Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Transkript

1 Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A

2 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl Vejl.ny 00z Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : 4 tekstsider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden elektroniske hjælpemidler består af opgave -5. Til denne delprøve må der kun anvendes en formelsamling. Efter én time skal delprøven afleveres. Delprøven med hjælpemidler består af opgaverne 6 0. Denne delprøve kan påbegyndes med det samme, men de elektroniske hjælpemidler og hjælpemidler ud over formelsamlingen, må først benyttes efter den første time. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved den samlede bedømmelsen. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier:. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation..

3 Vejl.ny 00z Side af 4 Delprøve uden hjælpemidler : kl Opgave (5 %) En ret linje l går gennem punkterne P(, 6) og Q(,3). Bestem en ligning for l, og bestem koordinatsættet til hvert af linjens skæringspunkter med akserne. Opgave (5 %) En kugle er givet ved ligningen x + 6 x+ y 4y + z + z + 3=0. Bestem koordinatsættet til kuglens centrum og kuglens radius. Opgave 3 (5 %) To funktioner f og g er givet ved f ( x) 4x 0x og g( x) 8x Graferne for de to funktioner afgrænser et område M, der har et areal (se figuren). Bestem førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem graferne for f og g, og bestem arealet af området M. Opgave 4 (5 %) 4x Undersøg, om f ( x) e x x 4 dy er en løsning til differentialligningen 4y 8x Opgave 5 (5 %) Bestem integralet : 4x x x 0

4 Vejl.ny 00z Side 3 af 4 Opgave 6 (5 %) To funktioner f og g er givet ved : Delprøve med hjælpemidler : kl f ( x) x x 5x 6 og g ( x) 3x 6. a) Vis, at graferne for f og g skærer hinanden i punkterne (, 0), (0, 6) og (4, 8) og skitser graferne. Punktmængden M er afgrænset af grafen for f, linjerne x og x = samt x-aksen. Punktmængden M drejes 360 o om x-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. b) Bestem volumenet af dette omdrejningslegeme. Punktmængden M er afgrænset af grafen for g, x-aksen, y-aksen og linjen x = 4. Punktmængden M drejes 360 o om y-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. c) Bestem volumenet af dette omdrejningslegeme. Opgave 7 (5 %) En differentialligning er givet ved dy x y 3 e a) Bestem en ligning for tangenten til grafen i punktet P (0,3) for den partikulære løsning, der går gennem punktet P. b) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen. c) Bestem regneforskriften for den partikulære løsning, hvis graf går igennem punktet Q (0,4).

5 Vejl.ny 00z Side 4 af 4 Opgave 8 ( 5 %) A(4, 3) er et punkt i planen. En linje l i planen er bestemt ved, at den går igennem punktet A og har normalvektoren. En anden linje m i planen er bestemt ved, at den ligeledes går igennem punktet A, og at den er ortogonal på l. a) Bestem en ligning for hver af linjerne l og m. l s skæringspunkt med y-aksen kaldes B, og m s skæringspunkt med x-aksen kaldes C. b) Bestem koordinatsættene til punkterne B og C. c) Bestem afstanden fra punktet A til linjen gennem punkterne B og C. Opgave 9 (5 %) I et koordinatsystem i rummet er planerne og givet ved ligningerne Endvidere er der givet punktet A (3,, 4). : x 3y z 6 0, : x y z 0. a) Bestem den spidse vinkel mellem planerne α og β. b) Bestem afstanden fra punktet A til planen β. En kugle K har centrum i A og tangerer planen β. c) Bestem en ligning for kuglen K. d) Bestem koordinaterne til skæringspunkterne mellem kuglen K og z-aksen. En linje l er bestemt ved, at den er parallel med både planen α og planen β, og at den går igennem punktet A. e) Bestem en parameterfremstilling for linjen l. Opgave 0 (5 %) En harmonisk svingning f er bestemt ved, at f ( x) 3sin( x) 3 a) Bestem maksimum, minimum og periodens længde for den harmoniske svingning f. (baseret på mata.juni09)

6 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl Vejl.ny 00z Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden elektroniske hjælpemidler består af opgave -5. Til denne delprøve må der kun anvendes en formelsamling. Efter én time skal delprøven afleveres. Delprøven med hjælpemidler består af opgaverne 6 9. Denne delprøve kan påbegyndes med det samme, men de elektroniske hjælpemidler og hjælpemidler ud over formelsamlingen må først benyttes efter den første time. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved den samlede bedømmelsen. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier:. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation..

7 Vejl.ny 00z Side af 4 Delprøve uden hjælpemidler : kl Opgave (5 %) 3 To vektorer er givet ved a og b, hvor t er et tal. 4 t Bestem værdien af tallet t, så a og b er ortogonale. Opgave (5 %) Bestem afstanden fra punktet P(, 3,-) til planen α med ligningen 4x - y + 4z - 5 = 0. Opgave 3 (5 %) dy Gør rede for, at funktionen f ( x) e x 3 er en løsning til differentialligningen y 6. Opgave 4 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f ( x) 4sin( x) a) Løs ligningen ( x) 3 for x 0, Opgave 5 (5 %) f. a) Bestem integralet : x x x

8 Vejl.ny 00z Side 3 af 4 Opgave 6 (5%) Funktionerne f og g er givet ved : Delprøve med hjælpemidler : kl f ( x) x og g ( x) x. Punktmængden M er afgrænset af grafen for f, x-aksen samt linjerne x = 9 og x = 36. a) Bestem arealet af punktmængden M. Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g samt linjen x = 9. b) Bestem arealet af punktmængden M. Punktmængden M 3 er afgrænset af grafen for f, x-aksen, y-aksen og linjen x = 4. Når punktmængden M 3 drejes 360 o om x-aksen fremkommer der et omdrejningslegeme. c) Bestem ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme. En anden funktion h er givet ved : h ( x) x. Punktmængden M 4 er begrænset af grafen for h, x-aksen, y-aksen og linjen x =. Punktmængden M 4 drejes 360 o om y-aksen hvorved der fremkommer et omdrejningslegeme. d) Bestem ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme. Opgave 7 (5 %) Ligningen x y x 4y angiver en cirkel i planen. a) Bestem cirklens radius og koordinaterne til cirklens centrum. b) Bestem koordinaterne til cirklens skæringspunkter med begge koordinatakser.

