Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 2011

Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 2011 Ministeriet for Børn og Undervisning december 2011

Indhold Forord... 3 Om brug af SOLO taksonomi i analyse af eksamenssæt... 5 Generelle betragtninger... 5 Nærmere om brugen af SOLO taksonomi... 6 SOLO taksonomiske analyser... 9 Detaljeret analyse af udvalgte opgaver fra A niveau... 17 Opgave 9, stx A 24 05 2011 (stx A2)... 17 Taksonomisk indplacering... 19 Opgave 8, stx A 24 05 2011 (stx A2)... 20 Taksonomisk indplacering... 21 Stx matematik A niveau de skriftlige prøver maj juni 2011... 23 Samlet opgørelse... 23 Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver... 24 Sammenligning af resultaterne af delprøverne med og uden hjælpemidler... 29 Udvikling siden gymnasiereformen... 30 Stx matematik B niveau de skriftlige prøver maj juni 2011... 33 Samlet opgørelse... 33 Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver... 34 Sammenligning af resultaterne af de to delprøver... 38 Udviklingen siden gymnasiereformen... 39 Hf matematik B niveau den skriftlige prøve maj juni 2011... 42 Samlet opgørelse... 42 Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver... 43 Sammenligning af resultaterne af de to delprøver... 45 Udvikling siden hf reformen... 46 Hf matematik C niveau den skriftlige prøve maj juni 2011... 48 Samlet opgørelse... 48 Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver... 49 Udvikling siden hf reformen... 50 Kønsforskelle i eksamensresultaterne i de skriftlige prøver i matematik... 53 Resultater efter brug af computer eller håndholdt CAS værktøj... 58 Konklusion om brug af CAS værktøj... 64 Klyngeanalyser... 65 Side 2 af 68

Forord Evalueringsrapporten over resultaterne ved de skriftlige prøver i matematik sommeren 2011 henvender sig både til Undervisningsministeriet og offentligheden, til lærerne i gymnasiet og hf og til opgavekommissionerne. Rapporten rummer både de traditionelle analyser og nogle nye faciliteter: En beskrivelse af, hvordan det gik ved prøverne, herunder en sammenligning med resultaterne de senere år. En særlig analyse af, om der er forskel i præstationerne i relation til køn og i relation til brug af værktøjsprogrammer. En analyse af opgavesættenes arkitektur ved hjælp af klyngeanalyser samt en detaljeret undersøgelse af elevpræstationerne på de enkelte delspørgsmål, og som noget nyt en SOLO taksonomisk analyse af de tre B niveau sæt samt hf C sættet. Overordnet set tilstræber opgavekommissionerne at komponere prøvesæt, der på den ene side rummer tilbud til de elever, der er fagligt svage, men som gør deres bedste og laver deres ting, tilbud i form af opgaver, der tester en række af de mindre komplekse færdigheder og kompetencer inden for de forskellige faglige emner; omfanget af sådanne opgaver skal række til, at man kan bestå. På den anden side skal prøvesættene have en sådan taksonomisk progression, at elever, der behersker meget af stoffet, men dog har en del mangler, kan opnå karakterer omkring 7. Der skal således også være opgaver, der differentierer i toppen. Afsnittet om SOLO taksonomi er skrevet således, at det kan danne udgangspunkt for drøftelser i en faggruppe om taksonomier i matematik. SOLO taksonomien præsenteres generelt, og illustreres med detaljerede analyser, som er med til at karakterisere sættenes opbygning. Opgavesættene, der analyseres, ligger her: http://www.uvm.dk/uddannelser og dagtilbud/gymnasialeuddannelser/proever og eksamen/skriftlige opgavesaet Om stx hedder det i rapporten: de skriftlige prøver i matematik på A niveau har fundet et fornuftigt leje, opgavekommissionen fremstiller opgavesæt, der på meget fornuftig vis evaluerer årgangens kvalifikationer i skriftlig matematik. Det er ligeledes lykkedes at lave prøvesæt til stx B, der på bedste vis formår at evaluere elevernes færdigheder i skriftlig matematik. På hf C har resultaterne de seneste år været stort set tilfredsstillende. Dog var dumpeprocenterne i 2011 krøbet lidt op igen. Derimod er resultaterne på hf B ikke tilfredsstillende, især ikke mht. dumpeprocenten, der er på godt 28%. Også i 2010 var den relativt høj. Rapporten peger i sin analyse på, at sættets arkitektur har visse mangler, men der kan også være andre problemer, fx at antallet af kursister, der bruger pc værktøj, er markant lavere, end det er på stx B. På den baggrund er der i efteråret 2011 blevet afholdt tre regionale kursusdage, henvendt til lærerne på hf B, og med fagligt fokus på inddragelse af it i matema Side 3 af 68

tikundervisningen, både anskuet som didaktisk redskab og praktisk værktøj. Kursusdagene blev gennemført med stor opbakning fra lærerne. I forlængelse heraf skal der lyde en stærk opfordring til alle kolleger om at gå over til brug af pc baseret CAS værktøj. Dels er gennemsnitlige præstationer bedre, som tallene viser, givetvis fordi det er en betydeligt enklere sag at dokumentere sine resultater. Men også fordi det bliver situationen for os alle om få år, når ministeriet går i gang med at forberede overgangen til digitale prøver. Igen i år satte vi fokus på spørgsmålet: Er der forskel på drengenes og pigernes præstationer? Der viser sig samme mønster som de foregående år: På stx B klarer drengene sig signifikant dårligere end pigerne, mens de på alle øvrige niveauer stort set præsterer på samme niveau. I sommeren 2011 afleverede en arbejdsgruppe en rapport, der belyser dette spørgsmål. Rapporten kan hentes på adressen: http://fou.emu.dk/offentlig_show_projekt.do?id=156356. Udredningsarbejdet bør følges op af lidt større og mere målrettede undersøgelser af spørgsmål som: Er der en sammenhæng mellem undervisningsformer og elevengagement? Lektielæsning er der strategier der har et potentiale for succes? Overgangsproblemer er der særligt gode eksempler, vi burde udbrede kendskabet til? De to prøvedage til stx B og stx A rummer en særlig udfordring for stx opgavekommissionen: Prøvesættene til de to prøvedage skal matche hinanden. Resultaterne for 1. og 2. prøvedag ligger tæt for stx B, mens der er overraskende stor forskel på stx A. Vi har en så detaljeret forcensur, at vi kan sige en del om årsagerne: Ved alle sammenlignelige opgaver, hvor der stilles stort set samme spørgsmål indenfor samme emne, blot i lidt forskellig indpakning, scorer eleverne ved 1. prøvedag betydeligt lavere end eleverne ved prøvedag 2. Det tyder på, at der er tale om forskellige populationer. Indtastningen giver ikke mulighed for at se, hvilke studieretninger der evt. har overvægt den ene og den anden gang. Til grund for evalueringsgruppens analyse ligger de indberetninger og tilbagemeldinger, censorerne gav i forcensuren. Det er et værdifuldt materiale, og tak til censorerne for det. Evalueringsgruppen bestod af lektor Claus Jessen, Ørestad Gymnasium, lektor Morten Overgaard Nielsen, KVUC og lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet foruden undertegnede. En stor tak til de tre. Endvidere tak til lektor Inge Henningsen, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet, for udarbejdelse af klyngeanalyserne. Bjørn Grøn, fagkonsulent Side 4 af 68

Om brug af SOLO taksonomi i analyse af eksamenssæt Generelle betragtninger SOLO taksonomien (hvor SOLO står for Structure of the Observed Learning Outcome ) er udviklet af Biggs og Collins og blev fremlagt i 1982. En taksonomisk vurdering af undervisning afspejler i sagens natur den teori om læring og indsigt, som taksonomien bygger på. Vi indleder derfor med en kort redegørelse. I sit udgangspunkt er SOLO taksonomien et redskab til præcisering af det tilstræbte læringsudbytte (intended learning outcome) og deraf afledt organisering og formulering af undervisningens tilrettelæggelse og krav (constructive alignment). SOLO taksonomien er hierarkisk opbygget. I konstruktivistiske termer betyder dette, at de kognitive skemaer fra højere taksonominiveauer bygger på skemaer fra lavere niveauer. Den SOLO taksonomiske models læringssyn er handlingsorienteret. Indsigt udtrykkes gennem de operationer og aktiviteter, som læringen har givet mulighed for. Ved constructive alignment forstås derfor tilrettelæggelse af undervisning med de rette læringsfremmende handlingsmuligheder. I dette perspektiv bliver en SOLO taksonomisk analyse af eksamenssættene til en udredelse af hvilke handlingsmuligheder for besvarelse eleven tilbydes (og vurderingen vil komme ud på om disse modsvarer det tilstræbte læringsudbytte). Ideelt vil en sådan udredelse fokusere på to yderpunkter dels vedrørende en fastlæggelse af det laveste taksonomiske niveau, som kræves for at en besvarelse krediteres fuldt, dels hvor højt et niveau, der rimeligvis kan honoreres. Det første har relevans for certificering og er altså rettet mod, at elever, som i eksemplarisk forstand bør bestå, også får de faglige handlemuligheder, der viser, at de er gode nok. Udredningen af det andet yderpunkt forstået i samme handlingsperspektiv må være lidt anderledes. I princippet er der jo ingen øvre grænse for, hvilke handlinger en given elev kan udføre med dyb forståelse, abstraktion osv. i en given kontekst. Kernepunktet er, i hvilken grad det kan honoreres ud fra en eksamensbesvarelse. Et lidt karikeret eksempel kunne være: En nærmere redegørelse for differentiationsbegrebets betydning i forbindelse med en traditionel vækstmodelopgave kan ikke honoreres til skriftlig eksamen (hvorimod den sagtens kunne til mundtlig). De resultater, som en given problemstilling adspørger, kan således opnås på forskellige taksonomiske niveauer afhængigt af den konkrete udformning af opgaven. Vi har i vores analyse forsøgt at reducere opgaverne til specifikke grundlæggende handlinger eller operationer. Disse vil i almindelighed kun give anledning til monostrukturel tilgang, dersom de udføres én for én. Det er altså i kombinationen af disse operationer, at en besvarelse kan hæves til højere niveauer. Side 5 af 68

