Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 2009

Transkript

1 Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 9 Undervisningsministeriet oktober 9

2 Indhold Forord... Overvejelse og anbefalinger... Den skriftlige prøve i matematik A på stx... 7 Karakterfordeling ved eksamen... 7 Pointtal for enkeltopgaver... 8 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter... Kønsforskelle i opnået resultat... Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc?... Anmeldelse af opgavesættet... 6 Klyngeanalyse af elevbesvarelserne... Censorernes evaluering af sættet stx A... B niveauerne... Den skriftlige prøve i matematik B på stx... Karakterfordeling ved eksamen... Pointtal for enkeltopgaver... 6 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter... 9 Kønsforskelle i opnået resultat... Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc?... Anmeldelse af sættet STX9 MAB... Klyngeanalyser af elevbesvarelserne... 8 Censorernes evaluering af eksamenssættet stx B... 9 Den skriftlige prøve i matematik B på hf... Karakterfordeling ved eksamen... Pointtal for enkeltopgaver... Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter... 6 Kønsforskelle i opnået resultat... 8 Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc?... 9 Anmeldelse af sættet HFE9 MAB... Klyngeanalyser af elevbesvarelserne... Censorernes evaluering af eksamenssættet hf B... Sammenligning mellem stx B og hf B... 8 Uddybende bemærkninger om opgaverne... 6 Den skriftlige prøve i matematik C på hf... 6 Karakterfordeling ved eksamen... 6 Pointtal for enkeltopgaver... 6 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter Kønsforskelle i opnået resultat Anmeldelse af opgavesættet hf C (HF9 MAC) Klyngeanalyser af elevbesvarelserne... 7 Censorerne evaluering af opgavesættet hf C... 7 Bilag Hierarkisk klyngeanalyse... 76

3 Forord To årgange gymnasieelever og tre årgange kursister på det årige hf har nu gennemført studenterhenholdsvis hf eksamen efter reformen i. Skoleåret 9 anvendes bl.a. til at foretage justeringer af læreplaner og til at skrive nye undervisningsvejledninger. Evalueringsrapporterne over de skriftlige prøver indgår sammen med de øvrige evalueringsrapporter i disse overvejelser. Den foreliggende evalueringsrapport over resultaterne ved sommereksamen 9 består i lighed med sidste års rapport af tre elementer: en kvalitativ analyse af opgavesættene set i relation til læreplanernes krav. en detaljeret analyse af, hvorledes eleverne og kursisterne har klaret de enkelte spørgsmål, hvorledes sammenhængen er mellem besvarelserne af de forskellige spørgsmål, og hvorledes sættene differentierer i top og bund. en detaljeret kortlægning af sættenes struktur ved hjælp af en række statistiske og grafiske værktøjer. Den meget detaljerede gennemlysning af prøvesættene, som her foreligger, kan både anvendes af opgavekommissionerne og af censorer og lærere til at få en bedre forståelse af, hvordan en læreplan udmøntes i et prøvesæt, hvilke opgaver der hører til den lettere del, og hvilke der hører til den sværere del af det faglige stof, samt hvordan eleverne egentlig går til opgaverne. Resultaterne på stx A, hf B og hf C lå mht. gennemsnit og karakterfordeling på samme niveau, som de plejer, mens dumpeprocenterne blev lidt lavere. Resultaterne på stx B lå igen i år på et niveau, der ikke var tilfredsstillende. En væsentlig årsag til vanskelighederne på stx B er som anført i rapporten sidste år den betydelige ændring i populationen, der slutter med stx B som det højeste matematikniveau. Før reformen udgjorde denne population ca., efter reformen er det ca. 8. Tilgangen kommer fra den gruppe elever, der tidligere valgte sproglig linje, og skyldes for en vis del, at samfundsfag A og biologi A nu er bundet til matematik B. Denne forklaring underbygges ved at se på resultaterne for valghold contra studieretningshold: På stx A er resultaterne stort set er identiske, mens det på stx B går signifikant bedre på valgholdene end på studieretningsholdene. I rapporten er der bl.a. lavet en sammenlignende analyse af stx B og hf B. Det er forskellige elevgrupper, og vi må også have med i billedet, at de to uddannelser har forskellig struktur og forskellige mål. Der arbejdes med et lidt højere abstraktionsniveau på stx, mens hf har stærkt fokus på det anvendelsesorienterede. Men et særligt aspekt har måske fået for stor vægt i stx: Stx B er for nogle elever et afsæt til en opgradering fra B til A niveau. Det drejer sig om % af de elever, der er på B holdene. Læreplanen for stx B er imidlertid i alt væsentligt skrevet som en læreplan fra til B, og ikke som et modul på vej mod et A niveau. Dette bør i højere grad slå igennem i de skriftlige prøvesæt og i den daglige undervisning: Hovedsigtet må være de knap 7%, der slutter med et B niveau. For år tilbage havde vi en parallel historie på hf, hvor det daværende fællesfag i alt for høj grad tog sigte på at forberede tilvalgsfaget med voldsomme dumpeprocenter til følge. Det er lykkedes at

4 definere hf C niveau som et fag, der er afrundet i sig selv, og dumpeprocenterne er bragt betydeligt ned. Og det er samtidig lykkedes at holde et fint niveau på hf B. Hvis man kaster et blik på elevernes point score, er det tankevækkende, at på hf B ligger en stor elevgruppe ( %) i intervallet 6 point, altså lige over, hvor de kan bestå. Men på stx B har vi en lige så stor elevgruppe (ca. %) i intervallet 6 point, altså der, hvor man netop ikke når op over dumpegrænsen. Læst positivt fortæller dette, at man med relativt få justeringer af prøvesættene på stx B burde kunne få dumpeprocenten væsentlig ned uden at gøre det lettere at få høje karakterer. Klyngeanalyserne viser i øvrigt, at arkitekturen i prøvesættene stort set er den rigtige med en gruppe af opgaver, der kan differentiere i toppen, en gruppe solide opgaver, der skal klares for at opnå en middelkarakter, samt en gruppe opgaver, der kan sikre, at elever, der gør deres arbejde, kan bestå. Det er forholdet mellem antal spørgsmål i de forskellige kategorier, der for nogle niveauer skal justeres lidt. Dette fremgår i øvrigt også af censorernes kategorisering af de enkelte spørgsmål. Et helt særligt problem er blevet afdækket gennem censorernes detaljerede indberetning: På stx B klarer drengene sig markant dårligere end pigerne. Ca. en tredjedel af drengene får enten eller. Det er en stor andel, der lidt groft sagt stort set har spildt tiden. Evalueringsgruppen har ikke et materiale, der kan svare på dette, men anbefaler, at spørgsmålet undersøges nøjere. Til grund for evalueringsgruppens analyse ligger de indberetninger og tilbagemeldinger, censorerne gav i forcensuren. Det er et værdifuldt materiale, og tak til censorerne for det. Den kvalitative analyse af opgavesættene er Niels Grønbæk fra Matematisk Institut, KU, blevet bedt om at lave. Hensigten hermed har været at få et eksternt blik på disse prøvesæt, foretaget af en, som er uvildig både i forhold til opgavekommissionerne og til det daglige arbejde med at realisere læreplanerne i undervisningen. Analysen er naturligvis drøftet i hele evalueringsgruppen og integreret i den øvrige del af rapporten. Man kan med fordel have selve prøvesættene ved hånden, når man orienterer sig i rapporten. De findes på adressen: %stillede%skriftlige%opgavesaet%stx%og%hf.aspx Evalueringsgruppen bestod af lektor Claus Jessen, Ørestad Gymnasium, lektor Morten Overgaard Nielsen, KVUC og lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet foruden undertegnede. En stor tak til de tre. Endvidere tak til lektor Inge Henningsen, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet, for udarbejdelse af klyngeanalyserne. Bjørn Grøn, fagkonsulent

5 Overvejelse og anbefalinger Årets opgavesæt har som altid været særdeles gennemarbejdede og af høj kvalitet. Evalueringsgruppen vil i det følgende på baggrund af rapporten opsummere, hvad vi finder afgørende, at opgavekommissionerne inddrager i deres arbejde med udformningen af kommende prøvesæt. I evalueringsrapporten er der forhold, der særligt springer i øjnene. Først og fremmest er der karakterfordelingerne, som på de forskellige matematikniveauer er faldet ret forskelligt ud. Det viser sig, at eleverne på stx B niveau klarer sig markant dårligere end på de øvrige niveauer. Her opnår ca. % af eleverne karakteren, og % opnår karakteren. Det betyder, at hver fjerde elev ikke har levet op til de faglige krav, denne prøve lægger op til. Man kan opstille flere hypoteser som forklaring på dette. Det er ikke evalueringsgruppens opgave at tage stilling hertil, men vi mener, at problemet med de lave karakterer er så betydningsfuldt, at det må løses. For stx B er det åbenlyst, at der er et misforhold mellem de krav, der bliver stillet til eleverne ved den skriftlige prøve, og de krav, eleverne kan honorere. Opgavekommissionen for stx må derfor i særlig grad drøfte, hvorledes de skriftlige prøver på B niveau kan udformes, så de evaluerer læreplanens faglige mål og kernestof, og samtidig i højere grad matcher det elevgrundlag, der har gennemført undervisningen og derefter deltager i prøven. Herudover er der en række forhold, som vi vil pege på. De er ikke alene rettet mod stx B, men kan generelt betragtes som anbefalinger til begge opgavekommissioner. For stx A vurderer hovedparten af de skriftlige censorer, at opgavesættet har et for stort omfang. Dette gælder ikke for de øvrige niveauer. Evalueringsgruppen anbefaler, at fremtidige sæt udformes, så karakterdifferentieringen er baseret på matematiske kvalifikationer snarere end hurtighed. For stx A sættet gælder, at det differentierer godt i toppen med ret så vanskelige opgaver, men at der er for mange opgaver, der adskiller eleven fra eleven. Sammenholdt med tidspresset medfører, at for få elever får ved denne eksamen. Opgavekommissionerne opfordres til i højere grad at målrette opgavetyperne på tre niveauer: opgaver med enkle problemstillinger, som elever på bestågrænsen kan løse; opgavetyper af mere kompleks art, som middelelever kan løse; ret komplekse opgave, som kun de bedst elever vil kunne magte. Naturligvis skal der være en rimelig balance mellem de tre opgavetyper, så en passende procentdel kan bestå ved at løse de enkle opgavetyper, og en passende procentdel kan nå at løse også de vanskelige opgaver og derved få en høj karakter. Opgavekommissionerne opfordres også til fortsat at arbejde med progressionen i opgavesættene. De enklere opgavetyper bør fortsat komme først i sættet, så de svagere elever ikke bruger uforholdsmæssig lang tid på problemstillinger, som de alligevel ikke magter at håndtere og derved ikke får tid til at løse de opgaver, som egentlig var rettet mod dem. De sproglige forskelle mellem stx B og hf B sættet er mindsket, men abstraktionsniveauet på stx B forekommer fortsat til at være for højt. Evalueringsgruppen ser en tendens til, at der indgår vanskeligere matematiske problemstillinger inden for samme kompetenceområder på stx B end på hf B. Der har i mange år været tradition for, at opgavesættet hver gang testede eleverne i hele kernestoffet og kom ud i mange kroge. De skriftlige censorer bemærker, at dette også gælder årets sæt. Man

6 6 ge skriftlige censorer giver udtryk for, at der er for mange forskellige problemstillinger i sættet. En mulig løsning på dette er at acceptere, at det ikke altid er nødvendigt at berøre alle emner. Evalueringsgruppen har undersøgt, om der er forskel i niveauet for de elever, der har anvendt håndholdt CAS værktøj og computer. Her er ingen nævneværdig forskel selv ikke helhedsindtrykket er forskellig for de to grupper. Evalueringsgruppen har også undersøgt kønsforskelle. Her er der meget markante forskelle særligt på stx B. Drengene klarer sig betydeligt dårligere end pigerne her mest udtalt ved at uforholdsmæssigt mange drenge kun opnår dumpekarakterer. Det gjaldt ved årets eksamen, at % af drengene opnåede en karakter på og ca. 8% en karakter på, mens af pigerne opnåede ca. % karakteren og 9% karakteren. Evalueringsgruppen har ingen mulighed for at afdække årsagerne til denne forskel, men finder, at det er særdeles vigtigt at få den belyst den nærmere. Er der i matematikundervisningen på stx B niveau en kønsbarriere, der spænder ben for drengene? Er det strukturen i undervisningen, er det den anvendte pædagogik, er det de tilbudte fag, eller er det lærergruppen, der ikke matcher drengene? Er det et problem, der er mere generelt, end vores analyse afslører. Vi kan registrere, at det er et stort problem, dels at drengene er i undertal i gymnasiet, og dels at de i matematik B klarer sig markant dårligere end pigerne. Denne problemstilling bør underkastes en kvalificeret analyse.

