Grafer og graf-gennemløb

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grafer og graf-gennemløb"

Transkript

1 Grafer og graf-gennemløb

2 Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ). Orienteret vs. uorienteret. 0 m n(n 1) og 0 m n(n 1)/2 Evt. loops, multiple kanter. Vægtede grafer.

3 Grafer Modeller for mange ting: Ledningsnet (telefon, strøm, olie, vand,... ). Vejnet. Bekendtskaber. Medforfatterskaber. WWW-grafen af sider og links.

4 Datastrukturer for grafer Graf-repræsentationer: Adjancency list og adjancency matrix Plads: Henholdsvis O(n + m) og O(n 2 ).

5 Grafgennemløb Fælles for BFS og DFS: Startknude (source) s Ikke-mødte knuder: Hvide Færdigbehandlede knuder: Sorte Front (mødte, men ikke færdigbehandlede): Grå Når en knude v opdages første gang: den husker, hvem der opdagede den (dens predecessor) i variablen v.π. Kanterne (v, v.π) udgør et træ med s som rod. Vi bruger adjacency list repræsentationen.

6 Bredde-Først-Søgning (BFS) Holder de grå knuder (fronten) i en KØ. Tilføjer også en distance v.d til alle knuder v.

7 Bredde-Først-Søgning (BFS) Eksempel:

8 Egenskaber Køretid: O(n + m) Bevis: Initialisering tager O(n) tid. I resten af algoritmen kan en knude ikke indsættes i køen mere end een gang (pga. farvemærkningen), så maksimalt arbejde er proportionalt med eet gennemløb af alle nabolister, dvs. O(m) arbejde. Definition: δ(s, v) er længden af en korteste sti, målt i antal kanter, fra startknuden s til knuden v. Findes ingen sti, defineres δ(s, v) =. Sætning: 1. Når BFS stopper, har den nået alle knuder v for hvilke der findes en sti fra startknuden s til v. 2. En sti af længde v.d kan for alle nåede knuder findes (i baglæns rækkefølge) ved at følge predecessor-referencer v.d gange, startende fra v (dvs. v.π, (v.π).π, ((v.π).π).π,... ), og.d-værdierne for knuderne på denne sti falder med een for hvert skridt. 3. Når BFS stopper, gælder v.d = δ(s, v) for alle knuder.

9 Bevis Bemærk først at en knude v indsættes i køen een gang, så v.d og v.π gives en værdi præcis een gang. Punkt 1): Antag der findes en knude, som kan nås med en sti fra s, men som BFS ikke når. Lad v være første knude (set fra s) på denne sti som BFS ikke når, og lad u være knuden før på stien. Da u blev taget ud af køen, burde v (som er i u s naboliste) være nået. Modstrid. Punkt 2): Induktion over antal indsættelser i køen: Når en knude u udtages af køen, og en knude v fra u s naboliste indsættes i køen, sættes v.d = u.d + 1 og v.π = u. Hvis udsagnet galdt for u, kommer det klart til at gælde for v. Basis er første indsættelse (af s, for hvilken udsagnet gælder pga. initialiseringen i BFS).

10 Bevis Punkt 3): Definér for heltal i 0: i = {v V δ(s, v) = i} D i = {v V v.d = i} Vi viser via induktion på i at for alle i gælder i = D i. Dette medfører punkt 3) for alle knuder, der kan nås fra s. For resten af knuderne forbliver v.d = efter initialisering, så punkt 3) gælder også for dem. Observér først at BFS-algoritment starter med D 0 = {s} i køen, og derefter for i = 0, 1, 2, 3,... udtager alle knuder i D i mens den indsætter alle knuder i D i+1.

