Pernille Pind MMM Matematiker Mormor Missionær 1 Matematik hvad og hvorfor? 2 pindogbjerre.dk 1
Hvad er matematik? Matematik er det fag der beskæftiger sig med følgende tre spørgsmål: Hvor mange? Hvor stor? Hvilken form? Altså noget med antal, størrelse og form og noget med at stille spørgsmål. 3 Hvad er matematisk viden? eller 4 pindogbjerre.dk 2
Sammenhænge er det nye sort Ny viden skal hænge sammen med gammel viden. Der er mange veje til den samme viden. 5 Hvorfor lære matematik? Fire begrundelsesargumenter: Nytte Dannelse Individ Samfund Hverdag, uddannelse og arbejde. Mange erhverv: snedker, revisor, ingeniører mm. Livsanskuelse, fornøjelse. Aktive medborgere, foreningsdeltagelse, demokrati. 6 pindogbjerre.dk 3
Åbenhed Åbent og undersøgende Et princip for matematikundervisningen. 7 Kontekst - åbenhed projekt åben og undersøgende matematik træning etablerings opgaver Kontekst 8 pindogbjerre.dk 4
Små skridt Der er langt fra træning til projekter. Der er en tendens til at springe mellem det meget lukkede og det meget åbne. Mange tabes i de store spring. Tag små skridt. Start lidt åben og med kun lidt kontekst. Med Vygotskys ord: Zonen for nærmeste udvikling 9 Hold i hånden Det er tryggest at være i det grønne hjørne med træningsopgaver. Ny læring kræver, at man bevæger sig ud af det grønne hjørne. Hold eleverne i hånden på turen væk fra det grønne hjørne. 10 pindogbjerre.dk 5
Åbne opgaver En opgave er åben, når der er flere mulige svar. 11 Hvorfor åbne opgaver? 1. Undervisningsdifferentiering 2. Faglig inklusion 3. Virkeligheden er åben 4. Modvirker matematikangst 5. Mere effektiv læring 12 pindogbjerre.dk 6
Undervisningsdifferentiering Elevens valg er med til at afgøre indholdet af opgaven, herunder sværhedsgraden. Lærerens støtte starter altid med: Hvad er det, du har valgt at se på? 13 Faglig inklusion Faglig inklusion er når alle deltagere bidrager til øget faglighed hos alle. En lukket opgave har ét rigtigt svar, én elev kan få lov at svare. En åben opgave har mange rigtige svar, mange elever kan få lov at svare. Det er lærerigt at høre andres svar! 14 pindogbjerre.dk 7
Virkeligheden er åben Kun i skolens matematiktimer er der lukkede matematikopgaver. Udenfor skolen er man altid selv med til at afgøre, hvad man regner på. 15 Modvirker matematikangst Matematikangst næres bl.a. af frygten for at regne forkert. I lukkede matematikopgaver føles muligheden for at regne rigtigt lille, og muligheden for at regne forkert stor. Med åbne opgaver er rummet for det rigtige udvidet markant 16 pindogbjerre.dk 8
Mere effektiv læring De store ord fra 90 erne: Konstruktivistisk læringsteori Metakognintion Ansvar for egen læring 17 Udfordringer Mangel på opgaver Lærerens faglige usikkerhed Ny didaktisk kontrakt 18 pindogbjerre.dk 9
Mangel på opgaver Der er få åbne opgaver i lærebøgerne. Og de åbne opgaver der er, er ofte MEGET åbne og MEGET virkelighedsnære helt oppe i det røde felt. 19 Lærerens faglige usikkerhed ALLE lærere vil med åben og undersøgende matematikundervisning opleve faglige spørgsmål fra eleverne, som de ikke umiddelbart kan svare på. Det er ok! Man skal forberede sig på, hvordan man vil håndtere det. Lad os tænke sammen, Lad os google det, Jeg spørger en kollega 20 pindogbjerre.dk 10