9 Vejl.ny 00z Linjen l er givet ved ligningen y x (opgaven fortsættes på næste side) Side 4 af 4 c) Bestem afstanden fra linjen l til punktet A(, ). Opgave 8 (0 %) I et koordinatsystem i rummet er der givet tre punkter A (,, 3), B ( 0, 6, ) C (,, ) samt planen β: x y z 4. a) Bestem en ligning for den plan α, som indeholder punkterne A, B og C. b) Bestem den spidse vinkel mellem planerne α og β. c) Bestem en parameterfremstilling for den linje l, som er ortogonal på planen α og går igennem punktet C. d) Bestem koordinaterne til skæringspunktet mellem linjen l og planen β. Opgave 9 (5 %) En differentialligning er givet ved dy y 4e x a) Bestem en ligning for tangenten til grafen i punktet P (, ) for den partikulære løsning, der går igennem punktet P (, ). b) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen. c) Bestem forskriften for den partikulære løsning, hvis graf går igennem punktet Q(, 5). (baseret på mata.august 009)

10 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl Vejl.3ny_ver 00z Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Fire tekstsider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden elektroniske hjælpemidler består af opgave -5. Til denne delprøve må der kun anvendes en formelsamling. Efter én time skal delprøven afleveres. Delprøven med hjælpemidler består af opgaverne 6 8. Denne delprøve kan påbegyndes med det samme, men de elektroniske hjælpemidler og hjælpemidler ud over formelsamlingen, må først benyttes efter den første time. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved den samlede bedømmelsen. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier:. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation..

11 Vejl.3ny_ver 00z Side af 5 Delprøve uden hjælpemidler : kl Opgave (5 %) I planen er der givet to vektorer, Bestem tallet t, så vektorerne og b er ortogonale. t a 3 og b, hvor t er et tal. 5 3 Opgave (5 %) Bestem den stamfunktion til f ( x) x 3 x, x 0, hvis graf går gennem punktet P (,5). Opgave 3 (5 %) dy Bestem den partikulære løsning f(x) til differentialligningen y 8 f(0) = 0. Opgave 4 (5 %) En cirkel C er givet ved ( x ) y 5. Bestem en ligning for tangenten til cirklen C i punktet P (3, ). hvor Opgave 5 (5 %) Bestem integralet: x. x

12 Vejl.3ny_ver 00z Side 3 af 5 Delprøve med hjælpemidler : kl Opgave 6 (5 %) To funktioner f og g er givet ved : 3 f ( x), x og g ( x) x 5, x x a) Vis, at graferne for f og g skærer hinanden for x og x 4 og skitser graferne. Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g. b) Bestem ved hjælp af stamfunktioner arealet af M. Punktmængden M drejes 360 o om y-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. c) Bestem volumenet af dette omdrejningslegeme. Punktmængden M 3 er afgrænset af grafen for f, x-aksen, linjerne x og x k, k. d) Bestem k så arealet af M 3 bliver 3. Opgave 7 (5 %) En harmonisk svingning f(x), at f ( x) asin( bx) 3. Det oplyses, at perioden er 4π, maksimum er 7, og minimum er -. a) Bestem a og b.

13 Vejl.3ny_ver 00z Side 4 af 5 Opgave 8 (5 %) En differentialligning er givet ved dy cos( x) y cos( x) a) Bestem en ligning for tangenten til grafen i punktet P (, ) for den partikulære løsning, der går gennem punktet P. b) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen. En anden differentialligning er givet ved dy x y x c) Vis at f ( x) e ( x ) er en løsning til differentialligningen Opgave 9 (30 %) I et koordinatsystem i rummet er linjen l og planen givet ved x l : y t 4, t R, : x y z 0 3 z Punkterne P og Q er bestemt ved P (,, ) og Q ( 3, 4, q ). a) Bestem koordinaterne til skæringspunktet mellem linjen l og planen. b) Bestem en parameterfremstilling for den linje der indeholder punktet P og som står vinkelret på planen. c) Bestem ved beregning en ligning for den plan der indeholder linjen l og punktet P. d) Bestem afstanden fra punktet P til planen. e) Bestem de to værdier af q, hvor afstanden mellem punktet Q og planen er.