Derfor bestemmes en given opgaves taksonomiske indplacering overvejende af, hvilke kombinationer og sammenfatninger af delhandlinger opgaveformuleringen overlader til eleven. Nærmere om brugen af SOLO taksonomi I overensstemmelse med handlingsperspektivet fastlægges de enkelte niveauer ved tilknyttede adfærdsverber, som skal fortolkes i en fagspecifik sammenhæng. De SOLO taksonomiske niveauer er blevet illustreret på følgende måde: Kilde: Bodil Bruun, oversættelse fra Biggs og Collins 1982 Nedenfor følger en nærmer angivelse af adfærdsverber, der kan knyttes til niveauerne i forbindelse med eksamensadfærd. Men først nogle overordnede betragtninger om yderniveauerne. Det præstrukturelle niveau er karakteriseret ved, at eleven kun kan udføre rudimentære operationer og argumenter udelukkende baseret på almindelig (prægymnasial) viden om størrelser og relationer, dvs. uden at demonstrere indsigt i opgavens sigte på gymnasieniveau. Der kan således godt være tale om en vis forståelse, men ikke i en grad hvor det kan honoreres i gymnasiet. Det er en vigtig pointe, at den fagspecifikke fortolkning af adfærdsverberne også indbefatter fagligt trin. Eksempelvis kan opgaven: Gør rede for, hvilket af tallene 111/112 og 112/113 er størst! besvares både på prægymnasialt niveau og på gymnasialt niveau (faktisk kan det på begge uddannelsestrin besvares på alle taksonomiske niveauer). Det abstrakte niveau er bl.a. karakteriseret ved adfærd, som går ud over, hvad der direkte adspørges. Det er evalueringsgruppens synspunkt, at denne type adfærd sagtens kan honoreres på baggrund af opgaver, som kræver, at man svarer med resultater, som er eksplicit adspurgte, men selvfølgelig også på baggrund af opgaver, der direkte i formuleringen udbeder analyse og refleksion (jf. adfærdsverber fra abstrakt niveau). Vi pointerer, at en opgaves krav om at analysere og reflektere ikke i sig selv placerer opgaven på højeste taksonominiveau. Side 6 af 68

Vi foretager i det følgende en analyse af årets eksamensopgaver på B og C niveau samt af enkelte opgaver på A niveau. Målet er at analysere, hvilke niveauer i SOLO taksonomien opgaverne appellerer til. Vi understreger, at analysens indeholder vores vurderinger af SOLO taksonomiske niveauer. Som anført er det nødvendigt at se opgaven i sammenhæng med det uddannelsestrin, den er stillet på. Til skriftlig eksamen består opgaveløsningen hovedsageligt af implementering af velindarbejdede rutiner; men hvad der på fx stx A kan opfattes som én rutine kan på stx B bestå af en række delrutiner, som eleven mere eller mindre selvstændigt må kombinere. Det kan fx være i en opgave, der kræver bestemmelse af ligning for tangent. Her kan delrutinerne i en opgave uden hjælpemidler være først at differentiere funktionen og dernæst at bestemme tangentligningen. For at simplificere fremstillingen og for at kunne eksemplificere er følgende beskrivelse af de SOLO taksonomiske niveau gældende for opgaver på B niveau. For at lette læsninger tildeles niveauerne her numre på følgende måde: SOLOtaksonomisk niveau 1. Præ strukturelt niveau 2. Monostrukturelt niveau Færdigheder Kan enkelte ord og begreber, men kan ikke bruge dem. Blander ting sammen. Tilfældige udregninger og tilfældigt ordvalg. Kan udføre enkle procedurer som fx Løse en førstegradsligning uden brøker. Anvende nulreglen på produkter, hvor hver parentes er af formen (x r). Anvende formler på udtryk/figurer, hvor betegnelser er mage til formelsamlingens. Bestemme hældning og skæring med y aksen for en lineær funktion både som graf og som forskrift. Udføre regression i CAS ud fra data i tabel (data skal ikke bearbejdes, fx angivet som antal år efter ). Bestemme differentialkvotient på CAS. Bestemme tangentligning på CAS. Bestemme minimum og maksimum på CAS for funktioner uden begrænsning i Dm uden op Side 7 af 68

mærksomhed på dokumentation. 3. Multistrukturelt niveau 4. Relationelt niveau Kunne udføre rutinemæssige færdigheder som fx Anvende formler på udtryk/figurer, hvor betegnelser er forskellige fra formelsamlingens. Anvende cosinus og sinusrelationer på trekanter med vilkårlige betegnelser. Bestemme regneforskriften for en funktion ud fra to punkter på grafen hvor det ikke er muligt at anvende regression (evt. fordi det er i en opgave uden hjælpemidler). Udføre regression med CAS ud fra data i tabel, hvor data skal forarbejdes eller hvor regressionstypen er skjult i tekst. Kunne vælge og kombinere rutinemæssige operationer og/eller anvende forskellige repræsentationsformer samtidigt (sproglig beskrivelse/graf/formel) Grafkending invers repræsentation Detaljeret redegørelse for monotoniforhold 5. Abstrakt niveau Kunne vurdere en model kunne ræsonnere på en matematisk problemstilling Bestemme maksimum eller minimum for en geometrisk figurs overfladeareal eller rumfang. Geometrisk situation UDEN figur. Opgave som: Forklar, hvorfor er en given funktion er en velegnet model til beskrivelse af Opgave som Modificer en given funktion, så den opfylder, at Funktionsundersøgelser Opgaver i at konstruer en opgave, så sinusfælden er relevant eller lignende. Opgave som Hvorfor eksisterer der ingen cosinusfælde? Det er åbenbart, at forskellige løsningsmetoder kan give anledning til skift i SO LO taksonomisk niveau. Vi har derfor valgt at klassificere en opgave til det laveste taksonomiske niveau, inden for hvilket besvarelsen stadig er fuldt pointgivende. Mest udtalt kan kompleksiteten af en opgave afhænge af, om den løses Side 8 af 68

vha. CAS værktøj eller uden. De typiske eksempler er løsning af ligninger (fx andengradsligninger) og bestemmelse af tangentens ligning. Et andet eksempel med reference ovenfor er bestemmelse af værdier af afhængig og uafhængig variabel. Med en solve applikation er der som oftest ingen taksonomisk forskel på disse to handlinger. Af denne grund er det afgørende at være opmærksom på, hvilken faglig viden og kunnen indtastning på CAS værktøj og efterfølgende anvendelse af CAS applikation kræver, så formuleringen af opgaver også eksplicit giver mulighed for taksonomisk variation i besvarelsen. Vi anfører endvidere, at SOLO taksonomisk niveau ikke er det samme som traditionel sværhedsgrad, hvor svær betyder det, som kun få kan klare. Dette illustreres måske bedst ved, at opgaverne i afsnittet uden hjælpemidler som oftest kun har fordret adfærd på uni og multistrukturelt niveau, men klart har været mere varierede mht. det traditionelle sværhedsbegreb. I nogle opgaver er der to spørgsmål. I sådanne opgaver vurderer vi det SOLOtaksonomiske niveau i hvert af de to spørgsmål og angiver det højeste niveau som opgavens niveau. I opgave 4 i stx B sæt 1 (fra 18. maj) skal eksaminanden først bestemme diskriminanten for en andengradsligning, og dernæst skal det forklares, hvad værdien af diskriminanten fortæller om antallet af løsninger til ligningen. Det SOLO taksonomiske niveau vurderes til at være 2 i første spørgsmål, men 3 i andet spørgsmål. Derfor vurderer vi niveauet til 3. Heri ligger også, at hvis der udelukkende var spurgt om, hvad diskriminanten fortæller om antallet af løsninger, så havde niveauet også været 3. Det skal bemærkes, at evalueringsgruppen med dette arbejde kun lige har taget fat på et meget stort projekt, nemlig at kategorisere skriftlige eksamensopgaver i forhold til SOLO taksonomien. Det vil kræve et større analysearbejde at forfine og præcisere denne analyse. Endvidere vil det kræve en analyse af elevers valg af strategier i løsning af de forskellige typer. Derfor er den nedenstående analyse af eksamenssættene vores første bud på en sådan analyse og skal ikke opfattes som vores endelige vurdering af opgaverne, der er stillet i år. Vi er åbne for, at vores vurderinger af de enkelte opgaver meget vel kan diskuteres og omvurderes. Men vi mener, at en taksonomisk analyse af opgaverne i de skriftlige opgavesæt vil være et vigtigt redskab til at udarbejde opgavesæt, der bedre giver mulighed for at elever på forskellige niveauer kan demonstrere deres færdigheder i matematik. SOLO taksonomiske analyser Eksamenssættene B niveau Stx B sæt 1 (18. maj 2011) Opgave 1 En førstegradsligning en opgave på niveau 2. Opgave 2 En reduktionsopgave niveau 2. Side 9 af 68

Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Opgave 6 Opgave 7 Opgave 8 Opgave 9 Opgave 10 To spørgsmål i to ensvinklede trekanter begge spørgsmål på niveau 2. Første del at bestemme diskriminant i andengradsligning og anden del at fremlægge, hvad værdien siger om antal løsninger til ligningen. Første del er på niveau 2, mens anden del er på niveau 3, samlet set SOLO taksonomisk niveau 3. En opgave i grafkending for to funktioner den vurderes at være på niveau 3. Opgaven kan løses ved enkel strategi nemlig at indsætte x værdier. Dermed kræver den ikke kendskab til funktionstypen. Her indgår grafer for to lineære funktioner samt to integraler. Opgaven kræver dels en fortolkning af et integral, dels bestemmelse af areal. Der indgår dermed to forskellige beskrivelsesformer, og der indgår en fortolkning. Begge delopgaver vurderes at være på niveau 4. Opgave a) går ud på at bestemme vinkel vha. cosinusrelation eller ved konstruktion på CAS værktøj. Ved begge løsningsmåder vurderes, at opgaven er på niveau 2. Opgave b) kan også løses på forskellige måder, men igen vurderes, at opgaven er på niveau 2. Opgave c) er beregning i en vilkårlig trekant, der ligger inde i den vilkårlige trekant. Opgaven kan ikke løse blot ved at anvende formel direkte, her er punktet D i spil. Niveauet er derfor 3. Opgave a) er en simpel udregning vha. en opstillet model en opgave på niveau 2. Opgave b) kræver en forklaring på konstanterne i modellen, og dermed er det en opgave på niveau 3. Opgave a) er en opgave i eksponentielregression, hvor eksaminanden skal justere x værdierne i modellen, og betegnelser skal vælges. Det er en opgave på niveau 3. I opgave b) skal modellen anvendes til beregning af en y værdi, dvs. en opgave på niveau 2. Opgave c) kan løses på forskellige måder, men kompleksiteten er højere end i opgave b), og opgaven vurderes at være på niveau 3. Opgave a) kræver bestemmelse af kvartilsæt, hvor talmaterialet er opgivet i rækkefølge. Det vurderes Side 10 af 68

