Differential- regning
|
|
- Edith Ravn
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul
2 Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7 Differentialregning del udgave 6 6 Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra wwwmatdk Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til kj@matdk som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole
3 Tretrinsreglen Definition af differentialkvotient Oplæg Figur a viser en interaktiv figur med grafen for funktionen (*),75,5 Linjen m er tangent til grafen for f () i grafpunktet med førstekoordinat Linjen l går gennem grafpunkterne med førstekoordinater og Man kan trække det hvide punkt frem og tilbage på førsteaksen og derved ændre tallet l går gennem punkterne (, y) (, f () ) og (, y ) (,75, f (,75) ) så l 's hældningskoefficient er y y f (,75) f (),75 hvilket er lig tallet på figur a,75 På figur b er så nær at l 's hældningskoefficient er næsten den samme som hældningskoefficienten for tangenten m Tangenthældningen f () er grænseværdien af l 's hældningskoefficient når går mod (c) Definition Ved differentialkvotienten f ( ) af en funktion f () i et tal forstås grænseværdien for gående mod af hældningskoefficienten for linjen gennem grafpunkterne med førstekoordinater og Med symboler kan denne definition skrives sådan: f ( ) lim f ( ) () f () l () f () f ( ) l,75 l 's hældn,75 m () Figur a,5 l 's hældn,75 m () Figur b Differentialregning Side 59 6 Karsten Juul
4 Øvelse (a) På figur a skærer l grafen i to punkter Beregn andenkoordinaten til hvert af disse punkter (b) Beregn hældningskoefficienten for linjen l på figur b (c) I tidligere afsnit har du (uden bevis) fået oplyst nogle formler der kan bruges til at beregne differentialkvotienter Brug disse til at beregne hældningskoefficienten for tangenten m i ramme Tretrinsreglen Oplæg Vi vil bruge definition c til at beregne hældningskoefficienten f () for tangenten m i ramme Dette gør vi i tre trin: () Grafpunkterne med førstekoordinater og har andenkoordinater, 5 og,75,5 Linjen l gennem disse to punkter har derfor hældningskoefficienten (,75,5 ),5 () Vi får lommeregneren til at reducere dette udtryk (se figur d) og får at det er lig,5 (,5) () Med metoden fra ramme 9 får vi at for gående mod er grænseværdien af l 's hældningskoefficient lig,5 (,5),75 Hældningskoefficienten f () for tangenten m er altså, 75 Figur d (e) Metode (tretrinsreglen) Differentialkvotienten f ( ) for en funktion f () i et tal kan bestemmes ved at gennemføre følgende tre trin: () Opskriv udtrykket for hældningskoefficienten for linjen gennem f-grafens punkter med førstekoordinater og () Omskriv udtrykket fra () så man kan bestemme dets grænseværdi for gående mod () Bestem denne grænseværdi Denne grænseværdi er f ) ( Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul
5 4 Øvelse Gennemfør det der er beskrevet i oplægget i ramme 5 Kontinuerte funktioner (f) Regel Eksempel Da er Et regneudtryk med en variabel som er opbygget af de "sædvanlige" symboler, er kontinuert i enhver værdi af hvori udtrykket er defineret ( ) ( ) ( ) lim ( ) ifølge metoden fra ramme 9 For ifølge denne metode er grænseværdien lig værdien af for, da er kontinuert i 6 Øvelse (a) Bestem grænseværdien af (b) Bestem (c) Bestem lim ( ) lim 8 ( + ) for gående mod 7 Øvelse Brug tretrinsreglen (e) til at bestemme differentialkvotienten i 4 af Husk at du evt kan lade lommeregneren foretage reduktionen i trin () 8 Øvelse Brug tretrinsreglen (e) til at bestemme differentialkvotienten i af Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul
6 9 Øvelse Brug tretrinsreglen (e) til at bestemme differentialkvotienten f ) for funktionen ( Differentiable funktioner Oplæg Vi vil forsøge at bestemme differentialkvotienten for tretrinsreglen: i ved hjælp af () Hældningskoefficienten for linjen gennem f-grafens punkter med førstekoordinater og er f ( ) () Vi lader lommeregneren reducere dette udtryk for hældningskoefficienten Vi får at vide at hældningskoefficienten er lig sign( ), dvs den er når er negativ, og når er positiv () Da hældningskoefficienten er når er negativ, og når er positiv, har den ikke nogen grænseværdi for gående mod Altså har ikke en differentialkvotient i (g) Definition af differentiabel funktion Man siger at en funktion f () er differentiabel i et tal hvis f ( ) hældningskoefficienten for linjen gennem grafpunkterne med førstekoordinater og har en grænseværdi for gående mod Øvelse (a) Forsøg at bestemme differentialkvotienten for i ved hjælp af tretrinsreglen f () (b) Hvorfor har hældningskoefficienten ikke en grænseværdi for gående mod? Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul
7 Hvis differentiabel, så kontinuert Oplæg På figur h er tegnet grafen for en funktion f () som ikke er kontinuert i 4 Desuden er tegnet linjen l gennem grafpunkterne med førstekoordinater 4 og Det ses at hældningskoefficienten (*) f (4) 4 for l kan vi gøre så stor det skal være ved at vælge tæt nok på 4 Altså har (*) ikke nogen grænseværdi for gående mod 4, så f () er ikke differentiabel i 4 Figur h Hvis vi tegner grafen for en anden funktion f () der ikke er kontinuert i et tal, kan vi på lignende måde indse at funktionen heller ikke er differentiabel i tallet Der gælder: Hvis f () ikke er kontinuert i, så kan f () heller ikke være differentiabel i Dette er udtrykt i følgende sætning: (i) Sætning Når f () er en funktion, og er et tal, gælder Hvis f () er differentiabel i, så er f () kontinuert i Øvelse Vedr figur h f (4) (a) Bestem hældningskoefficienten for l når er 4, 5 og når er 4, 4 f (4) (b) Hvor tæt skal være på 4 for at er over? 4 Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul
8 Formler for differentialkvotienter Differentialkvotient for (a) Sætning Når, gælder for ethvert tal at Bevis (* ) f () er differentiabel i og ( f ( ) ** ) For ethvert tal gælder at linjen gennem grafpunkterne med førstekoordinater og har hældningskoefficienten ( + )( ) + Da + er kontinuert i, har hældningskoefficienten en grænseværdi for gående mod (ifølge metoden fra ramme 9) Altså er (*) bevist Grænseværdien er værdien af + for, dvs + Altså er (**) bevist Øvelse (Uden hjælpemidler) (a) Udregn ( )( + + ) (b) Sætningen og beviset i ramme drejer sig om sætning med bevis der drejer sig om udtrykket for hældningskoefficienten Skriv en tilsvarende Brug svaret på (a) når du skal reducere Differentialregning Side 64 6 Karsten Juul
9 Differentialkvotient for a (b) Sætning For ethvert reelt tal a gælder: Hvis a så er a a Eksempel Hvis fås af sætning (b) at f ( ) Eksempel Vi vil finde differentialkvotienten for f Da ( ) fås Eksempel Vi vil finde differentialkvotienten af Da fås f ( ) 4 Øvelse Brug (b) til at bestemme differentialkvotienterne for følgende funktioner:,6, g ( ) og h( ),6 Differentialregning Side 65 6 Karsten Juul
10 5 Differentialkvotienten af og (c) Sætning Hvis så er Bevis Da f ( ) f ( ) kan vi bruge reglen for differentialkvotient af potens (regel b): hvilket skulle bevises (d) Sætning Bevis Hvis så er f ( ) Da kan vi bruge reglen for differentialkvotient af potens (regel b): f ( ) hvilket skulle bevises 6 Oversigt over differentialkvotienter f () f () k a a a f () f () a e k e ln a ln a e k k e cos sin sin cos Differentialregning Side 66 6 Karsten Juul
11 Regneregler for differentialkvotienter Differentialkvotient af f + g (a) Sætning om differentialkvotient af sum Bevis Hvis () to funktioner f () og g () er differentiable i et tal gælder: () Summen h ( ) + g( ) er differentiabel i, og () h ) f ( ) + g ( ) ( Linjen gennem h-grafens punkter med førstekoordinater og har hældningskoefficienten h (4) ( ) h ( ) ( + g( )) ( f ( ) + g( )) f ( f ( (5) + g( ) g( ) ) ) g( ) g( ) + Ifølge () har hvert af leddene i (5) en grænseværdi for gående mod Så må (4) også have dette, dvs vi har bevist () De to led i (5) har grænseværdierne f ( ) og g ( ), så udtrykket (5) må have grænseværdien f ( ) + g ( ) Dette er altså grænseværdien af (4), dvs vi har bevist () Øvelse (a) Brug (a) og 6 til at bestemme differentialkvotienten af hver af følgende: ln + e, (b) Bestem h () når h( ) + ln g ( ) +, p ( ) e + 6 og r( ) + e Differentialregning Side 67 6 Karsten Juul
