STUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK A-NIVEAU Fredag den 12. december 2008 Kl. 09.00 14.00 STX083-MAA
Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6-16 med i alt 19 spørgsmål. Kun én af opgaverne 16a og 16b må afleveres til bedømmelse. De 24 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik en dokumentation ved et passende antal mellemregninger en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde, herunder den eventuelle brug af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder en brug af figurer og illustrationer en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af almindelig matematisk notation. (Undervisningsvejledningen til Matematik, Stx)
Stx matematik A december 2008 side 1 af 6 Delprøven uden hjælpemidler Kl. 09.00 10.00 Opgave 1 En funktion f er bestemt ved 2 f( x) x 4x 5. Bestem koordinatsættet til hvert af grafens skæringspunkter med førsteaksen. Opgave 2 En funktion f er bestemt ved 3 x f( x) x e 1. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet 0, f (0). Opgave 3 Isolér s i udtrykket 4 p r s. Opgave 4 Bestem integralet 6 (2x 1) dx. Opgave 5 En cirkel er givet ved ligningen 2 2 x 2x y 4y 0, og det oplyses, at punktet P(1,1) ligger på cirklen. Bestem en ligning for tangenten til cirklen i punktet P. Besvarelsen afleveres kl. 10.00
Stx matematik A december 2008 side 2 af 6
Stx matematik A december 2008 side 3 af 6 Delprøven med hjælpemidler Kl. 09.00-14.00 Opgave 6 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved 2 a 1 og. 3 b 2 1 a) Bestem tallet s, således at a sb og v er ortogonale. 1 b) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af a og a b. c) Bestem koordinatsættet til projektionen af a på b. Opgave 7 I trekant ABC er a 10, b 15 og c 21. a) Bestem A, og bestem arealet af trekant ABC. b) Bestem længden af medianen m b. Opgave 8 I forbindelse med optagelse på College i USA skal der aflægges en særlig test. Resultatet af testen angives ved et testtal. Følgende tabel angiver testtallene i matematik for nogle udvalgte år: år 1963 1967 1970 1974 1977 Testtal 502 492 488 480 470 Sammenhængen mellem testtallene og antal år efter 1963 kan med god tilnærmelse beskrives ved en lineær funktion f. a) Bestem en forskrift for f. I 1980 var testtallet i matematik 466. b) Forklar, hvad de tal, der indgår i forskriften for f, fortæller om udviklingen af testtallene, og kommentér, hvor godt det faktiske testtal i 1980 stemmer overens med det testtal, som kan beregnes ved hjælp af funktionen f.
Stx matematik A december 2008 side 4 af 6 Opgave 9 I nedenstående tabel ses bruttonationalproduktet pr. indbygger i USA og Kina for året 2003. Endvidere ses den årlige vækstrate i bruttonationalproduktet pr. indbygger for årene 1990-2003 i de to lande. Bruttonationalproduktet pr. indbygger i 2003 (US$) Årlig vækstrate 1990-2003 USA 37562 2,1% Kina 5003 8,5% I det følgende forudsættes, at bruttonationalproduktet pr. indbygger i de to lande vil vokse med uændret årlig vækstrate efter 2003. a) Bestem, hvad bruttonationalproduktet pr. indbygger vil være i Kina i år 2020. b) Bestem, hvornår de to lande vil have samme bruttonationalprodukt pr. indbygger. Opgave 10 I et koordinatsystem i rummet er to planer og givet ved ligningerne : : 2x 3y 6z 10 5x y 3z 9. a) Bestem gradtallet for den spidse vinkel mellem planerne og. En linje l er bestemt ved parameterfremstillingen x 10 3 y 16 t 4, t R. z 3 1 b) Undersøg, om linjen l er parallel med planen, og bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem l og. Opgave 11 En funktion f er bestemt ved 2 f( x) = x 10x+ 30. Grafen for f, koordinatakserne og linjen med ligningen en punktmængde M, der har et areal. a) Bestem arealet af M. x =10 afgrænser i første kvadrant b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 omkring førsteaksen.
Stx matematik A december 2008 side 5 af 6 Opgave 12 En funktion f er bestemt ved f( x) x 2sin x, x [0;2 ]. a) Løs ligningen f ( x) 0, og gør rede for monotoniforholdene for f. Opgave 13 I en model for sammenhængen mellem længde og alder for atlantiske havkatte antages, at en havkats længde L (målt i cm) som funktion af dens alder t (målt i år) er en løsning til differentialligningen dl dt 0,22t = 0,619 e L. I modellen antages, at en 10 år gammel atlantisk havkat er 72 cm lang. a) Bestem en forskrift for Lt (). b) Bestem ved hjælp af modellen længden af en 16 år gammel atlantisk havkat, og bestem, hvor gammel en atlantisk havkat er, når den er 40 cm lang. Kilde: Northw. Atl. Fish. Sci., Vol. 13: 53 61, Distribution, Growth and Food Habits of the Atlantic Wolffish (Anarhichas lupus) from the Gulf of Maine-Georges Bank Region, Gary A. Nelson and Michael R. Ross, J. 3 Opgave 14 En kasse uden låg skal kunne rumme 125 dm. Kassens bredde (målt i dm) er x og kassens længde (målt i dm) er x 3. a) Bestem kassens højde udtrykt ved x, og bestem kassens overflade udtrykt ved x. Opgave 15 Et firma, der sælger kosttilskud via deres hjemmeside, oplyser, at 75% af de personer, der besøger hjemmesiden, indtager kosttilskud dagligt. På hjemmesiden opfordres de besøgende til at deltage i en undersøgelse vedrørende kosttilskuds betydning for helbredet. Det viser sig, at 80% af dem, der deltager i undersøgelsen, oplyser, at de mener, at indtagelse af kosttilskud har en positiv virkning på helbredet, mens de resterende 20% mener, at kosttilskud ikke har nogen positiv virkning på helbredet. I en pressemeddelelse hævder firmaet på grundlag af undersøgelsen, at 80% af befolkningen tydeligt mærker en positiv virkning af kosttilskud. a) Kommentér firmaets påstand ved brug af statistiske begreber som population, stikprøve, systematiske fejl og skjulte variable. (Opgavesættet fortsætter)
Stx matematik A december 2008 side 6 af 6 Opgave 16a Af en rapport fra sundhedsstyrelsen fremgår det, at sammenhængen mellem husradonkoncentrationen og stueradonkoncentrationen i enfamiliehuse er givet ved udtrykket log( H) = 0,227 + 0,922 log( S), hvor H er husradonkoncentrationen (målt i Bq/m 3 ), og S er stueradonkoncentrationen (målt i Bq/m 3 ). a) Bestem husradonkoncentrationen som funktion af stueradonkoncentrationen, og bestem, hvor mange procent husradonkoncentrationen stiger med, når stueradonkoncentrationen stiger med 20%. Kilde: Radon i danske boliger - Kortlægning af lands-, amts- og kommuneværdier, Sundhedsstyrelsen, Statens Institut for Strålehygiejne, Januar 2001. Opgave 16b En funktion f er bestemt ved 3 2 k, f ( x) x 6x hvor k er et tal. a) Bestem de værdier af tallet k, for hvilke grafen for f har netop to skæringspunkter med førsteaksen. Kun én af opgaverne 16a og 16b må afleveres til bedømmelse