Opgave 11 Opgave 12 at være en opgave på niveau 2. I opgave b) skal der tegnes to boksplot og forskellene på de to boksplot skal beskrives. Det er en opgave på niveau 4. I opgaven skal eksaminanden bestemme et bestemt integral, hvilket er et simpelt kald på et CASværktøj. Opgaven vurderes at være på niveau 2. I opgave a) skal grafen skitseres. Funktionen kræver ikke nogen justering af vindue, og derfor er niveauet på 2. Opgave b) indeholder to spørgsmål. Det første spørgsmål går ud på at bestemme den afledte funktion en opgave på niveau 2. Det andet spørgsmål kræver bestemmelse af en ligning for en tangent. På visse CAS værktøjer er det enkelt og dermed på niveau 2. Opgave c) går ud på at bestemme monotoniintervaller. En kompleks opgave, der er på niveau 4. Dermed vurderes 11 opgaver at være på niveau 2, 6 opgaver at være på niveau 3 og 3 opgaver at være på niveau 4. Stx B sæt 2 (24. maj 2011) Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Opgave 6 I opgaven er der to spørgsmål. Først skal y værdi bestemmes, dernæst x værdi. Eleverne skal selv opstille ligningen. En opgave på niveau 2. Ud fra en graf, to oplyste punkter samt oplyst type af funktion skal funktionsforskriften bestemmes. Der indgår således flere elementer i opgaven, og niveauet vurderes at være på niveau 3. På baggrund af en geometrisk tegning, der kan opdeles i et rektangel og en retvinklet trekant, skal en længde af en side i en retvinklet trekant bestemmes. Eleven skal selv nå frem til sidelængderne i den retvinklede trekant ud fra figuren. En opgave, der vurderes at være på niveau 3. Løsning af en andengradsligning. Det en opgave på niveau 2. Der skal her bestemmes differentialkvotient af en funktion der består dels af et eksponentielt led, dels af et potensled. Det er en opgave på niveau 2. Ved hjælp af en graf for en funktion skal differentialkvotient i et konkret punkt bestemmes og denne Side 11 af 68

Opgave 7 Opgave 8 Opgave 9 Opgave 10 Opgave 11 værdi skal vurderes. Det er en opgave, hvori flere elementer og niveauer skal kombineres, og den er på niveau 4. I opgave a) skal kvartilsæt aflæses af en sumkurve. Det er en opgave på niveau 2. I opgave b) skal igen ud fra sumkurven bestemmes, hvor stor en andel af datamaterialet, der ligger over en bestemt værdi. En noget mere kompleks opgave den vurderes at være på niveau 3. I a) en regressionsopgave med oplyst modeltype. En opgave på niveau 3 (der ikke er krav om justeringer i forhold til data). Opgave b) er en udregning af en konkret x værdi i modellen, og der skal oversættes mellem dansksprog og matematiksprog en opgave på niveau 3. Opgave a) består af opskrivning af en lineær model efter oplysninger om årlig stigning og værdi i konkret år. Opgaven kræver derfor tolkning af oplysninger, og den kræver afgrænsning af x værdier. En opgave på niveau 3. I opgave b) skal bestemmes y værdi ud fra et konkret år formuleret i ord. En opgave på niveau 2. Opgave c) spørger til x værdi ud fra oplysninger i ord. Det kræver en korrekt fortolkning af oplysningerne samt en justering af år en opgave på niveau 4. Grundlaget i denne opgave er en figur, der består af et rektangel, hvorpå der er placeret to retvinklede og ensvinklede trekanter. Opgave a) kræver beregning af vinkel i retvinklet trekant. En simpel opgave, men opgaven kan ikke løses, uden at der er foretaget en sortering i opgavens data. Opgaven vurderes til at være på niveau 3. Opgave b) består af to spørgsmål. Dels skal en katete i den ene retvinklede trekant bestemmes, dels skal en del af en katete i den anden retvinklede trekant bestemmes. Figuren skal udredes nærmere, før man kan anvende løsningsudtryk. Niveauet vurderes at være på niveau 4. Opgave a) er en løsning af en fjerdegradsligning. Det kræver elementær brug af CAS en opgave på niveau 2. Side 12 af 68

Opgave 12 Opgave b) er en bestemmelse af tangent i et punkt givet ved x værdien. Der kan være forskellige løsningsstrategier, som alle er direkte implementering af simple rutiner. Opgaven er på niveau 2. Opgave c) kræver en bestemmelse af monotoniforhold. Ligegyldig hvilken fremgangsmåde der anvendes, indgår der flere elementer i opgaven en opgave på SOLO taksonomisk niveau 4. Materialet i opgaven er et foto af en bygning, en graftegning og en oplyst funktion. Det er kun den oplyste funktion, der anvendes i beregningerne. I opgave a) skal en bredde og en højde bestemmes. Eksaminanden skal selv oversætte dette til beregning vha. funktionen. Derfor er den en opgave på niveau 3. I opgave b) skal et areal bestemmes et areal som grafen viser som areal under graf. Igen skal eksaminanden oversætte ord til matematik, og opgaven er på niveau 3. Alt i alt vurderes 7 opgaver at være på niveau 2, 9 opgaver at være på niveau 3 og 4 opgaver at være på niveau 4. Hf B (26. maj 2011) Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Opgave 6 En lineær funktion er givet ved forskriften, en anden er givet ved et punkt og hældningskoefficienten. Opgaven kræver, at de to funktioners grafer tegnes. Der er to repræsentationsformer i spil over for en simpel funktion. Det SOLO taksonomiske niveau vurderes til at være niveau 2. I en givet formel, hvori indgår en brøk, skal en ubekendt, der står i tælleren, bestemmes. Det er en opgave på niveau 2. En andengradsligning skal løses en opgave på niveau 2. Ud fra en tegnet graf skal dels nulpunkter, dels ekstrema bestemmes ud fra matematisk formulering. En opgave på niveau 3. Ud fra oplysninger om elforbrug et konkret år og om procentfald pr. år skal den eksponentielle model opstilles. En opgave på niveau 3. To funktioner er givet, og eksaminanden skal un Side 13 af 68

dersøge om den ene funktion er stamfunktion til den anden. Eksaminanden skal selv finde en fremgangsmåde. En opgave på niveau 4. Opgave 7 En opgave med en vilkårlig trekant. I opgave a) skal en vinkel bestemmes en enkel beregning vha. sinusrelation. En opgave på niveau 2. I b) skal en side i trekanten bestemmes. Der er flere mulige løsningsstrategier. Opgaven er på niveau 3. I opgave c) indføres et midtpunkt på en side, og der skal foretages beregning i en delvis ny trekant. En opgave på niveau 3. Opgave 8 I denne opgave er en potensmodel givet. I opgave a) skal først en y værdi bestemmes, dernæst skal en x værdi. En opgave på niveau 3, fordi der skal foretages oversættelse. I opgave b) skal en procentændring bestemmes en opgave på niveau 3. Opgave 9 Materialet i opgaven er et foto af en bygning, hvorpå er indlagt en graftegning, og en oplyst funktion. Det er kun den oplyste funktion, der anvendes i beregningerne. I opgave a) skal en bredde og en højde bestemmes. Eksaminanden skal selv oversætte dette til beregning vha. funktionen. Derfor er den en opgave på niveau 3. I opgave b) skal et areal bestemmes. Også her skal eksaminanden oversætte ord til matematik, og opgaven er på niveau 3. Opgave 10 Der er givet en logistisk vækstfunktion. I opgave a) skal en funktionsværdi bestemmes, og man skal bestemme hvad resultatet angiver. En opgave på niveau 3. I opgave b) skal bestemmes x værdi. Også her en simpel beregning, men med oversættelse derfor niveau 3. Det er i denne opgave simple beregninger på CASværktøj, men forståelsen af modellen kan være vanskelig. Opgave 11 Opgave a) er en lineær regression, hvor data ikke skal bearbejdes. Derfor en opgave på niveau 2. I opgave b) skal bestemmes, hvor meget et kondital stiger ved en givet forøgelse af løbekapacitet. Side 14 af 68

Det er en opgave på niveau 4. Opgave 12 Et fjerdegradspolynomium er givet. Opgave a) kræver bestemmelse af monotoniforhold. Uafhængigt af fremgangsmåde involveres flere dele i løsningen en opgave på niveau 4. Opgave b) er en bestemmelse af tangent i et punkt givet ved x værdien. Niveauet vurderes til at være 2. I opgave c) skal en x værdi bestemmes ud fra oplysning af en tangenthældning. Absolut en opgave på niveau 4. Samlet set vurderes 6 opgaver at være på niveau 2, 10 opgaver at være på niveau 3 og 4 opgaver at være på niveau 4. 12 Fordeling på niveauer i SOLOtaksonomi B sæt 10 Antal opgaver i sæt 8 6 4 2 Stx B 18.5.2011 Stx B 24.5.2011 Hf B 26.5.2011 0 Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Niveau 4 Vurderet abstraktionsniveau i SOLO taksonomi Figuren illustrerer at hf B eksamenssættet af analysen vurderes til samlet set at have højere SOLO taksonomisk niveau end stx B sættene. Stx B sættet fra 24. maj vurderes til at have højere SOLO taksonomisk niveau end sættet fra den 18. maj. Side 15 af 68