Didaktisk kontrakt De uskrevne regler om hvordan man opfører sig i matematikundervisningen. 21 Den gamle kontrakt Det er godt at være hurtig færdig og videre til næste opgave. Det er godt når man ikke behøver at stille spørgsmål. Der er ét rigtigt svar. Man skal ikke selv bestemme noget i opgaverne. Det er forbudt at kigge ved andre. Når man spørg læreren, forklarer han hvad man skal. Læreren ved alt! 22 pindogbjerre.dk 11
Den gamle kontrakt Overføres - uden at man opdager det - fra forældre, søskende, venner 23 Den nye kontrakt Det er godt at fordybe sig og blive i samme opgave længe. Det er godt at stille flere spørgsmål. Man skal selv bestemme noget i opgaverne. Det er godt at komme med mange svar. Det er godt at bygge videre på andres svar. Læreren stiller spørgsmål, så man selv kan tænke videre. 24 pindogbjerre.dk 12
Den nye kontrakt Er super svær at indføre! De uskrevne regler skal måske skrives ned man skal i hvert tilfælde snakke om dem. 25 Elsk fejl! Når man tør lave fejl, tør man prøve noget nyt. Hjernen vokser af fejl, der erkendes! Beløn mod - og fejl, med en lille gave fra en mod-bellønnings-kasse. 26 pindogbjerre.dk 13
Tre svar en metode Tre forskellige svar: Et almindeligt Et vanskeligt Et smart 27 De tre forskellige svar Pointen er ikke, at læreren skal afgøre om svaret er A(lmindeligt), V(anskeligt) eller S(mart). S er ikke finere end A eller V. Hver elev skal anstrenge sig for at finde flere og forskellige slags svar. Mærkaterne er private og primært en hjælp til at udfordre sig selv. 28 pindogbjerre.dk 14
Regnestykker der giver 100 Almindelige 50 + 50 60 + 40 Vanskelige 60 + 20 + 20 100,01-0,01 5 200 70 14 25 2 Smarte 100 + 0 100 : 1 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 29 Læreren må gerne udfordre Udfordringer kan være: Andre tal: større, mindre, med 0 er. Andre regningsarter flere regningsarter Brug en kontekst 30 pindogbjerre.dk 15
Åbenhed Den røde tråd Den røde tråd fra 0. til 10. klasse i åben og undersøgende matematik er det spørgende. Det at eleverne lærer at stille matematiske spørgsmål, være matematisk nysgerrige, matematisk åbne og undersøgende! 31 Den røde tråd Det skal læres, det kommer ikke af sig selv. Det kommer med mange små skridt fra det enkle mod det komplekse. åben og undersøgende matematik projekt etablerings opgaver træning Kontekst 32 pindogbjerre.dk 16
Seks typer åben og undersøgende matematik 1. Svaret er givet 2. Manglende oplysninger 3. Undersøgelser 4. Modellering 5. Regnehistorier 6. Nye begreber 33 1 Svaret er givet Svaret er givet er matematisk Jeopardy. Vi starter med et svar, og finder på, hvad spørgsmålet kunne være. Vender kendte sammenhænge om. En nem måde at lave uendelig mange åbne opgaver! 34 pindogbjerre.dk 17
Svaret er givet - eksempel Medianen af 25 elevers skostørrelse er 39. Hvilke skostørrelser havde klassen? Hvad var gennemsnittet? Husk de tre svar. 35 2 Manglende oplysninger Brug kendte opgaver og fjern oplysninger. Elevernes forståelse af matematikken udvides, ligesom deres forståelse af opgavernes sprog og struktur udvides. 36 pindogbjerre.dk 18
Manglende oplysninger - eksempel Befolkningen i København i 2007 I 2007 boede der 5 447 084 mennesker i Danmark. Af dem boede 4 943 385 uden for København. 1.1 Beregn, hvor mange mennesker der boede i København. Vælg de manglende oplysninger. Løs opgaven med de fastlagte oplysninger. 1.2 Beregn, hvor stor en procentdel af den danske befolkning der boede i København i 2007. FSA 2007 37 3 Undersøgelser En undersøgelse er karakteriseret af spørgsmålet: Hvad nu hvis? Man starter ét sted, og stiller spørgsmål der åbner problemstillingen og leder én andre steder hen. 38 pindogbjerre.dk 19
