Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)"

Transkript

1 Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 7. juni 00, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.) samt brug af lommeregner er tilladt. Eksamenssættet består af 5 opgaver på 8 nummererede sider ( 8). Fuld besvarelse er besvarelse af alle 5 opgaver. De enkelte opgavers vægt ved bedømmelsen er angivet i procent. Der må gerne refereres til algoritmer og resultater fra lærebogen inklusive øvelsesopgaverne. Henvisninger til andre bøger accepteres ikke som besvarelse af et spørgsmål. Bemærk, at hvis der er et spørgsmål, man ikke kan besvare, må man gerne besvare de efterfølgende spørgsmål og blot antage, at man har en løsning til de foregående spørgsmål. Husk at begrunde dine svar!

2 Opgave (0%) Spørgsmål a (5%): Løs følgende rekursionsligning. T(n) = 6 T(n/) + n + n Spørgsmål b (5%): Angiv et Huffman-træ for en streng med følgende alfabet og tilhørende hyppigheder. Tegn a b c d e f g Hyppighed Opgave (5%) Spørgsmål a (6%): For alle knuder v i grafen G, angiv distanceværdien v.d som tildeles ved bredde-først søgning (BFS) med start i knuden s. s Figur : Grafen G

3 Sidst i sættet er der en kopi af graferne i denne opgave. Dem kan du evt. bruge under besvarelsen (husk i så fald at aflevere siden sammen med resten af din besvarelse). Spørgsmål b (7%): For alle knuder v i grafen G, angiv starttiden (discovery time) v.d og sluttiden (finishing time) v.f som tildeles ved dybde-først søgning (DFS) med start i knuden s. (For DFS afhænger det præcise resultat af ordningen af knuders nabolister. Du skal her antage at på figuren er alle knudes nabolister ordnet med uret, startende fra lodret opad.) s Figur : Grafen G Spørgsmål c (6%): For alle knuder v i grafen G, angiv distanceværdien v.d som tildeles ved kørsel af Dijkstras algoritme med start i knuden s. s Figur : Grafen G

4 Spørgsmål d (6%): For grafen G, angiv et minimum spanning tree (MST), samt dets vægt Figur : Grafen G Opgave (5%) Som bekendt skrives tallet i -talssystemet som 00 fordi = Vi ønsker for et vilkårligt positivt heltal n at finde cifrene b k b k...b b 0 i n s repræsentation i -talssystemet. For eksempel, for n = er b 5 b...b b 0 lig 00. Betragt følgende algoritme til at generere k og b i er: BinaryDigits(n) i = 0 d = n while d > 0 b i = d mod d = d div i = i + k = i

5 Her er div heltalsdivision, og mod er rest ved heltalsdivision. For eksempel har vi 9 div = og 9 mod =. Der gælder altid for alle hele tal x og y. Spørgsmål a (6%): x = y (x div y) + (x mod y) () Angiv resultatet (dvs. k og b i erne) af ovenstående algoritme når input er n = 55. Spørgsmål b (9%): Vis følgende invariant for while -løkken: Når testen ved indgangen til while -løkken udføres, gælder i) n = d i + i j=0 b j j ii) d 0 (For i = 0 er summen tom, og har pr. definition værdien nul.) Hint: brug () for passende x og y. Spørgsmål c (6%): Vis at algoritmen er korrekt, dvs. at den for alle positive heltal n beregner n s repræsentation b k b k b b 0 i -talssystemet. Spørgsmål d (%): Giv en analyse af køretiden for algoritmen som funktion af n.

6 Opgave (5%) Denne opgave handler om at finde en største fælles vægtet delsekvens af to strenge. Her har hvert tegn c i alfabetet en vægt w(c) tilknyttet. Et eksempel kunne være alfabetet Tegn c a b c d Vægt w(c) Vægten af en fælles delsekvens er summen af vægtene af tegnene i delsekvensen. F.eks. er acd en delsekvens af strengene X = acbd og Y = bacda, og dens vægt er + + = 6, hvis alfabetets vægte er som angivet ovenfor. Givet to strenge X = x x x n og Y = y y y m (af længde henholdsvis n og m) over et vægtet alfabet ønsker vi at finde den største vægt en fælles delsekvens af X og Y kan have. Mere generelt lader vi, for 0 i n og 0 j m, W(i, j) betegne den største vægt en fælles delsekvens af strengene X = x x x i og Y = y y y j kan have. Svaret på det oprindelige problem er så W(n, m). W(i, j) kan beskrives ved følgende rekursive formel: 0 hvis i = 0 j = 0 max{w(i, j), W(i, j )} hvis i, j x W(i, j) = i y j max{w(i, j), W(i, j ), W(i, j ) + w(x i )} hvis i, j x i = y j Spørgsmål a (9%): Udfyld for strengene X = acbd og Y = bacda og ovenstående vægte for alfabetet tabellen for W(i, j) i Figur 5. Sidst i sættet er der en kopi af tabellen i dette spørgsmål. Den kan du evt. bruge under besvarelsen (husk i så fald at aflevere siden sammen med resten af din besvarelse). 5