Hf C (26. maj 2011) Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Opgave 6 En opgave i kapitalfremskrivning. Opgave a) kræver en ligefrem udregning en opgave på niveau 2. Opgave b) kræver en vurdering af antal år en noget mere kompleks opgave, der vurderes til at være på niveau 4. En opgave i lineær funktion. Opgave a) kræver udregning af a og b ud fra to punkter. En opgave på niveau 2. I opgave b) kræver x bestemt også en opgave på niveau 3. Opgave c) kræver en bestemmelse af, hvor meget et kondital er steget. En ret kompleks opgave den vurderes at være på niveau 4. Opgaven drejer sig om boksplot. I opgave a) skal kvartilsættet aflæses af et tegnet boksplot. Det er på niveau 2. I opgave b) skal kursisten først tegne et nyt boksplot ud fra et datasæt. Denne del vurderes at være på niveau 3. Derefter skal dette boksplot sammenlignes med det boksplot, der er tegnet i opgaven. Denne del vurderes at være på niveau 4. Den samlede vurdering er derfor, at opgaven er på niveau 4. Denne opgave bygger på en givet potensmodel. I opgave a) skal kursisten stemme en y værdi en opgave på niveau 2. I opgave b) skal en x værdi bestemmes en opgave på niveau 3. I opgave c) skal en procentændring bestemmes en opgave på niveau 4. Opgave 5 handler om indekstal, og der er i én opgave to spørgsmål, dvs. at kompleksiteten øges. I den ene delopgave skal et indekstal bestemmes, i den anden delopgave skal et antal bestemmes. Opgaven vurderes at være på niveau 3. Dette er en opgave om en vilkårlig trekant. I opgave a) skal arealet bestemmes. Det er en opgave på niveau 2. I opgave b) skal en sidelængde bestemmes vha. cosinusrelation. Niveauet vurderes til at være på niveau 3. I opgave c) skal en vinkel bestemmes vha. én af Side 16 af 68

Opgave 7 relationerne. Det er ligeledes en opgave på niveau 3. Opgaven kræver indførelse af passende variabelbetegnelser samt opstilling af en model ud fra oplysninger i ord. Det drejer sig om en eksponentiel aftagende funktion. En meget kompleks opgave, der vurderes til at være på niveau 5. Samlet set vurderes 5 opgaver at være på niveau 2, 5 opgaver at være på niveau 3, 4 opgaver at være på niveau 4 og 1 opgave at være på niveau 5. Detaljeret analyse af udvalgte opgaver fra A niveau I nedenstående opgaver har vi foretaget en morfologisk analyse, dvs. foretaget en udredning af hvilke specifikke forståelses og handlingselementer en given opgave kan reduceres til nogenlunde svarende til en lingvistisk inddeling af et ord i morfemer (om end på knapt så atomart niveau). Elementerne er så vidt muligt beskrevet i på generel form, så den konkrete implementering kræver medlæsen af opgaverne. Som anført i indledningen bestemmes en given opgaves taksonomiske indplacering overvejende af, hvilke kombinationer og sammenfatninger af forståelses og handlingselementer opgaveformuleringen giver mulighed for og overlader til eleven. Vores udredning sigter som før mod det laveste mulige SOLO niveau som giver en tilfredsstillende besvarelse. Vi tager her udgangspunkt i Maple, men mindre potente CAS værktøjer end Maple ville sagtens kunne nødvendiggøre højere taksonomiske strategier. Opgave 9, stx A 24 05 2011 (stx A2) Eleven skal kunne 9a. Sproglig udredning: Sammenholde opgavens dansksproglige bestanddele med matematiksproglige ditto Identificere tabelindgange med beskrivende tekst Identificere variabel, t, funktion, N, og funktionsapplikation, N(t), med tekstlige ækvivalenter o Løbende i teksten o Tilbagerefererende i teksten Tilrettelæggelse af matematisk bearbejdning: Klassificere modelligning Side 17 af 68

Fortolke bestemme forskrift til rette handlingsdirektiv, altså bestemme konkrete værdier af modelparametre ud fra data Vælge værktøj til dette (i.e. vælge passende regressionsapplikation på CAS værktøj) Matematisk bearbejdning: 9b. Identificere tabeldata med applikationens foreskrevne format Indtaste data og starte applikation Bringe applikationens resultat på opgavens foreskrevne form. Sproglig udredning og tilrettelæggelse af matematisk bearbejdning følger de samme overordnede opdeling som 9a, men er mindre omfattende: Der er ingen yderligere tilbagerefereringer i teksten, og den overordnede klassifikationen er allerede foretaget. Eleven skal yderligere 9c. Typebestemme konkret modelligning, dvs. sammenholde konkret ligning med generisk ligning Identificere omtalt begreb ( halveringstid ) som standard aspekt ved model, dvs. størrelse som eleven ikke selv skal udlede, men kun beregne ved hjælpe af passende rutine Vælge applikation (fx indlæst program på CAS til beregning af halveringstider) Indtaste funktionsforskrift som foreskrevet af applikation, starte applikation, notere resultat. Samme overordnede sproglige udredningsbestanddele som i 9a+b, men sprogligt vanskeligere med mere kompliceret sætningsstruktur: Betydningsbærende præpositionsled: forskriften for den funktion, G(t), Betydningsbærende relativ pronomen sætninger:, G(t), der beskriver udviklingen Akkumulerede adjektiver: årlige procentvise Skjulte præpositionsled: gennemsnitlige antal malkekøer Opremsende præpositionsled:... i det gennemsnitlige antal malkekøer pr. landbrugsbedrift i perioden (fire præpositionsled på stribe!) Eleven skal derfor kunne Identificere betydningsenheder Side 18 af 68

Sortere betydningsenheder Afgøre hvilke der er betydningsbærende i forhold til opgaven Foretage syntese af dette Omforme til tilsvarende matematiksproglige problem: Angiv G(t) vha. N(t) og M(t), herunder o Sammenholde substantiver med matematiske objekter o Oversætte præpositionen pr. med handlingen division. Det bemærkes i øvrigt, at mens identifikationen mellem dansksproglige og matematiksproglige elementer i 9a+b udelukkende var af typen objekt objekt, skal pr. identificeres med kvotient, herunder identifikation af tæller og nævner med størrelser fra forudgående beskrivelse. Fra den matematiske begrebs og værktøjskasse kræves At sammenholde forskrift og funktion At foretage division mellem to eksponentialudtryk. Opgaven er svær, men udelukkende på grund af dens sproglige (u)tilgængelighed. Selv forfatterne har haft det svært: Bestem forskriften for den funktion G(t), der burde have været Bestem forskriften G(t) for den funktion, der. Taksonomisk indplacering Adfærdsverberne, som er brugt ovenfor til beskrivelse af 9a+b, omhandler alle monostrukturelle handlinger. Dersom opgaveteksten havde været formuleret med eksplicit handlingsdirektiv til hver enkelt af disse, ville 9a+b blive placeret på niveau 2. Et eksempel på et sådant direkte handlingsdirektiv kunne være Beskriv hvad tallene under 15, i tabellen svarer til. Imidlertid er handlingsdirektiverne implicitte i opgaveformuleringen, således at eleven selv skal kombinere dem. Dette indplacerer 9a+b på niveau 3. Opgave 9a kunne give mulighed for niveau 4 strategier ved tillægsspørgsmål, fx I et andet land aftager antallet af landbrugsbedrifter med malkekøer hurtigere end i Danmark, men efter samme model. Hvad kan siges om tallet a ud fra dette? Hvad kan siges om tallet b ud fra dette? Opgave 9b kunne gives mulighed for niveau 4 eller 5 strategier ved tillægsspørgsmål, fx Side 19 af 68

Vi antager, at denne udvikling fortsætter. Hvornår er malkekobestanden halvdelen af, hvad den er i dag? Hvornår er den en fjerdedel? Opgave 9c er klart på niveau 4 på grund af den analyse og syntese som forståelse af spørgsmålet kræver. I snæver forstand er denne kompetence ikke strengt matematikfaglig, men kunne også være anvendt i eksempelvis en juridisk tekst. Når spørgsmålet først er forstået, kræves kun matematikadfærd på niveau 2. Opgave 8, stx A 24 05 2011 (stx A2) Vi vil her dreje analysen lidt anderledes: Hvilke enkeltoperationer skal udføres og kombineres for at nå fra opgaveteksten til CAS oversættelsen (her i Maple implementering): Først opskrives de relationer, som kan fastlægge de adspurgte størrelser. Dette er i princippet anvendelse af formelsamling, inklusive eventuel ændring af betegnelser, samt overholdelse af (Maple)syntaks. (Bemærk, at Maple i det valgte worksheet mode er mere syntaksfølsom end de fleste andre CAS programmer, som benyttes i gymnasiet.) > Vinkel:=cos(TCB)=r/(r+h); > Trekant:=(r+h)^2=TB^2+r^2; > r:=6371;h:=.828; Resultaterne findes herefter ved anvendelse af uspecifik solve applikation a) > solve(vinkel,tcb); (Vinkel er i radian) b) > solve(trekant,tb); Side 20 af 68

Taksonomisk indplacering Igen er en stor del af opgaveløsningen baseret på tekstlige handlinger, dvs. identifikation af tekstelementer og oversættelse fra sproglig tekst til matematisk tekst. Vi vil skelne mellem tekstinterne og eksterne handlinger. De første omhandler elevens fagsproglige arbejde dels med læsning, dels med egne formuleringer, om man vil de semantiske handlinger. De sidste vedrører handlinger som afledes af teksten (inklusive figurer). Tekstinterne handlinger: Perceptive: At identificere tekststørrelser med de tilsvarende bogstavbenævnelser At identificere tekststørrelser med tilsvarende stykker på figur At tillægge størrelser de opgivne konkrete værdier. Kommunikative: At give (passende) sproglig forklaring på ens handlinger Teksteksterne handlinger: At identificere afledte størrelser ( TBC og dens rette vinkel) At identificere model (Pythagoras sætning og trigonometrisk definition af cosinus) At opstille modelligninger At importere data til model At anvende generel solve applikation. De tekstinterne handlinger vurderes til at være på niveau 2, ligesom identifikation af den relevante TBC. Inddragelse af Pythagoras sætning og trigonometri vurderes at være på niveau 3. Bemærk igen at en overvejende del af de kompetencer som eleven skal anvende som før er af generel karakter. Som i opgaven ovenfor vil der nemt kunne tilføjes spørgsmål, hvis besvarelse fordrer de højeste taksonomiske niveauer, fx Bygningen ligger i havneby X. En vindsurfer sejler i lige linje fra bygningen. Hvor langt skal vindsurferen sejle for helt at være ude af syne fra toppen af bygningen? Side 21 af 68

(Den fuldt udfoldede besvarelse vil måle afstanden langs havoverfladen altså som længde af et cirkeludsnit og tage hensyn til, i hvert fald som en kommentar, at sejlet har en vis højde. Matematisk set er spørgsmålet faktisk ukompliceret.) Side 22 af 68