Undersøgelser eksempel Forskelle mellem tre tal Vælg tre hele tal. Beregn de tre forskelle mellem tallene. Beregn så forskellene mellem disse tre tal. Hvad ser du? Hvad kunne man fortsætte undersøgelsen med? 39 4 Modellering 40 pindogbjerre.dk 20
Modellering - eksempel Når man køber fryseposer har producenten skrevet et antal liter på pakken, f.eks. 8 liter. Men rummer en pose virkelig 8 liter? Fornemmelsen er, at det gør den nok ikke, i hvert tilfælde ikke, når vi binder en knude på den. Men vi kan jo regne på det. Elevernes opgave er at lave en model for, hvor meget der kan være i en frysepose. Modellen er her et regnestykke og en generel forklaring af beregningsmetoden, gerne som formler. 41 5 Regnehistorier Når eleverne selv laver tekstopgaver, udvikles deres forståelse af matematikken. De bliver bedre til at genkende matematikken i andre tekstopgaver, og de bliver bedre til at bruge matematikken i deres eget liv. 42 pindogbjerre.dk 21
Regnehistorier - eksempel Skriv en divisionshistorie til 3 ½ Læreren må gerne komme med et eksempel der er jo mange rigtige svar. Og det er ok at elevernes første svar ligner lærerens meget 43 6 Nye begreber Eleverne sættes til at give et volapykoord et matematisk indhold. Eleverne skal skrive et par sider til en matematikbog om emnet, med eksempler, definition, regler, forklaring, metoder og opgaver. Vigtige matematiske begreber som definitioner, sætninger og beviser. Fra det mere uformelle i indskolingen til det mere præcise faglige i udskolingen. 44 pindogbjerre.dk 22
Nye begreber - eksempel Hvad betyder parallellohexagram? 45 Definition Skabelon Eksempler Regler Tekst Opgaver 46 pindogbjerre.dk 23
Åben og undersøgende Ikke al matematikundervisning kan være åben og undersøgende, men rigtig rigtig meget kan. Det vil give bedre matematikere og bedre borgere, der er mere parate til at regne på verden omkring sig. 47 Kroppen med i matematikken 48 pindogbjerre.dk 24
To eksperimenter Marie-Pascale Noël: Den tomme tallinje. Embodied Cognition (kropslig erkendelse) Susan Goldin-Meadow, Susan Wagner Cook and Zachary A. Mitchell: Matematisk kropssprog 49 Den tomme tallinje Norsma 2013 Marie-Pascale Noël 50 pindogbjerre.dk 25
Den tomme tallinje 51 Den tomme tallinje Resultater: Samme og signifikante stigninger for begge grupper i: Mængde sammenligninger 10-talssystemforståelse Større stigning hos den fysiske tallinje-gruppe i: Placering af tal på tallinje Sammenligning af tal Addition af 1-cifrede tal 52 pindogbjerre.dk 26
Embodied kognition Den tomme tallinje virker - og bedst med hele kroppen! 53 Kropssprog 54 pindogbjerre.dk 27
Korrekt gestik 3 + 4 + 8 = _ + 8 Det skal give det samme på begge sider af lighedstegnet. 55 Forkert gestik 3 + 4 + 8 = _ + 8 Det skal give det samme på begge sider af lighedstegnet. 56 pindogbjerre.dk 28
Ingen gestik 3 + 4 + 8 = _ + 8 Det skal give det samme på begge sider af lighedstegnet. 57 Resultat? 58 pindogbjerre.dk 29
Kroppen med Kropssproget kan man også tænke med. 59 Internalisering Kropssprog Kropslige erfaringer Mentale billeder 60 pindogbjerre.dk 30
Undervisningens tilrettelæggelse 61 At lære er at huske De har ikke glemt. De har aldrig husket! Michael Wahl Andersen Hvordan får man proppet noget ind i langtidshukommelsen? Og hvordan får man det ud igen? 62 pindogbjerre.dk 31
Arbejdshukommelsen Arbejdshukommelsen eller korttidshukommelsen er flaskehalsen til langtidshukommelsen. Fonologiske sløjfe Visuelt/rumligt/taktilt Tegnebræt CE Centrale eksekutiv funktion 63 Overordnet lektionsstruktur Start Hvad skal der knyttes an til af tidligere viden? Hvordan hænger det sammen med det vi skal nu? Etablering af ny viden På mange forskellige måder det kommer vi til Slut Hvad har I lært? Hvordan hænger det sammen med det I vidste i forvejen? 64 pindogbjerre.dk 32
Etablering af ny viden - struktur Hverdagsviden Fx Gæt og mål, Hvor mange og hvad, Svaret er givet (fx 200⁰) Tal Fx Den tomme tallinje, Ødelagte taster, Fælles (hoved)regning Tekstopgaver - LOVPORT Mundtligt Fx Skærmleg, Usagte, Giv en få en, Ping pong pen, Quiz og byt 65 NYT matematik Når noget nyt matematik indføres skal det gøres tydeligt for eleverne at dette er NYT. Nyt! 66 pindogbjerre.dk 33
Arbejdsformer Tydeliggør arbejdsformer og forventninger dertil. Fælles betyder lærerstyret og håndsoprækning. Grupper - betyder man lytter, taler, laver lidt selv, arbejder videre på andres, bliver enige. Par betyder lytter, taler, laver lidt selv, hjælper hinanden, udfordrer hinanden, bliver enige. Individuelt betyder man arbejder selv, prøver selv på mange måder, i lang tid. Søger så hjælp fra læringsmakker/sidekammerat først, så læreren. 67 Eksamensklasser - overordnet Tidligere skriftlige prøveopgaver. Faglige kurser Mundtlige eksamensoplæg 68 pindogbjerre.dk 34
Eksamensklasser - ugeplan Udgangspunkt i skriftlig prøve med hjælpemidler. 3 timer Udgangspunkt i skriftlig prøve uden hjælpemidler. Mundtlige prøveoplæg. 1 time 1 time 69 Eksamenklasser - kurser Faglige kurser efter behov, men sandsynligvis: Regning: minus, gange og division. Brøker og procent Ligninger og funktioner Omkreds, areal, rumfang Sæt én uge af til hvert kursus. Alle elever skal udfordres i kurset. Stadig strukturen: hverdagsviden, tal, tekstopgaver, mundtligt. 70 pindogbjerre.dk 35
Muligt Deltagelse giver kun mening, hvis det er muligt at deltage! Alt for meget matematikundervisning foregår henover hovedet på eleverne. De har ikke forudsætningerne for at deltage. Gør det muligt for eleverne at arbejde ud fra de forudsætninger, de har. Tid! Vær modig og giv tid 71 Mundtlighed den vigtigste repræsentation Eleven skal få matematik ud af munden! Faglige begreber skal siges højt, og eleven skal sætte ord på egne overvejelser. Formålet er, at gøre elevens ydre stemme til indre stemme. At tænke er at tale med sige selv! 72 pindogbjerre.dk 36
Eksempel 7./8. klasse F Start lineær funktion Lineær funktion, som noget der vokser/falder lige meget pr trin. Knyt an til tabelremser, koordinatsystem, x og y og ligninger. F P I P F Hverdagsviden Tal Tekstopgaver Mundtligt Slut Gæt og mål, Powerpoint med priser pr kg eller pr liter. Gæt min regel.. To små tekstopgaver, den ene med manglende oplysninger. Byg lineær funktion lav video med forklaring. Lineær funktion, som noget der vokser/falder lige meget pr trin. 73 Eksempel 9. klasse Prøven uden hjælpemidler F Start procent Procent, som meget brugt måde at angive en del. Knyt an til division, brøk og decimaltal og tidligere viden om procent. F F F I P F Hverdagsviden Tal Tekstopgaver Mundtligt Slut Gæt og mål, Powerpoint med rabatter. Den tomme tallinje, Placer ifht 100. Procentopgaver mundtligt fra FP9 dec 16, hvordan regner du? Tre tekstopgaver fra forskellige FP er uden hjælpemidler. Den ene med manglende oplysninger. Ping pong pen med fokus på find procent i FP9 maj 16. Procent, som meget brugt måde at angive en del. 74 pindogbjerre.dk 37