Module 3: Statistiske modeller
|
|
- Martin Davidsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Department of Statistics ST502: Statistisk modellering Pia Veldt Larsen Module 3: Statistiske modeller 31 ANOVA 1 32 Variabelselektion Multipel determinationskoefficient Variabelselektion med baglæns eleminering 7 33 Matrixnotation Vektorer og matricer Modelspecifikation Estimation af model Fittede værdier og residualer Inferens Figurer ANOVA ANalysis Of VAriance Opsplitning af variation forklarende variable fejlled Teste hypoteser: H 0 : Afhænger responsen overhovedet af de forklarende variable? dss H 0 : β 1 β q 0 mod H A : ikke H 0 Eksempel 31 Højde, vægt og alder af børn For en gruppe børn med en bestemt spiseforstyrrelse, blev vægt, højde og alder noteret
2 31 ANOVA 2 Afhænger vægten overhovedet af højde og alder? (F1) Modul 2: Test hypotese vha H 0i : β i 0, ˆβ i N ( β i,σ 2 (β i ) ) Men her H 0 : β 1 β q 0 Total variation i data: hvor n ( SSTO Yi Y ) 2, i1 Ȳ 1 n n Y i i1 SSTO n ( Yi Y ) 2 i1 n i1 i1 ( ) 2 Y i Ŷi + Ŷi Y n ( ) 2 n ) 2 Y i Ŷi + (Ŷi Y SSE + SSR prediktion: Ŷ i ˆβ 0 + ˆβ 1 x 1i + ˆβ 2 x 2i + + ˆβ q x qi modelvariation: SSR residualvariation: SSE i1
3 31 ANOVA 3 H 0 : Afhænger responsen overhovedet af de forklarende variable? JA: Estimeret model forklarer stor del af variationen i data: modelvariation SSR stor ŷ ˆβ 0 + ˆβ 1 x 1 + ˆβ 2 x ˆβ q x q NEJ: Variationen i data skyldes fejled: ǫ i residualvariation SSE stor H 0 : β 1 β q 0 mod H A : ikke H 0 Teststørrelse: H 0 sand: H 0 falsk: F SSR/q SSE/(n q 1) SSR lille relativ til SSE F lille SSR stor relativ til SSE F stor F SSR/q SSE/(n q 1) MSR MSE Mean squares: Kvadratsum delt med frihedsgrader SST O : total frihedsgrader n 1 SSR : modelfrihedsgrader q SSE : residualfrihedsgrader n q 1
4 32 Variabelselektion 4 Frihedsgrad: mindste antal led så kvadratsum kan beregnes Fordeling af teststørrelse: F F (q,n q 1) Forkast H 0 hvis obs værdi af F er stor iht ford Eksempel 31 Højde, vægt og alder af børn For en gruppe børn med en bestemt spiseforstyrrelse, blev vægt (Y ), højde (X 1 ) og alder (X 2 ) noteret (Outlier fjernet) Model: Hypotese: F-test: i F (2,8)-ford: Y i β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + ǫ i, ǫ i N ( 0,σ 2), i 1,2,11 H 0 : β 1 β 2 0 mod H A : ikke H 0 F 59003/2 669/8 3077, p Variabelselektion Eksempel 32 Påvirkning af pesticider i kyllinger Pesticider (insekticider) benyttes i kyllingestalde for at holde insekter nede, men giften påvirker desuden kyllingerne Ved at øge aktiviteten af visse enzymer i leveren hos kyllingerne, kan effekten af giften mindskes Hos 10 kyllinger blev 5 forskellige enzymeaktiviteter (x 1,,x 5 ) øget, og effekten af pesticidforgiftningen (Y ) målt (Alle målinger som % i forhold til ubehandlet kylling) Model: Y i β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β 5 x 5i + ǫ i, ǫ i N ( 0,σ 2), i 1,2,10 Kan modellen forbedres:
5 32 Variabelselektion 5 Mere informativ? Simplere? Hvad er den bedste model? 321 Multipel determinationskoefficient R 2 SSR SSTO 1 SSE SSTO Andel af variation i data, som kan beskrives vha modellen Korrelation mellem respons Y og predikterede Ŷ Alternativt: R 2 100% PAS PÅ: kan være misvisende! Simpel lineær regression: R 2 SSR SSTO determinationskoefficient Bemærk: Kan antage alle værdier: R 2 [0,1] R 1 : modellen beskriver stor del af variation R 0 : modellen beskriver næsten intet af variationen Eksempel 31 Højde, vægt og alder af børn Vægt, højde og alder af en gruppe børn med en bestemt spiseforstyrrelse Model med interaktion: ŷ x x x 1 x 2 Model uden interaktion: r ŷ x x 2 r
6 32 Variabelselektion 6 Problem: R 2 altid størst i model med flest variable, uanset om variable informative! Justeret multipel determinationskoefficient R 2 a: Samme fortolkning som R 2 R 2 1 Øges ikke hvis ny variabel ikke informativ PAS PÅ: kan være misvisende! SSE/(n q 1) SSTO/(n 1) Eksempel 31 Højde, vægt og alder af børn Vægt, højde og alder af en gruppe børn med en bestemt spiseforstyrrelse Model med interaktion: ŷ x x x 1 x 2 Model uden interaktion: r 2 a 0837 ŷ x x 2 r 2 a 0856 Eksempel 32 Påvirkning af pesticider i kyllinger Hos 10 kyllinger blev 5 forskellige enzymeaktiviteter (x 1,,x 5 ) øget, og effekten af pesticidforgiftningen (Y ) målt: Y i β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β 5 x 5i + ǫ i, ǫ i N ( 0,σ 2), i 1,2,10 Den bedste model? kombinationer! System i modelvalg?
7 32 Variabelselektion Variabelselektion med baglæns eleminering 1 Estimer fuld model 2 Fjern den mindst signifikante variabel (p > 010) 3 Estimer reduceret model 4 Fjern den mindst signifikante variabel i reduceret model 5 Fortsæt m Trin 3 og 4 indtil kun signifikante variable i model Example 32 Påvirkning af pesticider i kyllinger Hos 10 kyllinger blev 5 forskellige enzymeaktiviteter (x 1,,x 5 ) øget, og effekten af pesticidforgiftningen (Y ) målt Estimation af fuld model giver Y i β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β 5 x 5i + ǫ i, ǫ i N ( 0,σ 2), i 1,2,10 r , r 2 a 0533 Estimation af fuld model Parameter Estimate Standard error t-statistic p-value β β β β β β giver Y i β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β 5 x 5i + ǫ i, ǫ i N ( 0,σ 2), i 1,2,10 r , r 2 a 0533 Parameter Estimate Standard error t-statistic p-value β β β β β β
