Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72)

Transkript

1 Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 18. januar 2006 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.), samt brug af lommeregner er tilladt. Eksamenssættet består af 6 opgaver på 6 nummererede sider (1 6). Bagest findes en engelsk oversættelse ligeledes på 6 nummerede sider (7-12). Fuld besvarelse er besvarelse af alle 6 opgaver. De enkelte opgavers vægt ved bedømmelsen er angivet i procent. Der må gerne refereres til resultater fra lærebogen og ugesedlerne inklusive øvelsesopgaverne. Henvisninger til andre bøger (ud over lærebogen) accepteres ikke som besvarelse af et spørgsmål. Bemærk, at hvis der er et spørgsmål i en opgave, man ikke kan besvare, må man gerne (så vidt det er muligt) besvare de efterfølgende spørgsmål og blot antage, at man har en løsning til de foregående spørgsmål. You are allowed to use the text-book, your personal notes and a pocket calculator. The exam contains 6 problems, each on a separate page. The Danish version can be found on pages 1-6, the English version is on pages A complete solution consists of a solution to all problems. The weight of a problem is expressed in percentages. In general you may refer to results from the book and from the weekly notes. It will not be accepted as an answer to refer to other books than the text-book. Note, that if a problem contains a question, you cannot answer, you are allowed to answer the following questions and simply assume that you have an answer to the previous question. Husk at begrunde alle dine svar! Remember to explain all your claims!

2 Opgave 1 (15 %) Hvilke af følgende påstande er sande, og hvilke er falske. Begrund alle dine svar. a) Følgende graf G = (V, E) har en Euler-kreds. a b c d e b) Følgende mængde A er tællelig. A := { n n N 0 } R, hvor N 0 = {0, 1, 2,...}. c) For alle udsagn P og Q er følgende altid sandt ((P Q) Q) (Q (P Q)). 1

3 Opgave 2 (15 %) Bevis at der for alle positive heltal n gælder n (f i ) 2 = f n f n+1, i=1 hvor f i is Fibonacci-tallene defineret ved f 0 = 0, f 1 = 1 og f n = f n 1 + f n 2 for n 2. 2

4 Opgave 3 (15 %) Find mængden af positive heltal x, for hvilke følgende er sandt: x 1 (mod 5) x 0 (mod 7) x 4 (mod 9) 3

5 Opgave 4 (20 %) Betragt følgende inhomogene rekursionsligning med begyndelsesbetingelser a 0 = 0 og a 1 = 3. a n = 4 a n 1 4 a n n (*) a) Den associerede homogene rekursionsligning er a n = 4 a n 1 4 a n 2. Angiv den generelle form for løsninger til denne homogene rekursionsligning. b) Angiv en bestemt løsning (particular solution) til den inhomogene rekursionsligning (*) uden hensyntagen til begyndelsesbetingelserne. c) Hvad er løsningen til den inhomogene rekursionsligning (*), når begyndelsesbetingelserne også tages i betragtning? 4

6 Opgave 5 (20 %) Efter en lang uge på arbejde beslutter Jens sig for at tage til Schweiz for at spise nogle lækre kager. Han køber tre kager til en pris af i alt 10 Schweizerfranc. Alle priser er heltal, og alle kager koster mindst en Schweizerfranc. Dvs. antallet af måder priserne på de tre kager kan summe op til 10 Schweizerfranc svarer præcis til antallet af løsning til ligningen hvor x i er positive heltal. x 1 + x 2 + x 3 = 10, a) Hvor mange løsninger er der til ovenstående ligning, såfremt alle x i er positive heltal? b) I virkeligheden kostede ingen kage mere end 5 Schweizerfranc, dvs. vi leder faktisk efter antallet af løsninger til hvor x i {1, 2, 3, 4, 5}. x 1 + x 2 + x 3 = 10, Hvor mange løsninger er der i dette tilfælde? 5

