Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k. SUCCESSOR(k): returner element med mindste nøgle k. INSERT(): tilføj til S (vi antager ikke findes i forvejen) DELETE(): fjern fra S. Nærmeste nabo Anvendelser. Søgning efter relateret data (typisk mange dimensioner). Rutning på internettet. 5 6 0 2 24 PREDECESSOR() k = SUCCESSOR()
Hægtet liste Løsning med hægtet liste. Gem S i en dobbelt-hægtet liste. head 66 54 96 6 4 PREDECESSOR(k): lineær søgning i listen efter element med største nøgle k. SUCCESSOR(k): lineær søgning i listen efter element med mindste nøgle k. INSERT(): indsæt i starten af liste. DELETE(): fjern fra liste. Tid. PREDECESSOR og SUCCESSOR i O(n) tid. INSERT og DELETE i O() tid. Plads. O(n). Binær søgning Løsning med sorteret tabel. Gem S i tabel sorteret efter nøgle. 2 4 5 6 7 6 4 54 66 96 PREDECESSOR(k): binær søgning i listen efter element med største nøgle k. SUCCESSOR(k): binær søgning i listen efter element med mindste nøgle k. INSERT(): lav ny tabel af størrelse + med tilføjet. DELETE(): lav ny tabel af størrelse - med fjernet. Tid. PREDECESSOR og SUCCESSOR i O(log n) tid. INSERT og DELETE i O(n) tid. Plads. O(n). Nærmeste nabo Datastruktur PREDECESSOR SUCCESSOR INSERT DELETE Plads hægtet liste O(n) O(n) O() O() O(n) binær søgning O(log n) O(log n) O(n) O(n) O(n)
Binært træ. Et binært træ er enten Tomt. En knude med to binære træer som børn. Binært søgetræ. Binært træ der overholder søgetræsinvarianten. Søgetræsinvariant (binary-search-tree property). Alle knuder indeholder et element. For alle knuder v: alle nøgler i venstre deltræ er key[v]. alle nøgler i højre deltræ er key[v]. v Repræsentation. Hver knude består af root key[] left[] null right[] parent[] (data[]) Plads. O(n) null null null null null null null key[v] key[v] null null Indsættelse INSERT(): start i rod. Ved knude v: hvis key[] key[v] gå til venstre. hvis key[] > key[v] gå til højre. hvis null, indsæt INSERT(9) 9
Indsættelse Indsættelse INSERT(): start i rod. Ved knude v: hvis key[] key[v] gå til venstre. hvis key[] > key[v] gå til højre. hvis null, indsæt Opgave. Indsæt følgende nøglesekvens i binært søgetræ: 6,,,, 2, 9, 4,, 7 INSERT(,v) if (v == null) return if (key[] < key[v]) left[v] = INSERT(, left[v]) if (key[] > key[v]) right[v] = INSERT(, right[v]) Tid. O(h) 9 Predecessor PREDECESSOR(k): start i rod. Ved knude v: k == key[v]: returner v. k < key[v]: fortsæt søgning i venstre deltræ. k > key[v]: fortsæt søgning i højre deltræ. Hvis der ikke findes knude i højre deltræ med nøgle k, returner v. key[v] v key[v]
Predecessor PREDECESSOR(v, k) if (v == null) return null if (key[v] == k) return v if (key[v] < k) return PREDECESSOR(left[v], k) t = PREDECESSOR(right[v], k) if (t null) return t else return v Tid. O(h) SUCCESSOR med tilsvarende algoritme i O(h) tid. key[v] v key[v] Sletning Sletning DELETE(): DELETE(): har barn: split ud. 0 børn barn
Sletning DELETE(): har barn: split ud. har 2 børn: find y = SUCCCESSOR(key[]). Split y ud og udskift y med 2 børn y Sletning DELETE(): har barn: split ud. har 2 børn: find y = SUCCCESSOR(key[]). Split y ud og udskift y med. Tid. O(h) y y Tid. PREDECESSOR, SUCCESSOR, INSERT og DELETE i O(h) tid. Højden h er afhængig sekvens af operationer. I værstefald er h = Ω(n). I gennemsnit er h = Θ(log n). Med balancerede søgetræer (2- træer, AVL-træer, rød-sorte træer,..) tager alle operationer O(log n) tid i værstefald. Plads. O(n). Nærmeste nabo Datastruktur PREDECESSOR SUCCESSOR INSERT DELETE Plads hægtet liste O(n) O(n) O() O() O(n) binær søgning O(log n) O(log n) O(n) O(n) O(n) binært søgetræ O(h) O(h) O(h) O(h) O(n) balanceret søgetræ O(log n) O(log n) O(log n) O(log n) O(n)
Trægennemløb Inorder gennemløb (inorder traversal). Besøg venstre deltræ rekursivt. Besøg knude. Besøg højre deltræ rekursivt. Inorder:,,,,,,, Udskriver knuderne i et binært søgetræ i sorteret rækkefølge. Tid. O(n) Trægennemløb Preorder gennemløb (preorder traversal). Besøg knude. Besøg venstre deltræ rekursivt. Besøg højre deltræ rekursivt. Tid. O(n) Preorder:,,,,,,, Trægennemløb Postorder gennemløb (postorder traversal). Besøg venstre deltræ rekursivt. Besøg højre deltræ rekursivt. Besøg knude. Postorder:,,,,,,, Tid. O(n)