7 i \ j Figur 5: Tabel over W(i, j) Spørgsmål b (8%): Beskriv en algoritme baseret på dynamisk programmering der givet X, Y og et vægtet alfabet beregner den største vægt en delsekvens af X og Y kan opnå. Analyser algoritmens køretid. Spørgsmål c (8%): Argumentér for at den rekursive formel for W(i, j) er korrekt. Opgave 5 (5%) I denne opgave ønsker vi at udvide binære søgetræer med oplysninger om afstandene mellem de gemte nøgler, og specielt ønsker vi at kunne finde den største afstand i træet mellem en nøgle og dens predecessor. Mere præcist, hvis et søgetræ gemmer n nøgler x x x x n, er de søgte afstande (x x ), (x x ),, (x n x n ), og vi ønsker at kunne finde den største af disse. Hvis eksempelvis nøglerne gemt i træet er, 5,,, og 0, er afstandene, 6,, 9 og 7, og største afstand er 9, som opnås mellem nøglen og den predecessor. Vi udstyrer nu enhver knude v i søgetræet med følgende tre ekstra informationer (udover den i knuden gemte nøgle v.key): 6

8 . Største afstand mellem nøgler gemt i v s undertræ (v.maxgap).. Største nøgle gemt i v s undertræ (v.max).. Mindste nøgle gemt i v s undertræ (v.min). (Husk at en knudes undertræ inkluderer knuden selv. Hvis der kun er én nøgle i v s undertræ, sættes v.maxgap lig nul.) Specielt kan største afstand i træet herved aflæses af roden r s information r.maxgap i O() tid. Et eksempel på et binært søgetræ og informationen i en af dets knuder kan ses i Figur 6. v v.key = v.maxgap = v.max = 5 v.min = Figur 6: Eksempel på informationen i en knude Spørgsmål a (6%): Angiv hvordan en knudes informationer kan bestemmes i O() tid ud fra informationerne i knudens to børn, samt knudens og børnenes nøgler. (Et eller begge af børnene kan være NIL, hvilket giver (simple) specialtilfælde som du ikke behøver beskrive). 7

9 Vi lader nu søgetræet være et rød-sort træ. Spørgsmål b (%): Argumentér for at informationerne i træets knuder kan vedligeholdes under indsættelser og sletninger, uden at ændre køretiden O(log n) for disse. Som sagt kan man i O() tid finde den største afstand i træet mellem nøgler og deres predecessorer ved at aflæse roden r s information r.maxgap. Vi ønsker nu også at kunne finde en konkret nøgle i træet som har denne afstand til sin predecessor. Spørgsmål c (5%): Beskriv en søgeproces som i O(log n) tid finder en sådan nøgle. 8

10 s Figur 7: Grafen G (til afleveringsbrug) s Figur 8: Grafen G (til afleveringsbrug) s Figur 9: Grafen G (til afleveringsbrug) Figur 0: Grafen G (til afleveringsbrug)

11 i \ j Figur : Tabel over W(i, j) (til afleveringsbrug)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) Eksamensdag: Torsdag den 1. juni 01,

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Onsdag den. august 200, kl. 9.00.00 Opgave (25%) Lad A = A[] A[n] være et array af heltal. Længden af det længste

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSMEN ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Mandag den. august 07, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler:

Læs mere

22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned.

22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. 22 Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. Indsættelse i hobe. Sletning af minimalt element i hobe. Repræsentation. 327

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 5 (fem) Eksamensdag: Fredag den 10. august 007, kl.

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 24. juni 2011, kl.

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer 1 (003-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 10 (ti)

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 (tretten) Eksamensdag: Tirsdag den 8. april 2008,

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 25. juni 200, kl. 9.00-.00

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 1. april 200, kl..00-11.00

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1. Datalogisk Institut Aarhus Universitet. Mandag den 22. marts 2004, kl

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1. Datalogisk Institut Aarhus Universitet. Mandag den 22. marts 2004, kl Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1 Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den. marts 00, kl..00 11.00 Navn Gerth Stølting Brodal Årskort 1 Dette eksamenssæt består af en kombination

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2010 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 24. april, 2010 (let justeret 10. maj og 21. maj 2010) Dette projekt udleveres i tre

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)

Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Prioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille

Prioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DTLOS NSTTUT, RUS UNVERSTET Det Naturvidenskabelige akultet ESMEN rundkurser i Datalogi ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 7 (syv) Eksamensdag: Torsdag den 14. juni 007, kl. 9.00-1.00 Eksamenslokale:

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Algoritmisk geometri

Algoritmisk geometri Algoritmisk geometri 1 Intervalsøgning 2 Motivation for intervaltræer Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Antag, at vi ønsker at

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Torsdag den 9. august, 202. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede sider med ialt 2 opgaver.

