Matematik A Højere teknisk eksamen
Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir (kladdepapir) sendes ikke til bedømmelse. Alt materiale, der afleveres til bedømmelse, skal påføres navn. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på, om tankegangen klart fremgår, herunder om der i besvarelsen af den enkelte opgave er: Anvendt matematiske teorier og metoder til løsning En forbindende tekst, der giver en klar begrundelse for valget af den anvendte løsningsmetode samt en afrunding af hvert spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af korrekt matematisk notation Dokumentation af beregninger ved brug af it-værktøjer og/eller mellemregninger samt forklarende tekst Benyttet figurer og illustrationer med tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. Billedmateriale uden kildeangivelse tilhører opgavekommissionen.
Opgave 1 y 1 B T z O 1 A y O B A Figur 1 Figur 2 På figur 1 ses en regulær ottekant med sidelængden 1, som er indlagt i et koordinatsystem. a) Bestem vinklerne i trekant OAB. b) Bestem koordinaterne til punkterne A og B. Ottekanten på figur 1 er grundflade i den regulære pyramide, der er vist på figur 2. Toppen af pyramiden befinder sig i punktet T(; ; 3). c) Bestem en ligning for planen, der indeholder punkterne A, B og T.
Side 3 Opgave 2 Billedet viser en vandskihopper. y Figur 4 Fra fysikken vides det, at vandskihopperens bevægelse kan beskrives ved følgende vektorfunktion. Se figur 4. v cos(α ) t, r (t ) 1 2 2 g t v sin(α ) t y hvor v er farten ved springets start, er startvinklen i forhold til -aksen, (, y ) er startkoordinaterne og -aksen repræsenterer vandoverfladen. Vektorfunktionen beskriver en parabel. Den vil vi nu udlede en ligning for. 132286.indd 8 3/7/14 12.53
a) Gør rede for de enkelte trin i følgende udledning. v cos( ) t (1) t (2) v cos( ) y g t v t y (3) 1 2 sin( ) 2 2 1 y g v sin( ) y 2 v g 2 v sin( ) y ( 2 2 ) ( ) y 2 v cos ( ) v cos( ) cos( ) v cos( ) g y ( ) tan( ) ( ) y 2 v cos ( ) 2 2 2 (4) (5) (6) Koordinatfunktionen for opskrives. For en mandlig vandskihopper er følgende konstanter givet: g v y 2 9,82m/s, 3m/s, 2, m og 1,8m. b) Indsæt konstanterne i (6) og indtegn parablen i et koordinatsystem. c) Bestem springets vandrette længde. d) Bestem den største højde på springet. e) Bestem tangentens vinkel med vandret ved landingen.
Side 5 Opgave 3 http://www.reci.dk/refle-minimat På billedet ses en trykbeholder. Beholderen kan beskrives som en cylinder og to ens kugleafsnit. Figur 5 viser en tegning af tværsnittet af beholderen. rraa hhcc hh dc Figur 5 Højden af cylinderen er hc,92, og diameteren af cylinderen er dc,74. Radius i kugleafsnittet er ra, 4. Alle mål er i meter. a) Bestem højden h af hele beholderen. b) Bestem volumen af beholderen. Når man fylder luft i beholderen ved hjælp af en kompressor, kan trykændringen, i beholderen udtrykkes ved følgende differentialligning dp, dt dp, 5 ( pk p) dt hvor p er trykket målt i bar, pk er kompressorens tryk målt i bar, og t er tiden målt i sekunder. c) Vis, at p (t ) pk (1 e,5t ) er en løsning til ovenstående differentialligning. En bestemt kompressor leverer et tryk på pk = 8, bar. d) Bestem den øjeblikkelige trykændring ved et tryk på 7,95 bar. 5777.indd 6 9/3/15 1.59
Side 6 Opgave 4 På billedet ses en vandkaraffel med prop. Indlægges tværsnittet af vandkaraflen i et koordinatsystem, kan den indvendige radius tilnærmelsesvist beskrives ved følgende funktion r ( ),14 3,62 2,65 2,64 [; 28] www.sagaform.com Grafen for funktionen er afbildet på figur 6. Her angiver højden over karaflens bund. Alle mål er i centimeter. y Figur 6 Karaflen fyldes med vand til højden 15 cm. a) Bestem volumen af vandet i karaflen. b) Bestem karaflens største indvendige diameter. 5777.indd 7 9/3/15 1.59
Side 7 Opgave 5 I Politiken den 1. oktober 211 kunne man læse, at antallet af personer i Danmark, som misligholder SU-gæld, stiger. At misligholde sin gæld betyder, at man ikke betaler sin gæld tilbage som aftalt. I tabellen ses udviklingen af antal personer med misligholdt gæld i årene 23 21. År efter 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Antal personer 391 48 43 459 487 516 547 578 a) Indtegn data i et koordinatsystem. b) Opstil en lineær model af formen N (t ) t, der beskriver antallet af personer med misligholdt SU-gæld, hvor t er antal år efter år 2. c) Opstil en eksponentiel model af formen M (t ) b at, der beskriver antallet af personer med misligholdt SU-gæld, hvor t er antal år efter år 2. d) Vurder, hvilken model, der bedst beskriver antallet af personer med misligholdt SUgæld i den givne periode. 5777.indd 8 9/3/15 1.59
Opgave 6 Den røde kurve på figur 7 viser grafen for funktionen y 1 f( ), hvor. f( f ) ( ) Figur 7 I punktet ( ; f( )) er der tegnet en tangent. Det gråtonede område er afgrænset af grafen for tangenten og koordinatakserne. 1 2 a) Vis, at tangentens ligning er givet ved y 2. b) Bestem arealet af det gråtonede område for 1, 25. c) Vis, at arealets størrelse ikke afhænger af værdien af.
EGYM 151-18