Volatilitetshandel: Fokus på Variance Swaps

Transkript

1 Department of Accounting, Finance and Logistics Master of Science in Finance hesis Author: Peter Jensen Supervisor: Svend Jakobsen Volatilitetshandel: Fokus på Variance Swaps Aarhus School of Business Oktober 6

2 Indholdsfortegnelse 1 Executive summary Introduction Results Perspectives... 5 Definition af en Variance Swap 7.1 Realiseret volatilitet/varians Aftalt volatilitet/varians Handelsegenskaber ved volatilitet Volatilitet i et historisk perspektiv Sammenligning mellem rente og volatilitet Black-Scholes implicit volatilitet Forskel mellem implicit og realiseret volatilitet Volatilitetsskævheden/-smilet Implicit volatilitet i praksis Volatilitetsoverfladen Modellering af volatilitet generalisering af Black-Scholes Hvorfor handle med volatilitet? Hvem kan anvende produkter baseret på volatilitet? Spekulation Hedging Arbitrage Undersøgelse af aktivegenskaber via BOE Volatility Index, VIX VIX som he Investors Fear Gauge Negativ korrelation mellem VIX og S&P VIX og mean reversion Handle spreadet mellem realiseret volatilitet og VIX Størrelsen af markedet for handel med volatilitet Volatilitetshandel via optioner Optionsværdiansættelse og risici he Greeks Delta Gamma heta Vega 4 4. Ren eksponering overfor realiseret volatilitet Eksempel på volatilitetseksponering via en AM straddle Log kontrakten Replikering af en log kontrakt/variance swap... 53

3 Hvordan dollargammaen, S Γ bliver uafhængig af aktives niveau Konstant dollargamma i forhold til løbetiden Praktisk hedge af en variance swap 58 Appendix 4.A. Den fair værdi af log kontrakten Risikoneutral værdiansættelse Udledning af Black-Scholes ligningen he continous hedging argument Fortolkning af ingen arbitrage princippet Sammenligning med APM Risikoneutral værdiansættelse af en Variance Swap... 7 Appendix 5.A. Forholdet mellem aktiens og optionens beta Appendix 5.B. Girsanows teorem (eksemplificeret ved BS) Udledning af Black-Scholes ligningen via Girsanows teorem Beregning af den fair værdi af varians i praksis Prisfastsættelse af O Variance Swap på S&P Litteraturliste Bøger og artikler Hjemmesider... 91

4 1 Executive summary his thesis examines volatility as an asset and the motivation for trading volatility. Furthermore an examination of the valuation and hedging of a volatility product will be conducted: he variance swap, which can be used to invest, hedge or speculate towards the future realized volatility or more accurate the square root of variance. his product is an obvious alternative to a traditional option based volatility trading strategy such as trading with AM straddles or delta hedged options. 1.1 Introduction rading with different derivatives is an increasing part of a normal day at any trading desk in the financial world. his can vary from simple forwards over options to more complex derivatives, which often have some kind of in-built options. Derivatives and options of such kind do both provide exposure towards the level/price and the volatility of the underlying asset. his requires a risk management system which can take care of the risks related to that activity. oncerning the risk exposure towards the level/price of the underling asset, it is widely know that this easily can be done by trading the asset, whereas replicating the volatility of the underlying assets is more complicated. his thesis will examine this relationship and thereby revealing different methods to hedge the volatility exposure. his means simultaneously that investing in volatility given a certain view on future volatility can be performed. he idea, to trade with volatility is discussed as far back as Brenner and Galai (1989). On the basis of the stock market crash in 1987 and the losses that directional traders had from that event, they proposed a volatility index and exemplified how to trade options on this index based on a binomial model. In Whealey (1993) a volatility index on S&P1 index options was proposed, and shortly after the VIX was implemented by the hicago Board of Options Exchange. he VIX was based on an average of 8 At-he-Money (AM) S&P1 index options for the two nearest one month maturities. Effectively an estimate of the one month AM implicit volatility of S&P1 index options, but they did 1