14 Vejl.3ny_ver 00z Side 5 af 5 (baseret på mata.aug.09)

15 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne December 007 Matematik A (ny studieordning) Onsdag den. december 007 kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved bedømmelsen. Opgave (0 %) Funktionen f er givet ved f ( x) e, x0. x Punktmængden M ligger i første kvadrant og er afgrænset af grafen for f, linjen x =, samt x-aksen. a) Beregn ved hjælp af stamfunktion arealet af punktmængden M. Punktmængden M drejes 360 om x-aksen, hvorved der fremkommer et omdrejningslegeme. b) Beregn ved hjælp af stamfunktion volumenet af dette omdrejningslegeme. Punktmængden M drejes 360 om y-aksen, hvorved der fremkommer et omdrejningslegeme. c) Bestem ved hjælp af stamfunktion volumenet af dette omdrejningslegeme. En anden funktion g er givet ved g( x) e, x0. Punktmængden M ligger i første kvadrant og er afgrænset af graferne for f og g samt linjen x =. d) Beregn ved hjælp af stamfunktion arealet af punktmængden M. x

16 (ny studieordning) December 007 Opgave (5%) En differentialligning er givet ved dy x 3, y 0 y a) Bestem en ligning for tangenten i punktet P(, ) til grafen for den partikulære løsning, der går igennem punktet P. Side af 3 b) Vis at funktionen f ( x) x 3x 4 er en løsning til ovenstående differentialligning. En anden differentialligning er givet ved dy cos( x) y cos( x) c) Bestem forskriften for den fuldstændige løsning til differentialligningen. Opgave 3 (5%) To vektorer i planen er bestemt ved t a t og b. t a) Bestem for t = projektionen af a på b. b) Bestem for t = vinklen mellem a og b. c) Bestem de værdier af t, hvor a er ortogonal på b. Opgave 4 (0%) En funktion f er givet ved f ( x) sin(x ), x 0; a) Bestem ved beregning en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P (, f ( )) 3 3 b) Bestem værdimængden for f.

17 (ny studieordning) December 007 Opgave 5 (5%) I et koordinatsystem i rummet er der givet to punkter A(,, 4) og B(3,, ) samt en vektor v. Linjen l går gennem A og har v som retningsvektor. Linjen m går gennem B og har v som retningsvektor. Planen går gennem A og har v som normalvektor. Kuglefladen K har centrum i B og har som tangentplan. a) Bestem en parameterfremstilling for hver af linjerne l og m. b) Beregn afstanden mellem linjerne l og m. c) Bestem en ligning for planen. d) Beregn afstanden mellem punktet B og planen. e) Bestem ligningen for kuglefladen K. f) Beregn koordinaterne for røringspunktet mellem kuglefladen K og planen. Side 3 af 3 Opgave 6 (5%) a) Beregn ved hjælp af integration ved substitution følgende integral cos( x) x sin( x) b) Beregn ved hjælp af integration ved substitution følgende integral 3 (3 )ln( ) 0 x x x x c) Beregn integralet 4 x (3 x 5 x)

18 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Januar 008 Matematik A (ny studieordning) Tirsdag den 5. januar 008 kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved bedømmelsen. Opgave (5 %) To funktioner f og g er givet ved: f ( x) x og g( x) 8 x, for x 0 a) Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem, og gør rede for, at graferne skærer hinanden i punktet P(4, 4). Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g og y-aksen. b) Bestem ved hjælp af stamfunktion arealet af M. Punktmængden M drejes 360 om x-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. c) Bestem ved hjælp af stamfunktion volumenet af dette omdrejningslegeme. Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g og x-aksen. d) Bestem ved hjælp af stamfunktion arealet af M. Opgave (0 %) En funktion f er givet ved: f ( x) x x 4 4 a) Bestem en ligning for tangenten til funktionens graf i punktet P(4, ). Punktmængden M er afgrænset af grafen for f og tangenten til grafen i punktet P og y-aksen. b) Bestem ved hjælp af stamfunktion arealet af M.

19 (ny studieordning) Opgave 3 (5 %) En differentialligning er givet ved: Januar 008 Side af 3 dy 3 y ke x, hvor k er en konstant. a) Bestem ved beregning konstanten k således, at funktionen f ( x) e x bliver en løsning til differentialligningen. En anden differentialligning er givet ved: dy y 4 x e x b) Bestem ved beregning den fuldstændige løsning til differentialligningen. c) Bestem ved beregning den partikulære løsning, hvis graf går igennem punktet Q(0, 5). Opgave 4 (5 %) Der er givet en linje l ved: xy og et punkt P ved: P (, ) a) Beregn afstanden mellem linjen l og punktet P. b) Bestem en ligning for den cirkel, der har centrum i P og som tangerer linjen l. c) Bestem en ligning for den linje m gennem P som er vinkelret på linjen l. Opgave 5 (5 %) Der er givet tre punkter ved: A (,, 5), B (,, 3), C (, 3, 4) a) Beregn arealet af trekant ABC. b) Bestem en ligning for den plan, der indeholder de tre punkter. c) Bestem en parameterfremstilling for den rette linje l, der indeholder punkterne A og B. d) Beregn afstanden mellem punktet C og linjen l. e) Beregn den spidse vinkel mellem linjen l og linjen igennem punkterne A og C. f) Bestem en parameterfremstilling for den rette linje, som fremkommer ved projektion af linjen l på xy-planen.

20 (ny studieordning) Januar 008 Opgave 6 (0 %) Side 3 af 3 a) Beregn integralet: x 4 b) Beregn integralet: x 5 x 4 x 4 c) Beregn konstanten a således at: a 0 x 6e d) Løs ved beregning ligningen: sin ( x) 3 sin( x) 0

21 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne.juni 008 Matematik A Mandag den. juni 008 kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved bedømmelsen. Opgave (5%) To funktioner f og g er givet ved : f ( x) x og g ( x) x 4. Punktmængden M er afgrænset af graferne for f, g, y-aksen og x-aksen. a) Beregn ved hjælp af stamfunktioner arealet af M. Punktmængden M drejes 360 o om x-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. b) Bestem ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme. Funktionen h er givet ved h ( x) ln( x ), x 0. Punktmængden M, der er afgrænset af x-aksen og grafen for h, samt x og x 4 drejes 360 o om y-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. c) Beregn ved hjælp af stamfunktion volumenet af dette omdrejningslegeme. Opgaven fortsættes på næste side