7 7 Den skriftlige prøve i matematik A på stx Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen blev der af de skriftlige censorer indtastet resultater fra 9 elever, der var til skriftlig prøve i matematik A på stx. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen: Stx matematik A Karakter 7 Frekvens (%),9, 6, 9,,, 6,8 Fordelingen kan illustreres med følgende diagram: Matematik stx A sommer 9 Karakterfordeling for alle (9 elever) Gennemsnit 6,8 Procent 7 Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, er således: Matematik stx A sommer 9 Karakterfordeling for beståede Procent 7 Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, afviger kun lidt fra den ideelle fordeling på %, %, %, %, % til karaktererne,, 7,,.

8 8 Evalueringsgruppen bemærker desuden, at,% af de elever, der deltager i den skriftlige prøve, ikke opnår en bestå karakter. Dette er et betydeligt fald fra 8, hvor 8,% ikke bestod. Det skal her bemærkes, at en afgørende faktor har været den nye omregningsskala. Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling for de fem første elever på karakterlisterne for de hold, de rettede. Forcensuren bygger på pointtal for elever. Dette materiale danner udgangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prøve. Hvis man anvender samme pointskala som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen. Sammenligning karakterfordeling eksamen og forcensur stx A sommer 9 Procednt Eksamen Forcensur 7 Fordelingen af de samlede pointtal, som eleverne opnår ved prøven, fremgår af følgende diagram:

9 9 8, Stx A forcensur sommer 9 Pointfordeling ( elever) 7, 6, Procent,,,,,, Opnået totalpoint Herved ses, at pointfordelingen vokser nogenlunde jævnt op til ca. 8 point (svarende til midt i intervallet for karakteren 7). Kvartilsættet for pointfordelingen er (, 8, 98). Dette viser, at opgavesættet har givet mange elever god mulighed for at besvare mange af de stillede enkeltspørgsmål, så de fleste elever har kunnet opnå et passende pointtal, idet medianen er 8. Den øvre kvartil på 98 viser, at der er en del elever, der opnår høje pointtal, men pointfordelingen afslører også, at der er under %, der opnår karakteren. Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan eleverne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram:

10 Stx A forcensur 9 ( elever) Fordeling af pointtal i de enkelte opgaver 6a 6b 6c 7a,,,7 7b 8a 8b 9a 9b a Point Point Point Point Point Point b a a a b a b a 6a Helhedsindtryk Der er stor variation i pointtildelingerne til de enkelte opgaver. I opgave, 6a, 7a, 8a, 8b, 9a, a og a opnår over % af eleverne point. I opgave 6c, a og 6a opnår over % af eleverne point. Der er en tendens til, at de sidste opgaver i sættet klares lidt dårligere (opgave b, a og 6a). Opgave a og 6a må vurderes til at være vanskeligere end sættets øvrige opgaver.

11 I opgaverne uden hjælpemidler er det specielt én opgave, der klares dårligere end de øvrige. Det er opgave to integrationsopgaver (den ene integration ved substitution) hvor % af eleverne opnår point, men til gengæld kun 8% opnår point. Som det er typisk for opgaver, hvori indgår to spørgsmål, er der stor spredning i pointene. Vurderingen af helhedsindtrykket er pointmæssigt helt anderledes end bedømmelsen af de enkelte opgaver. I helhedsindtrykket er der igen i år meget få elever, der opnår fuldt pointtal. Evalueringsgruppen undrer sig igen over dette. Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter For at skabe overblik over, hvilke opgaver elever på forskellige niveauer kan besvare, bringes her en grafisk fremlæggelse af de gennemsnitlige pointtal i opgaverne opdelt efter den opnåede karakter: Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b a b a a a b a b a 6a Helhedsindtryk Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b a b a a a b a b a 6a Helhedsindtryk

12 Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b a b a a a b a b a 6a Helhedsindtryk Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b a b a a a b a b a 6a Helhedsindtryk Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 7 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b a b a a a b a b a 6a Helhedsindtryk

13 Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b a b a a a b a b a 6a Helhedsindtryk Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b a b a a a b a b a 6a Helhedsindtryk Hvis man betragter eleven, kan man se, at der er en stribe opgaver, som giver over point i gennemsnit. Dette drejer sig om opgave (ortogonale vektorer), opgave 6a (ligning for kugle), opgave 7a (tangentligning), 8a og 8b (potensmodel), 9a og 9b (trigonometri), a (sumkurve) og a (rumfanget af omdrejningslegeme). For eleven er der god spredning i pointhøsten. For eleven er det tydeligt, at det er opgave 6c (plans røringspunkt med kugle), a (argumentation for lige store arealer) og 6a (differentialligning om indre temperatur), der udløser færrest point. Dette viser, at sættet giver mulighed for tydelig differentiering også i toppen. For eleven er det imidlertid bemærkelsesværdigt, at der i gennemsnit kun opnås, point i opgave a. Kønsforskelle i opnået resultat I datamaterialet er udgør de kvindelige eksaminander,%, de mandlige,% og i,% af tilfældene har den skriftlige censor ikke kunnet afgøre køn ud fra navn. Der er således en lille overvægt af kvindelige eksaminander i datamaterialet.

14 Betragter man karakterfordelingen i forhold til køn, er den største forskel, at,% af de mandlige eksaminander dumpede, mens det drejede sig om,% af de kvindelige. Derudover er der ingen markante forskelle mellem kønnene. Procent Karakterfordeling efter køn stx A sommer 9 (forcensur, elever) 7 Kvinder (,%) Mænd (,%) Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc? Ved forcensuren har censorer i 9 oplyst, om eleverne har anvendt CAS på pc eller håndholdt CAS. Dette giver mulighed for at vurdere, om typen af CAS værktøj har indflydelse på karakteren. Det skal bemærkes, at censorerne for 7% af eleverne ikke har kunnet vurdere, om eleven har anvendt det ene eller andet værktøj, eller har konstateret, at begge typer værktøj er anvendt. Derudover kan det noteres, at der er forholdsmæssigt mange, der anvender håndholdt CAS værktøj i forhold til at anvende pc. Umiddelbart antyder sammenligningen, at der er en lidt større andel af brugerne af pc, der opnår topkaraktererne og. Men udsvingene er forholdsvis små som følgende diagram illustrerer:

15 Sammenligning af karakterer på stx A mellem elever, der har anvendt håndholdt CAS værktøj, med elever, der har anvendt pc (forcensur, elever) Procent Anvendt håndholdt (,%) Anvendt pc (,%) 7 Det er blevet undersøgt, hvordan sammenhængen mellem køn, brug af type af CAS værktøj og karakterer hænger sammen. Her må udsvingene imidlertid konstateres at være så begrænsede så det ikke er muligt at drage konklusioner. Procent Sammenligning karakterer for kvinder og mænd, der har brugt håndholdt CAS ( elever) 7 Kvinder Mænd

16 6 Procent Sammenligning karakterer for kvinder og mænd, der har brugt CAS på pc ( elever) 7 Kvinder Mænd I tilknytning til brugen af CAS på pc skal bemærkes, at populationen samlet set kun er på 99 elever. Det er således vanskeligt, at gennemskue de små udsving, der er. Anmeldelse af opgavesættet Skrevet af lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Generelle bemærkninger Sættet omhandler alle væsentlige aspekter af kernestoffet. CAS værktøjer indgår essentielt til løsninger i mange opgaver. Enkelte er beregningsmæssigt utilgængelige uden CAS værktøj, mens andre sagtens kan løses i hånden. For en traditionel opgave som opgave består CAS delen i indtastning af funktionsudtryk samt et enkelt applikationskald. I alle tilfælde afprøves CAS kompetencerne inden for kategorierne beregn værdi og løs ligning, omend eleven kan have benyttet fx visualiseringer til egen støtte. Det kunne være interessant med opgavetyper, der mere eksplicit sigtede mod bestemte CAS kompetencer på forskellige kompleksitetsniveauer. Man kunne fx overveje en opgaveform, hvor eleven skulle beskrive fremgangsmåder uden at foretage beregninger under prøvedelen uden hjælpemidler, mens beregningskompetencerne afprøvedes i andre opgaver. Se også bemærkning til opgave. Sættet er ganske omfattende, og jeg formoder, at en del elever har været i tidsnød. Der er i forvejen meget, der trækker i retning af at reducere matematik til beregning og udførelse af algoritmer, så jeg finder det betænkeligt, at differentieringen i toppen måske er sket på baggrund af hurtighed, snarere end på baggrund af indsigt. Og ærgerligt, da sættet indeholder opgaver (6c,, 6) som på fortrinlig vis differentierer i toppen ved netop indsigt. Opgave Udtrykke ortogonalitet vha. skalarprodukt. Beregne udtryk for skalarprodukt. Løse den fremkomne lineære ligning for ubekendt koordinat.