7 Opgave 6 (15 %) Anders og Inge vil dele en chokoladestang. Stangen består af 2n + 1 blokke af samme længde (hvor n er et positivt heltal). I stedet for at dele chokoladestangen lige over beslutter de sig for at dele den ved, at de hiver i hver sin ende af stangen n+1 Anders Inge En velkendt kendsgerning fra chokoladevidenskaben fastslår, at chokoladestangen ved denne proces vil blive delt i netop to stykker i en af de 2n revner mellem de 2n + 1 blokke stangen består af. Revnen vælges uniformt mellem mulighederne. Lad den stokastiske variabel X være antallet af blokke i den længste af de to resterende stykker. Jævnfør det ovenstående har vi mens P (X = i) = 0 ellers. a) Find E(X). P (X = i) = 1, for i {n + 1, n + 2,..., 2n}, n b) Find variansen Var(X) af X. c) Brug Chebyshevs ulighed sammen med spørgsmål a og b til at finde en øvre grænse for sandsynligheden for at det længste stykker har længde mindst 15n blokke. 6

8 Question 1 (15 %) For each of the following statements, decide whether it is true or false. You have to give precise arguments explaining your answers. a) The following graph G = (V, E) has an Euler circuit. a b c d e b) The following set A is countable. A := { } n n N 0 R, where N 0 = {0, 1, 2,...}. c) For all propositions P and Q, the following always holds. ((P Q) Q) (Q (P Q)). 7

9 Question 2 (15 %) Show that for any positive integer n, n (f i ) 2 = f n f n+1, i=1 where f i are the Fibonacci numbers defined by f 0 = 0, f 1 = 1, and f n = f n 1 + f n 2 for n 2. 8

10 Question 3 (15 %) Find the set of positive integers x for which the following holds x 1 (mod 5) x 0 (mod 7) x 4 (mod 9) 9

11 Question 4 (20 %) Consider the following nonhomogeneous recurrence relation with initial conditions a 0 = 0 and a 1 = 3. a n = 4 a n 1 4 a n n (*) a) The associated homogeneous recurrence relation is a n = 4 a n 1 4 a n 2. Give the general form of the solutions of this homogeneous recurrence relation. b) Give a particular solution of the nonhomogeneous recurrence relation (*) when ignoring the initial conditions. c) What is the solution of the nonhomogeneous recurrence relation (*) when also considering the initial conditions? 10

12 Question 5 (20 %) After a long week at work, Jens decides to go to Switzerland to get some very nice cakes. Here he buys three cakes for a total amount of 10 Swiss franc. All prices are integers, and all cakes cost at least one Swiss franc. So the number of ways the prices of the three cakes can add up to 10 Swiss francs is the number of solutions to the equation x 1 + x 2 + x 3 = 10, where the x i are positive integers. a) How many solutions are there to the equation above where all x i are positive integers? b) In fact no cake costs more than 5 Swiss franc, and we are in fact looking for the number of solutions to where the x i {1, 2, 3, 4, 5}. x 1 + x 2 + x 3 = 10, How many solutions are there in this case? 11

13 Question 6 (15 %) Anders and Inge want to share a chocolate bar. The bar consists of 2n + 1 blocks of the equal length (where n is some positive integer). Instead of dividing the chocolate bar equally, they decide to split the bar by each of them pulling from either end of the chocolate bar n+1 Anders Inge A well-known fact from chocolate science now states that the bar will break into exactly two pieces in one of the 2n cracks between the 2n + 1 blocks of the chocolate bar. The crack is chosen uniformly at random. Let the random variable X be the number of blocks in the longer of the two resulting pieces. By the above and P (X = i) = 0 otherwise. a) Find E(X). P (X = i) = 1, for i {n + 1, n + 2,..., 2n}. n b) Find the variance Var(X) of X. c) Use Chebyshev s inequality together with question a and b to derive an upper bound on the probability that the longer piece has length at least 15n blocks. 12