22 .juni 008 Side af 3 d) Nedenfor er grafen indtegnet for en funktion k. Arealet af området afgrænset af grafen for k, x-aksen og a x d er 0. Desuden er b a k( x) 85 og k( x). c d Bestem c k ( x) b y b c x a d Opgave (0%) En differentialligning er givet ved dy y x x, x a) Bestem ved beregning ligningen for tangenten i punktet P(4,) til grafen for den partikulære løsning, der går gennem punktet P. b) Bestem ved beregning den fuldstændige løsning til differentialligningen. c) Bestem ved beregning regneforskriften for den partikulære løsning, hvis graf går igennem 3 punktet P (, ). 5

23 Opgave 3 (5%) a) Bestem løsningen til nedenstående ulighed: cos( x ) 0,4, 0 x.juni 008 Side 3 af 3 En funktion f er bestemt ved : f ( x) (x ) cos(x x). b) Beregn f ( x). c) Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(0,4). Opgave 4 (5%) I et koordinatsystem er punkterne A(,-) og B(-,3) givet samt vektoren v. t Den rette linje l er givet ved ligningen y x 5. a) Bestem vinklen mellem de to stedvektorer til punkterne A og B. b) Bestem ligningen for den linje m, der skærer linje l i det punkt hvor x =, og som har AB som normalvektor. c) Bestem koordinaterne til punkt P i.kvadrant på linjen l, således at arealet af trekant ABP er 5. Opgave 5 (5%) I et koordinatsystem i rummet er planerne og givet ved ligningerne : 3x y 5 0, : x y z. Desuden er der givet en kugle K med centrum C(-,,) og radius r = 4 samt en linje l med x 4 parameterfremstilling l : y t, t R. z 3 a) Bestem en ligning for kuglen K. b) Afgør med begrundelse om er tangentplan til kuglen K. c) Bestem en ligning for den plan, som indeholder linjen l og punktet P(,3, 4). d) Bestem punktet C s projektion på planen α. e) Bestem arealet af trekant ABC, hvor A er punkt på l for t = og B er punkt på l for t =.

24 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne 3.juni 008 Matematik A Mandag den 3. juni 008 kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved bedømmelsen. Opgave (0 %) En funktion f er givet ved : f(x) = 3 x, x 0 a) Grafen for f afgrænser sammen med x aksen, y aksen og linjen med ligningen x = 9 en punktmængde M. Beregn ved hjælp af stamfunktion arealet af M. b) Punktmængden M drejes 360 om x aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. Bestem ved hjælp af stamfunktion volumenet af dette omdrejningslegeme. En anden funktion g er givet ved g( x) x. 3 c) Gør rede for at graferne for de to funktioner f og g skærer hinanden i punktet ( 9, 6 ). d) Graferne for f og g afgrænser sammen med y aksen en punktmængde M. Bestem ved hjælp af stamfunktion arealet af M. e) Punktmængden M drejes 360 om y aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. Bestem ved hjælp af stamfunktion volumenet af dette omdrejningslegeme.

25 3.juni 008 Opgave (5 %) Side af 3 En differentialligning er givet ved dy x x x y. a) Bestem en ligning for tangenten i punktet P(, 0 ) til grafen for den partikulære løsning, der går igennem punktet P. b) Bestem ved beregning den fuldstændige løsning til differentialligningen. c) En funktion f er løsning til differentialligningen og har i punktet Q (, f () ) en tangent med hældningskoefficienten 4. Beregn f ( ). Opgave 3 (5 %) I et koordinatsystem i planen er en cirkel givet ved ligningen : x 8x y y 7 0. a) Bestem cirklens radius og koordinaterne til centrum C. b) Cirklen skærer y aksen i to punkter A og B. Beregn koordinaterne til A og B. c) Bestem en ligning for cirkeltangenten i hvert af punkterne A og B. d) Linjen l er givet ved ligningen 4x + 3y + 6 = 0. Beregn afstanden fra punktet C til linjen l.

26 Opgave 4 (5 %) Matematik A I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved 3.juni 008 Side 3 af 3 a t t 3 t og b t 4. a) Beregn for t = vinklen mellem a og b. b) Beregn for t = 3 projektionen af a på b. c) Beregn de værdier af t, for hvilke a og b er parallelle. Opgave 5 (5 %) I et koordinatsystem i rummet er en plan α givet ved ligningen x 6y + 3z = 0 og punktet P er givet ved P ( 6, -, 5 ) og vektoren v 3. a) Beregn afstanden fra P til α. b) Bestem en parameterfremstilling for linjen l, der går gennem P med v som retningsvektor. c) Linjen l skærer planen α i punktet S. Beregn koordinaterne til S. d) Linjen m går gennem Q( 3,, ) og er vinkelret på α. Beregn afstanden fra P til m. e) Vektoren PQ og vektoren Beregn arealet af dette parallelogram. n 6 udspænder et parallelogram. 3 Opgave 6 (0 %) a) Beregn integralet x ( x 3 x ) 4 b) Beregn ved hjælp af integration ved substitution følgende integral: (x ) cos( x x)

27 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne.august 008 Matematik A Tirsdag den.august 008 kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved bedømmelsen. Opgave (0 %) To funktioner er givet ved: 3 f ( x) x 6x 9x og g( x) x 5x Punktmængden M er for x i første kvadrant begrænset af graferne for f og g. a) Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem og gør rede for, at graferne skærer hinanden i punkterne (0,0), (, 4) og (4, 4). b) Bestem ved hjælp af stamfunktioner arealet af punktmængden M. Punktmængden M begrænses af grafen for g, x-aksen og linjerne x = 0 og x = 4. Punktmængden M drejes 360 o om x-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. c) Bestem volumenet af dette omdrejningslegeme. Punktmængden M drejes 360 o om y aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. d) Bestem volumenet af dette omdrejningslegeme.