Stx matematik A niveau de skriftlige prøver maj juni 2011 Samlet opgørelse Ved sommereksamen 2011 var der to skriftlige prøver i matematik på A niveau på stx. Den ene afholdtes 18. maj 2011 (efterfølgende kaldt prøve A1) og den anden afholdtes 24. maj 2011 (efterfølgende kaldt A2). I den første prøve, A1, deltog 1662 elever. Deres karakterfordeling ses i denne tabel: Karakter 3 00 02 4 7 10 12 Procent 1,9 17,2 8,7 20,1 28,6 18,4 5,1 Gennemsnittet ved prøve A1 blev 5,37. Stx A1 karakterfordeling 2011 Gennemsnit: 5,37 35 30 25 20 15 10 5 0 3 00 02 4 7 10 12 I den anden prøve deltog 7306 elever. Deres karakterfordeling ses i denne tabel: Karakter 3 00 02 4 7 10 12 Procent 0,5 10,7 6,2 15,9 28,3 27,1 11,3 Gennemsnittet ved prøve A2 blev 6,79. Side 23 af 68

30 25 20 15 10 5 0 Stx A2 karakterfordeling 2011 Gennemsnit: 6,79 3 00 02 4 7 10 12 Som det fremgår af statistikken er antallet af elever, der gik til de to delprøver meget forskelligt, idet antallet ved prøven A2 er væsentligt større end antallet der deltog i prøven A1. Samtidigt var resultatet af de to prøver også meget forskelligt. Umiddelbart giver udformningen af de to sæt ikke indtryk af at være væsentligt forskellige, så det kan ikke forklare den store forskel. Man kunne formode, at skolernes eksamensplanlægning har været udslagsgivende for begge forskelle, så de to populationer ved de to prøver har været væsentligt forskellige, men datamaterialet giver ikke mulighed for at teste denne hypotese. Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver Ved forcensuren angav hver censor pointfordelingen for de fem første elever på hvert hold både i de enkelte opgaver og det samlede pointtal. Ved første prøve, A1, er pointfordelingen for 468 elever indberettet, og ved anden prøve, A2, er pointfordelingen for 1826 elever indberettet. Den samlede pointfordeling ved to prøver ses af disse diagrammer: Side 24 af 68

08 07 06 05 04 03 02 01 00 Stx A1 2011: Samlet pointfordeling opgjort i procent (forcensur 468 elever) 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110 110 120 120 130 130 140 140 150 150 160 160 170 170 180 180 190 190 200 200 210 210 220 220 230 230 240 240 250 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00 Stx A2 2011: Samlet pointfordeling opgjort i procent (forcensur 1826 elever) 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110 110 120 120 130 130 140 140 150 150 160 160 170 170 180 180 190 190 200 200 210 210 220 220 230 230 240 240 250 Igen i forcensuren afspejles den forskel, der er på resultatet af de to prøver, og som må skyldes forskel i de to populationer. Men i begge diagrammer ses, at der er forholdsvis få elever, der opnår meget lille pointtal og det viser sig også i dumpeprocenterne, der ikke er særligt høje. For at se, hvordan eleverne har klarer de enkelte opgaver, ses her diagrammer over pointfordelingen i de enkelte delspørgsmål i opgavesættene. I hvert delspørgsmål kunne eleven opnå maks. 10 point. Side 25 af 68

Dette diagram angiver resultatet fra forcensuren fra prøve A1. På den lodrette akse er angivet opgavenummer, og de vandrette søjler angiver procentdelen af eleverne, der har opnået 0 point, 1 point, osv. i det pågældende spørgsmål. Stx A1 forcensur 2011. Pointfordeling for de enkelte opgaver i sættet. 1 2 3 4 5 6 7a 0% 20% 40% 60% 80% 100% 7b 7c 8a 9a 9b 10a 10b 10c 11a 11b 12a 0 point 1 point 2 point 3 point 4 point 5 point 6 point 7 point 8 point 9 point 10 point 12b 12c 13a 13b 14a 14b 14c Af opgørelses ses, at opgaverne 6, 13a, 13b og 14b har været særligt vanskelige, idet over 50% af eksaminanderne ikke har opnået point i disse opgaver. Det er en rimelig disponering fra opgavekommissionen, idet der skal være opgavetyper, som kun de allerbedste elever kan besvare. Desuden ses, at de første opgaver i Side 26 af 68

hver delprøve prøven uden hjælpemidler opgaverne 1 6 og prøven med hjælpemidler opgaverne 7 14 har været forholdsvis nemme, idet ret mange elever har besvaret disse opgaver. Det tyder på en fin progression i opgavesættet. Endelig bemærkes, at opgave 14a er fuldt korrekt besvaret af ca. 50% af eleverne, og det må betyde, at langt de fleste eksaminander er nået hertil under prøven, og at de altså ikke har haft tidsnød. Derfor vurderes prøven til at have et passende omfang. Side 27 af 68

Stx A2 forcensur 2011. Pointfordeling for de enkelte opgaver i sættet. I prøven A2 ses, at opgaverne 9c og 14b har været særdeles vanskelige, idet under 50% af eleverne opnår point i disse spørgsmål. Igen ses en rimelig progression hen gennem de to delprøver, så eleverne præsenteres for de nemmeste opgaver først. Dog er opgave 9c et spørgsmål, der har forekommet mange elever meget vanskeligt. Men denne prøve indeholder også spørgsmål, som over 50% af eksaminanderne har besvaret fuldstændigt korrekt, og det giver en god balance i opgavesættet. At så få har kunnet besvare de tre sidste spørgsmål 14a, 14b og 14c korrekt kan skyldes lidt tidsnød, men det kan også skyldes, at disse opgaver er noget vanskeligere end de øvrige. Side 28 af 68

Sammenligning af resultaterne af delprøverne med og uden hjælpemidler Ved den skriftlige prøve besvarer eleverne to delprøver. Første delprøve på 1 time besvares uden hjælpemidler, og ved anden delprøve på 4 timer kan eleverne anvende alle hjælpemidler under besvarelsen. Derfor tester første delprøve elevernes paratviden og de kompetencer, eleverne umiddelbart kan mobilisere. Anden delprøve tester derimod, om eleverne kan udnytte de relevante computerprogrammer, deres lærebøger/formelsamling og diverse noter. Derfor er det interessant at sammenligne, hvordan klarer sig i de to delprøver. For at sammenligne elevernes præstationer er hver elevs pointtal i de to delprøver afsat som ét punkt i diagrammet. På x aksen er afsat det opnåede pointtal i prøven uden hjælpemidler. Det maksimale pointtal i denne prøve er 60 point. På y aksen er afsat det pointtal, eleven opnåede ved prøven med hjælpemidler. Her er det maksimalt opnåelige pointtal 190. Stx A1 2011: Prøve med kontra uden hjælpemidler 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 Side 29 af 68

190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Stx A2 2011: Prøven uden hjælpemidler kontra prøven med 0 10 20 30 40 50 60 Hver prik i diagrammet repræsenterer en elevs præstation i de to delprøver. Men hvis flere elever opnår samme pointtal i de to prøver, vil de optræde som samme prik. Derfor vil mange af prikker præsentere flere elever. For at tage højde for dette, har vi indlagt tendenslinjen, som er den røde linje. Tendensen i A1 prøve og i A2 prøven er nogenlunde den samme. Tilsyneladende opnår de svagere elever flest point i prøven med hjælpemidler, mens de stærkeste elever derimod klarer sig lidt bedre i prøven uden hjælpemidler. Samtidig viser diagrammet en spredning om linjen, og det tyder på, at de to delprøver faktisk tester forskellige kompetencer hos eleverne, og ikke alle elever har samme kompetenceprofil. Udvikling siden gymnasiereformen Siden gymnasiereformen er der afholdt fire skriftlige prøver i matematik A på stx. Gymnasiereformen er nu endeligt implementeret og undervisningen må formodes at have tilpasset sig intentionerne i reformen. Derfor kunne det være interessant at se på udviklingen i elevernes resultater ved de skriftlige prøver siden reformen. Her ses udviklingen af antallet af eksaminander ved den skriftlige prøve i matematik A på stx: Side 30 af 68

10000 8000 6000 4000 2000 0 Stx A: Antal eksaminander 2008 2009 2010 2011 Antallet af eksaminander var i starten stigende og her de sidste tre år svinget lidt, men ligger jævnt omkring 8500. De sidste to år har der været to skriftlige prøver på A niveau og vi har opgjort resultaterne for begge prøver under et, idet vi vurderer, at de to prøver ikke afviger væsentligt fra hinanden i sværhedsgrad, men at populationerne ved de to prøver er forskellige, så man får et mere retvisende billede, når man samler de to til en samlet årgang. 30 25 20 15 10 5 0 Stx A: Dumpeprocenter 2008 2009 2010 2011 Som det ses af ovenstående graf er dumpeprocenten faldet voldsomt efter første eksamen og har de sidste tre år stabilt ligget på omkring 13%. Det kan altid diskuteres, om det er en rimelig dumpeprocent, men den ligger ikke over, hvad man tidligere har været vandt til. Side 31 af 68

7 Stx A: Gennemsnit 6,5 6 5,5 5 4,5 4 2008 2009 2010 2011 Gennemsnitskarakteren ved prøverne har ligeledes varieret en del, men har de sidste to år ligget på ca. 6,5. Heller ikke her giver det anledning til bemærkninger. Det må konkluderes, at de skriftlige prøver i matematik på A niveau har fundet et fornuftigt leje, og at opgavekommissionen fremstiller opgavesæt, der på meget fornuftig vis evaluerer årgangens kvalifikationer i skriftlig matematik. Side 32 af 68

Stx matematik B niveau de skriftlige prøver maj juni 2011 Samlet opgørelse Ved sommereksamen 2011 var der to skriftlige prøver i matematik på B niveau på stx. Den ene afholdtes 18. maj 2011 (efterfølgende kaldt prøve B1) og den anden afholdtes 24. maj 2011 (efterfølgende kaldt B2). I den første prøve, B1, deltog 705 elever. Deres karakterfordeling ses i denne tabel: Karakter 3 00 02 4 7 10 12 Procent 2,3 16,0 8,1 16,0 27,2 22,1 8,2 Gennemsnittet ved prøve B1 blev 5,84. 30 25 20 15 10 5 0 Stx B1 karakterfordeling 2011 Gennemsnit: 5,84 3 00 02 4 7 10 12 I den anden prøve, B2, deltog 5807 elever. Deres karakterfordeling ses i denne tabel: Karakter 3 00 02 4 7 10 12 Procent 1,7 15,7 7,0 16,5 26,4 24,6 8,1 Gennemsnittet ved prøve B2 blev 6,02. Side 33 af 68