17 7 Opgave Udregne kvadrat på leddet størrelse. Udregne to tals sum ganget samme to tals differens. Hæve minusparentes. Samle led. Opgave Kende det generiske udtryk. Indsætte konkrete værdier heri. Løse de to ikke lineære ligninger som fremkommer herved. Opskrive den konkrete forskrift herudfra. Opgave Ud fra orientering af grene, skæring med y akse, evt. skæring med x akse, at aflæse - Fortegn for. grads koefficient - Fortegn for. grads koefficient - Fortegn for diskriminant Bemærkning: Denne opgave er enslydende med opgave fra stx B sættet. Opgave Benytte linearitetsregler mv. til bestemmelse af stamfunktioner til. gradspolynomium. Genkende et udtryk som modtageligt for substitutionsmetoden. Foretage substitutionen, inklusive ændring af grænser. Beregne det derved fremkomne integral. Opgave 6 Ud fra koordinater til centrum og punkt på kugleflade at bestemme kuglens ligning. Identificere adspurgt vinkel mellem linje og plan på figur. Opstille udtryk for vinkel ved hjælp af skalarprodukt og trigonometri. Bestemme vinkel (vs. komplementærvinkel/supplementvinkel) Udtrykke røringspunkt som løsning til to ligninger med tre ubekendte. Løse denne ligning. Alternativt:

18 8 Beskrive røringspunktet geometrisk. Udtrykke dette som vektoridentitet. Indsætte værdier, herunder normere normalvektoren for planen. Bemærkninger: Første fremgangmåde vil i nogle værktøjer give en fejlmelding (a la ligninger med ubekendte ) dvs. løsningsstrategien ender blindt. Den alternative strategi kræver et vist mål af rumlig forestillingsevne. Jeg går ud fra at opgaven ikke er af standardtype, således at eleven blot kan anvende en indøvet strategi. Dette betyder at en vis originalitet er nødvendig. Opgavens to første spørgsmål berettiger til en placering tidligt i sættet, så alle elever får høstet deres mulige points her, mens det tredje er af en sværhedsgrad, der tilsiger en placering sidst i sættet, idet det må formodes at differentiere i toppen (og rent faktisk gjorde). Dette dilemma kan naturligvis løses på flere måder. Opgave 7 a) Indtaste funktionsudtryk for f. Kalde applikation til beregning af f (). Indsætte i ligning for tangent. b) Anvende sammenhæng mellem monotoniforhold og fortegn for differentialkvotient. Nulpunkt for differentialkvotient. Indsætte mellemliggende værdier til bestemmelse af fortegn. Oversætte til monotoniforhold. Alternativt til sidste to punkter: Bestemme monotoniintervallernes type ud fra grafinspektion. Monotoniintervalendepunkter skal bestemmes sum nulpunkt(er) for differentialkvotient. Bemærkning: Denne opgave er klassisk og løses lige så nemt i hånden som på CAS værktøj, for den, der har rutinen, jf. generelle bemærkninger. Opgave 8 a) Ud fra opgivet funktionsudtryk at bestemme regressionstype Indtaste tabeldata i applikation. Sammenholde applikations output med modelbetegnelser. Nedfælde konkret modelligning. b) Indsætte konkrete data i den konkrete modelligning. Løse denne mht. uafhængig variabel. Bemærkninger: bestemme i 8b) bør være estimere eller give et bud på (model ~ virkelighed) Opgave 9 Tegne skitse af trekant (behøver ikke at være retvisende!).

19 9 Identificere adspurgte stykker på figur. Benytte cosinusrelation til bestemmelse af modstående side. Benytte sinusrelation til bestemmelse af vinkel. Benytte retvinklet trigonometri til bestemmelse af højde. Indsætte det fundne i arealformel og beregne værdi. Opgave (Se stx B, opgave ) Opgave Indsætte grænser og integrand i udtryk for volumen af omdrejningslegeme. Beregne værdi af integral i CASværktøj. Bemærkning: Samme bemærkning som til opgave 7. Regnearbejdet i hånden er dog lidt større her. Opgaven illustrerer, at hvis det overhovedet har været hensigten, er det vanskeligt at afprøve kompetencer i at regne i hånden i prøven med hjælpemidler. Så måske skulle man melde klart ud og sørge for, at en opgavetype som denne ikke kan klares i hånden. Signalet heri ville være, at formålet med at kunne udføre integration mv. i hånden er et andet end at kunne løse opgaver af nærværende type. Hvad et sådant formål er, og hvordan det afprøves, er selvfølgelig ikke helt enkelt at afklare. Opgave At indsætte konkrete variabelværdier i differentialligning. Herved at kunne finde værdier af andre variable ved at løse den punktvise ligning. I ligningens kontekst at referere til, at væksthastighed er det samme som differentialkvotient. Bemærkning: Denne opgave afprøver elevens forståelse af at en ligning udtrykker en identitet mellem (variable) størrelser og ikke blot er en opfordring til at udføre en bestemt algoritme ( lave regnestykket, dvs. løse ligningen ). Dette er naturligvis en vigtig pointe og godt at få statueret. Opgaven handler derudover kun om elevens fortrolighed med matematikkonteksten differentialligningsmodel uden hensyn til, hvad der modelleres. Opgave For en simpel geometrisk figur - Udtrykke omkreds og areal af figur som sum af delomkredse og delarealer.

20 - Opstille dette som formler for totalomkreds/ areal på formen to funktioner af to variable. - Eliminere en variabel under en bibetingelse, fx ved passende solve applikation. Opgave Relatere sproglig beskrivelse til geometrisk figur. Anvende Pythagoras sætning til opstilling af funktionsudtryk for vejlængder. Benytte pris = (antal enheder) (enhedspris) til angivelse af funktionsudtryk for samlet pris. Finde minimum, fx ved at bestemme nulpunkt for differentialkvotient i CAS værktøj kombineret med argument for, at dette stationære punkt er af ønsket slags. Bemærkning: Denne opgaves løselighed er sårbar over for valget af CAS værktøj. Dette er et centralt aspekt af CASanvendelse i sig selv, idet CAS kompetence bl.a. indebærer at råde over flere beregningstilgange og hertil hørende løsningsstrategier. Imidlertid er der ikke noget i opgaven, der tilsiger én fremgangsmåde frem for en anden. Det er derfor antageligt tilfældigt og ikke et udtryk for formåen når en elev vælger den farbare tilgang som sit første bud. Den således heldige elev kan vinde en betydelig fordel i form af tid. Det har måske givet denne opgave en utilsigtet ekstra vægt, at nærværende sæt differentierer i toppen ved netop tidspres. At denne type opgave optræder i en gymnastiksalsprøve, er derfor et kraftigt signal til lærerne om at træne netop dette aspekt af CAS beredskab med eleverne. Opgave At kunne udtrykke arealer som integraler, inklusive fortegn og integrationsgrænser. Alternativt at bestemme integraler inklusive løsning af ligning til bestemmelse af integrationsgrænser for parametriseret familie af funktioner. Herefter verificere identitet ved udregning af integraler. Alternativt at kunne argumentere ud fra symmetribetragtninger. Bemærkning Vendingen gør rede for ansporer til bløde ræsonnementer (modsat beregning) a la et symmetriargument. Imidlertid er de to områder ikke kongruente, så et evt. symmetriargument må fx bygge på at differensfunktionen f g, som angiver de relevante arealer, er en ulige funktion. Men dette falder uden for kernestoffet. Opgave 6 At sammenholde sproglig beskrivelse med forelagt lineær differential

21 ligning (ikke på standard form). At sammenholde beskrivelse med begyndelsesbetingelse At indsætte forlagt funktionsudtryk som inhomogent led i DL. Bestemme løsningsværdi til implicit givent tidspunkt, herunder - At klassificere differentialligning, hvis CAS værktøjet ikke selv gør dette - Løse begyndelsesværdiproblemet fuldstændigt - Bestemme det implicit givne tidspunkt ved løsning af ligning - Indsætte fundet tidspunkt i løsningsfunktionsudtrykket. Bemærkninger: Mange forhold har medvirket til, at denne opgave differentierer i toppen: - Der er små drejninger i forhold til standardformulering. - Der er mange identifikationer, der skal være på plads, før man kan svare på spørgsmålet. - Sproget er ikke læsevenligt i.e... bestemt objekt.., sammensatte sætninger osv. - Centrale oplysninger er ikke fremhævet, men findes i den løbende tekst. Klyngeanalyse af elevbesvarelserne I en klyngeanalyse sammenlignes opgaverne ved hjælp af et statistisk afstandsmål på baggrund af de individuelt opnåede pointtal. Hvis alle elever individuelt har opnået ens pointtal i to opgaver, vil de to opgaver have afstand. Den maksimale afstand mellem to opgaver fås, hvis hver eneste elev har fået i én af opgaverne og i den anden. For en nærmere redegørelse, se bilag. Mest markant er måske, at de individuelle afstande inden for de tre hovedklynger er små. Man kan fortolke dette som tre kompetenceprofiler. Den venstre klynge udgøres af spørgsmål, der kan besva

22 res med indøvede fremgangsmåder på et usofistikeret niveau. Midtklyngen handler om uindøvede (?, i.e. opgave ) kompetencer samt kompetencer, der ikke er simpel udførelse af ukomplicerede fremgangmåder, mens højre klynge, opgaverne 6c, a og 6a, består af de tre mest krævende spørgsmål, altså kompetencer på et højt taksonomisk niveau, og som har differentieret i toppen. Som i de andre sæt klynges delspørgsmål af de fleste af opgaverne med multiple spørgsmål sammen. Således optræder delspørgsmålene i opgaverne 9,,, i primærklynger eller sekundærklynger med lille afstand, mens 7a og 7b, der ligesom de tilsvarende opgaver i hf B og stx B sættene, adspørger separate kompetencer, har stor afstand i klyngediagrammet. Endvidere bemærkes også i denne sammenhæng, at de opgaver, der har differentieret i toppen, klynges i en separat gruppe. Censorernes evaluering af sættet stx A Censorerne, der rettede eksamensopgaver, blev bedt om at evaluere opgavesættet både selve sættet og elevernes besvarelse. Det skete ved at besvare et spørgeskema. Der var censorer i matematik A på stx, der besvarede spørgeskemaet. Her følger en oversigt over resultatet af denne evaluering. Første spørgsmål drejede sig om arbejdsmængden i opgavesættet:. Hvordan vurderer du arbejdsmængden i sættet? Svarene fordelte sig således: For lille Passende For stor Arbejdsbyrden i prøven uden hjælpemidler: 8% 7% % Arbejdsbyrden i prøven med hjælpemidler % % 9% Her ses en tydelig tendens, idet censorerne oplever en skævdeling af de to delprøver. Arbejdsbyrden i første delprøve uden hjælpemidler og af en times varighed anses af flertallet at være passende, mens et en stor del anser den for at være for lille. Om vendt med delprøven med hjælpemidler af timers varighed, hvor et flertal faktisk mener, at arbejdsbyrden er for stor. Ingen angiver, at arbejdsbyrden i denne delprøve var for lille. Dette svarer også til evalueringen baseret på forcensuren, som viser, at mange elever tilsyneladende havde tidsnød under anden delprøve. Censorerne blev også bedt om at vurdere sværhedsgraden af de enkelte delspørgsmål i prøven. Resultatet fremgår af følgende diagram:

23 Stx A 9 censorernes vurdering af opgavernes sværhedsgrad % % % 6% 8% % 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b a b a a a b a b a 6a Bestågrænsen Middel Top Det ses tydeligt, at der er en bred og passende fordeling af sværhedsgrad i opgaverne efter censorernes vurdering. Der er en lang række spørgsmål, fx opg.,, 6a, 8a, 8b, a, som mange censorerne vurderer, at elever på bestågrænsen (karakteren ) burde kunne løse disse. Der er også en række opgaver, som censorerne vurderer så vanskelige, at kun de bedste elever (toppen) vil kunne løse dem: opg., 6c,,b, a, 6a. Resten af spørgsmålene ( delspørgsmål) vurderes til en sværhedsgrad, så middeleleverne (karakter 7) burde kunne løse dem. På denne måde er der variation i sættets sværhedsgrad. Man kan diskutere, om forholdet mellem antallet af spørgsmål på hvert niveau er passende. Man skal fx opnå mindst % af fuldt pointtal for at bestå, men kun % af sættets spørgsmål vurderes at kunne løses af elever på bestågrænsen. Censorernes samlede vurdering af sættets sværhedsgrad blev også undersøgt. Svarene fremgår her:

24 Hvordan vurderer du samlet sættets sværhedsgrad? For let: Passende: For svært: 7 8 Endelig blev censorerne spurgt, om prøven uden hjælpemidler tjener sit formål, og resultatet ses af dette diagram: I hvilket omfang tjener prøven uden hjælpemidler sit formål? For ringe: Passende: I høj grad: 66 Censorerne kunne kommentere sættet. Disse kommentarer kan i sagens natur ikke opgøres, men her anføres i store træk censorernes holdninger. Der er ikke mange, der anfører emner, der mangler i dette prøvesæt. Enkelte nævner vektorer og enkelte nævner almindelig løsning af differentialligninger. Der er også bred enighed om, at der ikke er opgaver, der ligger i yderkanten af kernestoffet. Og de fleste finder ikke enkelte del af kernestoffet overrepræsenteres i sættet. Men i spørgsmålet om, hvorvidt opgavesættet afspejler intensionerne med reformen, er der mere variation. Mange anfører, at det gør sættet i høj grad, hvor andre anfører, at der er for mange forskellige opgaver, som eleverne skal sætte sig ind i med manglende fordybelse til følge. Enkelte svarer, at det kan de ikke besvare, for de kender ikke selv intensionerne med gymnasiereformen. Endelig skal censorerne kommentere anvendelsen af CAS i opgaverne med hjælpemidler. En del anfører, at mange elever overfører CAS notation til deres besvarelse og ikke benytter korrekt notation. En enkelt censor vurderer, at det er CAS der styrer eleverne og ikke eleverne der styrer CAS.

