XM @ DTU License to Thrill Brand! S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bygning 303S, DTU DK-2800 Kgs. Lyngby 1
Brand! Figur 1: Brand!! Niveau: C, B, og A. Tidsforbrug: Fra 1 til 5 lektioner. Faglige mål: Cirkler, ellipser, areal, omkreds, folieringer med cirkler og ellipser, vurdering af brandudbredelser med og uden vind. Beskrivelse (detaljeret): Dette oplæg handler om en velkendt form for natur-katastrofer: På en vindstille sommerdag går der pludselig ild i en knastør skov og brandens frontkurve udbreder sig straks cirkulært ud fra antændingspunktet. Men hvis vinden blæser (op) og derved fører ekstra ilt til branden fra en given retning er frontkurven langt fra cirkulær. Formålet med øvelserne er at finde eller vurdere tidsforløbet af skovbrande, dels med hensyn til hvor stort et skovområde der er blevet afbrændt til et givet tidspunkt og dels med hensyn til udbredelsesformen, altså formen af brandfrontkurven til tiden t efter antænding. Der er selvsagt adskillige gode grunde til at bekymre sig om disse sager. Det fremgår også tydeligt af følgende citater fra henholdsvis [6] og [3]: 2
"A wildfire, also known as a forest fire, vegetation fire, grass fire, brush fire, or bush fire (in Australia), is an uncontrolled fire often occurring in wild land areas, but which can also consume houses or agricultural resources. Common causes include lightning, human carelessness and arson. One main component of Carboniferous north hemisphere coal is charcoal left over by forest fires. The earliest known evidence of a wildfire dates back to Late Devonian period (about 365 million years ago). The powerful updraft caused by a large wildfire will draw air from surrounding areas. These self-generated winds can lead to a phenomenon known as a firestorm. []... models predict an elliptical shape [of the fire s front line] when the ground is flat and the vegetation is homogeneous. []... All the large catastrophic fires in the United States have been wind driven events where the amount of fuel (trees, shrubs, etc.) has not been the most important factor in the fire spread." Figur 2: Større skovbrande (> 200 ha) i Canada i perioden 1959 1999. "A working knowledge of the effects of wind and other weather elements on fire behaviour, supported by accurate fire intelligence, is vital for good suppression planning. Without good fire behaviour information firefighters are unable to: determine the number of firefighters and level of equipment necessary; identify the location of suitable areas for backburning; and ensure that the general public is informed about the precise fire situation." 3
Se også [7], der indeholder en liste over nogle af de største kendte skovbrande i nyere tid. Figur 3: Brandbekæmpelse via flanke-angreb anbefales i [2]: "The pocket card explicitly states that the only safe fire suppression strategy/tactic is direct attack flanking action starting from the rear of the fire while being ever mindful of the possibility for rekindling, the value of a "black line", and the necessity for preparing a mineralized fireguard." Modellering af skov, antændelse, vind, og tab Helt konkret ser vi først på et rektangulært (vandret) skov-område S. Vi antager, at skoven er fuldstændig homogen med konstant tæthed: ρ træer pr. arealenhed. Træerne har alle samme højde og samme brandtekniske beskaffenhed. Vi vil groft antage, at vi kan betragte brandens udbredelse som et plant problem - herunder at udbredelsen foregår langs en veldefineret brandfront-kurve. Opgave 1) Hvorfor er det en grov antagelse? Vi indfører et (x, y) koordinatsystem i skovens plan således at Origo ligger i midten af skoven og således at skoven iøvrigt modelleres ved: S = {(x,y) R 2 L x L og M y M }, (0.1) 4