30 25 20 15 10 5 0 Stx B2 karakterfordeling 2011 Gennemsnit: 6,02 3 00 02 4 7 10 12 Af disse opgørelser ses, dels at antallet af elever ved de to prøver er meget forskelligt, men udfaldet af de to prøver til B niveau er forholdsvis ens, og de giver ikke anledning til bemærkninger. Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver Ved forcensuren angav hver censor pointfordelingen for de fem første elever på hvert hold både i de enkelte opgaver og det samlede pointtal. Ved første prøve, B1, er pointfordelingen for 240 elever indberettet og ved anden prøve, B2, er pointfordelingen for 1718 elever indberettet. Den samlede pointfordeling ved to prøver ses af disse diagrammer: Side 34 af 68

2011 stx B1 pointfordeling Forcensur 240 elever 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110 110 120 120 130 130 140 140 150 150 160 160 170 170 180 180 190 190 200 For at se, hvordan eleverne har klarer de enkelte opgaver, ses her diagrammer over pointfordelingen i de enkelte spørgsmål. I hvert spørgsmål kunne eleven opnå maks. 10 point. Dette diagram angiver resultatet fra forcensuren fra prøve B1. På den lodrette akse er angivet opgavenummer, og de vandrette søjler angiver procentdelen af eleverne, der har opnået 0 point, 1 point, osv. i det pågældende spørgsmål. Side 35 af 68

Stx B1 2011. Pointfordeling for enkeltopgaver opgjort ud fra forcensuren. 0% 20% 40% 60% 80% 100% 1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c 8a 8b 9a 9b 9c 10a 0 point 1 point 2 point 3 point 4 point 5 point 6 point 7 point 8 point 9 point 10 point 10b 11a 12a 12b 12c De opgaver, som eleverne har klaret bedst, er opgave 1, 2 og 8a. Her opnår næsten 50% fuldt pointtal, og meget få procent opnår overhovedet ingen point i disse opgaver. Opgave 6 (sidste opgave i prøven uden hjælpemidler), 7c og 12c har forekommet vanskeligst. På nær opgave 7c er det de sidste opgaver i sættet i de to delprøver, og det viser, at der er fin progression i opgavernes sværhedsgrad gennem sættet. At over 70% af eleverne opnår point i opgave 12b, den næstsidste opgave, tyder på, at eleverne ikke har haft tidsnød under prøven, og at prøven dermed har et passende omfang. Side 36 af 68

Her ses det tilsvarende diagram for prøven B2: Stx B2 2011. Pointfordeling for enkeltopgaver opgjort ud fra forcensuren. 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 1 2 3 4 5 6 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c 10a 10b 11a 11b 11c 12a 12b For prøve B2 s vedkommende er det kun opgave 6, der har vist sig at være meget vanskelig, idet kun ca. 35% af eleverne har lavet en præstation, der giver point for denne opgave. Men da det er sidste opgave i delprøven uden hjælpemidler, er det udtryk for fin progression. Ligeledes ses en god progression i delprøven med hjælpemidler (opgave 7a 12b). De opnåede pointtal viser en fin fordeling, og i alle opgaver (på nær opgave 6) er der en rimelig andel af eleverne, der har opnået fuldt pointtal. Side 37 af 68

Sammenligning af resultaterne af de to delprøver Ved den skriftlige prøve besvarer eleverne to delprøver. Første delprøve på 1 time besvares uden hjælpemidler, og ved anden delprøve på 3 timer kan eleverne anvende alle hjælpemidler under besvarelsen. Derfor tester første delprøve elevernes paratviden og de kompetencer, eleverne umiddelbart kan mobilisere. Anden delprøve tester derimod om eleverne kan udnytte de relevante computerprogrammer, deres lærebøger/formelsamling og diverse noter. Derfor er det interessant at se, hvordan klarer sig i de to delprøver. For at sammenligne elevernes præstationer er hver elevs pointtal i de to delprøver afsat som et punkt i diagrammet. På x aksen er afsat det opnåede pointtal i prøven uden hjælpemidler. Det maksimale pointtal i denne prøve er 60 point. På y aksen er afsat det pointtal, eleven opnåede ved prøven med hjælpemidler. Her er det maksimalt opnåelige pointtal 140. 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Stx B1 2011 prøven uden hjælpemidler kontra prøven med 0 10 20 30 40 50 60 Side 38 af 68

140 Stx B2 2011 Prøven uden hjælpemidler kontra prøven med. 120 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 Hver prik i diagrammet repræsenterer en elevs præstation i de to delprøver. Men hvis flere elever opnår samme pointtal i de to prøver, vil de optræde som samme prik. Derfor vil mange af prikkerne præsentere flere elever. For at tage højde for dette, har vi indlagt tendenslinjen, som er den røde linje. Tendensen i B1 prøve og i B2 prøven er ikke ret forskellig og hovedtendensen er, at eleverne klarer de to prøver nogenlunde ens. Begge diagrammer viser spredning om linjen, og det tyder på, at de to delprøver faktisk tester forskellige kompetencer hos eleverne, og ikke alle elever har samme kompetenceprofil. Udviklingen siden gymnasiereformen Siden gymnasiereformen har fem årgange gymnasieelever været til skriftlig prøve i matematik B på stx. Derfor vil det være interessant at se på udviklingen i denne periode. Side 39 af 68

10000 Stx B: Antal eksaminander 8000 6000 4000 2000 0 2007 2008 2009 2010 2011 Antallet af eksaminander, der her deltaget i prøven i matematik B på stx, har været stærkt svingende gennem de fem år. Det skyldes, at ikke alle elever skal til den skriftlige prøve, men at prøven udtrækkes ved lodtrækning. De to sidste år har der været to skriftlige prøver i matematik B på stx. Her er karakterfordelingerne opgjort for hele årgangen, idet de to delprøver ikke anses for væsentligt forskellige i sværhedsgrad. Da de to populationer ved de to prøver har vist sig at være meget forskellige, giver det et mere retvisende billede, hvis de betragtes som en samlet årgang. 30 Stx B: Dumpeprocenter 20 10 0 2007 2008 2009 2010 2011 Som diagrammet viser, var dumpeprocenten de første tre år meget høj. Den er faldet og ligger inden for de sidste to år på ca. 17%. Det kan selvfølgelig diskuteres, om en dumpeprocent på 17% er rimelig i et gymnasialt fag, hvor eleverne har deltaget i to års undervisning, men i forhold til tidligere er denne dumpeprocent ikke usædvanlig. Side 40 af 68

7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 Stx B: Gennemsnit 2007 2008 2009 2010 2011 Ligeledes ses gennemsnitskarakteren ved den skriftlige prøve i matematik B på stx at ligge meget lavt de første tre år, men er siden steget til omkring 6 de sidste to år. Konklusionen må være, at det er lykkedes opgavekommissionen at fremstille skriftlige opgavesæt i matematik, der på bedste vis formår at evaluere elevernes færdigheder i skriftlig matematik. Side 41 af 68

Hf matematik B niveau den skriftlige prøve maj juni 2011 Samlet opgørelse Ved sommereksamen 2011 var 3837 kursister til skriftlig prøve i matematik B niveau på hf. Deres karakterfordeling ses i denne tabel: Karakter 3 00 02 4 7 10 12 Procent 4,4 24,0 9,5 16,9 20,8 17,1 7,3 Gennemsnittet ved prøven blev 4,77. 30 25 20 15 10 5 0 Hf B karakterfordeling 2011 Gennemsnit: 4,77 3 00 02 4 7 10 12 Side 42 af 68

Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver Ved forcensuren angav hver censor pointfordelingen for de fem første kursister på hvert hold både i de enkelte opgaver og det samlede pointtal. Ved denne prøve er der indberettet pointtal for 873 kursister. Den samlede pointfordeling ses af dette diagram. På den vandrette akse er angivet intervaller med de opnåede pointtal, og på den lodrette procentdelen af eksaminanderne, der har opnået dette pointtal: 8,0 2011 hf B pointfordeling Forcensur 873 kursister 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110 110 120 120 130 130 140 140 150 150 160 160 170 170 180 180 190 190 200 Man lægger mærke til den ret lige fordeling, som betyder, at der er forholdsvis mange kursister, der har opnået meget lave pointtal. Desuden ses en tendens til et fald i frekvensen ved fuldt pointtal, så meget få kursister opnår dette. Umiddelbart tyder dette på, at der i årets opgavesæt ikke har været opgaver nok på et niveau, hvor de svagere elever har kunnet vise, hvad de kan. Side 43 af 68

For at se hvordan kursisterne har klaret de enkelte opgaver, ses her diagrammer over pointfordelingen i de enkelte spørgsmål. I hvert spørgsmål kunne eleven opnå maks. 10 point. På den lodrette akse er angivet opgavenummer, og de vandrette søjler angiver procentdelen af eleverne, der har opnået 0 point, 1 point, osv. i det pågældende spørgsmål. Hf B 2011: Pointfordelingen af enkeltopgaver opgjort ud fra forcensuren. 0% 20% 40% 60% 80% 100% 1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c 8a 8b 9a 9b 10a 0 point 1 point 2 point 3 point 4 point 5 point 6 point 7 point 8 point 9 point 10 point 10b 11a 11b 12a 12b 12c Man lægger mærke til, at der er en hel række opgaver, hvor 40% eller flere kursister overhovedet ikke opnår point. Særligt opgave 12c har voldt problemer for Side 44 af 68