11 Bevis Basis (i=0): klar, da D 0 = {s} = 0. Induktionssskridt: antag udsagn er sandt for i 1 og lavere, vis det er sandt for i. For en knude v D i haves fra punkt 2) en sti fra s til v af længde i. Derfor gælder δ(s, v) i. Vi kan ikke have δ(s, v) = j < i, da induktionsantagelse ( j = D j ) så ville give v.d = j < i, i modstrid med v D i. Derfor er δ(s, v) = i. Dette viser D i i. For enhver knude u i findes en sti fra s til u af længde i. For næstsidste knude w på denne sti gælder δ(s, w) = i 1 (den kan ikke være lavere, for så ville δ(s, u) være lavere). Fra induktionsantagelsen ( i 1 = D i j ) får vi at w.d = i 1. Da w blev taget ud af køen, var u (en nabo til w) enten hvid, hvorved u.d blev sat til i, eller u var allerede nået fra en naboknude t, som allerede var taget ud og derfor (via observation på sidste side) har t.d w.d = i 1. I det sidste tilfælde blev u.d blev sat i. Men det gælder af punkt 2) altid at i = δ(s, u) u.d. I begge tilfælde haves u.d = i. Dette viser i D i. Alt i alt: i = D i.

12 Dybde-Først-Søgning (DFS) Holder de grå knuder (fronten) i en STAK. Stakken er implicit i den rekursive formulering nedenfor (er rekursionsstakken), men kan også kodes eksplicit. (Mere præcist: elementerne på stakken er de grå knuder, hver med en delvist gennemløbet naboliste [gennemløb i for-løkken i DFS-Visit]) DFS tilføjer også timestamps u.d for discovery (hvid grå) og u.f for finish (grå sort) til alle knuder u.

13 Dybde-Først-Søgning (DFS) Eksempel:

14 Egenskaber Køretid: O(n + m) Bevis: Den ydre algoritme DFS tager O(n) tid. Hovedalgoritmen DFS-Visit kan ikke kaldes på en knude mere end een gang (pga. farvemærkningen), så arbejdet dér er proportionalt med eet gennemløb af alle nabolister, dvs. O(m) arbejde. Observér: Discovery (hvid grå) af v = kald af DFS-Visit på v = PUSH af v på stakken. Finish (grå sort) af v = retur fra kald af DFS-Visit på v = POP af v fra stakken. Heraf: Kanterne (v, v.π) er præcis rekursionstræerne for DFS-Visit (eet træ for hvert kald fra DFS). Intervallet [v.d, v.f ] er den periode v er på stakken.

15 Egenskaber Hvis u og v er på en stak samtidig, og v er pushed sidst, må v poppes før u kan poppes. Heraf følger at for alle knuder u og v må intervallerne [u.d, u.f ] og [v.d, v.f ] enten være disjunkte (u og v var ikke på stakken samtidig) eller det ene må være helt indeholdt i den andet. (Discovery- og finish-tider er derfor nestede som parenteser er det.) Kanter (u, v) (undersøgt fra u) kan deles i: tree-kanter [v hvid], back-kanter [v ikke-hvid (grå) og v s interval indeholder u s], forward-kanter [v ikke-hvid (sort) og v s interval er indeholdt i u s] og cross-kanter [v ikke-hvid (sort) og v s interval er før u s]. For uorienterede er der kun tree-kanter og back-kanter (hvis en kants type bestemmes første gang den undersøges fra een af dens ender).

16 DAGs og topologisk sortering DAG = Directed Acyclic Graph. Topologisk sortering af en DAG: en lineær ordning af knuderne så alle kanter går fra venstre til højre.