8 32 Variabelselektion 8 Estimation af reduceret model giver Y i β 0 + β 1 x 1i + β 3 x 3i + β 4 x 4i + β 5 x 5i + ǫ i, ǫ i N ( 0,σ 2), i 1,2,10 r , r 2 a 0622 Parameter Estimate Standard error t-statistic p-value β β β β β Estimation af reduceret model giver Y i β 0 + β 1 x 1i + β 4 x 4i + β 5 x 5i + ǫ i, ǫ i N ( 0,σ 2), i 1,2,10 r , r 2 a 0668 Parameter Estimate Standard error t-statistic p-value β β β β Estimation af reduceret model giver Slutmodel: Y i β 0 + β 1 x 1i + β 5 x 5i + ǫ i, ǫ i N ( 0,σ 2), i 1,2,10 r , r 2 a 0546 Parameter Estimate Standard error t-statistic p-value β β β ŷ x x 5 Bemærk: Model med x 1 og x 5 : r , r 2 a 0546 Model med x 1,x 4 og x 5 : r , r 2 a 0668
9 33 Matrixnotation 9 33 Matrixnotation Lineære modeller og beregninger simplificeres vha matrixregning Vektorer og matricer Matrixnotation for lineære modeller modelspecifikation estimation af model fittede værdier og residualer inferens 331 Vektorer og matricer Søjlevektor r 1: Rækkevektor 1 c: b b 1 b 2 b r d [d 1,d 2,,d c ] Matrice r c: A a 11 a 12 a 13 a 1c a 21 a 22 a 23 a 2c a r1 a r2 a r3 a rc Matricer: Kvadratisk: r c Symmetrisk (kvadratisk): a ij a ji, i,j Transponeret A : ombyt a ij og a ji, i,j A A A symmetrisk Identitetsmatrice I: a ii 1 i og a ij 0 i j IA A og BI B, hvis I (k k), A(k c), B (r k)
10 33 Matrixnotation 10 Invers A 1 (kvadratisk): A 1 A AA 1 I Vektor: specialtilfælde af matrice Matrixmultiplikation ( række gange søjle ): a 11 a 12 a 1k b 11 b 12 b 1c a 21 a 22 a 2k A, B b 21 b 22 b 2c a r1 a r2 a rk b k1 b k2 b kc c 11 c 12 c 1c c 21 c 22 c 2c k AB, hvor c ij a il b lj l1 c r1 c r2 c rc 332 Modelspecifikation Eksempel 33 Sommerhuse i Odsherred Salgspriser, alder og areal for 5 sommerhuse Odsherred: Pris Alder Areal DDK 1000 år m 2 (y) (x 1 ) (x 2 ) Model: Y i β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + ǫ i, ǫ i N ( 0,σ 2) uafh, i 1,,5 Ligninger: 745 β β β 2 + ǫ β β β 2 + ǫ β β β 2 + ǫ β β β 2 + ǫ β 0 + β β 2 + ǫ 5
11 33 Matrixnotation 11 Responsvektor y: y y 1 y 2 y 3 y 4 y Designmatrix X : X 1 x 11 x 21 1 x 12 x 22 1 x 13 x 23 1 x 14 x 24 1 x 15 x Ligningssystem: hvor Fx, første ligning: β β 0 β 1 β 2 y X β + ǫ, and ǫ ǫ 1 ǫ 2 ǫ 3 ǫ 4 ǫ 5 y 1 β 0 (1,x 11,x 21 ) β 1 β 2 + ǫ 1 β β β 2 + ǫ 1 Generelt: Ligninger: Y i β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β q x qi + ǫ i, i 1, n Y 1 β 0 + β 1 x 1,1 + β 2 x 1,2 + + β k x 1,k + ǫ 1 Y 2 β 0 + β 1 x 2,1 + β 2 x 2,2 + + β k x 2,k + ǫ 2 Y n β 0 + β 1 x n,1 + β 2 x n,2 + + β k x n,k + ǫ n
12 33 Matrixnotation 12 Responsvektor og designmatrice: Y 1 Y 2 Y og X Y n Parametervektor og fejlvektor: β β 0 β 1 β k 1 x 11 x 21 x q1 1 x 12 x 22 x q2 1 x 1n x 2n x qn, ǫ ǫ 1 ǫ 2 ǫ n Matrixform hvor Y X β + ǫ, ǫ i N ( 0,σ 2) uafhængige 333 Estimation af model Least squares method: n e 2 i i1 n (y i β 0 β 1 x 1i β 2 x 2i β q x qi ) 2 i1 Minimer mht β [β 0,β 1,,β q ] : (y X β) (y X β) 0 2X X ˆβ 2X y ˆβ ( X X ) 1 X y Eksempel 33 Sommerhuse i Odsherred Salgspriser (Y ), alder (x 1 ) og areal (x 2 ) for 5 sommerhuse Odsherred: y , X