mange idet ca. 70% af kursisterne slet ikke formår at score nogen point i dette delspørgsmål. Af særligt lette opgaver, som kunne være et tilbud til de svagere elever, er kun opgave 1, 2, 7a og 8a. Ligeledes er der ikke udpræget progression i opgavesættet, da det ikke ses, at opgavernes sværhedsgrad stiger gennem de to delprøver. Sammenligning af resultaterne af de to delprøver Ved den skriftlige prøve besvarer eleverne to delprøver. Første delprøve på 1 time besvares uden hjælpemidler, og ved anden delprøve på 3 timer kan eleverne anvende alle hjælpemidler under besvarelsen. Derfor tester første delprøve elevernes paratviden og de kompetencer, eleverne umiddelbart kan mobilisere. Anden delprøve tester derimod om eleverne kan udnytte computer og deres lærebøger/formelsamling og diverse noter. Derfor er det interessant at se, hvordan klarer sig i de to delprøver. For at sammenligne elevernes præstationer er hver elevs pointtal i de to delprøver afsat som et punkt i diagrammet. På x aksen er afsat det opnåede pointtal i prøven uden hjælpemidler. Det maksimale pointtal i denne prøve er 60 point. På y aksen er afsat det pointtal, eleven opnåede ved prøven med hjælpemidler. Her er det maksimalt opnåelige pointtal 140. 140 Hf B 2011: Prøven uden hjælpemidler kontra prøven med 120 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 Hver prik i diagrammet repræsenterer en kursists præstation i de to delprøver. Men hvis flere kursister opnår samme pointtal i de to prøver, vil de optræde som samme prik. Derfor vil mange af prikkerne præsentere flere kursister. For at tage højde for dette, har vi indlagt tendenslinjen, som er den røde linje. Den viser, at Side 45 af 68

de fagligt svagere kursister opnår flest point i prøven med hjælpemidler, mens de fagligt stærkere kursister klarer sig lidt bedre i prøven uden hjælpemidler. Diagrammet viser nogen spredning om linjen, og det tyder på, at de to delprøver faktisk tester forskellige kompetencer hos kursisterne, og ikke alle kursister har samme kompetenceprofil. Udvikling siden hf reformen Siden gymnasie og hf reformen har der været 5 årgange til skriftlig prøve i matematik B på hf. Man må gå ud fra, at faget nu har fundet den form, der passer til reformens intentioner, og det er derfor interessant at se på udviklingen i perioden. 5000 Hf B: antal eksaminander 4000 3000 2000 1000 0 2007 2008 2009 2010 2011 Antallet af kursister, der deltager i matematik B, har gennem de fem år været stærkt stigende, og der er næsten tale om en fordobling. 30 HF B: dumpeprocenter 25 20 15 10 5 0 2007 2008 2009 2010 2011 Side 46 af 68

Dumpeprocenterne har gennem perioden været stærkt svingende, og intet tyder på, at den stigende dumpeprocent de sidste tre år, skyldes det stigende antal eksaminander. 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 Hf B: gennemsnit 2007 2008 2009 2010 2011 Karaktergennemsnittet er ligeledes stærkt svingende med over én karakters udsving. Selv om et stigende antal kursister må betyde noget for populationen, der går til den skriftlige prøve, ser vi her udsving der er vanskelige at forklare i andre forhold end de stillede opgavesæt ved prøverne. Øjensynligt er det ikke lykkedes opgavekommissionen at finde den rette vægtning mellem lette og vanskelige opgaver, der på passende vis kan evaluere kursisterne ved hf B. Side 47 af 68

Hf matematik C niveau den skriftlige prøve maj juni 2011 Samlet opgørelse Ved sommereksamen 2011 var 7285 kursister til skriftlig prøve i matematik C niveau på hf. Deres karakterfordeling ses i denne tabel: Karakter 3 00 02 4 7 10 12 Procent 2,8 20,4 9,8 19,4 21,5 17,1 9,0 Gennemsnittet ved prøven blev 5,19. 25 Hf C karakterfordeling 2011 Gennemsnit: 5,19 20 15 10 5 0 3 00 02 4 7 10 12 Side 48 af 68

Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver Ved forcensuren angav hver censor pointfordelingen for de fem første kursister på hvert hold både i de enkelte opgaver og det samlede pointtal. Ved denne prøve er der indberettet pointtal for 2195 kursister. Den samlede pointfordeling ses af dette diagram. PÅ den vandrette akse ses intervallerne med det samlede pointtal, hver kursist opnåede, og på den lodrette akse, den procentdel af kursisterne, der opnåede dette pointtal. Man lægger mærke en jævnt stigende frekvens ved de lave pointtal op til bestågrænsen, og en mere lige fordeling for resten af pointskalaen. Dette betyder, at der er færre med meget få pointtal. Dog ses et fald ved fuldt pointtal, således at færre kursister opnår fuldt pointtal. For at se hvordan kursisterne har klaret de enkelte opgaver, ses her et diagram over pointfordelingen i de enkelte spørgsmål. I hvert spørgsmål kunne eleven opnå max 10 point. På den lodrette akse er angivet opgavenummer, og de vandrette søjler angiver procentdelen af eleverne, der har opnået 0 point, 1 point, osv. i det pågældende spørgsmål. Side 49 af 68

Hf C 2011: Pointfordeling i enkeltopgaver ud fra forcensuren. 0% 20% 40% 60% 80% 100% 1a 1b 2a 2b 2c 3a 3b 4a 4b 4c 5a 6a 6b 6c 7a 0 point 1 point 2 point 3 point 4 point 5 point 6 point 7 point 8 point 9 point 10 point De vanskeligste opgaver i sættet har været opgaverne 2b, 2c 4c, 6b, 6c og 7a. I disse opgaver har op mod 50% af kursisterne slet ikke opnået point. De nemmeste opgaver har været opgave 1a, 1b, 3a, 4a, 5a og 6a, hvor omkring 40% har opnået fuldt pointtal. På denne måde er der balance mellem de lettere opgaver og de vanskeligere. Men kursisterne møder allerede tidligt i sættet ved opgave 2b og 2c nogle af sættets vanskeligste opgaver, og det kan have givet nogle kursister problemer. I dette sæt er der mange opgaver med tre delspørgsmål, og det ses tydeligt, at sværhedsgraden stiger fra spørgsmål a til c i hver af disse opgaver. Selv om delspørgsmålene oftest kan besvares uafhængigt af de forrige, kan det fx være en hæmsko for den kursist, der går i stå i b delen at kunne besvare c delen i samme opgave. Udvikling siden hf reformen Siden gymnasie og hf reformen har der været seks årgange til skriftlig eksamen i matematik C. Derfor er det interessant at se, på udviklingen siden da. Den første årgang fik karakterer efter den gamle 13 skala, og de er derfor ikke med i denne opgørelse. Side 50 af 68

8000 Hf C: antal eksaminander 6000 4000 2000 0 2007 2008 2009 2010 2011 Som det ses er antallet af hf kursister, der tager matematik C stigende gennem årene, men har de sidste to år ligger stabilt på lidt over 7000. 30 25 20 15 10 5 0 Hf C: dumpeprocenter 2007 2008 2009 2010 2011 Dumpeprocenten på hf C er derimod stærkt svingende. Da man må gå ud fra, at populationen er den samme år efter år, må dette sving være udtryk for, at sværhedsgraden af opgaverne ved eksamen er svingende. Side 51 af 68

7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 Hf C: gennemsnit 2007 2008 2009 2010 2011 Gennemsnittet er ligeledes svingende med næsten én karakters udsving. Igen kan denne forskel ikke kun skyldes forskelle på de forskellige årgange, men må også skyldes variationer i de stillede opgavesæt gennem årene. Side 52 af 68

Kønsforskelle i eksamensresultaterne i de skriftlige prøver i matematik Ligesom de tidligere år har vi i år opgjort eksamensresultaterne for hvert af de to køn, så eventuelle kønsforskelle kan afdækkes. Censorerne er blevet bedt om at indberette pointtallene for de første 5 opgaver på hvert hold, som de har rettet. De er desuden blevet bedt om at registrere elevens køn ud fra navnet i det omfang, det var muligt. På denne måde kan vi se resultaterne for hvert køn for sig. Resultaterne fremgår af disse oversigter: Stx A1 2011: I forcensuren var der repræsenteret 211 kvinder og 217 mænd. 35 30 25 Kvinderne opnåede et karaktergennemsnit på: 5,20 Mændene opnåede et karaktergennemsnit på: 5,27 20 15 Drenge Piger 10 05 00 3 00 02 4 7 10 12 I prøven A1 er der ikke nævneværdig forskel på karaktergennemsnittet for de to køn. Diagrammet viser, at der er flere kvinder end mænd, der opnår middelkarakter, mens det omvendte gør sig gældende ved både de lave og de højre karakterer. Side 53 af 68

Stx A2 2011: I forcensuren var der repræsenteret 961 kvinder og 767 mænd. 35 Kvinderne opnåede et karaktergennemsnit på: 6,97 Mændene opnåede et karaktergennemsnit på: 6,80 30 25 20 15 Drenge Piger 10 05 00 3 00 02 4 7 10 12 Det samme mønster gør sig gældende i prøven A2, hvor kvinderne opnår det højeste gennemsnit, og hvor der er overvægt at kvinder i middelkaraktererne, mens mændene har overvægt i karaktererne under middel. I begge prøver til A niveau er procenten af mænd med dumpekarakter ca. 5 procentpoint over kvindernes. Stx B1 2011: I forcensuren var der repræsenteret 123 kvinder og 104 mænd. 35 Kvinderne opnåede et karaktergennemsnit på: 4,99 Mændene opnåede et karaktergennemsnit på: 5,47 30 25 20 15 Drenge Piger 10 05 00 3 00 02 4 7 10 12 Side 54 af 68

I prøven B1 klarer mændene sig bedre end kvinderne i karaktergennemsnit. Igen ligger kvinderne højst i middelkarakteren 7, og drengene ligger højere end kvinderne i topkaraktererne. Men her ses en overvægt af kvinder i de laveste karakterer. Dette resultat skal nok tages med alt muligt forbehold, idet der kun var et lille antal elever til denne prøve. Stx B2: I forcensuren var der repræsenteret 1031 kvinder og 584 mænd. 30 Kvinderne opnåede et karaktergennemsnit på: 6,37 Mændene opnåede et karaktergennemsnit på: 5,50 25 20 15 Piger Drenge 10 05 00 3 00 02 4 7 10 12 I prøven B2, hvor langt de fleste (5807 elever mod 705 ved B1 prøven), er kønsforskellen meget udtalt. Kvindernes karaktergennemsnit er markant højere end mændenes. Desuden ses, at kvinderne er i overvægt ved alle karakterer fra 7 og derover. Mens mændene er i overvægt ved karakterer under 4. Konklusionen er helt klart den, at mændene klarer denne prøve markant dårligere end kvinderne. Dette var også resultatet ved prøverne de forrige år. Side 55 af 68