Figur 4: Brandbekæmpelse fra luften. hvor L og M er givne værdier for skovens (halve) længde og (halve) bredde, henholdsvis: L ]0, ], og M ]0, ]. Skovens areal er altså (hvis ellers L og M begge er endelige): A(S) = 4LM. Antændelsesstedet betegnes med p = (x 0,y 0 ) S. Vi lader Ω(t) S betegne det del-område af S, der til tiden t > 0 er blevet afbrændt. Det tilsvarende udbrændte areal er så A(t) = Areal(Ω(t)), t > 0. (0.2) En del af øvelserne nedenfor går ud på at finde dette areal i forskellige givne situationer. Arealet svarer jo præcis til antallet af tabte træer ved branden: Tab(t) = ρ A(t). I starten vil branden typisk udbrede sig som en ellipse med voksende halvakser og med en konstant translationshastighed (i vindretningen). Opgave 2) Hvad er en ellipse? Hvordan beskrives ellipser i det givne koordinatsystem? I hvilken retning vil ellipserne vokse mest? Se figurerne nedenfor, f.eks. 10 og 8. Branden vil typisk danne en hovedfront, en halefront og to flanker. Fremdriften er størst ved hovedfronten hvor der afbrændes flest træer pr. tidsenhed. Fremdriften er lille - men ikke nødvendigvis forsvindende - i halen, hvor brandfronten bevæger sig baglæns i retning op mod vinden, se [2], [5] og animationerne AnimObs0W1.html og AnimObs1W1.html Hvis der ikke er nogen udefra kommende vind, vil udbredelsen dog være helt symmetrisk ud fra antændelsesstedet til ethvert tidspunkt t > 0 - hvis ellers skoven er tilstrækkelig stor: 5
Model uden vind Den cirkulære udbredelse af brandkurven kan modelleres på følgende måde, hvor φ betegner retnings-vinkel-parameteren, φ [ π, π]. Tiden betegnes med t > 0 og a er en konstant, der afhænger af skovens beskaffenhed, tæthed, træhøjde, tørhed, etc., der også antages konstant i hele skoven: x(t,φ) = at cos(φ) (0.3) y(t,φ) = at sin(φ). Ovenstående model medfører specielt, at radius af det cirkulære brændte område Ω(t) vokser proportionalt med tiden t. Opgave 3) Hvorfor fremstiller (0.3) en cirkel til ethvert positivt tidspunkt t? Hvad er ligningen for cirklen til tiden t? Hvor stor er radius til tiden t? Figur 5: Cirkulær udbredelse uden vind og uden søer i en cirkulær skov. Se også animationen: AnimObs0W0.html Opgave 4) Antag ovenstående cirkulære udbredelsesmodel (0.3) og antag, at skoven er enorm stor, L = M =. Hvad er arealet A(t) af Ω(t) som funktion af t når branden er antændt i et givet punkt p = (x 0,y 0 ) til tiden t = 0? Opgave 5) Antag igen (0.3) og antag nu mere realistisk, at skoven er rektangulær og har endelig udstrækning givet ved endelige værdier af L og M, men antag også (lidt urealistisk) at modellen (0.3) gælder uanset hvor mange træer, der er tilbage i skoven. Hvor lang tid går der fra antænding, svarende til t = 0 på stedet p = (x 0,y 0 ) indtil skoven er helt udbrændt? Opgave 6) Hvis skoven er cirkulær som i figur 5 med radius R og antændes i en given afstand ρ fra centrum, hvor lang tid tager det så inden skoven er helt udbrændt? Model med konstant vind og konstant vindretning Som allerede bemærket i indledningen spiller vinden en meget stor rolle for udbredelsen af skovbrande. En oplagt ide er at modificere den cirkulære model til en "elliptisk"model med 6
Figur 6: Cirkulær udbredelse uden vind men med to søer i skoven. Se også animationen: AnimObs1W0.html translation i vindretningen. Det er præcis hvad der gøres i [5], hvorfra vi citerer: Figur 7: Øjebliksbillede af elliptisk udbredt brandzone. "Under constant conditions for homogeneous, non-spotting fuels it is generally accepted that a fire ignited at a point will expand, at a constant rate, as an ellipse of the form: x(t,φ) = at cos(φ) y(t,φ) = bt sin(φ) + ct, (0.4) where t is time, the origin being the point of ignition and the y-axis being the wind direction. The forward rate v, the lateral rate u and the back rate w are defined as: v = b + c u = a w = b c. (0.5) The Canadian Forest Fire Behaviour Prediction System (CFFBPS) assumes elliptical growth and has documented values of u, v, and w for a very large set of constant parameters affecting a fire. It has also been observed that, within certain limits, the ratio a/b is a function of wind speed only; this is also an assumption of the CFFBPS." 7