5 not offer any standardized trading possibilities. 1 In Neuberger (1994), he proposes a log contract, which is a simple exotic option that is defined as the natural logarithm of a future asset price. his contract is unique since it will provide the holder with a fairly simple exposure towards the underlying asset and it will keep it options characteristics regardless of the level of the underlying asset. his opened up for the possibility to take a certain view on volatility (or rather the square root of variance). he only problem being, that this contract was not traded. In arr and Madan (1997) they investigated how to trade volatility from three different approaches, one of them being the variance swap. his led to Derman, Dermeterfi, Kamal and Zou (1999) from now on know as Derman et al. (1999). hey studied the variance swap and showed how a replication of a log contract is equivalent to the replication of a variance swap and how this could be obtained by holding a static position in options in relation to the maturity. On the basis of these recent discoveries BOE redefined their VIX measure in 3 to be an estimate of the 3 day variance swap rate instead of the previous estimation of implicit Black-Scholes volatility. hey continued to calculate the old VIX, but changed the ticker symbol to VXO. he advantage of the new VIX is mainly due to the new calculation method, which incorporates more of the volatility skew in the underlying index. It is calculated from Out off he Money (OM) put- and call options and the calculation formula is in fact a practical use of the theoretical valuation formulas for the fair value of variance proposed by Neuberger, arr & Madan and Derman et al. 3 his also meant that the new VIX measures a model free forecast on future realized variance. On March 4, 4 BOE launched a new hicago Futures Exchange (FE) to start the trading of futures on VIX and other volatility indices as for example VXD, which is the (new) volatility index of Dow Jones Industrial Average or VXN (volatility index of Nasdaq1). As a natural advance options on VIX was planned and product specifications can be seen on BOE s homepage. hey were meant to be open for trade in spring 5, but as the market makers were not ready to incorporate them they were 1 he first exchange who offered a future on a volatility index was the former Deutsche ermins Börse (now Eurex) 1. hey introduced the VOLAX-future on January the 19 th. 1998, which was a future on the VDAX (Volatility index of DAX index options). It never became any success and with only 15. traded contracts during the first year it was withdrawn ultimo 1998 due to the lack of liquidity. See also It was a copy of this article which gave the motivation to write this thesis. 3 It should also be mentioned that they changed the data source from S&P1 to S&P5 index options. Se also higaco Board of Options Exchange (3) VIX white paper.

6 postponed and finally in 6 the first option on VIX Futures was traded. his recent advance made it actually possible to trade the volatility of volatility of the S&P5 index. A simple explanation of the delayed opening could be that BOE didn t want to make the mistake of DB in 1998 and launch a product of which the market was not ready for yet. 4 Another analogous method to trade variance swaps (or volatility products in general) could be performed Over-he-ounter (O), and according to Javaheri, Wilmott and Haug () it was in this market that variance swaps really took off as a product. It happened after the collapse of Long erm apital Management (LM) in 1998 and the world turmoil in that period. he high levels of realized and especially implied volatility for almost any security made option based strategies very expensive for the investors in the market. he larger financial institutions and investment banks were off course more than willing to provide products, which provided a pure exposure towards realized volatility. oday O volatility products are trading in all large equity indices, currency pairs and commodities and are supplied by all the large financial institutions. he preferred contract which is traded is by no exemption the variance swap, in comparison the volatility swap can be mentioned, but as the variance swap has a major theoretical advantage in relation to replication and valuation the volatility swap never gained any real success. When valuing a volatility swap, it is necessary to have a model of the behaviour of volatility whereas a variance swap can be replicated by instruments available in the market. In relation to the financial institutions in Denmark it is certain that if a customer wanted a product based on volatility they would be willing to make such a trade, but it is not a part of their standard product collection. A survey carry out by phone-interviews to different contacts of the author in the largest institutions in Denmark also indicates that the option desks primarily uses straddles to hedge their risk in accordance to the general risk sentiment of the specific option desk. But if you contact their affiliates you will be provided with standard volatility and variance swap contracts. See for example enclosures o round up the story it should be mentioned that in 5 Deutsche Börse Group changed their volatility indices in accordance to the volatility indices of BOE. See also Deutsche Börse Group (5). 3

7 he remainder of the thesis is structured as follows: In hapter the definition of a variance swap will be given and compared with the payoff profile of a volatility swap. hapter 3 will discuss the evolution in volatility research from Black-Scholes to present time and examine the different incentives there exist from trading with volatility and who could prosper from such trading. Furthermore the increasing size of this market will be visualized. In chapter 4 two different methods to trade volatility via options will be studied: he first is a standard option-based approach, which will be exemplified by trading with AM straddles. he second alternative will reveal the replication of a variance swap/log contract. hapter 5 will outline the foundations of risk neutral valuation and afterwards carry out a risk neutral valuation of the variance swap. Finally chapter 6 will give an example of finding the fair value of variance of a simple O variance swap from SPX-data of a specific date. 1. Results Initially, the asset like characteristics of volatility was examined as well as the history of volatility modeling. o support the fact that volatility can be seen as an asset, data from options on the S&P1 and S&P5 index was used. A simple solution to trade variance would be to dynamically gamma hedge a delta hedged option, and this was exemplified with trading AM straddles. As this strategy could prove quite expensive for most investors it will be more convenient to buy a simple variance swap, which will provide pure exposure towards future realized variance. Another approach is to deltahedge a log contract (a slightly exotic option), which will give an adjusted payoff as defined for a variance swap. Unfortunately, the log contract is not a traded asset, but it can be replicated by basket of options with different strikes and an appropriate weighting. his replication was performed in relation to create a hedge of a variance swap and the result was the fair value of variance Afterwards, the foundations of risk-neutral valuation; the no-arbitrage condition was discussed on the basis of proving the Black-Scholes equation. he result from the continuous hedging argument; that investors act as they are risk neutral even though they are not was then used as a basis of valuing a variance swap in a risk neutral world. 4