25 B niveauerne Den skriftlige prøve i matematik B på stx Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen blev der af de skriftlige censorer indtastet resultater fra 78 elever, der var til skriftlig prøve i matematik B på stx. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen: Stx matematik B Karakter 7 Frekvens (%),8, 9, 8, 6, 6,7,7 Fordelingen kan illustreres med følgende diagram: Procent Matematik stx B sommer 9 Karakterfordeling for alle (78 elever) Gennemsnit,7 7 Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, er således: Matematik stx B sommer 9 Karakterfordeling for beståede Procent 7 Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, afviger kun lidt fra den ideelle fordeling på %, %, %, %, % til karaktererne,, 7,,. Der er dog markant få, der opnår karakteren.

26 6 Evalueringsgruppen bemærker, at,8% af de elever, der deltager i den skriftlige prøve, ikke opnår en bestå karakter. Dette er et fald på knap % i forhold til 8. I evalueringsrapporten 8 blev afdækket, at den høje dumpeprocent må ses i forhold til populationen, men der er fortsat plads til videreudvikling af eksamensopgaverne i relation til populationen. Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling for de første fem elever på hvert hold. Forcensuren bygger på pointtal for 8 elever. Dette materiale danner udgangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prøve. Hvis man anvender samme pointskala, som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen. Sammenligning karakterfordeling eksamen og forcensur stx B sommer 9 (8 elever) Eksamensresultat Forcensur 7 Fordelingen af de samlede pointtal, som eleverne opnår ved prøven, fremgår af følgende diagram:

27 7 Pointfordeling stx B forcensur 9 (8 elever) Procent 8, 7, 6,,,,,,, Pointtal Pointfordelingen er jævnt stigende op mod point (svarende til karakteren ), hvorefter fordelingen er ujævn frem til 8 point. En ret stor del af eleverne opnår meget få point. Ca. 9% af eleverne er opnår kun point eller derunder. Forbavsende få elever opnår næsten fuldt pointtal, idet kun,% opnår 9 point eller derover. Kvartilsættet for pointfordelingen er (,, 7). Den øvre kvartil ligger forholdsvist lavt, hvilket underbygger at forholdsvis få opnår karaktererne og. Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan eleverne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram:

28 8 6a 7a Stx B pointfordeling for enkeltopgaver forcensur 9,,,7 7b 8a 8b 9a 9b a a b a a a,a a,b b,a b,b Helhed point point point point point point De opgaver, som elever opnår flest point i, er, og 6a. I disse spørgsmål opnår over halvdelen af eleverne fuldt pointtal ( point). Opgave en opgave i simpel differentiation, opgave er en opgave i ensvinklede trekanter, mens opgave 6a er bestemmelse af a og b i en potensfunktion. Særligt vanskelige for eleverne har opgaverne, b og a været, idet op mod halvdelen af eleverne ingen point opnår. Dog har det ikke været muligt at vurdere pointfordelingerne i de to valgfrie opgaver. Opgave er en opgave i at bestemme stamfunktion, opgave b er en statistikopgave med to spørgsmål og a er en differentialregningsopgave, også med to spørgsmål. Vurderingen af helhedsindtrykket er bemærkelsesværdigt, idet det igen er her, at færrest elever opnår fuldt pointtal. Netop ved helhedsindtrykket er fordelingen af point meget jævnt, og det er ikke

29 9 tilfredsstillende, at så mange elever opnår så ringe resultat her. Evalueringsgruppen undrer sig atter i år over dette. Tre opgaver ser ud til at være knald eller fald opgaver dvs. opgaver, hvor få procent opnår andet end eller point. Det drejer sig om opgave, 6a og 7b. Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter For at skabe overblik over, hvilke opgaver elever på forskellige niveauer kan besvare, bringes her en grafisk fremlæggelse af de gennemsnitlige pointtal i opgaverne opdelt efter den opnåede karakter: Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b a a b a a a,a a,b b,a b,b Helhed Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b a a b a a a,a a,b b,a b,b Helhed

30 Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b a a b a a a,a a,b b,a b,b Helhed Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b a a b a a a,a a,b b,a b,b Helhed Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 7 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b a a b a a a,a a,b b,a b,b Helhed

31 Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b a a b a a a,a a,b b,a b,b Helhed Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b a a b a a a,a a,b b,a b,b Helhed Hvis man betragter eleven, kan man se, at der er fem opgaver, hvor gennemsnittet får over point. Dette drejer sig om opgave (differentiation), opgave (udregning af forskrift for lineær funktion), opgave (ensvinklede trekanter), opgave 6a (bestemmelse af a og b i potensfunktion) og 9a (trigonometri). Det er bemærkelsesværdigt, at tre af disse opgaver findes i prøven uden hjælpemidler. For eleven er det opgaverne fra og med b, der udløser færre point end de øvrige. Det betyder, at der er fem opgaver som eleven har vanskeligere ved at besvare. Det er altid væsentligt, at eksamenssæt indeholder opgaver, der kan differentiere i toppen, men her forekommer det voldsomt, at der er hele fem opgaver, der adskiller eleven fra et tal. Kønsforskelle i opnået resultat I datamaterialet er udgør de kvindelige eksaminander 6,%, de mandlige,%, og i,8% af tilfældene har den skriftlige censor ikke kunnet afgøre køn ud fra navn. Der er således en betydelig overvægt af kvindelige eksaminander i datamaterialet.

32 Betragter man karakterfordelingen i forhold til køn, er den største forskel, at,7% af de mandlige eksaminander dumpede, mens det drejede sig om,7% af de kvindelige. Denne forskel giver naturligvis også forskelle på de øvrige karakterer. Alt i alt må det konkluderes, at der for den skriftlige eksamen stx B er en ganske markant kønsforskel, og det kunne være interessant at undersøge, hvad årsagerne er til den markante forskel. Karakterfordeling efter køn stx B sommer 9 (forcensur, 8 elever) Procent Kvinder (6,%) Mænd (,%) 7 Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc? Ved forcensuren har censorer i 9 oplyst, om eleverne har anvendt CAS på pc eller håndholdt CAS. Dette giver mulighed for at vurdere, om typen af CAS værktøj har indflydelse på karakteren. Det skal bemærkes, at censorerne for,6% af eleverne ikke har kunnet vurdere, om eleven har anvendt det ene eller andet værktøj, eller har konstateret, at begge typer værktøj er anvendt. Derudover kan det noteres, at det er det håndholdte CAS værktøj, der har været dominerende ved eksamen på stx B niveau i maj 9. Umiddelbart antyder sammenligningen, at der er en lidt større andel af brugerne af pc, der opnår topkaraktererne og. Men udsvingene er forholdsvis små som følgende diagram illustrerer:

33 Sammenligning karakterer på stx B mellem elever, der har anvendt håndholdt CASværktøj, med elever, der har anvendt pc (forcensur, 8 elever) Procent Anvendt håndholdt (9,7%) Anvendt pc (7,7%) 7 Da der er så stor forskel på eksamensresultaterne for mænd og kvinder på stx B sommer 9, har det ikke været muligt at uddrage nogen konklusioner om sammenhænge mellem køn, anvendelse af håndholdt CAS eller CAS på pc, og karakterer. Anmeldelse af sættet STX9 MAB Skrevet af lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Generelle bemærkninger Sættet dækker kernestoffet og fordrer en ganske omfattende palet af kompetencer. I øvrigt er det ret inhomogent med en del indbyggede tærskler. Øvrige generelle bemærkninger er henvist til sammenligningen med hf B sættet (se s. XX). Opgave Differentiere leddet polynomium (linearitetsregler, afledet af potenser). Opgave Bestemme hældningskoefficient og skæring med. akse ud fra to opgivne punkter. Fastlægge den tilhørende funktionsforskrift. Opgave Benytte linearitetsregler og stamfunktionskendskab til potenser.

34 Fastlægge arbitrær konstant ud fra opgivet punkt på grafen. Opgave Identificere ensliggende sider ud fra retvisende figur. Opstille ligning af relevante forhold mellem sider. Løse ligning. Bemærkning: Opgavetypen er velegnet til sættet uden hjælpemidler til afprøvning af ræsonnementskompetencen. Opgave Bestemme fortegn for.,. grads led og diskriminant ud fra generel position af parabel, dvs. ud fra Orientering af parabelgrene. Skæring med y akse. Evt. skæring med x akse. Bemærkninger: Der er tale om omvendt repræsentation i forhold til hf B sættet. Opgave 6 Kende til og gennemføre strategi til bestemmelse af de to parametre i det generiske udtryk for potensudvikling, fx - Opstille to ligninger på baggrund af to konkrete funktionsværdier. - Løse disse ligninger i hånden eller med solveapplikation. Indsætte fundne værdier til fastlæggelse af forskriften for en konkret potensudvikling. Opgave 7 Identificere modeltype ud fra sproglig beskrivelse ( % per år ). Indføre variabel og parameterbetegnelser i generisk udtryk. Fastlægge modelparamet

35 re ud fra sprogligt opgivne data, herunder fastlæggelse af nulpunkt for tidsakse. Opstille og forklare ligning til bestemmelse af fordoblingskonstant. Løse denne ligning, fx som solve(.7 k =);. Opgave 8 a) Identificere modeltype ud fra opgiven forskrift. Ændre nulpunkt for tidsakse i tabel. Indtaste tabeldata i relevant regressionsapplikation. b) Fortolke hældningskoefficient i relation til modellens genstandsområde, i.e. a< betyder at W(t) falder med a per år. Oversætte sprogligt prognosespørgsmål til indsættelse i modelligning. Løse denne ligning. Bemærkninger: Spørgsmål b) er egentlig to delspørgsmål, så pointene er her dyre for eleven. Opgave 9 Ud fra retvisende figur med stykkeangivelser og betegnelser. a) Indsætte i cosinusrelation med stumpvinkel. Løse den herved fremkomne ligning i CASværktøj (valg af rad/deg) fx fsolve(bc^=^+7^ **7*cos(/8*Pi);. Dette kræver ikke kendskab til kvadratrødder. Opstille relevant sinusrelation til bestemmelse af vinkel. Løse denne ligning i CASværktøj. b) Identificere udenforliggende højde som modstående til supplementvinkel. Benytte retvinklet trigonometri til bestemmelse