17 DAGs og topologisk sortering Lemma: En orienteret graf har en kreds (cycle) der findes back-edges under et DFS-gennemløb. Bevis: : Se på første knude v i kredsen som bliver grå - dvs. alle andre knuder u i kredsen har v.d < u.d. Da intervaller enten er helt indeholdt i hinanden eller er disjunkte, gælder enten v.d < u.d < u.f < v.d eller v.f < u.d. Antag det sidste tilfælde forekommer, og se på den første (set fra v) sådanne knude u i kredsen, og lad w være dens forgænger (evt. v selv). Da haves w.f v.f < u.d, men pga. kanten (w, u) kan dette ikke forekomme (kanten må blive undersøgt, og u opdaget inden w er færdig). Så kun første tilfælde forekommer. Specielt gælder dette sidste knude u i kredsen (som peger på v), hvorved kanten (u, v) erklæres en backedge. : Når en back-edge findes: Der er en kreds af trækanter (mellem knuderne som lige nu er på stakken) og een back-kant.

18 DAGs og topologisk sortering Lemma: For en kant (u, v) gælder u.f < v.f kanten er en back-edge. Bevis: Check de fire edge cases (tree, back, forward, cross), brug parentes-strukturen af discovery- og finish-tider. Korollar til to foregående lemmaer: Graf er en DAG DFS finder ingen back-edges ordning af knuder efter faldende finish-tider giver en topologisk sortering. Tid: O(n + m).

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Synopsis: Titel: Flugtveje. Tema: Algoritmer og netværk. Projektperiode: P2, forårssemesteret 2010. Projektgruppe: A312

Synopsis: Titel: Flugtveje. Tema: Algoritmer og netværk. Projektperiode: P2, forårssemesteret 2010. Projektgruppe: A312 Flugtveje [1] A312 Jens Stokholm Høngaard Kristian Pilegaard Jensen Thomas Birch Mogensen Niels Asger Aunsborg Nicolai Vesterholt Søndergaard Daniel Agerskov Heidemann Jensen 26. maj 2010 I II Det Teknisk-Naturvidenskabelige

Læs mere

Grafer og grafalgoritmer

Grafer og grafalgoritmer Algoritmer og Datastrukturer/Datalogi C Forelæsning 15/10-2002 Henning Christiansen Grafer og grafalgoritmer Hvad mener vi med en graf? NEJ! Graf: En matematisk abstraktion over ting som er logisk forbundet

Læs mere

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse UNION-FIND-problemet UNION-FIND inddata: en følge af heltalspar (p, q); betydning: p er forbundet med q uddata: intet, hvis p og q er forbundet, ellers (p, q) Eksempel på anvendelse: Forbindelser i computernetværk

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Om binære søgetræer i Java

Om binære søgetræer i Java Om binære søgetræer i Java Mads Rosendahl 7. november 2002 Resumé En fix måde at gemme data på er i en træstruktur. Måden er nyttig hvis man får noget data ind og man gerne vil have at det gemt i en sorteret

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Rekursion C#-version

Rekursion C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannn i Informationsteknologi Rekursion C#-version Finn Nordbjerg 1 Rekursion Rekursionsbegrebet bygger på, at man beskriver noget ved "sig selv". Fx. kan tallet

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

DATALOGI 1F. Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 %

DATALOGI 1F. Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 % Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1F Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 Opgave Vægtning 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 % Alle de sædvanlige hjælpemidler må benyttes,

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Geom2-dispositioner (reeksamen)

Geom2-dispositioner (reeksamen) Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Programmering C Eksamensprojekt Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Indledning Analyse Læring er en svær størrelse. Der er hele tiden fokus fra politikerne på, hvordan de danske skoleelever kan

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Gruppe 7 Toke Høiland-Jørgensen Morten Brandrup Mads Hald Jørgensen Thomas Petersen Bluhme. Vejleder Torben Braüner

Gruppe 7 Toke Høiland-Jørgensen Morten Brandrup Mads Hald Jørgensen Thomas Petersen Bluhme. Vejleder Torben Braüner LEGO OG LABYRINTER Gruppe 7 Toke Høiland-Jørgensen Morten Brandrup Mads Hald Jørgensen Thomas Petersen Bluhme Vejleder Torben Braüner 4. semester, forår 2008 NatBas RUC Abstrakt Vi har undersøgt hvilken

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Programmering og Problemløsning. Bedre Eksamensplanlægning