13 33 Matrixnotation 13 Så er X T X , ( X T X ) ˆβ ( X T X ) 1 X T y Fittede værdier og residualer Vektor af fittede værdier: ŷ ŷ 1 ŷ 2 ŷ n H y, Hatmatrice: H X ( X T X ) 1 X T, (n n)
14 33 Matrixnotation 14 Residualer: e e 1 e 2 e n (I H) y Varians-kovariansmatrice: Σ (e) Var (e) Var e 1 e 2 e n v 11 v 12 v 1n v 21 v 22 v 2n v n1 v n2 v nn Symmetrisk Diagonalelemeter varianser: Var (e i ) v ii Ikke-diagonalelementer kovarianser: Cov(e i,e j ) v ij v ji Kan vise: Var (e) σ 2 (I H), n n Dvs Var (e i ) σ 2 (e i ) σ 2 (1 h ii ) σ (e i ) σ 1 h ii Standardiserede residualer: e i e i 1 hii Studentiserede residualer: e i e i σ 2 i e i (1 h ii ) σ 2 i, hvor σ 2 i MSE (i)
15 33 Matrixnotation Inferens Varians-kovarians matrice for ˆβ: ) Σ (ˆβ σ 2 ( X T X ) 1 Estimeres ved: ) ˆΣ (ˆβ s 2 ( X T X ) 1 ( MSE X T X ) 1 For x 0 [1,x 10,x 20,,x q0 ] : Forventet middelrespons: Estimeret standard error: ŷ 0 x ˆβ 0 ˆσ (ŷ 0 ) x ˆΣ ) 0 (ˆβ x 0 Prediktion: ŷ new x ˆβ 0 Estimeret standard error: ˆσ (ŷ new ) MSE + ˆσ 2 (ŷ 0 ) MSE + x ˆΣ ) 0 (ˆβ Konfidensinterval hhv prediktionsinterval x 0 Eksempel 33 Sommerhuse i Odsherred Salgspriser (Y ), alder (x 1 ) og areal (x 2 ) for 5 sommerhuse Odsherred: ˆβ ˆβ ˆβ , ˆβ ( X X ) , MSE Så er ) ˆΣ(ˆβ
16 34 Figurer 16 Forventet salgspris for sommerhus på 25 år og 70 m 2 : ŷ 0 (1,25,70) Estimeret standard error: ˆσ (ŷ 0 ) (1,25,70) % konfidensinterval for middelpris: CI 095 (y) ( )) ŷ 0 ± t 0975 (n q 1) ˆσ (Ŷ0 (859 ± ) (481, 1237) 34 Figurer Vaegt Vaegt Alder Hoejde Alder Hoejde Figure 31: Vægt og højde, vægt og alder
17 34 Figurer F(2,8) density Figure 32: Tæthed for F(2,8)-fordeling F(3,1) density F(3,20) density F(20,3) density F(25,25) density Figure 33: Tætheder for diverse F-fordelinger
MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereModul 11: Simpel lineær regression
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 11: Simpel lineær regression 11.1 Regression uden gentagelser............................. 1 11.1.1 Oversigt....................................
Læs mereMultipel regression. Data fra opgave 3 side 453: Multipel regressionsmodel: Y = α + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ǫ. hvor ǫ N(0, σ 2 ).
Program 1. multipel regression 2. polynomiel regression (og andre kurver) 3. kategoriske variable 4. Determinationkoefficient og justeret determinationskoefficient 5. ANOVA-tabel 1/13 Multipel regression
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereModul 6: Regression og kalibrering
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 6: Regression og kalibrering 6.1 Årsag og virkning................................... 1 6.2 Kovarians og korrelation...............................