36 6 af højde, nu opfattet som katete. Opgave Identificere funktionsudtryk og variable i relation til sproglig beskrivelse. Fortolke størst ved parablens toppunkt (problematisk, se bemærkninger). Bestemme modelparablens toppunkt vha. formel eller nulpunkt for differentialkvotient. Oversætte sprogligt prognosespørgsmål til modelligning og løse den fremkomne ligning. Bemærkninger: Spørgsmålet om størst befolkningstal er kunstigt og misledende da data indeholder svaret (som er forskelligt fra modellens). Spørgsmålet har høj indgangstærskel. For at kunne besvare det skal eleven først foretage en række afklaringer, som der ikke spørges efter. Figurens tidsakse har nulpunkt forskelligt fra funktionsudtrykkets. Er det en fælde, jf. også figurens?.. gradspolynomiet er meget vanskelig at retfærdiggøre (umulig?) i den konkrete sammenhæng. Opgave a) Omregne hyppigheder til frekvenser. Kumulere disse. Tegne sumkurve. b) Aflæse kvartilsæt fra sumkurve, alternativt bestemme kvartilsæt vha. interpolation. eller: i regneark Fortolke mindst som komplementær frekvens. Aflæse denne. Bemærkninger: Spørgsmål a) handler kun om tabellens data mens b) sammenholder model og det modellerede god progression. I øvrigt kræves ingen kontekstforståelse. Opgave Beregne differentialkvotient i relevant applikation, fx D(t >.*^+7*8*^

37 7 exp(.*t)(8); Fortolke M (8) som vækstrate til tiden t=8. Udtrykke vækstraten i relation til modelstørrelser, fx kl. 8 stiger bakterietallet med 9. 6 per time. Bemærkning: At bestemme en differentialkvotient ud fra en forskrift består med moderne CAS værktøjer stort set i at gentage spørgsmålet i applikationens sprog, så kompetenceniveauet er forholdsvist uafhængigt af, hvor kompliceret funktionsudtrykket er. Graduering af sværhedsgraden af denne type opgaver vil derfor naturligt gå på udnyttelsen af CAS værktøjet (beregning af værdi for differentialkvotient uden funktionsforskrift undervejs) og forklaring af beregningsresultater, hvilket også afspejles i nærværende opgave. Måske er det problematisk, men selvfølgelig formelt korrekt, at den øjeblikkelige ændringstakt udtrykkes i enheden per time. Opgave Anvende sætning om fortegnsvariation for differentialkvotient. Bestemme rødder i. gradspolynomium vha. CAS værktøj (kan dog gøres i hånden). Bestemme fortegnsvariation, fx ved indsættelse af x værdier mellem punkterne (i monotoniintervallerne). Oversætte fortegnsvariation til monotoniforhold. Bemærkninger: Drejning af typeopgave: differentialkvotienten f er opgivet, mens f ikke er fastlagt. Herved kan eleven ikke støtte sig til fx graf for f fremstillet på CAS værktøj, hvilket må formodes at øge taksonominiveauet betragteligt. Opgave a Givet en parametriseret familie af funktioner a) Indsætte konkret parameterværdi (k=). Plotte retvisende graf ved CAS værktøj eller i hånden (ikke vanskeligere i dette konkrete tilfælde). Bestemme areal for konkret parameterværdi (herunder fortegnsovervejelser og bestemmelse af integrationsgrænser). Indse at arealet kan opfattes som funktion af parameterværdien. Opstille ligning, der udtrykker dette.

38 8 Løse denne ligning mht. parameterværdien (der optræder som uafhængig variabel) for konkret værdi af areal. Opgave b Se også stx A sættet opg. Bemærkninger: Opgave a skønnes at være væsentlig mere overkommelig end opgave b, både hvad angår omfang og sværhedsgrad. Der dette i overensstemmelse med hensigten med valgfrie opgaver? Fremgangsmåde, herunder valg af CAS værktøjets beregningsmetode, er kompliceret og har afgørende betydning for opgavens løsbarhed. Klyngeanalyser af elevbesvarelserne I en klyngeanalyse sammenlignes opgaverne ved hjælp af et statistisk afstandsmål på baggrund af de individuelt opnåede pointtal. Hvis alle elever individuelt har opnået ens pointtal i to opgaver, vil de to opgaver have afstand. Den maksimale afstand mellem to opgaver fås, hvis hver eneste elev har fået i én af opgaverne og i den anden. For en nærmere redegørelse, se bilag.

39 9 Lignede forhold som for hf B sættet gør sig gældende. I dette sæt er der kun fire opgaver med delspørgsmål, og disse fire opgaver udgør hver sin primærklynge. Den højre hovedklynge udgøres af spørgsmål, som har differentieret i toppen, mens klyngen bestående af opgaverne, 6, udgøres af de opgaver, som er klaret af størstedelen af eleverne. Endvidere noteres at opgaverne og, som udgør en primærklynge, begge handler om parabler. Censorernes evaluering af eksamenssættet stx B Censorerne, der rettede eksamensopgaver, blev bedt om at evaluere opgavesættet både selve sættet og elevernes besvarelse. Det skete ved at besvare et spørgeskema. Der var censorer i matematik B på stx, der besvarede spørgeskemaet. Her følger en oversigt over resultatet af denne evaluering. Første spørgsmål drejede sig om arbejdsmængden i opgavesættet:. Hvordan vurderer du arbejdsmængden i sættet? Svarene fordelte sig således: Arbejdsbyrden i prøven uden hjælpemidler: Arbejdsbyrden i prøven med hjælpemidler For lille Passende For stor 7% 7% % % 8% % Censorerne vurderede generelt set både prøven uden og prøven med hjælpemidler som passende i omfang hvad angår arbejdsbyrde. Der er dog en stor del censorer, der vurderer arbejdsbyrden ved prøven uden hjælpemidler for lille. Censorerne blev også bedt om at vurdere sværhedsgraden af de enkelte delspørgsmål i prøven. Resultatet fremgår af følgende diagram:

40 Stx B 9 Censorernes vurdering af opgavernes sværhedsgrad % % % 6% 8% % 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b a a b a a a,a a,b b,a b,b Bestå grænsen Middel Top Det ses tydeligt, at censorerne vurderer langt de fleste opgaver, som værende opgaver, som middeleleven kan regne. Kun fire af de 9 spørgsmål vurderes at være opgaver, som eleverne på beståniveau (karakter ) kan løse. Det giver et problem, da de fire delspørgsmål kun giver point ved maksimal pointgivning, og der kræves ca. point for at bestå sættet. Dette kan muligvis forklare den høje dumpeprocent. Der er endnu færre opgaver nemlig opgave a og a, som kun topeleverne (karakter ) vurderes at kunne klare. Resten af opgaverne vurderes på som værende på samme niveau, hvor middeleleverne burde kunne løse dem. Så censorernes vurdering af opgavesættet er, at opgaverne er meget ens i niveau, og der ikke er så mange tilbud til de svage elever og ikke så mange opgaver til at differentiere i toppen. Når et opgavesæt konstrueres på denne måde, kan der ske det, at karaktergivningen mere afspejler elevernes hurtighed til at løse middelsvære opgaver end deres faktiske matematiske kompetencer. Censorernes samlede vurdering af sættets sværhedsgrad blev også undersøgt. Svarene fremgår her:

41 Hvordan vurderer du samlet sættets sværhedsgrad? For let: Passende: For svært: Her ses i tråd med vurderingen af enkeltopgaver, at censorerne vurderer opgavesættet som meget passende. Endelig blev censorerne spurgt, om prøven uden hjælpemidler tjener sit formål, og resultatet ses af dette diagram: I hvilket omfang tjener prøven uden hjælpemidler sit formål? For ringe: Passende: I høj grad: 6 Censorerne kunne kommentere sættet. Disse kommentarer kan i sagens natur ikke opgøres, men her angives den overvejende holdning i kommentarerne. Censorerne mener i langt de fleste tilfælde, at der ikke er emner, der er overeksponerede ved prøven og heller ikke emner, der ikke testes. Opgavesættet vurderes som meget passende for niveauet. Brugen af CAS fremhæves som et problem for mange, idet eleverne ukritisk anvender CASterminologien i deres besvarelse og glemmer den korrekte notation. De fleste censorer vurderer, at sættet med sin vægt på det anvendelsesorienterede fint levet op til gymnasiereformens intentioner.

42 Den skriftlige prøve i matematik B på hf Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen var 8 kursister til skriftlig prøve i matematik B på hf. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen: Hf matematik B Karakter 7 Frekvens (%),,9 7, 6, 6,,, Fordelingen kan illustreres med følgende diagram: Matematik hf B sommer 9 Karakterfordeling for alle Gennemsnit 6, Procent 7 Karakterfordelingen for eleverne, der bestod eksamen, tager sig således ud: Matematik hf B sommer 9 Karakterfordeling for beståede Procent 7 Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, afviger kun lidt fra den ideelle fordeling på %, %, %, %, % til karaktererne,, 7,,. Der er dog en mindre forskydning til højre så forholdsmæssigt flere får og i forhold til og.

43 Evalueringsgruppen bemærker, at 6,% af de elever, der deltager i den skriftlige prøve hf B, ikke opnår en bestå karakter. Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling for de første fem elever på hvert hold. Forcensuren bygger på pointtal for 9 elever. Dette materiale danner udgangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prøve. Hvis man anvender samme pointskala, som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen. Sammenligning karakterfordeling eksamen og forcensur hf B Procent Eksamen Forcensur 7 Fordelingen af de samlede pointtal, som eleverne opnår ved prøven, fremgår af følgende diagram:

44 Procent 9, 8, 7, 6,,,,,,, Pointfordeling hf B forcensur 9 (9 elever) Pointtal Pointfordelingen er jævnt stigende op mod point (svarende til karakteren ), hvorefter fordelingen er ujævn frem til 8 point. Ca.,6% af eleverne opnår point eller derunder, mens ca. 6% opnår 96 point eller derover. Kvartilsættet for pointfordelingen er (, 6, 8). Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan eleverne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram:

45 Hf B Pointfordeling for enkeltopgaver forcensur 9 (9 elever),,,7 a a a a a 6a 6b 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c a a b a,a a,b b,a b,b Helhedsindtryk point point point point point point I en fem opgaver opnår over halvdelen af eleverne fuldt point. Det drejer sig om opgave 6a (tolkning af konstanter i lineær model), 7a og 7b (trigonometri), 9b (potensregression) og a (areal vha. bestemt integral). Det er bemærkelsesværdigt, at der til denne gruppe ikke er nogen opgave fra prøven uden hjælpemidler. Særligt vanskelige for eleverne har opgaverne a (aflæsning af halveringskonstant), a (bestemmelse af stamfunktion) og 9c (procent procent i potensmodel) været, idet op mod halvdelen af eleverne ingen point opnår. Det har ikke været muligt at vurdere pointfordelingerne i de to valgfrie opgaver. Vurderingen af helhedsindtrykket er bemærkelsesværdigt, idet det igen er her, at færrest elever opnår fuldt pointtal. Netop ved helhedsindtrykket er fordelingen af point meget jævnt, og det er ikke

46 6 tilfredsstillende, at så mange elever opnår så ringe resultat her. Evalueringsgruppen undrer sig atter i år over dette. Ingen opgaver ser ud til at være knald eller fald opgaver dvs. opgaver, hvor få procent opnår andet end eller point. Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter For at skabe overblik over, hvilke opgaver elever på forskellige niveauer kan besvare, bringes her en grafisk fremlæggelse af de gennemsnitlige pointtal i opgaverne opdelt efter den opnåede karakter: Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter a a a a a 6a 6b 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c a a b a,a a,b b,a b,b Helhedsindtryk Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter a a a a a 6a 6b 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c a a b a,a a,b b,a b,b Helhedsindtryk

47 7 Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter a a a a a 6a 6b 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c a a b a,a a,b b,a b,b Helhedsindtryk Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter a a a a a 6a 6b 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c a a b a,a a,b b,a b,b Helhedsindtryk Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 7 a a a a a 6a 6b 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c a a b a,a a,b b,a b,b Helhedsindtryk

48 8 Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter a a a a a 6a 6b 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c a a b a,a a,b b,a b,b Helhedsindtryk Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter a a a a a 6a 6b 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c a a b a,a a,b b,a b,b Helhedsindtryk Hvis man betragter eleven, er det bemærkelsesværdigt, at der er så stort udsving mellem pointtallene pr. opgave. I opgaverne 6a, 6b, 7a og 7b opnås i gennemsnit over point. Færrest point opnås i opgaverne a og 9c. For eleven er det opgave a, a, 8b og 9c, der udløser færre point end de øvrige. Det betyder, at der er fire opgaver som eleven har vanskeligere ved at besvare, men som det fremgår af karakterstatistikken, er det ikke et forhold, der medfører få topkarakterer. Kønsforskelle i opnået resultat I datamaterialet er udgør de kvindelige eksaminander,%, de mandlige 8,%, og i 9% af tilfældene har den skriftlige censor ikke kunnet afgøre køn ud fra navn. Der er således en betydelig overvægt af kvindelige eksaminander i datamaterialet. Betragter man karakterfordelingen i forhold til køn, er der næsten ingen forskel.