12 Øvelse (a) Gæt ud fra tabellen grænseværdien af u ( ) for gående mod 4 (b) Gæt ud fra tabellen grænseværdien af u ( ) for gående mod 4 (c) Udfyld tabellens sidste række u ( ) + u ( ) : (d) Gæt ud fra den sidste række grænseværdien af u ) + u ( ) for gående mod 4 ( (e) Erstat tallene i tabellen med andre så der når går mod 4 gælder at summen af grænseværdierne af u ( ) og u ( ) er forskellig fra grænseværdien af u ) + u ( ), eller sig at det ikke kan lade sig gøre ( :,9,95,98 u ( ) :,5,, u ( ) : 5, 5,5 5, 4 Differentialkvotient af k f (b) Sætning om differentialkvotient af konstant gange funktion Hvis () en funktion f () er differentiabel i et tal og k er en konstant gælder: () Produktet h( ) k er differentiabelt i, og () h ) k f ( ) ( Eksempel Vi vil bestemme differentialkvotienten af Da og differentialkvotienten af er, fås af () i (b) at f ( ) Bemærk I () ovenfor står der k, der står ikke differentialkvotienten af k Hvis vi i eksemplet skulle have skrevet differentialkvotienten af, var resultatet blevet Hvis vi skal finde differentialkvotienten af g ( ) +, så skal vi derimod skrive differentialkvotienten af, altså Dette følger af () i sætning (a) Der gælder altså g ( ) + Differentialregning Side 68 6 Karsten Juul
13 5 Øvelse I ramme beviste vi sætning (a) ved hjælp af tretrinsreglen Sætning (b) kan bevises på lignende måde Gør det 6 Øvelse Brug (a), (b) og 6 til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner ln 4 ln, g( ) 4 + ln og h ( ) 4 7 Differentialkvotient af f g (c) Sætning om differentialkvotient af differens Hvis () to funktioner f () og g () er differentiable i et tal gælder: () Differensen h( ) g( ) er differentiabel i, og () h ) f ( ) g ( ) ( 8 Øvelse Sætning (c) kan bevises ved hjælp af tretrinsreglen på næsten samme måde som sætning (a) blev bevist, men du skal ikke bevise (c) på denne måde Du skal bevise (c) uden at bruge tretrinsreglen Det skal du gøre ved at bruge sætningerne (a) og (b) 9 Øvelse Brug (a), (b), (c) og 6 til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner ln, Øvelse (Uden hjælpemidler) g( ) e +, h( ) 4 ln Bestem en ligning for tangenten til grafen for funktionen + i punktet P (, f ()) Differentialregning Side 69 6 Karsten Juul
14 Differentialkvotient af f g (d) Sætning om differentialkvotient af produkt Bevis Hvis () to funktioner f () og g () er differentiable i et tal gælder: () Produktet h( ) g( ) er differentiabelt i, og () h ) f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) ( Linjen gennem h-grafens punkter med førstekoordinater og har hældningskoefficienten h (4) ( ) h ( ) (5) g( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) g( ) + f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( f ( )) g( ) + f ( ) ( g( ) g( )) f ( For gående mod gælder: ) g( ) g( ) g( ) + f ( ) Grænseværdierne af de to brøker i (5) er hhv f ) og g ) ifølge () Grænseværdien af g () er g ) da g () er kontinuert ifølge () ( Grænseværdien af f ) er f ) da f ) er en konstant ( ( Altså har (4) grænseværdien f ) g( ) + f ( ) g ( ), dvs () og () er bevist ( ( ( I tælleren er tilføjet f ) g( ) + f ( som er ( ) g( ( ) Øvelse Brug (d) til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner: ln og g( ) ( + ) e Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul
15 Differentialkvotient af sammensat funktion Øvelse Der er givet funktionerne og g ( ) + (a) Bestem g () og f ( g() ) (b) Bestem g () og f ( g() ) (c) Bestem (t) f g(t) g og ( ) Øvelse Bestem f ( g() ) i hvert af følgende tilfælde: () ln( ) og g( ) () e og g ( ) + Definition af sammensat funktion (a) Definition Lad f () og g () være funktioner Man benytter følgende sprogbrug: f ( g() ) er en sammensat funktion hvor f () er den ydre funktion, og g () er den indre funktion Eksempler Hvis g ( ) og ( ) 8 Hvis g ( ) og I den sammensatte funktion ( ) f, så er ( g( ) ) 8 f, så er ( g( ) ) ( ) f er den indre funktion, og den ydre Bemærk at 'et i ikke er det der står i Man kunne have brugt forskellige bogstaver for de to 'er 4 Øvelse Angiv indre og ydre funktion for hver af følgende sammensatte funktioner: ( e ) +, g( ),7 e og ( ) ln( + ) h Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul
16 5 Øvelse På hovedskærmen (den der fås frem ved at taste HOME ) kan man (som bekendt) bestemme en differentialkvotient ved hjælp af det blå d over 8-tallet F fås differentialkvotienten af hvis man skriver d(^,) og taster ENTER (a) Angiv differentialkvotienten for hver af funktionerne e, e + 5, e + 5 og e + Formuler en regel for at bestemme differentialkvotienter for funktioner af denne type Kontrollér om reglen også gælder når konstanterne er negative, og når konstanterne ikke er hele tal (b) Angiv differentialkvotienten for hver af funktionerne ln( ), ln( + ), ln( + 5), ln( + 5) Formuler en regel for at bestemme differentialkvotienter for funktioner af denne type Kontrollér om reglen også gælder når konstanterne er negative, og når konstanterne ikke er hele tal (c) Angiv differentialkvotienten for hver af funktionerne 4, ( +) 4, ( +5) 4 og ( +5) 4 Formuler en regel for at bestemme differentialkvotienter for funktioner af denne type Kontrollér om reglen også gælder når konstanterne er negative, og når konstanterne ikke er hele tal (d) Forestil dig at der i lommeregneren var indbygget to funktioner bip og pip hvor bip ( ) pip( ) Gæt differentialkvotienten af bip( a+ b) ved at sammenligne med dine svar på (a), (b) og (c) 6 Øvelse I tabellerne er funktionsværdierne afrundet til decimal Hvis der havde været flere decimaler, ville man kunne se at f-grafen og g-grafen krummer, 8, 9,,, g (), 6, 8,,, 4, 8, 9,,, f (), 4, 7,, 6, 9,, h ( ) f ( g( )) (a) Angiv skønnede værdier for g () og f () (b) Udfyld de tomme pladser i f ( g( )) -tabellen (c) Angiv skønnede værdier for () f g() h og ( ) Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul
17 7 Øvelse (a) Om to funktioner f () og g () er oplyst at f ( 5) 4 og g ( ) Skriv tilnærmede værdier for de manglende funktionsværdier i f-tabellen og g-tabellen (b) Udfyld den tredje tabel, 8, 9,,, g () 5, 4, 8 4, 9 5, 5, 5, f () 7,, 9,, h ( ) f ( g( )) (c) Angiv en skønnet værdi for () f h (d) Udregn ( g( ) ) g () 8 Oplæg om differentialkvotient af sammensat funktion For at fremstille en vare skal man taste højden h i mm Prisen i kr afhænger af varens bredde b i mm Vi betragter følgende tre funktioner: br( h) bredde når højde er h, pr( b) pris når bredde er b, ( br( h) ) pris når højde er h PR( h) pr Når højde er mm, er bredde 9 mm, dvs br ( ) 9 Når højde er mm så øges bredde med mm hver gang højde øges mm, dvs b r ( ) Når bredde er 9 mm så øges pris med,5 kr hver gang bredde øges mm, dvs p r ( 9),5 Vi kan slutte at når højde øges mm, så øges pris i kr med (*),5 dvs P R ( ) Udregningen (*) kan også skrives Vi ser at r ( 9) br () r p eller p r ( br( ) ) b () ( br( h) ) br ( h) PR ( h) p r Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul
18 9 Differentialkvotient af sammensat funktion (b) Sætning Hvis g () er differentiabel i og f () er differentiabel i g ( ) og funktionen ( ) f ( g( ) ) h er differentiabel i ( g( )) g ( ) h ( ) f, gælder at Eksemler på brug af sætning b Eksempel Vi vil bestemme differentialkvotienten af ln( + ) Det ses at ( g( )) h hvor h ( ) ln( ) og g ( ) + Da h ( ) og g ( ) er f ( ) h ( g( ) ) g ( ) g( ) + Eksempel Vi vil bestemme differentialkvotienten af Det ses at Da er + p ( ) 4( ) ( q( )) p ( ) r hvor r ( ) 4 + og q( ) r ( ) og q ( ) ( q( ) ) q ( ) ( q( ) ) ( ) ( ) p ( ) r Differentialregning Side 74 6 Karsten Juul
19 Øvelse Brug sætning b til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner: ln(4 ), g ( ) ( + + ), h ( ) + 4 Øvelse (Uden hjælpemidler) Bestem en ligning for tangenten til grafen for funktionen P (, f ( )) + i punktet Oversigt over regneregler for differentialkvotienter h () h () + g( ) f ( ) + g ( ) g( ) f ( ) g ( ) k f () k f () g( ) f ( ) g( ) + g ( ) g( ) f ( ) g( ) g ( ) ( g( ) ) f ( g() ) f ( g( ) ) g ( ) Differentialregning Side 75 6 Karsten Juul
Differential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereOpstilling af model ved hjælp af differentialkvotient
Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereEksempler på problemløsning med differentialregning
Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereØvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet
Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mere10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereM A T E M A T I K A 2
M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereMatematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)
Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereIntegralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l
Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral
Læs mereM A T E M A T I K B 2
M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereA U E R B A C H M I K E (2) (1)
M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereBetydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2
PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter
Læs mereA U E R B A C H. (2) f. a x b
M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul
Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært
Læs mereOpvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3
eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereIntegralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul
Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereDifferentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.
Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f
Læs mereMatematik A2. Mike Auerbach (2) (1)
Matematik A2 Mike Auerbach (2) f () Matematik A2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereDifferentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011
Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereVektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul
Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereMatematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010
Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl
Læs mereDifferentialregning ( 16-22)
Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)
Læs merematx.dk Mikroøkonomi
matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereFormler & algebra - Fase 2 Omskriv & beregn med variable
Navn: Klasse: Formler algebra - Fase Omskriv beregn med variable Vurdering fra til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring. Jeg kan opstille en linjes ligning, når jeg
Læs mereUndersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.
Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereFlexMatematik B. Introduktion
Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen
Læs mereMike Vandal Auerbach. Funktioner.
Mike Vandal Auerbach Funktioner y f g x www.mathematicus.dk Funktioner. udgave, 208 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau. Det indledende kapitel beskriver selve funktionsbegrebet,
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg
Læs mereUdforskning af differentiationsjunglen
Matematik side 1/7 Udforskning af differentiationsjunglen Vi vil nu undersøge de svar Derive fremkommer med når vi be r maskinen om at differentiere! Hvad der gemmer sig bag ordet vender vi tilbage til
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 14/15
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereProcent og rente Karsten Juul
Procent og rente 2018 Karsten Juul 1. Procent 1.1 Oplæg til procent... 1 1.2 Udregn procent... 2 1.3. Udregn procent-ændring... 2 1.4 Udregn procent-fald... 3 1.5 Udregn procent-stigning... 3 1.6. Udregn
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereGrafregner-projekt om differentiation.
Grafregner-projekt om ifferentiation. Motivation: Når nu ifferentieret giver, og e ifferentieret giver e, hvorfor får man så ikke e når man ifferentiere e? Formål: ) At opnå kenskab til, og forståelse
Læs mereMatematik i grundforløbet
Mike Vandal Auerbach Matematik i grundforløbet y x www.mathematicus.dk Matematik i grundforløbet. udgave, 208 Disse matematiknoter er skrevet til matematikundervisningen i grundforløbet (som det ser ud
Læs mere