GUX. Matematik. A-Niveau. August Kl Prøveform a GUX152 - MAA

Transkript

1 GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl Prøveform a GUX5 - MAA

2 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse. Alle hjælpemidler er tilladt. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en kort præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte spørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger, forklarende tekst og brug af it-værktøjer brug af figurer og illustrationermed en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af sædvanlig matematisk notation.

3 GUX matematik A august 05 side af 7 Opgave De grønlandske fartøjer fisker i større og større grad i andre farvande. Tabellen viser udviklingen i dette fiskeri. Årstal Samlet fiskerifangst (ton) En model for udviklingen i den samlede fiskerifangst i andre farvande har formen f( x) b a x hvor x er antal år efter 00, og f( x) er den samlede fiskerifangst i andre farvande målt i ton. a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b, og forklar betydningen af a. b) Bestem den samlede fiskerifangst i 06 ifølge modellen. Bestem hvilket år, den samlede fiskerifangst første gang overstiger ton ifølge modellen. Opgave For en parabol med diameter d, dybde L og brændvidde b gælder følgende sammenhæng d b 6L L De tre størrelser d, L og b angives i meter. a) Bestem dybden L for en parabol med en brændvidde på b,5 m og en diameter på d 8 m. Foto: Michael Hollerup b) Bestem brændvidden b for en parabol med dybde L,4 m og diameter d m. Med hvor mange procent øges brændvidden b for en parabol med dybde L,4 m, når diameteren d øges med 0 %?

4 GUX matematik A august 05 side af 7 Opgave 3 Funktionen f er bestemt ved forskriften f x x x x ( ) ln 3, 0;3 Nedenfor er det lokale maksimumspunkt for f bestemt. Bilag kan benyttes. a) Forklar med ord hvad der sker i hvert trin i beregningerne. f( x) 4x x Funktionen f differentieres. x differentieres og bliver til x 4x. ln( x ) differentieres og bliver til x. Konstanten 3 bliver 0, når den differentieres. 4x 0 x x eller x Løsningen er x Funktionen har lokalt maksimum i punktet 0,5;,8 b) Bestem monotoniforholdene for funktionen f.

5 GUX matematik A august 05 side 3 af 7 Opgave 4 På en arbejdsplatform til offshoreindustri er der monteret en helikopterlandingsplads. På figuren ses en model af en helikopterlandingsplads indlagt i et koordinatsystem. Enheden på akserne er m. Størrelsesforholdene er ikke korrekte Punkterne har koordinaterne F(4;;), H(3;4;) og L(3,3;,3;). a) Bestem en ligning for den plan, som indeholder helikopterlandingspladsen med punkterne F, H og L. Benet LP fra helikopterlandingspladsen til den vandrette plan : z 0ligger på linjen l med parameterfremstillingen x 3,3 0,3 y,3 t 0,3 z b) Bestem længden af benet LP, og bestem vinklen mellem benet LP og.

6 GUX matematik A august 05 side 4 af 7 Opgave 5 En cirkel C er givet ved ligningen x y y En ret linje l er givet ved ligningen y x 0. C a) Bestem de to skæringspunkter P og Q mellem den rette linje l og cirklen C. b) Bestem længden af korden PQ. l P v (7,6) Gør rede for, at centervinklen v 53,3. Q x Linjen l og cirklen C afgrænser et gråt område som vist på figuren. Det grå område har et areal A, der kan beregnes ved formlen: r v A sin( v) 80 hvor r er radius i cirklen, og v er centervinklen. c) Bestem arealet af det grå område. Opgave 6 I en model betegner A antallet af personer, der har hørt en nyhed på KNR. I modellen antages det, at A som funktion af tiden er en løsning til differentialligningen da 0, 05 (40000 A) dt hvor t er tiden målt i timer efter nyheden er udgivet. a) Bestem væksthastigheden, når 000 personer har hørt nyheden. b) Bestem en løsning til differentialligningen, når det antages, at ingen havde hørt nyheden, da den blev udgivet. Det vil sige A(0) 0. c) Bestem, hvor lang tid der ifølge modellen går, før 9000 personer har hørt nyheden.

7 GUX matematik A august 05 side 5 af 7 Opgave 7 Funktionen f er bestemt ved forskriften f( x) x cos( x), 0 x a) Bestem en forskrift for den stamfunktion F til f, som opfylder at F(0) 5. Et område M afgrænses af grafen for f, koordinatakserne og linjen med ligningen x, som vist på figuren. y f b) Bestem arealet af M. c) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om x-aksen. 0 M M x Opgave 8 I en model for en bestemt art af hunkalkuner gælder det, at vægten af en hunkalkun som funktion af tiden kan beskrives ved funktionen (0,00566 t 0,3663) t,096 mt ( ) ,84 e, 0 t 60 hvor t er tiden efter udklækning af et kalkunæg målt i uger, og m(t) er vægten af en hunkalkun målt i gram. a) Tegn grafen for m, og benyt modellen til at bestemme de tidspunkter efter udklækning, hvor en hunkalkun vejer 3000 g. b) Benyt modellen til at bestemme det tidspunkt efter udklækning, hvor vægten af en hunkalkun er størst.

8 GUX matematik A august 05 side 6 af 7 Opgave 9 Når sneen smelter om foråret, kommer der flere bakterier i drikkevandet i vandsøerne i Grønland. Derfor vælger mange at koge vandet og stille det i køleskabet, før de drikker vandet. Nivi sætter en flaske kogt vand i køleskabet. Vandets temperatur gt () målt i C kan beskrives ved funktionen gt () Tb a 0 hvor tiden t måles i minutter. t Temperaturen i køleskabet er konstant T0 5 C. Til tiden t 0 sættes vandet i køleskabet, og har temperaturen 00 C. Efter minutter er vandets temperatur faldet til 9 C. a) Vis, at b 95 og a 0,997. Efter 00 minutter drikker Nivi af vandet. b) Hvilken temperatur har vandet på det tidspunkt? Vandet er behageligt at drikke, når temperaturen er C. c) Bestem hvor lang tid der går, før vandet er behageligt at drikke.

9 GUX matematik A august 05 side 7 af 7 Opgave 0 I en svømmehal er en af siderne på en klatrevæg fastgjort til en vandret stang mellem to spær med to aluminiumsstænger. a w a P Q Længderne af de to aluminiumsstænger a og a er a 05cm a cm Der gælder, at PQ 9 cm, som er afstanden mellem de to punkter P og Q, hvor a og a er fastgjort til klatrevæggen. a) Bestem vinklen w mellem a og a. På figuren til højre er kræfterne i de to aluminiumsstænger vist som vektorerne F og F, som måles i enheden N. Den vinkel som F danner med lodret betegnes v og har størrelsen F w F P v 3,5 b) Bestem de vinkler vektorerne F og F danner med vandret. F R v Q Den lodrette vektor F R har længden FR 500 N, og vektorkoordinaterne er F R Desuden gælder, at F F F 0, da summen af alle kræfter giver 0. R c) Bestem F og F.

10 Naqinneqarfia Tryk: Inerisaavik Ilinniartitaanermut, Kultureqarnermut, Ilisimatusarnermut Ilageeqarnermullu Naalakkersuisoqarfik Departementet for Uddannelse, Kultur, Forskning og Kirke