Programmering og Problemløsning. Bedre Eksamensplanlægning Programmering og Problemløsning Bedre Eksamensplanlægning Eva Fajstrup Graversen, Jens Emil Gydesen Mathias Ormstrup Bjerregaard, Mikkel Alexander Madsen Nichlas Bo Nielsen, Sander Jespersen & Ulf Gaarde

Læs mere

MANUAL. Siteloom CMS

MANUAL. Siteloom CMS MANUAL Siteloom CMS www.hjerteforeningen.dk/cms Brugernavn: Password: 3. september, 2012 BASIS FUNKTIONER 1. Kalender... 4 1.a. Opret... 5 1.b. Rediger eller slet... 8 2. Sider... 10 2.a Opret side...

Læs mere

Manual til AVG Antivirus

Manual til AVG Antivirus Manual til AVG Antivirus Det anbefales, at alle brugere benytter sig af et antivirus-program. Formålet med programmet er at forhindre din computer i at blive smittet med virus. Virus-inficerede computere

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Easy Guide i GallupPC

Easy Guide i GallupPC Easy Guide i GallupPC Version. 6.00.00 Gallup A/S Masnedøgade 22-26 DK 2100 København Ø Telefon 39 27 27 27 Fax 39 27 50 80 Indhold SÅDAN KOMMER DU I GANG MED AT ANVENDE GALLUPPC... 2 TILFØJELSE AF UNDERSØGELSER

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Martin Geisler. Uge 49, 2001

Martin Geisler. Uge 49, 2001 Min dintprog-browser Martin Geisler Uge 49, 2001 Resumé Dette dokument beskriver tankerne bag min dintprog-browser, en browser skrevet i Java der skal kunne fortolke en mindre delmængde af HTML 4, kaldet

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar 2012 Institution Gymnasiet HTX Skjern Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Htx Programmering C Henrik

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Meditation over Midterbinomialkoefficienten 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Tre sideopsætninger: 1 Forside. 2 Standard 3 Liste. 1 Forside. 2 Underside. 3 Liste

Tre sideopsætninger: 1 Forside. 2 Standard 3 Liste. 1 Forside. 2 Underside. 3 Liste 1 Forside Tre sideopsætninger: 1 Forside 2 Standard 3 Liste 2 Underside 3 Liste Ret indhold på en side I systemet kan du let rette tekst, link og billeder på hjemmesiden Først skal du logge ind i systemet

Læs mere

Introduktion til webanalyser.dk

Introduktion til webanalyser.dk Introduktion til webanalyser.dk Hvis du udskriver og følger denne introduktion, vil du få et godt overblik over systemet på ca. 20 minutter. Når du har fulgt beskrivelsen, har du oprettet dit første skema,

Læs mere

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen {soerend,knudsen}@di.ku.dk Version 0.1 Indhold Indhold i Introduktion 1 1 Palindromer 3 1.1 Introduktion til Python...............

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Galleri modul. Side 1 af 18

Galleri modul. Side 1 af 18 Galleri modul Side 1 af 18 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 Installation... 3 Oprette menupunkt... 5 Kategoriseret menupunkt (Avanceret)... 6 Opsætning... 9 Generel opsætning... 10 Opsætning

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK)

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING 3 2 PRØVERNE 3 2.1 Log in 3 2.2 Lydtjek til lytteprøven 5 2.3 Under prøven 5 3 Prøvens opgaver 7 3.1 Lytteopgaver 7 3.2

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Yosef Saleh, Ilyas Tulumcu Oguzhan Polat, Mohammad Kaddoura Kom/IT C Kl. 1.2

Yosef Saleh, Ilyas Tulumcu Oguzhan Polat, Mohammad Kaddoura Kom/IT C Kl. 1.2 1/ Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Dokumentation... 4 Hjemmeside og logo design... 14 Valg af skrifttype... 15 AIDA... 16 Arbejdsroller og opgaver... 17 Logbog for vores proces (Ugevis)... 19 Konklusion...