28 .august 008 Side af 3 Opgave (5%) En differentialligning er givet ved dy y sin( x), y 0 a) Bestem en ligning for tangenten i punktet P (,3) til grafen for den partikulære løsning, der går igennem punktet P. cos( x) b) Vis at funktionen f ( x) e er en løsning til ovenstående differentialligning. En anden differentialligning er givet ved dy x y x c) Bestem ved beregning forskriften for den fuldstændige løsning til differentialligningen. Opgave 3 (5%) t To vektorer i planen er bestemt ved a og b. t t a) Bestem for t = 3 arealet af det parallelogram, som udspændes af a og b, b) Bestem de værdier af t, for hvilket a er ortogonal på b. c) Bestem for t = ligningen for den linje, som går igennem punktet P(3, 4), og som er parallel med vektor a. Opgave 4 (0%) En funktion f er givet ved f ( x) x sin( x), x 0; a) Bestem x-værdien til de tangenter til grafen for f,som er parallelle med linjen bestemt ved ligningen y ( 3) x b) Bestem den stamfunktion F til f, som opfylder at F(0) = 5.

29 .august 008 Opgave 5 (5%) I rummet er der givet punkterne A(-,, ), B(,, 3 ),C(3, 4, ) og P(5, 6, 4 ). Planen α indeholder punkterne A, B og C. Linjen l indeholder punkterne A og P. a) Bestem en ligning for planen α. b) Beregn arealet af trekant ABC. c) Bestem en parameterfremstilling for linjen l. d) Beregn afstanden fra punktet P til planen α. En kugle K har centrum i punktet P og tangerer planen α. e) Bestem en ligning for kuglen K. En anden kugle K har ligeledes centrum i P, men har radius 44. f) Bestem skæringspunkterne mellem linjen l og kuglen K. Side 3 af 3 Opgave 6 (5%) a) Beregn ved hjælp af integration ved substitution følgende integral x 3 3x 3) 0 3 ( x b) Beregn ved hjælp af integration ved substitution følgende integral 6 0 cos( x ) sin ( x) c) Beregn integralet x 3 5x 3x 4 x

30 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne.august 008 Matematik A Fredag den.august 008 kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved bedømmelsen. Opgave (0%) Tre funktioner f, g og h er givet ved f ( x) x 3, g( x) x 6x 9 og h ( x) x 3. Punktmængden M er afgrænset af graferne for g og h. a) Bestem ved hjælp af stamfunktioner arealet af M. Punktmængden M, der er afgrænset af grafen for f og grafen for g, drejes 360 o om x-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. b) Bestem ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme. Punktmængden M 3, der er afgrænset af x-aksen, y-aksen og grafen for h, drejes 360 o om y-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. c) Bestem ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme.

31 .august 008 Side af 3 Opgave (5%) En differentialligning er givet ved dy x y x a) Bestem ved beregning den løsning til ovenstående differentialligning, hvis graf går gennem punktet P (0,4). En anden differentialligning er givet ved dy y, x y 0. b) Gør rede for, at funktionen f (x), som er givet ved f ( x) x, er en løsning. c) Bestem en ligning for tangenten til grafen for den partikulære løsning, hvis graf går igennem punktet Q (, ). Opgave 3 (0%) En funktion f er givet ved sin( x) ( x) 4 f, 0, x. a) Bestem funktionens nulpunkter. b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P (, f ( )). 3 3 Opgave 4 (5%) I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved t 4 a og b, hvor t er et reelt tal. t 3t a) Bestem for t = - arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a ogb. b) Bestem for t = koordinatsættet til projektionen af a på b. c) Bestem de værdier af t, for hvilke vinklen mellem a og b er 90.

32 Opgave 5 (5%) I et koordinatsystem i rummet er en plan givet ved ligningen.august 008 Side 3 af 3 : x 4y 3z. Desuden er der givet to punkter A (,, ) og B (4,3,7). a) Bestem en parameterfremstilling for linjen l, som går gennem punkterne A og B. b) Beregn skæringspunktet, som kaldes D, mellem linjen l og planen. Planen β indeholder punktet D og er vinkelret på l. c) Bestem en ligning for β. d) Beregn den spidse vinkel mellem α og β. Kuglen K har centrum i A og punktet B ligger på K. e) Bestem en ligning for kuglen K. Opgave 6 (5%) a) Beregn b) Beregn c) Beregn 0 e x e x x 3 ln( x x)(6x ) sin 3 ( x ) 8cos( x )

33 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne December 008 Matematik A Fredag den.december kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved bedømmelsen. Opgave (0%) To funktioner f og g er givet ved x f ( x) 3e og g( x) 4 e a) Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem, og gør rede for, at de to funktioners grafer skærer hinanden i punktet (0, 3). Punktmængden M er afgrænset af grafen for f, grafen for g og linjen x. b) Bestem ved beregning arealet af M. Punktmængden M er afgrænset af grafen for g, x-aksen, y-aksen og linjen x. Punktmængden M drejes 360º om y-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. x c) Bestem ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme. Punktmængden M 3 er afgrænset af grafen for f, grafen for g, x-aksen, linjen x og linjen x. Punktmængden M 3 drejes 360º om x-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. d) Bestem ved beregning volumenet af dette omdrejningslegeme.

