 19

23 Et andet forhold er valg af grundprisen som er her på 200 r. pr. m 2 hvilet er langt ud over den pris der f.es. er betalt i Martal (< 50 r.). Dette vil medføre at optimumet for afstanden mellem solfangerræerne vil være betragteligt større end beregnet. I det virelige liv er forholdet dog mere bestemt af de fysise forhold, f.es. jordloddernes dimensioner, esisterende veje og el-ledninger end ved grundpriserne. 12 Litteraturliste [1] J. A. Nelder and R. Mead A simplex method for function minimization. Computer Journal, vol. 7, pp , [2] Heller, A. & Vejen, N.K. Højtemperatursolfanger til solvarmecentraler- Indledende sammenligninger. Rapport R-013, 2001, BYG*DTU, Danmars Tenise Universitet, Brovej 1, DTU, 2800 Lyngby, Danmar, ISSN , ISBN: [3] Klein, S.A. and others. TRNSYS - A Transient System Simulation Program. Version 14.2, 1996, University of Wisconsin Madsion, USA. [4] M. Bar, J. Bandler, R. Biernaci, S. Chen and K. Madsen A Trust Region Aggressive Space Mapping Algorithm for EM Optimization IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 46, no. 12, December 1998 [5] M. Bar, J. Bandler, K. Madsen and J. Søndergaard Space Mapping From a Mathematical Viewpoint Publiceres i Optimization and Engineering, 2002 [6] J. W. Bandler, R. M. Biernaci, S. H. Chen, P. A. Grobelny and R. H. Hemmers Space mapping technique for electromagnetic optimization IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 42, 1994, pp [7] J. W. Bandler, R. M. Biernaci, S. H. Chen, R. H. Hemmers and K. Madsen Electromagnetic optimization exploiting aggressive space mapping IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 43, 1995, pp