49 9 Procent Karakterfordeling efter køn hf B (forcensur, 9 elever) 7 Kvinder (,%) Mænd (8,%) Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc? Ved forcensuren har censorer i 9 oplyst, om eleverne har anvendt CAS på pc eller håndholdt CAS. Dette giver mulighed for at vurdere, om typen af CAS værktøj har indflydelse på karakteren. Det skal bemærkes, at censorerne for 9,% af eleverne ikke har kunnet vurdere, om eleven har anvendt det ene eller andet værktøj, eller har konstateret, at begge typer værktøj er anvendt. Derudover kan det noteres, at det er det håndholdte CAS værktøj, der har været stærkt dominerende ved eksamen på hf B niveau i maj 9. Sammenligning på nedenstående diagram viser udsving på karaktererne, men det er ikke muligt at aflæse noget system i udsvingene. Sammenligning karakterer på hf B mellem elever, der har anvendt håndholdt CASværktøj, med elever, der har anvendt pc (forcensur, 9 elever) Anvendt håndholdt (6,%) Anvendt pc (7, %) 7 Det kan tilføjes, at det heller ikke har været muligt at uddrage nogen konklusioner om sammenhænge mellem køn, anvendelse af håndholdt CAS eller CAS på pc, og karakterer.

50 Anmeldelse af sættet HFE9 MAB Skrevet af lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Generelle bemærkninger: Sættet afprøver alle væsentlige aspekter af kernestoffet med brug af et ganske omfattende arsenal af kompetencer. Den særlige kompetence at oversætte frem og tilbage mellem en sproglig beskrivelse af den matematikeksterne kontekst og dens matematikinterne formulering i form af identiteter, ligninger, funktionsforskrifter indgående variabelbetegnelser etc. afprøves i udstrakt grad. Dette øger nok sættets signalværdi om matematik i anvendelse eller måske mere præcist, matematik i kontekst, men får måske uforholdsmæssig megen betydning Nogle spørgsmål er uklart formulerede (fx 6 og 9 som beskrevet nedenfor). Det er vanskeligt at vurdere, om dette reelt har haft betydning for kursisternes præstationer. Men det er uheldigt, da opgaverne jo er eksemplariske for det daglige arbejde. Opgave Anvende standardfremgangsmåde til bestemmelse af lineært funktionsudtryk ud fra to punkter på grafen, fx: - Indsætte i formel for hældningskoefficient. - Beregne værdi. - Indsætte i lineært udtryk og beregne værdi af skæring med y akse. Opgave Se C sættet opgave Opgave Anvende linearitetsregler for differentiation. Anvende kendskab til differentialkvotient for konstant, potens og logaritme. Opgave Anvende linearitetsregler for stamfunktionsbestemmelse. Anvende kendskab til differentialkvotient for. ordens potens og konstant Bestemme værdi af arbitrær konstant ud fra punkt på graf.

51 Opgave Anvende sammenhæng mellem - Fortegn for. grads led og orientering af parabelgrene - Fortegn for konstantled og skæring med. akse - Fortegn for diskriminant og evt. rødder til klassifikation af parabler i generel position. Bemærkning: I den tilsvarende stx opgave bedes eleverne om at bestemme fortegn ud fra grafer. Her skal graferne udpeges ud fra fortegn. Stx opgaven er herved mere avanceret. Der er angivet enheder på aksen. Irrelevant information. Er der en hensigt? God forståelsesopgave uden hjælpemidler. Opgave 6 Fortolke hældningskoefficient og konstant led i konkret sammenhæng (model > virkelighed). Indsætte årstal i model med henblik på prognose, herunder justere punkt for tidsakse. Vurdere om modelværdi svarer til virkelighed, konkret: Er tilnærmelsesvis det samme som? Bemærkninger: Formuleringen er upræcis. Er der tale om kumulation? f(x) = antal voldsanmeldelser i perioden [,x] f(x) = antal voldsanmeldelser i perioden ]x,x] Kommentaren som ønskes i 6b) er sofistikeret. Spørgsmålet kan ikke uden videre besvares ved blot at sammenligne de to værdier. Man er faktisk nødt til at kende baggrunden for modellens tilblivelse, dvs. eleven skal afgøre om punktet (9, 8 869) tilnærmelsesvist ligger på regressionslinjen, hvilket jo kræver kendskab til pålidelighed af data. Grundlaget for en sådan vurdering er blot opgavetekstens uspecificerede med god tilnærmelse.

52 Opgave 7 Bestemme sidelængde vha. sinusrelation. Identificere stykker til beregning af højde. Udføre beregningen. Generelt, identificere trekantsstykker i relation til formler. Opgave 8 Ud fra funktionsforskrift (. grads polynomium) at bestemme data til fastlæggelse af tangentligning i opgivet punkt. Indsætte i tangentligning. Bestemme funktionsudtryk for differentialkvotient. Finde dens nulpunkter. Bestemme fortegnsvariation. Kombinere dette til fastlæggelse af monotoniintervaller. Alternativt: ud fra grafisk inspektion at fastlægge type af monotoniintervaller, når disse er bestemt som ovenfor. Opgave 9 a) Sammenholde tabeldata og variabelbetegnelser. Indtaste data i regressionsapplikation. Angive konkret funktionsudtryk ud fra applikationsoutput. b) Oversætte spørgsmål formuleret sprogligt i opgavekonteksten til løsning af ligning f(x)=y for sprogligt angivet y. Løse denne ligning. c) Anvende procentregning, dvs. - % større <=> multiplikation med. - A er p % større end B <=> A/B = (+p/) på kom

53 pleksitetsniveau A = f(x ), B = f(x ). Oversætte sproglig beskrivelse til f(.x)/f(x). Evt. at godtgøre at resultatet er uafhængigt af x. Bemærkning: Angående det sidste spørgsmål: På den ene side fordres ikke formelt, at eleven skal vide at svaret er uafhængigt af x. På den anden side giver spørgsmålet næppe mening uden denne viden. Hvordan honoreres den kursist, som eksplicit gør rede for uafhængigheden? Opgave Udtrykke areal som integral inklusive fortegn, grænser og integrand. Beregne integral i hånden eller vha. CAS værktøj. Opgave a) Ud fra sproglig beskrivelse at vælge modeltype. Indføre variable med betegnelser, herunder punkt for tidsakse. Opstille modelligning, herunder at udregne tilskrivningsfaktor (ud fra % sats). b) Indføre betegnelse for tilskrivning. Opstille parametriseret model. Opstille ligning der udtrykker den ønskede vækst. Løse denne ligning mht. parameter. Omregne tilskrivningsfaktor til %.

54 Opgave a a) Sammenholde modelligning og sproglig beskrivelse. Indsætte sprogligt beskrevne værdier i modelligning. Beregne værdi af afhængig variabel. Beregne værdi af uafhængig variabel vha. solveapplikation, herunder at udvælge relevant løsning. b) Sammenholde formel for strækning med spørgsmålet hvor langt? Indsætte i formel (der består af integral som funktion af grænse). Beregne integral vha. CASværktøj. Oversætte de næste sekunder til s(t+) s(t). Beregne denne differens. Opgave b a) Identisk med a a) b) Kalde applikation til bestemmelse af differentialkvotient. Angive sproglig beskrivelse af differentialkvotient udtrykt i modellens størrelser. Bemærkninger: - Bestem f (x) består i CAS regi i et enkelt kald fx D(f)(x);, hvilket stort set blot er at gentage spørgsmålet. Man kunne have afprøvet CAS kompetencen tydeligere ved i stedet at have spurgt efter en konkret værdi, fx f (), som det er gjort i stx B sættet. Herved bliver forklaringsopgaven til sidst, se nedenfor, mere ligefrem. - Den ledsagende modelbeskrivelse er blot anført som billedtekst. Dette understreger naturligvis staffagekarakteren, altså at der er tale om en iklædningsopgave, hvor modellens konkrete kontekst er irrelevant for opgavens løsning. - Enheden m/s er anført uden parentes, mens enheden (A) er anført med parentes. - Den sproglige opgave at beskrive f () uden at denne værdi kræves beregnet er omfattende, hvis svaret skal være nogenlunde læsevenligt. Klyngeanalyser af elevbesvarelserne I en klyngeanalyse sammenlignes opgaverne ved hjælp af et statistisk afstandsmål på baggrund af de individuelt opnåede pointtal. Hvis alle elever individuelt har opnået ens pointtal i to opgaver, vil de to opgaver have afstand. Den maksimale afstand mellem to opgaver fås, hvis hver eneste elev har fået i én af opgaverne og i den anden. For en nærmere redegørelse, se bilag.