34 december 008 Opgave (5%) En differentialligning er givet ved dy x y 3e 4x x a) Gør rede for, at funktionen f givet ved f ( x) e x, er en løsning. En anden differentialligning er givet ved dy x y 3e b) Bestem ved beregning den fuldstændig løsning til differentialligningen. En tredje differentialligning er givet ved dy y 0 c) Bestem en ligning for tangenten til grafen for den løsning, hvis graf går igennem punktet P(, ). Side af 3 Opgave 3 (0%) I et koordinatsystem i planen er to punkter A og B samt en vektor a givet ved A(3, ), B(, 5) og a 3 a) Bestem en ligning for linjen l, der har a som en normalvektor og som går igennem A, og en ligning for linjen m, der har a som en retningsvektor og som går igennem B. b) Afsæt punkterne A og B og tegn linjerne l og m i et koordinatsystem. Beregn koordinaterne til skæringspunktet C mellem linjerne l og m. c) Beregn vinklen mellem vektorerne a og AB samt vinkel A i trekanten ABC. d) Bestem ligningen for den cirkel, der har centrum i B, og som tangerer linjen l. Opgave 4 (0%) En funktion f er givet ved ( x) 4sin( x) f, x 0 ; 3 a) Beregn koordinaterne til skæringspunkterne mellem funktionens graf og x-aksen. b) Bestem ved beregning forskriften for den stamfunktion F til f, hvis graf går gennem punktet (0, ).

35 december 008 Opgave 5 (5%) I et koordinatsystem i rummet er der givet tre punkter A(, 0, ), B(0,, 3), C(,, 6) Planen går gennem A og har vektoren BC som en normalvektor. Linjen l går gennem punkterne B og C. Kuglen K har centrum i C og radius r. a) Bestem en ligning for planen, og beregn afstanden fra C til. b) Bestem en parameterfremstilling for linjen l, og beregn koordinaterne til skæringspunktet mellem l og. c) Bestem en ligning for kuglen K, og bestem koordinaterne til skæringspunkterne mellem linjen l og kuglen K. d) Beregn arealet af trekanten ABC. e) Beregn vinklen mellem linjen l og z-aksen. Side 3 af 3 Opgave 6 (0%) Beregn ved hjælp af integration ved substitution følgende to integraler x x a) 3 3 x 3x 4 x b) x

36 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Januar 009 Matematik A Tirsdag den 3. januar 009 kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : To tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved bedømmelsen. Opgave (5%) To funktioner f og g er givet ved: f ( x) x 4 x og g( x) x 4 a) Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem, og bestem koordinaterne til skæringspunkterne mellem de to grafer. Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g. b) Bestem ved hjælp af stamfunktioner arealet af M. Punktmængden M drejes 360 om y-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. c) Bestem ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme. Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g og x-aksen. d) Bestem ved hjælp af stamfunktioner arealet af M. Opgave (0%) En funktion f er givet ved: 0 x f ( x),for x 0 x Punktmængden M er afgrænset af grafen for f, x-aksen og linjen x = a a) Bestem ved hjælp af stamfunktioner arealet af M udtrykt ved a. b) Beregn konstanten a, således at arealet af M bliver lig med 0. Opgave 3 (0%) En differentialligning er givet ved: dy x y 3e a) Bestem en ligning for tangenten til grafen i punktet P(0, 4) for den partikulære løsning, der går igennem punktet P. b) Bestem ved beregning den fuldstændige løsning til differentialligningen. c) Bestem ved beregning den partikulære løsning, hvis graf går igennem punktet Q(0, 6).

37 Opgave 4 (5%) Der er givet en cirkel ved: x y 4 x 6 y a) Bestem cirklens radius og koordinaterne til cirklens centrum. b) Beregn koordinaterne til cirklens skæringspunkter med x-aksen. c) Beregn afstanden mellem cirklens centrum og linjen med ligningen yx. Januar 009 Side af Opgave 5 (5%) I et koordinatsystem i rummet er der givet en plan ved: : x y z 0 en linje l ved: x l : y t t R z 3 og et punkt P ved: P (,0,4) a) Beregn koordinaterne til skæringspunktet mellem linjen l og planen. b) Beregn afstanden mellem punktet P og linjen l. c) Bestem en ligning for den kugle, der har centrum i punktet P og som har linjen l som tangent. d) Beregn den spidse vinkel mellem planen og xy-planen. e) Bestem en parameterfremstilling for den linje, der er projektionen af linjen l på planen. Opgave 6 (5%) a) Løs ved beregning uligheden: cos( x),for 0 x b) Beregn integralet: x xe x x c) Beregn integralet: 3 x x d) Beregn integralet: /4 0 sin( x) cos( x) sin ( x)

38 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A Tirsdag den.juni 009 kl juni 009 Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved den samlede bedømmelsen. Opgave (5 %) To funktioner f og g er givet ved : 3 f ( x) x x 5x 6 og g ( x) 3x 6. a) Vis, at graferne for f og g skærer hinanden i punkterne (, 0), (0, 6) og (4, 8) og skitser graferne. Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g. b) Beregn ved hjælp af stamfunktioner arealet af M. Punktmængden M er afgrænset af grafen for f, linjerne x og x = samt x-aksen. Punktmængden M drejes 360 o om x-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. c) Bestem volumenet af dette omdrejningslegeme. (Benyt evt. CAS-værktøj) Punktmængden M 3 er afgrænset af grafen for g, x-aksen, y-aksen og linjen x = 4. Punktmængden M 3 drejes 360 o om y-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. d) Beregn ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme.