8 Finally an example of valuation of a O Variance Swap was outlined and the fair value of variance of a 16 days variance swap on S&P5 on the 1 st of December 5 was calculated to be K Var = (1,79). 1.3 Perspectives An outline for further research it is interesting to examine how the valuation of options on variance could be valued and to make further research into different trading and hedging strategies. Likewise it would be of interest to examine the difference in volatility of a single asset compared to an index, and how to calculate the correlation between the volatility measures of these. Empirically, specific strategies could be performed from a single firm perspective who might want to eliminate the risk exposure towards certain asset types as for example the price level for different commodities. Another empirical survey could be to quantify the risk reduction by including simple volatility products into a portfolio of asset. his investigation would be interesting for most investment funds or large institutional investors e.g. pension funds. hough, such empirical research demands a reliable source of data, which can be difficult and expensive to achieve. It is my belief that volatility products are here to stay. hey are indeed not for every investor to use, since they like any other derivative are sophisticated and require a good basic financial understanding. But if you know how to use them, they could prove quite rewarding and they would certainly be interesting to include in different structured products and portfolios in general. Furthermore, the market for volatility products are growing, 5 the bid/ask spreads will narrow and the liquidity will increase. As an example of the increasing interest in volatility products, another volatility product can be mentioned. he redit Default Swaps, which some of the major banks in Denmark already is trading with. 6 5 See also: BOE Futures exchange (FE) sets new record in january; VIX Futures Reach All-ime Highs In Volume And Open Interest BOE Futures Exchange (6) 6 In 5 Danske Bank achieved DS for a nominal amount of kr. 85 billions. (Reuters -9-6) 5

9 As a start, they are primarily buying DS s on some of their own engagements, but it is only a matter of time before there will be two-way interest, where the trading with DS s will be possible for a wider range of firms. 7 he latest landmark in relation to trading variance swaps in Denmark was made in autumn 6, when he Danish Financial Supervisory Authority (Finanstilsynet) made an official statement in relation to the use of variance swaps in Danish insurance companies and pension funds. hey made it possible for these companies to include variance swaps on different indices and assets in relation to risk management of their future obligations. On that basis, I will predict a prosperous future for a product as the variance swap. As a final remark, history tells that when the world gets hit by a major crisis, the general risk premium will rise and so will the general level of volatility. Such events would definitely make the interest for volatility products increase. I am not saying, that a crisis is preferable not at all, but if it should happen the outcome would result in a boost in the volatility market. he remainder of this thesis will be written in the authors language: Danish. 7 Actually, a little two way interest in the DS market in Denmark were observed when the riots and burning of embassies where at a peak in relation to the muhammed -drawings. 6

10 Definition af en Variance Swap En variance swap på et aktiv er i realiteten en simpel forward kontrakt på den fremtidige realiserede pro anno varians for det givne aktiv. Dette instrument giver simpel adgang til at eksponere eller afdække sig overfor det fremtidige niveau af volatilitet og kun volatilitet. Her er det underforstået, at volatiliteten er givet som kvadratroden af variansen. En variance swap kontrakt er afkastet ved udløb af en kontrakt givet ved: Hvor P er afkast, P = N ( σ K Var ) (-1) R σ R er den realiserede varians over kontraktens løbetid (målt p.a.), K Var er aftalevariansen og N er hovedstolen. Både σ R og K Var er målt i vegapoint, dvs. at en volatilitet på 1% medfører, at der skrives 1 volatilitetsenheder i formlen og ikke,1, som det kan ses af nedenstående eksempel. Det bemærkes, at afkastet ingen sammenhæng har med niveauet for det bagvedliggendes aktiv. En lang investor vil ved udløb af kontrakten modtage hovedstolen gange differencen mellem den realiserede varians og den aftalte. Altså vil en lang investor modtage N euro for hver procent den realiserede varians i perioden er over aftalevariansen. abel 1 giver et eksempel på afkast fra en simpel variance swap. abel 1. Eksempel på afkast fra en variance swap K Var = (15%) og N = σ R = (17,5%) - Køber modtager (17,5 15, ) σ R = (1,5%) - Køber betaler (1,5 15, ) Med andre ord vil en lang investor derfor bytte den faste varians K Var for den flydende fremtidige realiserede varians, som også kaldes den observerede/realiserede varians, idet den først kan bestemmes ved kontraktens udløb. 7

11 Som det kan ses af foranstående eksempel, er det forskellen mellem realiseret og aftalt varians, der i sidste ende afgør, om der er gevinst eller tab ved indgåelse af en kontrakt. Det er derfor helt essentielt, hvorledes disse to parametre er defineret i en kontrakt..1 Realiseret volatilitet/varians Den realiserede volatilitet/varians, σ R og σ R defineres af sælgeren af swappen og afhænger af, hvordan og hvor ofte afkastet på det underliggende aktiv udregnes. Hvis niveauet/prisen på det underliggende aktiv defineres som S, og der indsamles N afkast i perioden fra tidspunkt t til, vil det enkelte afkast normalt skrives som: Afkast = R i, aktuel = eller defineres som log-afkast: Si S Si 1 i 1 (-) S R i, ln = ln S i i 1 (-3) Med udgangspunkt i de enkelte afkast kan den observerede statistiske standardafvigelse for hele perioden beregnes som: 8 N AN 1 N R, Stat A E( Ri ) E( Ri ) = ( Ri ) = 1 N σ R = 1 i= 1 i (-4) i N 1 N 1 N N hvor A er annualiseringsfaktoren, der omskriver periodens standardafvigelse til et udtryk for den årlige volatilitet. I tilfælde af, at observationerne er indsamlet med identisk tidsinterval mellem hver enkelt observation, bliver A = 1/Δt. For eksempel vil A = 5 eller 5 ved daglige observationer. Når det antages, at det gennemsnitlige afkast over de enkelte perioder er lavt, kan det gennemsnitlige afkast i perioden sættes lig nul (den anden del af udtrykket i ligning (.4)), og beregningerne af den realiserede volatilitet og varians vil derfor blive noget simplere. 1 σ R = Ri (-5) Δ N i t N = 1 ( 1) 1 σ R = Ri (-6) Δ N i t N = 1 ( 1) 8 Se bl.a. hriss og Morokoff (1999), Windcliff et al. (3) eller Hafner og Wallmeier (5). 8

12 Disse beregninger er mere anvendelige i et teoretisk perspektiv, når tidsperioderne mellem hver afkastberegning bliver uendelig små, og det antages at aktivet følger en random walk (uden jumps). I denne situation vil fremstillingen modsvare den kontrakt, der kan repliceres via en optionsportefølje..1.1 Aftalt volatilitet/varians For at vise hvorfor volatiliteten skal være defineret som kvadratroden af variansen, kan variance swappen simpelt sammenlignes med en volatility swap, som er defineret ved: P = N ( σ K Vol ) (-7) R Her er σ R den realiserede volatilitet over kontraktens løbetid (målt p.a.), K Vol er aftalevolatiliteten og N er hovedstolen på swap kontrakten. Gældende for både varianceog volatility swappen vil en besiddelse af en lang position betyde, at investor ved udløb af kontrakterne modtager hovedstolen gange differencen mellem den realiserede volatilitet/varians og den aftalte hvad enten den er kvadreret eller ej. 9 Den aftalte varians er givet i kontrakten. Idet den indledende værdi af en kontrakt, ligesom almindelige forward kontrakter per definition er lig nul, vil den aftalte varians egentlig være et udtryk for den fair værdi af variansen. Det betyder reelt, at K vol og K Var ved kontraktens indgåelse ud fra en risikoneutral betragtning vil være lig med den forventede fremtidige realiserede volatilitet/varians tilbagediskonteret til nuværende tidspunkt. 1 Det betyder også at K Var og K vol ikke kan være identiske, hvis det var tilfældet, ville der være mulighed for arbitrage. ag for eksempel udgangspunkt i henholdsvis en købt volatility og variance swap med identisk aftalevolatilitet på 15% og en lettere korrigeret hovedstol. N Vol = 1. og N Var = N Vol / ( K) = Figur 1 illustrerer afkastprofilerne for disse to kontrakter. 9 il orientering er der i bilag A og B vedlagt eksempler på hvordan kontrakten for en variance- og en volatility swap kan udformes. 1 Dette specifikke forhold gennemgås i højere detaljeringsgrad i forbindelse med den risikoneutrale værdiansættelse i afsnit 5.1, men giver en logisk forståelse for definitionen af K Vol og K Var. 11 Approksimationen 1/K foretages for at få sammenlignelige hovedstole i udgangssituationen. 9

13 Figur 1. Afkastprofiler for Volatility og Variance Swaps med K=15% Volatility swap Varians swap Det ses at volatility swaps har et lineært afkast, hvorimod afkastet for en variance swaps er konveks. Grafen viser også, at hvis (K Var ) ½ = K Vol vil der eksistere en arbitragemulighed ved at gå lang i variance swaps og kort i volatility swap. En lang position i en variance swap vil i denne situation altid medføre et større afkast (og mindre tab) end en volatility swap, og differencen i afkastet vil stige ved højere differencer mellem aftalt og realiseret volatilitet. Som nævnt vil det betyde, at der eksisterer en arbitragemulighed ved at være lang i variance swaps og kort i volatility swaps. Alene af denne grund kan det konstateres at K K. En umiddelbar Vol Var løsning vil være at sætte K < K, derved vil den rette linie i figuren skifte til Vol Var venstre og den umiddelbare mulighed for risikofri arbitrage vil forsvinde. Hvordan den fair værdi af K Var findes er behandlet under den teoretisk værdiansættelse i afsnit 5 på side 61 og frem. I relation til bestemmelse af K Vol er det nødvendigt at opstille en stokastisk model for volatiliteten. Dette er undladt i denne afhandling. 1

14 3 Handelsegenskaber ved volatilitet Indledningsvis foretages en historisk gennemgang af forskningen i volatilitet fra Black- Scholes til nu. Derefter vil der blive redegjort for hvem, der kan profitere af at handle med volatilitet. Herunder undersøges de karakteristika, der er den egentlige motivation for at handle med volatilitet. Dette vil ske med udgangspunkt i volatilitetsindekset, VIX, som er baseret på S&P5 indekset. Afsluttende vil omfanget af det nuværende marked for variance swaps belyses. 3.1 Volatilitet i et historisk perspektiv Begrebet volatilitet anvendes løst og fast i mange henseender. Et simpelt opslag på ordet volatility via google giver ca. 19,7 mio. hits på,15 sekunder, så begrebet indgår i mange sammenhænge. Ud fra den indledende diskussion i afsnit, hvor den essentielle forskel mellem den realiserede (statistiske standardafvigelse), og den forventede fremtidige volatilitet blev fremhævet, vil det være relevant at undersøge, hvad der ligger imellem disse to begreber. På den måde kan nogle af problemområderne ved at handle med optioner (volatilitet) også identificeres. For at sætte begrebet volatilitet som et selvstændigt investeringsobjekt lidt i perspektiv gennemføres en sammenligning mellem renter og volatilitet. 11

15 3.1.1 Sammenligning mellem rente og volatilitet Ligheden mellem renter på obligationsmarkedet og volatiliteter på optionsmarkedet er slående. ilbage i midt 9 erne forskede Emanuel Derman og hans team af forskere ved Goldmann Sachs & o. i dette forhold, hvilket resulterede i nogle publicerede artikler i bl.a og Sammenligningen mellem renter og volatiliteter er egentlig ikke nogen banebrydende observation i sig selv, men en sådan sammenligning er med til at lette den pædagogiske forståelse af begrebet volatilitet i relation til denne opgave. Artiklen fra 1998, der var en del af et tillæg i forbindelse med fejringen af 5 års jubilæet for udgivelsen af BS ligningen, starter med en meget flot og kort opsummering af udviklingen indenfor obligations- og rentemarkedet: In the beginning was the bond, its value measured simply by its price. Soon, analyst invented better measures of relative bond value: current yield, which led to yield to maturity, followed by the term structure of yields, the zero coupon yield curve, and finally forward rates and the forward rate curve. heir importance reflected the fact that these future rates can be locked in, once and for all, using bond portfolios today. From then on, every interest rate trader and analyst carried in his head an abstract forward rate curve. itat: Derman, E. et al. (1998) Noget tilsvarende kan siges for options- og volatilitetsmarkedet. Efter Black-Scholes og Mertons artikler fra 1973 står det klart, at ud fra en optionsværdi eksisterer der én specifik implicit volatilitet for en given løbetid. På samme måde som der for prisen på en obligation eksisterer én effektiv rente for en given løbetid. For obligationerne varede det ikke længe, inden tidsperspektivet kom med i betragtningen og rentekurverne tog deres form. ilsvarende kan den implicitte volatilitetsoverflade specificeres for optionerne. Forskellen ligger i, at en volatilitetsoverflade udover løbetiden også inddrager aktivniveauet, og derfor er der tale om en overflade frem for en kurve. Figur illustrerer denne forskel. 1

16 Figur. Forskel mellem rentekurve og volatilitetsoverflade a) Rentekurve med stigende renter b) Volatilitetsoverflade med kons. BS implicit vol. = %.,45,4,35,3,5,,15,1,5,5 5 7,5 1 1, ,5,5 5 7,5 3 Figuren viser ligheden (og forskellen) mellem en effektiv (implicit) rentekurve fra obligationer, der kun afhænger af løbetiden og den implicitte volatilitet, der afhænger af både løbetid og det underliggende aktivniveau. I ovenstående er den implicitte Black Scholes volatilitet visualiseret, og det kan ses, at i deres verden vil den være konstant for alle løbetider og aktivniveauer ,4 1,6,8,,15,1,5,4,35,3,5 Kilde: Rio - Nulkuponrenter for danske statspapirer primo november 5. Dernæst kan forwardrenter og forwardrentekurver udregnes på baggrund af den på nuværende tidspunkt eksisterende rentekurve. I volatilitetssammenhænge vil det modsvare lokal (forward) volatiliteter, hvor en fremtidig volatilitet på et givet niveau kan fastlåses via handel med de optioner, der på nuværende tidspunkt eksisterer i markedet. 1 En visualisering af dette vil resultere i et lignende billede, som vist i Figur b, hvor volatilitetsoverfladen i praksis ikke vil være flad, men en varierende funktion af tid og aktivets niveau. Endelig kan der modelleres en mulig fremtidig udvikling ud fra den nuværende volatilitetsoverflade. Altså en inddragelse af en variationsudvikling (volatilitet) på volatiliteten. Det betyder reelt, at enhver handler eller analytiker, som i en eller anden forstand handler med volatilitet (optioner), hele tiden skal tage stilling til den forventede fremtidige udvikling i volatilitetsoverfladen. 1 Lokal (forward) volatilitet er behandlet af Derman og Kani (1994), Dupire, B. (1994), Rubinstein (1994). 13

17 3.1. Black-Scholes implicit volatilitet Ud fra et teoretisk finansielt synspunkt kan det med rette siges, at volatilitet var et af de forskningsemner, som for alvor blev introduceret efter 1973, hvor Black-Scholes og Merton fandt frem til den eksplicitte løsning, som kan bruges til værdiansættelse af europæiske call- og put optioner 13. Alle indgående faktorer, med undtagelse af volatiliteten som skal indsættes i BS formlen, kan typisk observeres i markedet. Det forhold har ført frem til begrebet implicit volatilitet, hvor der via BS formlen udledes en eksakt størrelse på volatiliteten, som modsvarer den pris, der kan observeres på markedet. Figur 3 nedenfor illustrerer simpelt dette forhold. Figur 3. Black-Scholes formlen og implicit volatilitet Spotkurs Spotkurs Aftalekurs Løbetid Rente Black Scholes Optionspris Black Scholes Aftalekurs Løbetid Rente Volatilitet Implicit vol. I højre side kan det ses, at prisen for en europæisk option på et aktiv kan findes ved at kende og indsætte spotprisen, aftalekurs, løbetid, rente og volatilitet i BS-optionsprisformlen. I venstre side kan det ses, at den implicitte volatilitet for aktivet kan beregnes via samme formel ved at tage udgangspunkt i den observerede optionspris og de øvrige faktorer. Faktisk foregår det ved iteration, idet BS formlen ikke kan løses eksplicit for volatiliten. 14 Den implicitte volatilitet på et underliggende aktiv kan følgende blive brugt i flere henseender, såsom til værdiansættelse af andre afledte produkter på samme underliggende aktiv. Det kunne eksempelvis være en option med samme aftalekurs, men en anden løbetid, der umiddelbart ikke bliver handlet. For at finde en markedspris kan investor ekstrapolere eller interpolere mellem to udregnede implicitte volatiliteter og på den måde komme frem til et muligt bedste bud på en pris for en sådan option. Hertil skal selvfølgelig tillægges et spread i handelsøjemed. Som dette eksempel illustrerer, kan den implicitte volatilitet altså bruges i relation til værdiansættelse af andre afledte produkter, hvis det skulle være nødvendig. Det kunne for eksempel være swaptioner på europæiske 13 BS optionsprisformlen præsenteres i afsnit 4.1. Se i øvrigt Black og Scholes (1973) og Merton (1973) 14 En alternativ metode vil være at tage udgangspunkt i Black-76 formlen, og derved beregne den såkaldte Black-76 vol. Det kræver dog at forwardprisen for det underliggende aktiv eksisterer/kendes. 14

18 renter, cap-elementet i en capfloater obligation ol. Hvis der ikke eksisterer et optionsmarked for det underliggende aktiv, og dermed en implicit volatilitet, kan der alternativt anvendes et historisk estimat for volatiliteten 15. Det historiske estimat er også hyppigt brugt i for eksempel Value-at-Risk beregninger og ved betaestimering i porteføljeteorien Forskel mellem implicit og realiseret volatilitet Såfremt der eksisterer en mulighed for at vælge mellem den implicitte og den realiserede volatilitet, vil den implicitte volatilitet intuitivt være det bedste estimat af de to. Den implicitte volatilitet afspejler markedets alias investorernes forventning til den fremtidige volatilitet, hvorimod den realiserede volatilitet blot er et resultat af historiens gang, og den indeholder ingen information om den fremtidige markedsudvikling. 16 Når det er sagt, bør det fremhæves, at den implicitte volatilitet i bund og grund er det samme som en pris, og derfor vil være påvirket af udbud og efterspørgsel, bid-ask spread og den generelle likviditet afhængig af det givne marked. Mængden af litteratur og empirisk forskning indenfor dette emne er massiv. Se for eksempel Lantané og Rendleman (1976), hiras og Manaster (1978), Harvey og Whaley (199), hristensen og Prabhala (1998), Jackwerth (), Hansen (1), hristensen og Hansen (), Andersen, Bollerslev, Diebold og Labys (3), Bakshi og Kapadia (3), Bondarenko (3), Andersen, Bollerslev og Meddahi (4), Neely (4) og hristensen og Nielsen (5). Selvom konklusionerne i ovenstående artikler ikke er enslydende er konsensus i de fleste artikler i overensstemmelse med den logiske tolkning ovenfor: at den implicitte Black-Scholes volatilitet er en efficient, og til tider en biased estimator af den fremtidige realiserede volatilitet. Med biased menes, at den realiserede volatilitet vedvarende er lavere end den implicitte volatilitet. 15 Udregnet efter samme princip som den realiserede volatilitet i afsnit Se også Harvey og Whaley (199), hristensen og Prabhala (1998) og hristensen og Hansen (), som kommer frem til samme resultat for implicit- kontra realiseret volatilitet på S&P1 indekset over tre forskellige tidsperioder foretaget før/efter 1987 og frem til

19 For at visualisere forskellen mellem implicit og realiseret volatilitet illustrerer Figur 4 udviklingen mellem den implicitte volatilitet og den realiserede volatilitet på S&P1 indekset fra Figur 4. Realiseret og implicit volatilitet på S&P 1, Volatilitet i % Implicit volatilitet Historisk volatilitet Generelt vil den implicitte volatilitet være højere end den realiserede, som følge af en formodet præmie ved køb/salg af optioner. Kilde: Bloomberg og BOE Det kan ses, at de to forløb er forholdsvis identiske. Desuden er det tydeligt, at den realiserede volatilitet i perioden generelt er lavere end den implicitte, hvilket illustrerer den bias eller risikopræmie, der er omtalt i litteraturen. I mere praktiske termer ser det ud til, at det kan være en fordel på lang sigt at være kort i implicit volatilitet på S&P1 indekset, hvilket vil svare til at skrive put optioner eller sælge variance swaps. 17 Perioden før 1996 er ikke medtaget, idet den realiserede volatilitet er tilsvarende lav som fra I skiftede BOE deres beregningsmetodik af indekset samtidig med, at de overgik fra S&P1 til S&P5, idet handlen med S&P5 optioner i en årrække havde været mere likvid. Dette er også årsagen til at volatilitetsindekset på S&P1 er anvendt i stedet for vol.-indekset på S&P5, som ellers er udgangspunktet for afsnit 3. Beregningsteknisk er den implicitte volatilitet fundet ud fra optioner med gennemsnitlig 3 dage til udløb, og derfor er den realiserede volatilitet beregnet over de samme 3 dage. 16