Læs mereØkonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater
Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereModule 9: Residualanalyse
Mathematical Statistics ST6: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 9: Residualanalyse 9 Rå residualer 92 Standardiserede residualer 3 93 Ensidig variansanalyse 4 94 Studentiserede residualer
Læs mereØkonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31
Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereLagrange multiplier test. Økonometri: Lektion 6 Håndtering ad heteroskedasticitet. Konsekvenser af Heteroskedasticitet
Lagrange multiplier test Et alternativ til F -testet af en eller flere parametre. Økonometri: Lektion 6 Håndtering ad heteroskedasticitet Antag vi har model: y = β 0 + β 1 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 34 Lagrange multiplier test Et alternativ til F -testet af en eller flere parametre. Antag vi har model: Vi ønsker at teste hypotesen y = β 0 + β 1 x
Læs mereSimpel Lineær Regression: Model
Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]
Læs mereEksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning
1 Multipel regressions model Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning PSE (I17) ASTA - 11. lektion
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereLineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:
Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Den multiple regressionsmodel 5. marts 2007 regressionsmodel 1 Dagens program Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 3.4-3.5, E.2) Variansen
Læs mere1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ
Indhold 1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) 2 1.1 Variation indenfor og mellem grupper.......................... 2 1.2 F-test for ingen
Læs meregrupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
Læs mereProgram. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12
Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption
Læs mereSimpel Lineær Regression
Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereModul 12: Regression og korrelation
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere1 Regressionsproblemet 2
Indhold 1 Regressionsproblemet 2 2 Simpel lineær regression 3 2.1 Mindste kvadraters tilpasning.............................. 3 2.2 Prædiktion og residualer................................. 5 2.3 Estimation
Læs mereMultipel Linear Regression. Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression
Multipel Linear Regression Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression Test for en eller alle parametre I jagten på en god statistisk model har vi set på følgende to hypoteser og tilhørende
Læs mereMindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning
1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3
Læs mere(tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). t i god til at checke for outliers som kan have stor indflydelse på estimaterne s 2 og ˆσ 2 e i
Da er r i = e i ˆσ ei t(n 3) (tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). Program 1. lineær regression: opgave 3 og 13 (sukker-temperatur). 2. studentiserede residualer, multipel regression. Tommelfinger-regel:
Læs mereØkonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression. Inferens Modelkontrol Prædiktion
Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression Inferens Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineær Regression Data: Sæt af oservationer (x i, x i,, x ki, y i, i,,n y i er den afhængige variael x i, x i,,
Læs mereMultipel Lineær Regression
Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mereTo samhørende variable
To samhørende variable Statistik er tal brugt som argumenter. - Leonard Louis Levinsen Antagatviharn observationspar x 1, y 1,, x n,y n. Betragt de to tilsvarende variable x og y. Hvordan måles sammenhængen
Læs mereStatistik Lektion 16 Multipel Lineær Regression
Statistik Lektion 6 Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk
Læs mereTo-sidet varians analyse
To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),
Læs mere! Variansen på OLS estimatoren. ! Multikollinaritet. ! Variansen i misspecificerede modeller. ! Estimat af variansen på fejlleddet
Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 4. februar 003 regressionsmodel Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 3.4-3.5)! Opsamling fra sidst
Læs mereMultipel regression. M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model
Multipel regression M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model Y j 1 X 1j 2 X 2j... m X mj j eller m Y j 0 i 1 i X ij j BEMÆRK! j svarer til individ
Læs mereIndhold. 2 Tosidet variansanalyse Additive virkninger Vekselvirkning... 9
Indhold 1 Ensidet variansanalyse 2 1.1 Estimation af middelværdier............................... 3 1.2 Estimation af standardafvigelse............................. 3 1.3 F-test for ens middelværdier...............................
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs merePerspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression
Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem
Læs mereModel. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3.