39 juni 009 Opgave (5 %) Side af 3 En differentialligning er givet ved dy x y 3 e a) Bestem ved beregning en ligning for tangenten til grafen i punktet (0,3) P for den partikulære løsning, der går gennem punktet P. b) Bestem ved beregning den fuldstændige løsning til differentialligningen. c) Bestem ved beregning regneforskriften for den partikulære løsning, hvis graf går igennem punktet Q (0,4). Opgave 3 (5 %) En harmonisk svingning f er bestemt ved, at f ( x) 3sin( x) 3 a) Bestem maksimum, minimum og periodens længde for den harmoniske svingning f. Opgave 4 (0 %) A(4, 3) er et punkt i planen. En linje l i planen er bestemt ved, at den går igennem punktet A og har normalvektoren. En anden linje m i planen er bestemt ved, at den ligeledes går igennem punktet A, og at den er ortogonal på l. a) Bestem en ligning for hver af linjerne l og m. l s skæringspunkt med y-aksen kaldes B, og m s skæringspunkt med x-aksen kaldes C. b) Bestem koordinatsættene til punkterne B og C. c) Bestem arealet af trekant ABC. d) Bestem afstanden fra punktet A til linjen gennem punkterne B og C.

40 juni 009 Opgave 5 (5 %) I et koordinatsystem i rummet er planerne og givet ved ligningerne Side 3 af 3 Endvidere er der givet punktet A (3,, 4). : x 3y z 6 0, : x y z 0. a) Bestem den spidse vinkel mellem planerne α og β. b) Bestem afstanden fra punktet A til planen β. En kugle K har centrum i A og tangerer planen β. c) Bestem en ligning for kuglen K. d) Bestem koordinaterne til skæringspunkterne mellem kuglen K og z-aksen. En linje l er bestemt ved, at den er parallel med både planen α og planen β, og at den går igennem punktet A. e) Bestem en parameterfremstilling for linjen l. Opgave 6 (0%) a) Beregn integralet : 4x x x 3 b) Beregn integralet : (sin( x ) ) cos( x) 0

41 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne. august 009 Matematik A Tirsdag den. august 009 kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved den samlede bedømmelsen. Opgave (30 %) To funktioner f og g er givet ved : 3 f ( x), x og g ( x) x 5, x x a) Vis, at graferne for f og g skærer hinanden for x og x 4 og skitser graferne. Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g. b) Bestem ved hjælp af stamfunktioner arealet af M. Punktmængden M drejes 360 o om y-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. c) Bestem volumenet af dette omdrejningslegeme. (Benyt evt. CAS-værktøj) Punktmængden M er afgrænset af grafen for f, linjerne x og x 4 samt x-aksen. Punktmængden M drejes 360 o om x-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. d) Bestem ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme. Punktmængden M 3 er afgrænset af grafen for f, x-aksen, linjerne x og x k, k. e) Beregn k så arealet af M 3 bliver 3.

42 .august 009 Opgave (5 %) Side af 3 En differentialligning er givet ved dy cos( x) y cos( x) a) Bestem ved beregning en ligning for tangenten til grafen i punktet P (, ) for den partikulære løsning, der går gennem punktet P. b) Bestem ved beregning den fuldstændige løsning til differentialligningen. En anden differentialligning er givet ved dy x y x c) Vis at f ( x) e ( x ) er en løsning til differentialligningen. Opgave 3 (5 %) En cirkel C er givet ved ( x ) y 5 og en linje l er givet ved y x. a) Bestem afstanden fra centrum af cirklen C til linjen l. b) Bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem cirklen C og linjen l. c) Bestem en ligning for tangenten til cirklen C i punktet P (3, ).

43 .august 009 Opgave 4 (30 %) Side 3 af 3 I et koordinatsystem i rummet er linjen l og planen givet ved x l : y t 4, t R, : x y z 0 3 z Punkterne P og Q er bestemt ved P (,, ) og Q ( 3, 4, q ). a) Bestem koordinaterne til skæringspunktet mellem linjen l og planen. b) Bestem en parameterfremstilling for den linje der indeholder punktet P og som står vinkelret på planen. c) Bestem ved beregning en ligning for den plan der indeholder linjen l og punktet P. d) Bestem afstanden fra punktet P til planen. e) Bestem de to værdier af q, hvor afstanden mellem punktet Q og planen er. Opgave 5 (0 %) a) Bestem ved beregning den stamfunktion til f ( x) x 3 x, x 0, hvis graf går gennem punktet P (,5). b) Beregn integralet: x. x

44 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne.august 009 Matematik A Fredag den.august kl. kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved den samlede bedømmelse. Opgave (5 %) Funktionerne f og g er givet ved : f ( x) x og g ( x) x. Punktmængden M er afgrænset af grafen for f, x-aksen samt linjerne x = 9 og x = 36. a) Beregn arealet af punktmængden M. Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g samt linjen x = 9. b) Beregn arealet af punktmængden M. Punktmængden M 3 er afgrænset af grafen for f, x-aksen, y-aksen og linjen x = 4. Når punktmængden M 3 drejes 360 o om x-aksen fremkommer der et omdrejningslegeme. c) Bestem ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme. En anden funktion h er givet ved : h ( x) x. Punktmængden M 4 er begrænset af grafen for h, x-aksen, y-aksen og linjen x =. Punktmængden M 4 drejes 360 o om y-aksen hvorved der fremkommer et omdrejningslegeme. d) Beregn ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme.