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Oversættelse af LibreOffice. Adressen er https://translations.documentfoundation.org/da/

Oversættelse af LibreOffice. Adressen er https://translations.documentfoundation.org/da/ Oversættelse af LibreOffice Adressen er https://translations.documentfoundation.org/da/ Wiki Vi har en wikiside, hvor du kan finde flere oplysninger om Pootle: http://wiki.documentfoundation.org/da/pootle

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

vil jeg blive mindet om det af VBA allerede mens jeg skriver koden, da der er tale om en såkaldt kompileringsfejl:

vil jeg blive mindet om det af VBA allerede mens jeg skriver koden, da der er tale om en såkaldt kompileringsfejl: Fejlhåndtering Selv de bedste programmører laver af og til fejl! Dette kommer sikkert som en overraskelse for de fleste, bortset fra de, der har arbejdet med et hvilket som helst større program. Fejl kan

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Sådan redigerer du en hjemmeside i Umbraco

Sådan redigerer du en hjemmeside i Umbraco Brugermanual til din boligafdelings hjemmeside Sådan redigerer du en hjemmeside i Umbraco Indhold Introduktion... 2 Log på Umbraco og redigér din hjemmeside... 3 Opret ny side... 7 Gem side uden at udgive/publicere

Læs mere

Vejledning for LOF s afdelingshjemmeside - redigeret i Umbraco

Vejledning for LOF s afdelingshjemmeside - redigeret i Umbraco Vejledning for LOF s afdelingshjemmeside - redigeret i Umbraco Adresse: http://dinafdeling.lof.dk/ Rediger hjemmeside i Umbraco: http://dinafdeling.lof.dk/umbraco/ HUSK ingen www i adressen, skriv blot

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

PHP kode til hjemmeside menu.

PHP kode til hjemmeside menu. PHP kode til hjemmeside menu. Home Hovedmenu 1 Hovedmenu 2 Hovedmenu 3 Hovedmenu 4 Undermenu 1 Breadcrumb Her vises indholdet af den valgte side Undermenu 2 Undermenu 3 Undermenu 4 Evt. en mulighed for

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

MANUAL. Siteloom CMS

MANUAL. Siteloom CMS MANUAL Siteloom CMS www.hjerteforeningen.dk/cms Brugernavn: Password: 3. oktober, 2013 BASIS FUNKTIONER 1. Kalender... 4 1.a. Opret... 5 1.b. Rediger eller slet... 9 2. Sider...12 2.a. Opret side...13

Læs mere

Oversigts billedet: Statistik siden:

Oversigts billedet: Statistik siden: 1 Tilslutning: Tilslut et nætværks kabel (medfølger ikke) fra serverens ethernet port til din router. Forbind derefter bus kablet til styringen, brun ledning til kl. 29, hvid ledning til kl. 30 Forbind

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

10 Skitur til Østrig. Faglige mål. Side til side-vejledning. Budget og opsparing. Klubfest. Opsparing til skituren. Penge. Budget og opsparing

10 Skitur til Østrig. Faglige mål. Side til side-vejledning. Budget og opsparing. Klubfest. Opsparing til skituren. Penge. Budget og opsparing 10 Skitur til Østrig Faglige mål Kapitlet Skitur til Østrig tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Budget og opsparing: kunne udarbejde budget og regnskab, kende forskel på de to begreber samt vide

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Plan. Introduktion. Eks: Max i tabel. Algoritmer og datastrukturer. Algoritmer og datastrukturer. Toppunkter. Algoritme 1. Algoritme 2.