Figur 8: Ellipse-foliering af brandzonen. Figur 9: Elliptisk udbredelse af brand med vind og uden søer i en cirkulær skov. Se også animationen: AnimObs0W1.html Bemærk, at i denne model er det klart antaget, at antændingspunktet er (x 0,y 0 ) = (0,0) og vinden er i y-aksens positive retning. Konstanterne a, b, og c er udtryk for brandtekniske egenskaber ved skov-materialet, nu med vinden (og den tilsvarende tilførsel af ilt) som en ny afgørende parameter indbygget i konstanterne. Desuden antages, at b > c, således at brandfront-ellipserne har en egentlig baglæns udbredelse, altså op imod vinden, jævnfør figur 11 og 9. Opgave 7) Til ethvert tidspunkt t 0 > 0 er brandfrontkurven i denne model en ellipse med halvakserne at 0 og bt 0. Find ligningen for denne ellipse til ethvert tidspunkt t. Find arealet af ellipsen som funktion af t 0. Opgave 8) Lad E være en given brand-ellipse der til et givet tidspunkt har halvakserne α < β - som i figur 10. Hvor stort er arealet af hvert enkelt af de der skitserede områder: Area burnt by head fire, Area burnt by flank fire, og Area burnt by back fire? Hvordan kan man (mange år) efter branden afgøre hvilken vej branden udbredte sig? Opgave 9) Find (for endelige værdier af L og M for en rektangulær skov og ved brug af den elliptiske model i (0.4)) et udtryk for hvor lang tid, der går fra antænding i punktet (0,0) indtil skoven er helt udbrændt. Det antages også her at den anvendte elliptiske model for udbre- 8
Figur 10: Head fire, flank fire, og back fire : Område-inddeling af det elliptisk udbrændte område, fra [2]: "The fire growth projections in the pocket card assume an elliptical fire shape. Photo courtesy of D. D. Wade, USDA Forest Service". delse holder uanset hvor mange træer der er tilbage i skoven. Opgave 10) Samme spørgsmål for en cirkulær skov med radius R antændt i (0,0). Opgave 11) Bestem værdierne a, b, og c for Waipawa branden, 31. januar 1991 ved Tikokino i New Zealand, hvis udbredelse er vist i figur 11. Det oplyses, og ses, at den ellipseformede brandfront efter 30 minutter var 7.2 km lang og 1 km bred; efter 60 minutter var den 2 km bred og 14.5 km lang. Efter 60 minutter var brandhalen rykket 350 meter i modvindsretning fra brandens antændelsespunkt. Vindhastigheden var iøvrigt "kun" 56 km/t i den angivne retning. Opgave 12) Beskriv, hvordan en skovbrand kan løbe om hjørner. Materialer: Animationer: Se i mappen: http://www2.mat.dtu.dk/people/s.markvorsen/display/ - i undermapperne: XMatDTU/XMwriteF07/ SKOVBRAND/AnimObs.../ 9
Figur 11: Elliptisk udbredelse af brandzone. Figur 12: Elliptisk udbredelse med vind og med søer i skoven. Se også animationen: AnimObs1W1.html Animationerne hedder henholdsvis: AnimObs0W0.html AnimObs0W1.html AnimObs1W0.html AnimObs1W1.html Litteratur [1] M. E. Alexander, Estimating the length-to-breadth ratio of elliptical forest fire patterns, Proc. 8th Natl. Conf. on Fire and Forest Meteorology, Society of American Foresters, Washington, D.C., 1985. [2] M. E. Alexander and L. G. Fogarty, A pocket card for predicting fire behaviour in grasslands under severe burning conditions, Forest and Rural Fire Research, Fire Technology Transfer 10
Note, Number 25, June 2002. [3] L. G. Fogarty and M. E. Alexander, A Field Guide for predicting Grassland Fire potential: Derivation and Use, Forest and Rural Fire Research, Fire Technology Transfer Note, Number 20, July 1999. [4] S. Markvorsen, Integration i flere Variable, Institut for Matematik, februar 2007. [5] G. D. Richards, An Elliptical Growth Model of Forest Fire Fronts and its Numerical Solution, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 30, 1163 1179 (1990). [6] Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/forest_fire [7] Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/list_of_forest_fires INSTITUT FOR MATEMATIK, MATEMATIKTORVET, DTU BYGNING 303 SYD, 2800 KGS. LYNGBY. 11