55 Det mest bemærkelsesværdige er, at de fleste opgaver med multiple spørgsmål optræder som primærklynger. Dette gælder således opgaverne 6, 7, 9a+9b og. En tolkning er, at i disse opgaver giver den overordnede problemstilling en fælles kompetenceramme. Dette er i overensstemmelse med, at de to delspørgsmål i opgave 8 placeres fjernt fra hinanden i klyngediagrammet. I denne opgave stilles to væsensforskellige spørgsmål til samme funktion. Tangentbestemmelse drejer sig om udførelse af en indøvet rutine, mens afklaring af monotoniforhold er en herfra adskilt rutine, og den kræver yderligere et ræsonnement. Endvidere bemærkes, at opgaverne uden hjælpemidler optræder i begge hovedklynger og ligger forholdsvis spredt i klyngediagrammet. Det er derfor rimeligt at slutte, at de afprøver forskellige kompetencer. De opgaver, hvor færrest elever har opnået points,, 8b og 9c, er tæt på hinanden i klyngediagrammet. Da de samtidigt er karakteriseret ved at mange elever har fået points, er det sandsynligvis disse opgaver, der har differentieret i toppen. Censorernes evaluering af eksamenssættet hf B Censorerne, der rettede eksamensopgaver, blev bedt om at evaluere opgavesættet både selve sættet og elevernes besvarelse. Det skete ved at besvare et spørgeskema. Der var censorer i matematik B på hf, der besvarede spørgeskemaet. Her følger en oversigt over resultatet af denne evaluering. Første spørgsmål drejede sig om arbejdsmængden i opgavesættet:. Hvordan vurderer du arbejdsmængden i sættet? Svarene fordelte sig således:

56 6 Arbejdsbyrden i prøven uden hjælpemidler: Arbejdsbyrden i prøven med hjælpemidler For lille Passende For stor % 68% % % 96% % Censorerne vurderede generelt set både prøven uden og prøven med hjælpemidler som passende i omfan,g hvad angår arbejdsbyrde. Der er dog en stor del censorer, der vurderer arbejdsbyrden ved prøven uden hjælpemidler for lille. Igen andre censorer vurderede arbejdsbyrden til at være for stor. Censorerne blev også bedt om at vurdere sværhedsgraden af de enkelte delspørgsmål i prøven. Resultatet fremgår af følgende diagram: Matematik hf B 9 censorvurdering % % % 6% 8% % a a a a a 6a 6b 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c a a b a,a a,b b,a b,b Bestå grænsen Middel Top Det ses tydeligt, at censorerne vurderer langt de fleste opgaver som værende opgaver, som middeleleven kan regne. Kun fire af de 9 spørgsmål vurderes at være opgaver, som eleverne på beståniveau (karakter ) kan løse. Censorernes samlede vurdering af sættets sværhedsgrad blev også undersøgt. Svarene fremgår her:

57 7 Hvordan vurderer du samlet sættets sværhedsgrad? For let: Passende: For svært: Her ses i tråd med vurderingen af enkeltopgaver, at censorerne vurderer opgavesættet som meget passende. Endelig blev censorerne spurgt, om prøven uden hjælpemidler tjener sit formål, og resultatet ses af dette diagram: I hvilket omfang tjener prøven uden hjælpemidler sit formål? For ringe: Passende: I høj grad: 8

58 8 Sammenligning mellem stx B og hf B Det er oplagt at sammenligne eksamenerne for de to B niveauer. Der er en stribe iøjnefaldende forskelle både på resultaterne og på opgaverne ved de to B niveau eksamener. Hvis man sammenligner karakterfordelingerne for den gennemsnitlige elev, får man følgende: Gennemsnitlig pointtal pr. opgave stx B for elever med karakter 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b a a b a a a,a a,b b,a b,b Helhed Gennemsnitlig pointtal pr. opgave hf B for elever med karakter a a a a a 6a 6b 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c a a b a,a a,b b,a b,b Helhed De mest markante forskelle er her: Over tre point for gennemsnitseleven med karakteren : o én opgave stx o tre opgaver hf Over to point for gennemsnitseleven: o seks opgaver stx o otte opgaver hf Under ét point for gennemsnitseleven: o fire opgaver stx o fem opgaver hf

59 9 Dog må vi konstatere, at det er vanskeligt at se meget markante forskelle. Forskellene er større, hvis vi betragter pointfordelingerne for de to eksamener: Procent 8, 7, 6,,,,,,, Pointfordeling stx B forcensur 9 (8 elever) Pointtal Procent 8, 7, 6,,,,,,, Pointfordeling hf B forcensur 9 (9 elever) Pointtal De to fordelinger adskiller sig markant fra hinanden. Markant færre elever på hf end på stx opnår point eller derunder (der skal ca. point til at bestå). På hf er det 8,%, mens det på stx er,%. Særligt bemærkelsesværdigt er det, at der på hf er,%, der får fra til point, mens det på stx er 6,7%. På stx B er der således en betydeligt større andel, der ligger lige under bestågrænsen. Med andre ord skulle der blot være to opgaver mere, som mange elever hentede point i, for at andelen af elever, der dumper på stx B, ville være betydeligt lavere. Herudover kan følgende forskelle registreres:

60 6 Dumpeprocenter stx B:,8% af alle,,7% af mænd hf B: 6,% af alle,,9% af mænd To spørgsmål i én opgave stx B 9 opgaver (heraf i de valgfrie) 8b (lineær model), 9a+9b (trigonometri), a (andengradsmodel), a+b (statistik), a (differentialregning), a a (areal vha. integralregning), b b (vejpris) hf B 7 opgaver (heraf i de valgfrie) (differentiation), 6b (lineær model), a (eksponentiel model), a a + a b (løbe model), b a + b b (model strømbelastning vindhastighed) Prøven uden hjælpemidler stx B: to af opgaverne ( og ) er blandt de opgaver, hvori eleverne får flest point hf B: ingen af opgaverne er blandt de opgaver, hvori eleverne får flest point Sproget i opgaverne Der er igen i år en vis forskel i formuleringer i stx B og hf B sættet. Forskellen er imidlertid ikke så markant som tidligere. I opgave 8 i stx sættet står: Tabellen nedenfor viser, mens der i opgave 9 i hf sættet blot står: Tabellen viser Det faktum, at der i højere grad er to spørgsmål i én opgave i stx sættet, gør også formuleringerne vanskeligere, fordi sætningerne bliver meget lange, fx opgave 8b: Forklar betydningen af tallet a, og benyt modellen til at bestemme det år, hvor man kan forvente, at en maraton løbes på under 7 sekunder, dvs. under timer. I hf B sættet står to spørgsmål hver gang i hver sin sætning, fx opgave a: Opstil en model for udviklingen i skovarealet, når det antages, at det vokser med, % om året. Bestem skovarealet i 89 ifølge denne model. De to trigonometriopgaver har små, men betydningsfulde forskelle i sprogbrugen. Opgave 9a i stxsættet lyder: Bestem og, mens opgave 7a i hf sættet lyder: Bestem længden af siden BC I stx sættet tages udgangspunkt i matematisk notation, men der i hf sættet tages udgangspunkt i sproglig forklaring. Det er umiddelbart små forskelle, men de er med til at give et samlet signal til eleverne. Abstraktion i betegnelser Regressionsopgaver er opgaver, der giver mange elever mulighed for at få mange point. På stx B er opgave 8 en regressionsopgave (lineær regression), men det på hf B er opgave 9 (potensregression).

61 6 På stx anvendes betegnelsen W(t), mens der på hf anvendes f(x). I hf sættet anvendes v(x) i én af de valgfrie opgaver (a), mens der i stx sættet anvendes M(t) i opgave. Abstraktion i indhold Vi kan af pointtildelingerne registrere, hvor følsomme elevbesvarelserne er over for indholdet i opgaverne. Som nævnt er regressionsopgaver ofte opgaver, hvor mange elever kan hente mange point. Regressionsopgaven på stx B handlede om verdensrekorderne i maratonløb. Ingen tvivl om, at det er et emne, der når mange elever. Ulempen ved datamaterialet er imidlertid, at verdensrekorder selvsagt ikke slås kontinuerligt, dvs. at t værdierne her springer i år: 98, 98, 98, 988 osv. Man kan mene, at dette skal eleverne magte, men det giver en ekstra forhindring. Eleverne skal her både justere t værdien til antal år efter 98, og de skal bemærke, at der er spring mellem årene:,,, 7 osv. Det kan overvejes, om der i sådanne tilfælde bør ydes hjælp, fx ved at antal år efter er oplyst. Opgave i stx sættet om model for befolkningstal i Gedser kræver, at eleven formår at skelne mellem repræsentationen på grafen og repræsentationen i funktionsforskriften. Opgave i stx sættet er det den afledede funktion, der er opgivet, hvor det almindeligvis er selve funktionen, der er opgivet. Eleven kan derfor ikke umiddelbart anvende standardfremgangsmåde. I hf sættet er der i opgave b en model, der angiver sammenhængen mellem den tilladte strømbelastning i en luftledning og vindhastigheden. Selve forståelsen af modellen kræver abstraktion, og særligt anden del af spørgsmål b, Gør rede for, hvad tallet f () fortæller, kræver i særlig grad abstraktion hos eleven. Der er i de to sæts trigonometriopgaver forskel i abstraktion, dels som nævnt sprogligt, dels fordi højden i stx opgaven ligger uden for trekanten. Som for regressionsopgaver er trigonometriopgaver ofte opgaver, der giver mulighed for, at mange elever opnår mange point. Uddybende bemærkninger om opgaverne Skrevet af lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Stx sættet skønnes at være en del vanskeligere end det tilsvarende hf sæt. Da begge sæt har 9 spørgsmål og omhandler nogenlunde samme stofområder, er det opbygningen og en række forhold inden for de enkelte opgaver, der har vanskeliggjort stx sættet. En del af dette er allerede kommenteret ovenfor. - Typisk har ellers ens opgaver fået en stramning i stx sættet, fx: o I opgave (klassifikation af parabler) bedes stx eleverne om at bestemme fortegn ud fra grafer. I hf sættet skal graferne udpeges ud fra fortegn. hf kursisten skal altså blot tjekke nogle forelagte grafer, mens stx eleverne må ræsonnere sig frem graf for graf. Opgaven er herved både mere omfattende og mere avanceret. I øvrigt er delsættet uden hjælpemidler nogenlunde af ens kaliber for de to sæt. o Stx opgave rejser nogle distraherende spørgsmål om modellens begrundelse. Hfmodellerne er begrundede.

62 6 o Modellerne i stx opgaverne og er ikke fra standard biblioteket: lineær, eksponential, potens,... - De valgfrie opgaver er betydeligt sværere. o Hf opgaverne kan løses stort set ved blot at arbejde kontekstfrit med de opgivne funktioner, som i øvrigt har traditionelle betegnelser. I stx sættet er man nødt til at arbejde eksplicit med opgavens genstandsområde, herunder selv at lave figurer, indføre betegnelser og opstille funktionsudtryk. o Hertil kommer et højere abstraktionsniveau, i.e. den variable integrationsgrænse i hf opgave a er blot den variable i standardformen for angivelse af stamfunktion, mens integrationsgrænsen i stx opgave a fastlægges ud fra en geometrisk betragtning og dernæst optræder som en ubekendt i en ligning. - Spørgsmålene i delsættet med hjælpemidler er i hf sættet fordelt på 7 opgaver og i stxsættet på 9 opgaver. Således skal stx eleven forholde sig til flere kontekster end hf kursisten. Klyngeanalyserne tyder på at dette har en effekt. For alle fire eksamenssæt er det åbenbart, at delspørgsmål af en opgave typisk falder i en primærklynge, vel at mærke når delspørgsmålene relatere sig til samme overordnede tema. I de opgaver hvor delspørgsmål er separate, fx ved at handle om væsensforskellige aspekter af en funktion, ligger delspørgsmålene fjernt fra hinanden. - Hf B sættet indeholder hf C gengangere, stx B sættet indeholder stx A gengangere. Dette kan næsten ikke undgå at trække i hver sin retning.