Læs mere

Opgave 1 (10%) I det følgende angiver log n 2-tals-logaritmen af n. Ja Nej. n+3n er O(2n)? n 6 er O(n 5 )? nlogn er O(n 2 /logn)? 4n 3 er O(3n 4 )?

Opgave 1 (10%) I det følgende angiver log n 2-tals-logaritmen af n. Ja Nej. n+3n er O(2n)? n 6 er O(n 5 )? nlogn er O(n 2 /logn)? 4n 3 er O(3n 4 )? Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) I det følgende angiver log n -tals-logaritmen af n. n+n er O(n)? n 6 er O(n )? nlogn er O(n /logn)? n er O(n )? n er O(n )?

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z},

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n Eksamen. kvarter 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O(n )? n er O(n )? n er O(n + 0 n)? n + n er O(n )? n log n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4 Eksamen. kvarter 00 Side 1 af sider Opgave 1 ( %) Ja Nej n log n er O(n / )? n 1/ er O(log n)? n + n er O(n )? n( n + log n) er O(n / )? n er Ω(n )? Opgave ( %) Opskriv følgende funktioner efter stigende

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer

Læs mere

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F09 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET STTUT R T, RUS UVRSTT Science and Technology S lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) ksamensdag: Tirsdag den. august 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte

Læs mere

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn) 5. 5n 2 5 logn. 2 logn

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn) 5. 5n 2 5 logn. 2 logn Eksamen august 0 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) n +n er O(n )? Ja Nej n er O(n )? n+n er O(n. )? n+n er O(8n)? n logn er O(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2013

Rolf Fagerberg. Forår 2013 Forår 2013 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: DM536 og DM537 Timer: 50% forelæsninger, 50% øvelser Forudsætninger: DM536 og DM537 Eksamenform: Skriftlig eksamen: Timer: 50% forelæsninger,

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Sortering af information er en fundamental og central opgave.

Sortering af information er en fundamental og central opgave. Sortering Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2015 Projekt, del I Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 3. marts, 2015 Dette projekt udleveres i to dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006 DM02 Kogt ned Kokken Januar 2006 1 INDHOLD Indhold 1 Asymptotisk notation 2 2 Algoritme analyse 2 3 Sorterings algoritmer 2 4 Basale datastrukturer 3 5 Grafer 5 6 Letteste udspændende træer 7 7 Disjunkte

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 036, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 036. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer: Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2012

Rolf Fagerberg. Forår 2012 Forår 2012 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: DM502 og DM503 Timer: 50% forelæsninger, 50% øvelser Forudsætninger: DM502 og DM503 Eksamenform: Skriftlig eksamen: Timer: 50% forelæsninger,

Læs mere

Skriftlig eksamen i Datalogi

Skriftlig eksamen i Datalogi Roskilde Universitetscenter Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1998/99 Opgavesættet består af 5 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 16% Opgave 2 12% Opgave 3 10% Opgave

Læs mere

Om binære søgetræer i Java

Om binære søgetræer i Java Om binære søgetræer i Java Mads Rosendahl 7. november 2002 Resumé En fix måde at gemme data på er i en træstruktur. Måden er nyttig hvis man får noget data ind og man gerne vil have at det gemt i en sorteret

Læs mere

Introduktion til DM507

Introduktion til DM507 Introduktion til DM507 Rolf Fagerberg Forår 2017 1 / 20 Hvem er vi? Underviser: Rolf Fagerberg, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer 2 / 20 Hvem er vi? Underviser: Rolf Fagerberg, IMADA

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet???dag den?.????, 20??. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 13 nummererede sider med

Læs mere

DM507 - Algoritmer og datastrukturer

DM507 - Algoritmer og datastrukturer - Algoritmer og datastrukturer Køretid g(n) Udtryk Beskrivelse lim n f(n) o(f) Vokser langsommere end f = 0 O(f) Vokser højst så hurtigt som f < Θ(f) Vokser som f = c(c > 0) Ω(f) Vokser mindst så hurtigt

Læs mere

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt.

Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt. Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Take-home Eksamen. DM505 Design og programmering af databaser. Syddansk Universitet Institut for Matematik og Datalogi

Take-home Eksamen. DM505 Design og programmering af databaser. Syddansk Universitet Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Institut for Matematik og Datalogi DM505 Design og programmering af databaser Take-home Eksamen Udleveret: 4. maj 2013, kl. 10:00 Afleveres senest: 5. maj 2013 kl 10.00 Forår 2013

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2016 Projekt, del I Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. februar, 2016 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere