Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00
Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger, forklarende tekst og brug af it-værktøjer brug af figurer og illustrationer en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af sædvanlig matematisk notation.
Opgave 1 En rampe som vist på figur 1 kan bruges til at lave forskellige spring med skateboard og BMX-cykler. Figur 1!! På! figur 2 ser man et snit igennem rampen. Snittet i rampens køreplade følger funktionen givet ved f (x) = 76 225 x2 + 76 75 x + 19 25 hvor x [ 1, 5; 0] Figur 2! a) Bestem kørepladens højde når x = -0,5! b) Bestem arealet af rampens røde sideplade (se figur 1) c) Bestem den største hældningsvinkel mellem rampens køreplade og vandret. Hvis en BMX-cyklist passerer ud over rampens kant med en bestemt hastighed, vil hans spring tilnærmet kunne beskrives med en parabel, som kan angives ved forskriften h(x) = 0,2064 x 2 + 1,0133x + 0,76 hvor h betegner højden over jorden.
Figur 3 viser rampen og parablen, der beskriver springet. Figur 3 d) Bestem cyklistens maksimale højde. Man kan bestemme længden af grafen for funktionen, h i intervallet [a; b] ved formlen L = b a 1 + (h'(x)) 2 dx Cyklisten lander i x = 5,57. e) Bestem hvor langt cyklisten har bevæget sig i springet.
Opgave 2! Som teknologiprojekt laver en htx-elev en beholder til f.eks. tandbørste og tandpasta. Beholderen er lavet af plast, der er klippet ud som vist på figur 4, og derefter er foldet. Foto: Laura Schou Figur 4 Figur 5 Figur 4 består af en kvadratisk bund og fire ens sidestykker, som man kan se i figur 5. På figur 5 er vinkel u = 21,8. a) Bestem arealet af den plast, der går til at lave beholderen b) Bestem rumfanget af beholderen. Eleven vil lave en ny beholder med samme rumfang, men med det mindst mulige overfladeareal. Figur 6 Overfladearealet, A, kan bestemmes ved formlen A = b 2 + 4hb, se figur 6. c) Bestem b og h, så beholderen får samme volumen som i spørgsmål b), og så A bliver mindst mulig.
Opgave 3 Ved fremstilling af en bestemt type keramikfigurer, skal figurerne brændes i en ovn ved en konstant temperatur på 650 grader i mindst 27 timer, men gerne op til 30 timer. En kunstner starter brændingen til tidspunktet t = 0. Da han kommer tilbage til ovnen efter 30 timer, opdager han, at den er blevet slukket, og at temperaturen er faldet til 610 grader. Foto: Laura Schou Figur 7 viser temperaturen i ovnen som funktion af tiden. Til tiden t1 blev ovnen slukket. Kunstneren er god til matematik, og han ved, at ovnens afkøling med rimelighed kan beskrives ved en funktion med forskriften T (t) = b a t + 22 For at bestemme a og b, måler han temperaturen hver time de følgende 5 timer. Tabellen viser målingerne Figur 7 t (timer) 30 31 32 33 34 35 T ( C) 610 609 602 595 593 591 a) Bestem a og b så funktionen T beskriver ovnens afkøling bedst muligt b) Hvor længe var ovnen tændt? c) Redegør for betydningen af konstanten 22 i funktionsforskriften for T.
Opgave 4 Billedet forestiller en skulptur. Skulpturen er båret af en akse og er spændt op med nogle stålwirer. Set fra siden er skulpturen beskrevet ved dele af to cirkler med fælles centrum i punktet B (se figur 8). På figur 8 er der også indlagt et koordinatsystem med (0,0) i punktet B. y m es Foto: Laura Schou Diameteren i den lille cirkel er AF = 7,35m og vinkel u = 17,1. x m es I trekanten ABC er korden AC = 1,96m. a) Bestem vinkel v i trekant ABC. I trekanten ADE er vinkel D = 88, DE = 7,15m og AD = 1,81m. b) Bestem de øvrige vinkler og sider i trekant ADE. En af cirklerne går gennem punkterne G, A og C (se figur 8). c) Opstil en parameterfremstilling for denne cirkel d) Bestem koordinaterne til punkterne C og G. Figur 8
Af opgaverne 5A, 5B og 5C må kun 2 afleveres til bedømmelse. Hvis mere end 2 opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver.! Opgave 5A Taget på et hotel er båret af søjler som vist på billedet. Figur 9 En af søjlerne indlægges i et rumligt koordinatsystem (se figur 9). Punkterne A, B og C har koordinaterne A(3; -3; 16), B(-3; 3, 16) og C(0; 0; 12) a) Bestem længden af linjestykket mellem A og C b) Bestem vinklen mellem linjestykkerne CA og CB. Linjestykket mellem A og C ligger på linjen med parameterfremstillingen x 3 y = 3 z 16 3 + t 3 4 I punktet D, der ligger på denne linje og som befinder sig 14,5m over gulvet, vil man placere et overvågningskamera. c) Bestem koordinaterne til D.
Opgave 5B En fabrik, som fremstiller bordplader, har fået en ordre på levering af et stort antal bordplader, hvor der skal skæres ud til en håndvask. På figur 10 er bordpladen placeret i et koordinatsystem sammen med de ønskede mål for pladen og udskæringen. Figur 10! Udskæringen følger en del af en cirkel og tre rette liniestykker. Punktet C er centrum for cirklen, og B markerer overgangen fra cirkelbue til ret linje. Punkterne har koordinaterne C(600; 280) og B(822; 220). a) Bestem ligningen for den cirkel som den nederste del af udskæringen følger b) Bestem forskriften for den linje som siden AB er en del af c) Bestem længden af linjestykket AB.
Opgave 5C En vektorfunktion r er givet ved forskriften for Linjen l har ligningen a) Tegn graferne for r og linjen l i samme koordinatsystem b) Bestem koordinaterne til de punkter på grafen for r, hvor der er henholdsvis vandret og lodret tangent c) Bestem koordinaterne til skæringe mellem parameterkurven og l.
Undervisningsministeriet