Det skrå kast uden luftmodstand

Transkript

1 Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale kendsgerninger, at hastigheden ( t) fås ed at differentiere stedfunktionen r ( t), og accelerationen a( t) fås ed at differentiere hastighedsfunktionen ( t). Som bekendt diffe- rentierer man en ektorfunktion ed blot at differentiere her koordinat for sig. y y max y F t m g x y x x 1 x max Udgangspunktet er, at en bold kastes skråt op i en inkel på α i forhold til andret. Farten i det øjeblik, hor bolden forlader personens hånd, er. Hastighedsektorens koordinater til tiden t= fås ed at projicere på her af de to akser: (1) x cos( α) = = y sin( α) Bemærk, at når i skrier en størrelse både med og uden ektorpil, så betyder den uden ektorpil længden af ektoren. I dette tilfælde er hastighedsektoren og er længden af hastighedsektoren, også kaldet farten! På trods af at bolden beæger sig til siden, så er den resulterende kraft på bolden lig med en lodret rettet tyngdekraft af størrelsen Ft = m g. Accelerationen i beægelsen er altså g = 9,8 m/s og den er rettet nedad. Derfor kan i angie den ed ektoren: () a( t) g Vi kan nu regne baglæns: For at finde hastigheden, skal i finde en ektorfunktion, der differentieret er lig med accelerationsektoren. Vi skal altså finde stamfunktioner. Første koordinaten er, så her er stamfunktionen en konstant. Vi kalder den c 1. Stamfunktionen til g er g t+ c, hor c er en ny konstant. Vi har altså (3) ( t) c1 g t+ c

2 Erik Vestergaard Vi kan imidlertid finde konstanterne ed at indsætte t= og bruge startbetingelserne: ( 4) x c1 x () = c og c = = = y g c + y 1 x y Indsættes ærdierne for c 1 og c i (3) fås: (5) ( t) x = g t + y Vi skal nu idere til stedfunktionen og finder igen stamfunktioner for her koordinat: (6) r ( t) x t+ c3 = 1 g t y t c Igen kan de to konstanter findes ed at indsætte t = og udnytte, at boldens startposition er r () = (, y). Det oerlades til læseren at ise, at det gier følgende: c 3= og c = y. Dermed haes: 4 (7) r ( t) x t = 1 g t y t y + + His i indsætter udtrykket for starthastigheden (1) i (7), fås: (8) r( t) x( t) cos( α) t = 1 y( t) = g t + sin( α) t+ y Tilsarende fås følgende for indsættelse af (1) i (5): (9) cos( α) ( t) g t+ sin( α) His man tegner banekuren for stedfunktionen r ( t) får man en parabel, deraf udtrykket kasteparablen. Med udtrykkene for stedfunktionen og hastighedsfunktionen kan man løse en masse spørgsmål: Hornår rammer bolden jorden, hornår når bolden sit højeste punkt, etc. En igtig erkendelse i udtrykket (9) er, at hastigheden i x-aksens retning er konstant. His man deler beægelsen op i en andret og en lodret beægelse, så er beægelsen i andret retning altså jæn, i pæn oerensstemmelse med at der ingen kraft er i den retning husk Newtons 1. lo!

3 Erik Vestergaard 3 Opgaer Nedenfor et par tilhørende opgaer til emnet det skrå kast. Det er oplagt at anende et CAS-ærktøj, for eksempel Maple. Opgae1 En frygtet tank fra. erdenskrig er den tyske Tigertank. Den hade en kanon med betegnelsen 8,8 cm KwK 36 L/56. Projektilets mundingshastighed ar 81 m/s. Vi antager, at løbets højde oer jorden er meter og at løbet indstilles, så det danner en inkel på 1 grader med andret. I det følgende ser i også bort fra luftmodstand på trods af, at det er urealistisk i dette tilfælde. (NB! Figuren er ikke et billede af omtalte tank). a) Hor langt ude er projektilet i andret retning, og hor højt oer jorden er projektilet efter 1 sekund? Bestem også partiklens fart til dette tidspunkt. b) Bestem stighøjden, altså den maksimale højde projektilet opnår. Bestem desuden, hor langt ude (andret), projektilet opnår den maksimale højde samt tidspunktet, hor det sker. c) Bestem kastelængden, altså den afstand projektilet når ud på samt tidspunktet for nedslaget. d) Bestem hastighedsektoren samt farten umiddelbart før nedslaget. e) Tegn banekuren for projektilet. Oerej at sørge for at 1 meter på x- og y-akse ises lige store. Hjælp til opgae 1 Under løsningen er det fornuftigt at definere nogle funktioner: Kald stedfunktionens første koordinat for x( t ) og dens anden koordinat for y( t ). Dermed kan hastighedsektorens koordinater defineres ed x( t) : = x ( t) og y( t) : = y ( t). Normalt regnes med enheder, men når man har at gøre med funktioner, er det fornuftigst at undlade enheder og lade det ære underforstået, at størrelserne er i SI-enheder. Farten er defineret som længden af hastighedsektoren: ( t) : = ( x( t)) + ( y ( t)). I delspørgsmål b) og c): Had er det, som karakteriserer de to punkter? Man kan sige noget om enten stedfunktionen eller hastighedsfunktionen

4 4 Erik Vestergaard Opgae Basketball spilleren Michael Jordan skal sende et straffekast i kuren. Hans andrette afstand til kuren er 3,96 m og kurens kant befinder sig 3,5 m oer jorden. Michael Jordan kaster med en inkel på 35 grader i forhold til andret (eleationen) og bolden forlader hans hånd i en højde af,3 m. Hor meget fart skal han gie bolden, så den lige netop rammer ned i kuren? Igen ses der bort fra luftmodstand. Hjælp til opgae Man kan opstille to ligninger med to ubekendte og på CAS-ærktøjet til at løse dem.