Plan. Introduktion. Eks: Max i tabel. Algoritmer og datastrukturer. Algoritmer og datastrukturer. Toppunkter. Algoritme 1. Algoritme 2. Plan Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Introduktion Philip Bille Algoritme Algoritme Algoritme Algoritmer og datastrukturer Eks: Max i tabel Hvad er det? Algoritmisk problem: præcist defineret relation

Læs mere

A Declarative Framework for Enterprise Information Systems

A Declarative Framework for Enterprise Information Systems A Declarative Framework for Enterprise Information Systems Qualification Report Christian Stefansen cstef@diku.dk NEXT August 2005 Dagens workflow Workflowmønstre Kodning SMAWL Intro Kontrakter CDL Arkitektur

Læs mere

MANUAL. Siteloom CMS

MANUAL. Siteloom CMS MANUAL Siteloom CMS www.hjerteforeningen.dk/cms Brugernavn: Password: 13. marts, 2014 BASIS FUNKTIONER 1. Kalender... 4 1.a. Opret... 5 1.b. Rediger eller slet... 9 2. Sider...12 2.a. Opret side...13 2.b.

Læs mere

Indhold. Evalueringsvejledning. En undersøgelse fra start til slut involverer 4 programmer: - SurveyXact - Excel - E-learn - SiteCore

Indhold. Evalueringsvejledning. En undersøgelse fra start til slut involverer 4 programmer: - SurveyXact - Excel - E-learn - SiteCore Evalueringsvejledning En undersøgelse fra start til slut involverer 4 programmer: - SurveyXact - Excel - E-learn - SiteCore Indhold 1 - Respondentgruppe hentes... 2 2 Undersøgelsen oprettes i SX... 4 3.

Læs mere

15. oktober. Maskine Udlejning. Jacob Weng, Jeppe Boese og Mads Anthony. Udlejningsvirksomhed. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4

15. oktober. Maskine Udlejning. Jacob Weng, Jeppe Boese og Mads Anthony. Udlejningsvirksomhed. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 Maskine Udlejning 15. oktober 2010 Jacob Weng, Jeppe Boese og Mads Anthony Roskilde Tekniske Gymnasium Udlejningsvirksomhed 3.4 Indholdsfortegnelse Problemformulering:... 2 Planlægning:... 2 Analyse af

Læs mere

Dokumentering af umbraco artikeleksport:

Dokumentering af umbraco artikeleksport: Dokumentering af umbraco artikeleksport: Lav en artikel side 2-3. Installationsguide side 3-5. Opsættelse af databasen og web.config side 5-8. Umbraco: templates side 8. Umbraco: borger.dk tab side 8.

Læs mere

Integer.parseInt(args[0]) konverterer tegnstreng (f.eks. "10") til heltal (10). if (udtryk) else

Integer.parseInt(args[0]) konverterer tegnstreng (f.eks. 10) til heltal (10). if (udtryk) else Programmering 1999 Forelæsning 2, fredag 3. september 1999 Betingede ordrer: if-, if Indlejrede betingede ordrer Løkker med begrænset iteration: for Løkker med ubegrænset iteration: while Betingede ordrer,

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Center for IT & Digitalisering. Betjening og gode fif til din nye VOP Nano telefon

Center for IT & Digitalisering. Betjening og gode fif til din nye VOP Nano telefon Betjening og gode fif til din nye VOP Nano telefon Indholdsfortegnelse Når telefonen ringer... 3 Når du skal foretage et opkald... 5 Eksternt nummer... 5 Internt nummer... 7 Tastatur... 8 Tilmelding til

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Guide til Umbraco CMS

Guide til Umbraco CMS web Guide til Umbraco CMS Indhold Indledning 3 Kompatible browsere 3 Log ind i Umbraco 4 Content-delen 5 Indholdstræet 5 Tilføjelse af en side/sektion 7 Sortering af indhold 12 Galleri 14 Mediebibliotek

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Mikkel Kaas og Troels Henriksen - 03x 3. november 2005 1 Introduktion Spillet tager udgangspunkt i det gamle kendte 4 på stribe, dog med den ændring,

Læs mere