63 6 Den skriftlige prøve i matematik C på hf Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen var 9 kursister til skriftlig prøve i matematik C på hf. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen: HF Matematik C Karakter 7 Frekvens (%), 8,7 9,8,8,7,, Fordelingen kan illustreres med følgende diagram: Matematik hf C sommer 9 Karakterfordeling for alle Gennemsnit,7 Procent 7 Karakterfordelingen for eleverne, der bestod eksamen, tager sig således ud: Matematik hf C sommer 9 Karakterfordeling for beståede Procent 7

64 6 Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, afviger en smule fra den ideelle fordeling på %, %, %, %, % til karaktererne,, 7,,, idet der er flere en % der får henholdsvis og særligt. Evalueringsgruppen bemærker, at % af de elever, der deltager i den skriftlige prøve hf C, ikke opnår en bestå karakter. Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling. Forcensuren bygger på pointtal for 6 elever. Dette materiale danner udgangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prøve. Hvis man anvender samme pointskala, som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen. Sammenligning karakterfordeling eksamen og forcensur hf C Procent Eksamen Forcensur 7 Fordelingen af de samlede pointtal, som eleverne opnår ved prøven, fremgår af følgende diagram: Procent,, 8, 6,,,, Pointfordeling hf C forcensur 9 (6 elever) Pointtal

65 6 Pointfordelingen er jævnt stigende op mod point (svarende til karakteren ), hvorefter fordelingen er ujævn frem til 6 point. Ca. % af eleverne opnår point eller derunder, mens ca. % opnår 7 point eller derover. Kvartilsættet for pointfordelingen er (7,, 6). Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan eleverne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram: Hf C pointfordeling for enkeltopgaver forcensur 9 (69 elever),,, 7,, a a b c a a b a b 6a Point Point Point Point Point Point 6b 7a 8a 8b Helhedsindtryk

66 66 Der er to opgaver, som eleverne klarer bemærkelsesværdigt godt. Det er opgave a (ensvinklede trekanter) og 8a (beregning af y værdi i potensmodel). Her opnår næsten ¾ af eleverne point. Derudover opnår lidt over halvdelen af eleverne over point i opgave a (retvinklet trekant). Men der er stor variation i pointtildelingen, men kun i opgave 8b er det næsten halvdelen af eleverne, der opnår point (8b er en opgave i procent procent beregning i forhold til en potensmodel). Vurderingen af helhedsindtrykket er bemærkelsesværdigt, idet det igen er her, at færrest elever opnår fuldt pointtal. Netop ved helhedsindtrykket er fordelingen af point meget jævnt, og det er ikke tilfredsstillende, at så mange elever opnår så ringe resultat her. Evalueringsgruppen undrer sig atter i år over dette. Ingen opgaver ser ud til at være knald eller fald opgaver dvs. opgaver, hvor få procent opnår andet end eller point. Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter For at skabe overblik over, hvilke opgaver elever på forskellige niveauer kan besvare, bringes her en grafisk fremlæggelse af de gennemsnitlige pointtal i opgaverne opdelt efter den opnåede karakter: Point Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter

67 67 Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter Point Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter Point Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter Point

68 68 Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 7 Point Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter Point Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter Point

69 69 Hvis man betragter eleven, er der ret store udsving mellem pointtallene pr. opgave. Bedst klares opgave a og 8c, hvor der gennemsnitlig tildeles over point. Derefter følger opgave a og 7a, hvor den gennemsnitlige pointtildeling er over. Færrest point opnås i opgave 8c. For eleven er det opgave a, b og 8b, der udløser lidt færre point end de øvrige. Udsvingene er dog små, og det bør overvejes, om opgaverne giver spredning nok i toppen. Kønsforskelle i opnået resultat I datamaterialet er udgør de kvindelige eksaminander,%, de mandlige 6,%, og i 8,% af tilfældene har den skriftlige censor ikke kunnet afgøre køn ud fra navn. Der er således en betydelig overvægt af kvindelige eksaminander i datamaterialet. Betragter man karakterfordelingen i forhold til køn, er der igen i år tendens til at mændene i højere grad end kvinderne opnår topkaraktererne og. Karakterfordeling efter køn hf C sommer 9 (forcensur) Procent Kvinder (,%) Mænd (6,%) 7 Anmeldelse af opgavesættet hf C (HF9 MAC) Generelle bemærkninger Opgavesættet kommer fint rundt i kernestoffet og skønnes at være af passende omfang og sværhedsgrad. På nær de nedenfor anførte bemærkninger om model vs. virkelighed, er det et fint sæt.

70 7 Bemærkning: Figuren indeholder ingen overflødige data. Dette er potentielt en løsningsanvisning. Opgave Identificere ensliggende sider på figur. Beregne sidelængder ud fra relevante sidelængdeforhold. Opgave Identificere tabeldata med variabelbetegnelser. Bestemme lineær forskrift ud fra to opgivne funktionsværdier. Fortolke hældningskoefficient og skæring med y akse i relation til modelvariable. Foretage prognoser ud fra modellen, herunder at genidentificere variable med modeldatatyper. Bemærkning: Ifølge konteksten lineær modellering af empiriske data er lineær regression den korrekte tilgang frem for bestemmelse af forskrift ud fra to opgivne funktionsværdier, der jo ikke har meget med modellering af data at gøre. Dette kan man selvfølgelig ikke forvente, at eleven bemærker, men da eksamensopgaverne er paradigmatiske for det daglige arbejde, synes jeg, at man skal tilstræbe et klart modelleringsbegreb. Det nemmeste ville være at angive punkter i stedet for. Dette falder dog uden for C niveau (men kunne være relevant på andre niveauer). Alternativt kan der tages højde for det i opgaveteksten, jf. UV vejledningen (min understregning): Figuren viser en række sammenhørende værdier af (x og y...). Det oplyses, at sammenhængen kan beskrives ved en matematisk model af typen(: ) På illustrationen er markeret to punkter, som ligger på grafen, der illustrerer sammenhængen. Bestem a og b...

71 7 Opgave Identificere afhængig/uafhængig variabel. Udvælge relevante grafpunkter af formen (x,y) og (x,y/). Relatere disse til halveringskonstant. Beskrive hvorfor denne fremgangsmåde giver det ønskede svar. Bemærkninger: Grafpunkter skal vælges med henblik på præcision, ikke alle valg er lige anvendelige. Opgaven stiller særlige krav til beskrivelse. En forklaring af begrebet halveringskonstant må indgå, hvis det ikke skal være ren adfærdsbeskrivelse. Opgave Beregne længde af modstående katete (at denne tilfældigvis er højde i en ligebenet trekant er irrelevant for opgavens løsning). Beregne areal af retvinklet trekant ud fra opgivne katetevinkel og hypotenuse. Dernæst at beregne areal af tilhørende ligebenet trekant. Bemærkninger: Opgaveteksten skelner ikke klart mellem model og virkelighed. Omtalte højde og areal refererer til modellen, men omtales som virkelighed. Den tænksomme elev vil måske fundere over, om facaden udgøres af glasvæggen, eller om den indrammende trekant hører med, hvorfra på jorden højden måles osv. Fx: Giv vha. modeltegningen et bud på materialeforbruget til Herved bliver den dobbelte hensigt - at hjælpe eleven til at fastholde, visualisere osv. - fortolkninger model vs. virkelighed med fotoet også tydeligere. Opgave Identificere modeltype (diskret eksponentiel vækst) ud fra sproglig beskrivelse. Indføre variable for modellens data, herunder punkt for tidsakse. Opstille modelligning,

72 7 der beskriver sammenhæng mellem variable og parametre. At indsætte parameterværdi ud fra modeldata. Beregne prognoser. Sammenholde model og virkelighed. Er 8 tilnærmelsesvist det samme som 9 6? Vurdering af modellens gyldighed efter 999. Opgave 6 Beregne frekvenser ud fra hyppigheder. Tegne histogram ud fra datatabel. Aflæse fordelingsværdier ud fra sumkurve. Angive komplementære fordelingsværdier, dvs. fortolke større ligværdier som % (mindre lig værdier). Opgave 7 Indsætte i og beregne værdier af formeludtryk. Løse formlens ligning mht. til andre variable. Alternativt: Indtaste formel i CASværktøj og benytte relevant solve applikation. Hvis flere løsninger, vælge løsning, der svarer til formlens kontekst.

73 7 Opgave 8 Tildele værdier til variable ud fra sproglig beskrivelse. Se endvidere hf B, opgave 9c. Klyngeanalyser af elevbesvarelserne I en klyngeanalyse sammenlignes opgaverne ved hjælp af et statistisk afstandsmål på baggrund af de individuelt opnåede pointtal. Hvis alle elever individuelt har opnået ens pointtal i to opgaver, vil de to opgaver have afstand. Den maksimale afstand mellem to opgaver fås, hvis hver eneste elev har fået i én af opgaverne og i den anden. For en nærmere redegørelse, se bilag. Det mest bemærkelsesværdige er, at delspørgsmål klynges primært. I dette sæt er det meget udtalt. Endvidere bemærkes at opgaverne a og 8b, som begge handler om talforhold (halveringskonstant og procenter) optræder i samme primærklynge. Censorerne evaluering af opgavesættet hf C Censorerne, der rettede eksamensopgaver, blev bedt om at evaluere opgavesættet både selve sættet og elevernes besvarelse. Det skete ved at besvare et spørgeskema. Der var censorer i ma

74 7 tematik C på hf, der besvarede spørgeskemaet. Her følger en oversigt over resultatet af denne evaluering. Første spørgsmål drejede sig om arbejdsmængden i opgavesættet:. Hvordan vurderer du arbejdsmængden i sættet? Svarene fordelte sig således: For lille Passende For stor 6% 9% % Censorerne blev også bedt om at vurdere sværhedsgraden af de enkelte delspørgsmål i prøven. Resultatet fremgår af følgende diagram: a a b c a a b a b 6a 6b 7a 8a 8b Matematik 9 hf C censorevaluering % % % 6% 8% % Bestå grænsen Middel Top Det ses tydeligt, at censorerne vurderer langt de fleste opgaver, som værende opgaver, som middeleleven kan regne. Censorernes samlede vurdering af sættets sværhedsgrad blev også undersøgt. Svarene fremgår her:

75 7 Hvordan vurderer du samlet sættets sværhedsgrad? For let: Passende: For svært: Her ses i tråd med vurderingen af enkeltopgaver, at censorerne vurderer opgavesættet som meget passende. Censorerne kunne kommentere sættet. Disse kommentarer kan i sagens natur ikke opgøres, men her angives den overvejende holdning i kommentarerne. Censorerne er enige om, at sættet kommer godt rundt i pensum. Der er ikke områder, der er overeksponeret, og opgavesættet vurderes generelt til at leve fuldt ud op til reformens intentioner.

76 76 Bilag Hierarkisk klyngeanalyse I en hierarkisk klyngeanalyse undersøges, hvilke opgaver der ligner hinanden mht. individuelt opnåede pointtal. Opgaverne grupperes hierarkisk således, at de to opgaver, hvis svarmønstre ligner hinanden mest, grupperes først. Dernæst foretages en ny sammenligning. Således fortsættes, så man sluttelig har en hierarkisk opdeling af spørgsmålene. Den konkrete procedure er som følger: Antallet af besvarelser af et eksamenssæt benævnes N og antallet af spørgsmål i sættet benævnes n. Til hvert spørgsmål samt rubrikken helhedsvurdering associeres en streng bestående af samtlige tildelte N pointtal (pointtal for besvarelse,, pointtal for besvarelse N), så det samlede eksamenssæt er repræsenteret ved n punkter, nemlig punkt for hvert spørgsmål, i et N dimensionalt rum. I dette rum sammenlignes spørgsmålene ved hjælp af et passende statistisk afstandsmål mellem de tilsvarende punkter. De to spørgsmål, som er nærmest hinanden, grupperes. Dernæst erstattes denne første gruppe af den N dimensionale streng, som fås ved at tage et passende gennemsnit af de to først grupperede spørgsmål, så der nu er n punkter. Med disse n punkter gentages proceduren, hvorved man får n punkter. Således fortsættes, til der er punkter tilbage. Disse punkter svarer til, at man har fået de oprindelige n spørgsmål delt i to grupper af spørgsmål, der inden for grupperne ligner hinanden, hvad angår overensstemmelse af besvarelser. Der er forskellige valgmuligheder for det statistiske afstandsmål. I den foreliggende analyse giver dette dog ikke anledning til forskellige grupperinger.