GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt MATEMATIK B Xxxxdag den xx. måned åååå Kl. 10.00 15.00 Undervisningsministeriet GL083-MAB 574604_GL083-MAB_12s.indd 1 14/01/09 14:40:30
Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgavesættet består af opgaverne 1-7 med i alt 15 spørgsmål og valgfrie opgaver 8A-8E med i alt 4 spørgsmål. De 19 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Af opgaverne 8A, 8B, 8C, 8D og 8E må kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst. 2 574604_GL083-MAB_12s.indd 2 14/01/09 14:40:31
Side 1 af 6 sider Opgave 1 I trekant ABC kendes følgende størrelser: b = 11, A = 79 og Bestem B og BC. C = 64. På siden AC er punktet D bestemt ved, at AD = 8. Bestem BD. Opgave 2 I 1990 var antallet af indbyggere i en bestemt by 20 000. I en model for befolkningsudviklingen efter 1990 angiver funktionen f (x) antallet af indbyggere x år efter 1990. Det antages, at antallet af indbyggere vokser med 2 % om året. Bestem en forskrift for f (x). I en model for en anden by angiver funktionen g(x) antallet af indbyggere x år efter 1990. g ( x) 30 000 1,025 x. I hvilket år vil antallet af indbyggere i den anden by første gang overstige 60 000? Opgave 3 En funktion f er bestemt ved f ( x) 13 x 3 12 x 2 6 x. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P( 3, f ( 3)). Bestem monotoniforholdene for f. 3 574604_GL083-MAB_12s.indd 3 14/01/09 14:40:32
Side 2 af 6 sider Opgave 4 Dugongs, også kaldet søkøer, er havdyr, som kan blive omkring 3 meter lange, og som har en levetid på 50-60 år. Tabellen herunder viser sammenhørende værdier af søkøers alder, målt i år, og deres længde, målt i meter. Alder 1,5 2,5 5,0 7,0 9,5 10,0 13,0 17,0 22,5 29,0 Længde 1,97 2,02 2,15 2,35 2,39 2,41 2,47 2,56 2,70 2,72 Kilde: Marsh, H.R (1980), Age determination of dugongs in Northern Australia and its biological implications. Det oplyses, at en søkos længde som funktion af dens alder med tilnærmelse er en funktion af typen f ( x) b x a, hvor x er søkoens alder, og f (x) er søkoens længde. Bestem tallene a og b ved hjælp af tabellens data, og opskriv en forskrift for f. Bestem ved hjælp af funktionen f længden af en søko, der er 8 år gammel. c) Bestem ved hjælp af funktionen f alderen på en søko, som har en længde på 2,25 meter. Opgave 5 Ved leje af ski skal Jonas betale et engangsbeløb samt en leje pr. dag. Funktionen f (x) = 32x + 200 angiver det samlede beløb i kr., som Jonas skal betale for leje af ski i x dage. Angiv betydningen af tallene 32 og 200 i forskriften for f (x). Bestem hvor mange dage, Jonas kan leje ski, når han har 680 kr. til rådighed. 4 574604_GL083-MAB_12s.indd 4 14/01/09 14:40:34
Side 3 af 6 sider Opgave 6 Et andengradspolynomium er givet ved forskriften 2 p ( x) x 5x 4. Tegn grafen for p(x), og bestem værdimængden for p(x). Bestem arealet af det område, der i første kvadrant afgrænses af grafen for p (x), førsteaksen og linjerne med ligningerne x = 2 og x = 3. Opgave 7 To vektorer er givet ved 3 2 a og b. 1 4 Bestem vinklen mellem og. Bestem længden af hver af de to diagonaler i parallelogrammet, der udspændes af vektorerne a og b. 5 574604_GL083-MAB_12s.indd 5 14/01/09 14:40:34
Side 4 af 6 sider Af opgaverne 8A, 8B, 8C, 8D og 8E skal kun to opgaver afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver. Opgave 8A: Rentes- og annuitetsregning. Ane sparer op til en rejse og sætter 2 000 kr. i banken hvert halve år. Banken giver en halvårlig rente på 1,5 %. Hvor mange penge har Ane stående i banken umiddelbart efter den 10. indbetaling? Ane har ikke sparet nok op til rejsen og må derfor låne 20 000 kr. i banken. Hun ønsker at tilbagebetale dette lån med 15 lige store halvårlige ydelser. Banken tager 4 % i halvårlig rente. Hvor stort et beløb skal Ane betale i halvårlig ydelse til banken? Opgave 8B: Beskrivende statistik. I to klasser, Klasse I og Klasse II, er der afholdt den samme matematikprøve. I Klasse I blev der givet følgende karakterer: 00, 10, 7, 10, 4, 00, 4, 4, 7, 7, 10, 7, 10, 02, 00, 4, 7, 4, 10, 12 I Klasse II kan de opnåede resultater beskrives ved følgende statistiske deskriptorer: Deskriptor Klasse II Middelværdi 6,00 Median 7 Nedre kvartil 4 Øvre kvartil 7 Bestem de tilsvarende deskriptorer for Klasse I. Beskriv forskellen mellem de to klassers præstationer ved hjælp af de nævnte deskriptorer. 6 574604_GL083-MAB_12s.indd 6 14/01/09 14:40:36
Side 5 af 6 sider Opgave 8C: Klassisk geometri og trigonometri. Figuren viser en trekant ABC, hvori følgende størrelser kendes: A = 51, AB = 4,50 og BC = 6,90. Det oplyses endvidere, at vinkel B er stump. C og arealet af trekant ABC. Bestem Bestem længden af medianen ma fra A. Opgave 8D: Lineær programmering. En virksomhed ønsker at producere to forskellige varer, Vare A og Vare B. Når der produceres x enheder af Vare A og y enheder af Vare B, er polygonområdet givet ved følgende begrænsninger: y 2x +100 y x + 80 x 0 y 0. En lineær funktion f i to variable, der angiver den samlede fortjeneste, er givet ved forskriften f ( x, y) 45x 30 y. En niveaulinje N (t ) er defineret ved f ( x, y) t. Tegn polygonområdet og niveaulinjerne N (0) og N (2400) i samme koordinatsystem. Bestem den produktionssammensætning, der giver den størst mulige samlede fortjeneste. 7 574604_GL083-MAB_12s.indd 7 14/01/09 14:40:38
Side 6 af 6 sider Opgave 8E: Analytisk beskrivelse af linjer, parabler og cirkler. En cirkel er givet ved ligningen x 2 6x + y 2 2y + 6 = 0. Bestem cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum. Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem cirklen og linjen med ligningen y = x. 8 574604_GL083-MAB_12s.indd 8 14/01/09 14:40:38
574604_GL083-MAB_12s.indd 9 14/01/09 14:40:39 9
10 574604_GL083-MAB_12s.indd 10 14/01/09 14:40:39
574604_GL083-MAB_12s.indd 11 14/01/09 14:40:39 11
574604_GL083-MAB_12s.indd 12 14/01/09 14:40:39