45 .august 009 Side af 3 Opgave (5 %) En differentialligning er givet ved dy y 4e x a) Bestem ved beregning en ligning for tangenten til grafen i punktet P (, ) for den partikulære løsning, der går igennem punktet P (, ). b) Bestem ved beregning den fuldstændige løsning til differentialligningen. c) Bestem ved beregning forskriften for den partikulære løsning, hvis graf går igennem punktet Q (, 5). Opgave 3 (0 %) Funktionen f er givet ved forskriften f ( x) 4sin( x) a) Bestem ved beregning forskriften for den stamfunktion til f, som går igennem punktet P (, ) b) Løs ved beregning ligningen ( x) 3 f for 0, x. Opgave 4 (5 %) Ligningen x y x 4y angiver en cirkel i planen. a) Bestem cirklens radius og koordinaterne til cirklens centrum. b) Bestem koordinaterne til cirklens skæringspunkter med begge koordinatakser. Linjen l er givet ved ligningen y x c) Bestem afstanden fra linjen l til punktet A(, ).

46 .august 009 Side 3 af 3 Opgave 5 (5 %) I et koordinatsystem i rummet er der givet fire punkter A (,, 3), B ( 0, 6, ) C (,, ) og D (, 0, 6) samt planen β: x y z 4. a) Bestem en ligning for den plan α, som indeholder punkterne A, B og C. b) Bestem den spidse vinkel mellem planerne α og β. c) Beregn afstanden fra punktet D til planen β. d) Bestem en parameterfremstilling for den linje l, som er ortogonal på planen α og går igennem punktet C. e) Bestem koordinaterne til skæringspunktet mellem linjen l og planen β. Opgave 6 (0 %) a) Beregn integralet : x x x b) Beregn integralet : cos ( x ) 0 cos( x)

47 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne December 009 Matematik A Onsdag den 6. december 009 kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : To tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved bedømmelsen. Opgave (0 %) To funktioner f og g er givet ved: f ( x) x og g( x) x 8 a) Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem, og vis at de to grafer skærer hinanden i punktet (4, 4). Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g og y-aksen. b) Bestem ved hjælp af stamfunktioner arealet af M. Punktmængden M drejes 360 om y-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. c) Bestem ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme. Punktmængden M er afgrænset af graferne for f og g og linjen x = 8. Punktmængden M drejes 360 om x-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. d) Bestem ved hjælp af stamfunktioner volumenet af dette omdrejningslegeme. Opgave (0 %) En funktion f er givet ved: f ( x), x 0 x 4 Punktmængden M er afgrænset af grafen for f, x-aksen, y-aksen og linjen x = a. Punktmængden M drejes 360 om x-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme. a) Bestem ved beregning volumenet af omdrejningslegemet udtrykt ved a. b) Beregn konstanten a, således at volumenet bliver lig med 0.

48 December 009 Opgave 3 (5 %) En differentialligning er givet ved: dy x y e a) Bestem en ligning for tangenten til grafen i punktet P(0, ) for den partikulære løsning, der går igennem punktet P. b) Bestem ved beregning den fuldstændige løsning til differentialligningen. c) Bestem ved beregning den partikulære løsning, hvis graf går igennem punktet P(0, ). Side af Opgave 4 (5 %) En ret linje l er givet ved: y x 6 En parabel er givet ved: y x x 4 a) Bestem en ligning for den cirkel, der har centrum i parablens toppunkt, og som har linjen l som tangent. b) Bestem koordinaterne til det punkt på parablen, som har mindst afstand til linjen l. Opgave 5 (0 %) Der er givet to funktioner ved: f ( x) tan( x) og g( x) sin( x), x a) Bestem koordinaterne til skæringspunkterne til de to funktioners grafer. Opgave 6 (30 %) I et koordinatsystem i rummet er der givet: en plan ved: : x 3y z 9 0 en linje l ved: x 0 l : y t, t z 3 R og et punkt P ved: P (, 3, ) a) Beregn den spidse vinkel mellem linjen l og planen. b) Beregn afstanden mellem punktet P og linjen l. c) Bestem en ligning for den plan, der indeholder punktet P og linjen l. d) Beregn den spidse vinkel mellem linjen l og z-aksen. e) Bestem en parameterfremstilling for den linje, der er projektionen af linjen l på xy-planen. f) Bestem projektionen af punktet P på planen.

49 Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Januar 00 Matematik A Tirsdag den 6. januar 00 kl Eksaminanden medbringer : Skrive- og tegnerekvisitter samt en lommeregner Tilladte hjælpemidler : Alle hjælpemidler Eksaminanden får udleveret : Papir til kladde og renskrift Opgavesættet omfatter : Tre tekstsider I samtlige opgaver og spørgsmål forudsættes det, at den benyttede fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Ved den enkelte opgave er angivet den vægtning, som opgaven tæller med ved bedømmelsen. Opgave (5 %) En funktion f er givet ved: f ( x) x. a) Skitser grafen for f og vis ved beregning, at ligningen for tangenten til funktionens graf i punktet P(6,) er givet ved: y x. 4 Området M er afgrænset af x-aksen, grafen for funktionen f og tangenten til f i punktet P. b) Beregn arealet af M. Området M er afgrænset af grafen for f, tangenten til f i punktet P (6,), x -aksen og y -aksen. M drejes 360º om y-aksen. Derved fremkommer der et omdrejningslegeme. c) Bestem volumenet af dette omdrejningslegeme. Opgave (5 %) En funktion f er givet ved: f ( x) x, x 0 og en funktion g er givet ved: g ( x) x, x 0. Området M er begrænset af grafen for f, grafen for g samt linjen x =. Området drejes 360º om x-aksen, hvorved der fremkommer et omdrejningslegeme. a) Bestem volumenet af dette omdrejningslegeme. Opgave 3 (0 %) π En svingning er bestemt ved: f ( x) sin( x ). a) Bestem amplitude, periodelængde, samt værdimængde for svingningen. b) Bestem løsningen til ligningen ( x), x 0;4π f.