Hf B 2011: I forcensuren var der repræsenteret 471 kvinder og 397 mænd. 30 Pigerne opnåede et karaktergennemsnit på: 4,94 Drengene opnåede et karaktergennemsnit på: 4,92 25 20 15 10 Mænd Kvinder 05 00 3 00 02 4 7 10 12 Hf C 2011: I forcensuren var der repræsenteret 1131 kvinder og 871 mænd. 25 Pigerne opnåede et karaktergennemsnit på: 5,27 Drengene opnåede et karaktergennemsnit på: 5,33 20 15 10 Mænd Kvinder 05 00 3 00 02 4 7 10 12 PÅ hf både B og C niveau er der ikke nævneværdig forskel på resultaterne for de to køn. Karaktergennemsnittet er næsten ens på begge niveauer. Der er forskelle på de to køns karakterfordelinger, men der er ikke som på stx en entydig tendens i disse forskelle. Det er meget bemærkelsesværdigt, at der på hf ikke er den samme forskel i de to køns præstationer ved de skriftlige prøver i matematik. Så den overordnede konklusion må være, at på hf er der ikke den store forskel på de to køns resultater ved den skriftlige prøve, mens der på stx er forskel. Her er Side 56 af 68

forskellen mest udtalt på B niveau, hvor drengene klarer sig markant dårligere om end ikke så udtalt som ved de forrige års eksaminer. Det kunne være interessant at få klarlagt, hvad denne forskel på stx og hf skyldes, og få et grundigt udredningsarbejde om drengenes præstationer i det almene gymnasium. Side 57 af 68

Resultater efter brug af computer eller håndholdt CASværktøj Ved forcensuren har censorerne anført, om eksaminandernes besvarelser er udarbejdet og indskrevet på computer ved brug af et CAS program, eller om de er udfærdiget i hånden med brug af håndholdt CAS værktøj. På dette grundlag har vi opgjort andelen af elever i de to grupper ved alle prøverne, og vi har undersøgt, hvordan de to elevgrupper har klaret prøven med hjælpemidler, for det er jo her en eventuet forskel kunne komme på tale. For stx A niveau er fordelingen af elever, der bruger lommeregner og elever, der har brugt pc: Stx A1 2011: Fordeling af elever efter CAS værktøj (lommeregner eller pc) PC: 37% LR: 63% Pointfordelingen ved prøven uden hjælpemidler er således: Side 58 af 68

14,0 Stx A1 2011: Pointfordeling for prøven med hjælpemidler med og uden PC 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 LR PC 2,0 0,0 Gennemsnittet er: Lommeregnerbrug 94 Pc brug 114 For prøven A2 er: Stx A2 2011: Fordeling af elever efter CAS værktøj (lommeregner eller pc) PC: 47% LR: 53% Side 59 af 68

og pointfordelingen er: 12,0 Stx A2 2011: Pointfordeling efter CASværktøj (lommeregner eller pc) 10,0 8,0 6,0 4,0 LR PC 2,0 0,0 Gennemsnittet er: Lommeregnerbrug 117 Pc brug 128 På A niveau er prøven A2 den der præsenterer langt de fleste A niveauelever. Her bruger lidt over halvdelen af eleverne et håndholdt CAS værktøj og afleverer opgaverne indskrevet med blyant. Det ses tydeligt, at de elever, der har brugt computer, i begge prøver klarer sig markant bedre i prøven med hjælpemidler, end de elever, der afleverer håndskrevne besvarelser. For stx B niveau er tallene: Side 60 af 68

Stx B1 2011: Fordeling af elever efter CAS værktøj (lommeregner eller pc) PC: 56% LR: 44% og pointfordelingen er: Stx B1 2011: Pointfordeling efter CASværktøj (lommeregner eller pc) 18,0 16,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 LR PC Det gennemsnitligt opnåede pointtal: Lommeregnerbrug 79 Pc brug 79 For stx B2 er de tilsvarende opgørelser: Side 61 af 68

Stx B2 2011: Fordeling af elever efter CAS værktøj (lommeregner eller pc) PC: 44% LR: 56% Stx B2 2011: Pointfordeling efter CASværktøj (Lommeregner eller pc) 16,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 LR PC Lommeregnerbrug 85 Pc brug 92 Her har langt den overvejende del af eksaminanderne på B niveau deltaget i prøven B2, som derfor må tillægges langt den største vægt. Her ses, at lidt over halvdelen af eksaminanderne benytter et håndholdt CAS værktøj og afleverer opgaverne indskrevet med håndkraft. Endvidere er det tydeligt, at de elever, der har brugt et CAS program på computer og udarbejdet deres besvarelser på com Side 62 af 68

puter, markant klarer prøven med hjælpemidler bedre, end de elever, der har brugt et håndholdt CAS værktøj. Endelig er her for B niveauet på hf: Hf B 2011: Fordeling af elever efter CAS værktøj (lommeregner eller pc) PC: 27% LR: 73% 12,0 Hf B 2011: Pointfordeling efter CASværktøj (lommeregner eller pc) 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 LR PC 0,0 Gennemsnit opnået pointtal: Lommeregnerbrug 71 Pc brug 76 Side 63 af 68

Det er bemærkelsesværdigt, at der på hf er en langt mindre del kursister, der benytter computer end på stx. Forskellen i de to gruppers resultater ved prøven med hjælpemidler er mindre udtalt end i stx, men dog til stede. Ligeledes viser opgørelsen over de opnåede point ved prøven med hjælpemidler, at også her klarer kursister, der anvender computer, sig bedre end de, der ikke bruger computer. Konklusion om brug af CAS værktøj Den overordnede konklusion er meget tydelig: Elever, der bruger computer med et CAS værktøj, klarer sig simpelt hen en del bedre ved prøven med hjælpemidler end de elever, der benytter et håndholdt CAS værktøj. Men denne konklusion åbner for flere spørgsmål, end den giver svar. Det vil være forkert alene at lade brug af computer ved eksamen være grunden. Selvfølgelig kan brug af computer, hvor både beregninger og indskrivning foretages i et og samme program og i en og samme arbejdsgang give nogle tidsmæssige lettelser, der frigiver tid til arbejdet med de matematiske problemstillinger under prøven. Men der kan være mange andre grunde. Det kunne jo også være de elever, der er mest interesserede i og motiverede for matematik, der faktisk har anskaffet sig computer og bruger den i matematik. Det kunne også være de mest engagerede lærere, der har lagt undervisningen til rette omkring brug af computer. Endelig kunne anvendelsen af computer i den daglige undervisning give nogle læringsmæssige fortrin for eleverne i og med de indgår mere interaktivt i læreprocessen i faget. Det kunne være meget interessant at iværksætte undersøgelser omkring computerbrug som læringsværktøj i matematikundervisningen. Side 64 af 68

Klyngeanalyser Herunder findes resultater af klyngeanalyser af årets eksamenssæt. I de sæt, hvor der er foretaget SOLO taksonomisk analyse, dvs. hf C, stx B1, stx B2 samt hf B, er der en analyse af, hvordan klyngerne hænger sammen med opgaver vurderet på niveau 4 eller 5. Til disse klyngeanalyser kan vi bemærke, at venstre klyngning som mål bør indeholde cirka en tredjedel af opgaverne. Et mål ville være at der blev fordelt tre klynger med nogenlunde samme antal opgaver. Den venstre klynge ville da være de opgaver, som mange elever kan besvare, den midterste klynge være opgaver jævnt mange elever kan besvare, mens den højre klynge ville være med de opgaver, som kun få elever kan besvare. Vi kan her iagttage, at der er en tredelt klyngning, hvor opgaverne 1a, 1b, 4a, 5a og 3a udgør venstre klyngning. I forhold til den SOLO taksonomiske analyse er det interessant at bemærke, at tre af de fire opgaver, der er vurderet til at være på niveau 4 og 5, er samlet i samme klynge, nemlig opgave 3b, 4c og 7a. Opgave 4c er også vurderet til at være på niveau 4, men den klynger sammen med opgave 2a og 2b. Side 65 af 68

Også denne klyngeanalyse er tredelt. Her er imidlertid kun en mindre del af opgaverne i venstre klyngning. Klyngeanalysen underbygger, at der har været for få lettere tilgængelige opgaver og mange er dumpet. I relation til den SOLO taksonomiske analyse viser denne klyngeanalyse ingen sammenhæng. I sættet er fire opgaver vurderet til at være på niveau 4, nemlig opgave 6, 11b, 12a og 12c. Disse opgaver findes ganske vist alle fire i højre overordnede klynge, men derefter fordeler de sig i klyngerne. Denne klyngeanalyse har usædvanlig opbygning, idet venstre klyngning kun indeholder tre opgaver og højre klyngning kun en enkelt opgave. Opgave 12c findes som den eneste opgave i højre klynge. Denne opgave, der drejer sig om bestemmelse af monotoniforhold, er vurderet til at være på niveau 4 i den SOLO taksonomiske analyse. De to øvrige opgaver, som er vurderet til at være på niveau 4, befinder sig i forskellige underklynger. I klyngningen kan det bemærkes, at henholdsvis opgave 7a, 7b og 7c, 9a, 9b og 9c samt 12a og 12b er klynget sammen i nederste klynger. Side 66 af 68

Denne klyngeanalyse nærmer sig den ideelle tredeling. Venstre klynge indeholder syv opgaver, dvs. en tredjedel af opgavesættet. De opgaver, der i den SOLO taksonomiske analyse er vurderet til at være på niveau 4, fordeler sig her i både højre og venstre overordnede klynge. I de underliggende klynger fordeler opgaverne sig også. Det kan bemærkes, at opgave 9c, der vurderes til at være på niveau 4, nederst klynger sig til 9a og 9b. Endvidere kan det bemærkes, at opgaver 7a og 7b, 8a og 8b, 10a og 10b samt 12a og 12b klynges i nederste niveau. Det er her bemærkelsesværdigt, at der er to klynger af næsten lige stort omfang. I venstre klynge befinder fem af de seks opgaver uden hjælpemidler sig. I øvrigt kan det bemærkes, at de forskellige spørgsmål i samme opgaver ikke klynges tæt her. Side 67 af 68

Også her er det bemærkelsesværdigt, at der er to klynger. I denne analyse er venstre klynge dog større end højre. I venstre klynge befinder sig igen fem af de seks opgaver uden hjælpemidler. I øvrigt kan det bemærkes, at de forskellige spørgsmål i samme opgaver ikke klynges tæt her. Side 68 af 68