Model Program (8.15-10): 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. Bruger nu to indices: i = 1,...,k for gruppenr. og j = 1,...,n i for observation indenfor gruppe. k = 3 grupper: µ 1
Læs mereLineær regression i SAS. Lineær regression i SAS p.1/20
Lineær regression i SAS Lineær regression i SAS p.1/20 Lineær regression i SAS Simpel lineær regression Grafisk modelkontrol Multipel lineær regression SAS-procedurer: PROC REG PROC GPLOT Lineær regression
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006
Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske
Læs mereLineære normale modeller (4) udkast
E6 efterår 1999 Notat 21 Jørgen Larsen 2. december 1999 Lineære normale modeller (4) udkast 4.5 Regressionsanalyse 4.5.1 Præsentation 1 Regressionsanalyse handler om at undersøge hvordan én målt størrelse
Læs mere1 Multipel lineær regression
Indhold 1 Multipel lineær regression 2 1.1 Regression med 2 eksponeringsvariable......................... 2 1.2 Fortolkning og estimation................................ 3 1.3 AnovaTabel og multipel R
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006
Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 8. september 006 Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap..5). Den multiple lineære regressionsmodel (W
Læs mereSide 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mere1 Multipel lineær regression
1 Multipel lineær regression Regression med 2 eksponeringsvariable Fortolkning og estimation AnovaTabel og multipel R 2 Ensidet variansanalyse: Dummy kodning Kovariansanalyse og effektmodifikation Tosidet
Læs mereMuligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.
Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side
Læs mere12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse
. september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression
Læs mereForelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereEpidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen 4 Hypotesetest (F-test)
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dnamiske Sstemer Bgning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lngb Danmark e-mail:
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff. Envejs variansanalyse - eksempel
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereOversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereKursus 02402/02323 Introducerende Statistik
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereELISA. ELISA (enzyme-linked immunosorbent assay) forsøg bruges til at detektere og kvantificere stoffer såsom proteiner, peptider, antistoffer o.lig.
ELISA ELISA (enzyme-linked immunosorbent assay) forsøg bruges til at detektere og kvantificere stoffer såsom proteiner, peptider, antistoffer o.lig. Teknikken er ganske snedig, og muliggør at man inddirekte
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 8: Simpel lineær regression. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder Heteroskedasticitet 11. april 007 KM: F18 1 Oversigt: Heteroskedasticitet OLS estimation under heteroskedasticitet (W.8.1-): Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS Gyldige test
Læs mereØkonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol
Økonometri: Lektion 5 Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol 1 / 35 Veksekvirkning: Motivation Vi har set på modeller som Price
Læs mereStatistik Lektion 4. Variansanalyse Modelkontrol
Statistik Lektion 4 Variansanalyse Modelkontrol Eksempel Spørgsmål: Er der sammenhæng mellem udetemperaturen og forbruget af gas? Y : Forbrug af gas (gas) X : Udetemperatur (temp) Scatterplot SPSS: Estimerede
Læs mereenote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt
enote 5: Simpel lineær regressions analse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression To variable: og Beregn mindstekvadraters estimat af ret linje Inferens med
Læs mereMatrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com
Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder
Læs mereProgram. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen)
Faculty of Life Sciences Program Logistisk regression Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Odds og odds-ratios igen Logistisk regression Estimation og inferens Modelkontrol Slide 2 Statistisk Dataanalyse
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet
Læs mereOversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model og hypotese. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Oversigt 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O 2 Model og hypotese Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereØkonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2
Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition
Læs mereVi ønsker at konstruere normalområder for stofskiftet, som funktion af kropsvægten.
Opgavebesvarelse, Resting metabolic rate I filen T:\rmr.txt findes sammenhørende værdier af kropsvægt (bw, i kg) og hvilende stofskifte (rmr, kcal pr. døgn) for 44 kvinder (Altman, 1991 og Owen et.al.,
Læs mereProgram. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data
Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration
Læs mereEpidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk
Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.
Læs mereLineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ
Lineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ Per Bruun Brockhoff, DTU Compute, Claus Thorn Ekstrøm, KU Biostatistik, Ernst Hansen, KU Matematik January 17, 2017 Abstract
Læs mereSidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: Two-factor ANOVA (Analysis of variance) Two-factor ANOVA med interaktion
VARIANSANALYSE 2 Sidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: (Analysis of variance) med interaktion Problem: Hvordan håndterer vi forsøg, hvor effekten er forårsaget af to faktorer og en evt.
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper F-test Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mere1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer.
Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2008 En gruppe bestående af 45 patienter med reumatoid arthrit randomiseres til en af 6 mulige behandlinger, nemlig placebo, aspirin eller
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mere