20 3.1.. Volatilitetsskævheden/-smilet Et problem ved den implicitte volatilitet er, at den ikke er konstant over tid og aktivniveau. Det blev for alvor aktuelt for investorerne efter krakket i oktober Før den tid var der bred enighed om, at den implicitte volatilitet, som kunne findes via iteration af BS optionsprisformlen, var konstant for varierende strikes, hvilket kan ses i Figur 5. Det betyder reelt, at den implicitte volatilitet generelt er et fair estimat på den forventede fremtidige volatilitet, såfremt der bliver korrigeret for en vis bias i henhold til forrige afsnit. Figur 5. Implicit volatilitet for S&P5 optioner før og efter Imp vol. 1. juli januar 199 Imp vol. Som det kan ses ovenfor var volatiliteten for S&P 5 indekset frem til krakket i 1987 faktisk flad og konstant i relation til strikeniveau. Efter 1987 blev det indarbejdet, at sandsynligheden for et markant fald i indekset var større end en stigning, hvilket forklarer den viste skævhed i nederste graf. Kilde: Rubinstein, M (1994) Efter 1987, hvor Dow Jones faldt med mere en % på en dag, blev det klart for markedet, at risikoen for et drastisk fald nok var større end en tilsvarende stigning. Derfor syntes det også rimeligt, at put optioner på S&P5 indekset skal være dyrere end modsvarende call optioner. Det er selvfølgelig et klart forudsætningsbrud i relation til BS formlen, der antager konstant volatilitet både over tid og aktivniveau. 17

21 Dette fænomen er også kendt som volatilitetssmilet (eller volatilitetsskævheden alt afhængig af det underliggende aktiv). Hvis dette smil kombineres med optionens løbetid fås den implicitte volatilitetsoverflade Implicit volatilitet i praksis Volatilitetsoverfladen Som det fremgår af de foregående afsnit er den realiserede volatilitet ikke altid identisk med den implicitte volatilitet udledt fra Black-Scholes, og som eftervist i blandt andet Rubinstein (1994) og Ederington og Guan () er antagelsen om konstant varians i Black-Scholes optionsprisformel altså ikke korrekt. Figur 6 illustrerer et generelt tilfælde af den aktuelt observerede implicitte volatilitet for de handlede optioner på S&P5 d Figuren er et typisk billede af overfladen, hvis det underliggende aktiv er et aktieindeks, og som det kan ses, vil lavere strikes medføre højere implicitte volatiliteter. Figur 6. Implicit volatilitetsoverflade for S&P5 d % 1% 11% 5Y 4Y 3Y Y, 18,5 17, 15,5 14, 1,5 11, 9,5 8, 1M 3M 6M 1Y Et almindeligt billede af en volatilitetsoverflade for et aktieindeks. Skævheden via faldende implicitte volatilteter for stigende strikes, og længere løbetid medfører højere implicit volatilitet. Bemærk, at for helt korte løbetider ses en høj implicit volatilitet, hvilket kan fortolkes som en større frygt for et fald i indekset i meget nær fremtid, hvor dette ikke anses for at være så sandsynligt på 1- årig sigt. Kilde: Data udlånt fra UBS Investment Bank Det kan ses, at volatilitetsoverfladen er en funktion af strikes og løbetider, som hver for sig giver sit bidrag til overfladen. For et aktieindeks vil investorernes frygt for et ekstremt fald veje højere end en tilsvarende stigning, hvilket resulterer i lavere volatiliteter for højere strikes i lighed med den viste skævhed. 18

22 Årsagen til den illustrerede volatilitetsskævhed kan, som tidligere nævnt, skyldes at sandsynligheden for en markant stigning i indekset vurderes lavere end sandsynligheden for et tilsvarende fald. I praksis gør det modsatte billede sig gældende for aktivtyper, der har en negativ korrelation i forhold til aktieindeks. Altså aktivtyper, hvor der eksisterer en større mulighed for en stigning en for et tilsvarende fald i prisen/niveauet. Figur 7 giver en illustration af dette, når aktivet er guld (målt i USD) d Figur 7. Volatilitetsoverfladen for guld d (målt i USD) Deltaall 5 Delta all 35 Delta all AM 35 Delta Put 5 Delta Put Delta Put 5Y 4Y 3Y Figuren viser, at for guld vil den implicitte volatilitet stige for stigende strikes, hvilket kan relatere til en større sandsynlighed for en stigning i guldprisen end til et fald. Sammenholdt med løbetiden er forholdet uændret til let faldende volatilitet for længere løbetid, hvilket teoretisk er lidt bemærkelsesværdigt, men må udtrykke markedets frygt for bevægelser, og mere volatilitet i den nærmeste fremtid, hvorimod der på længere sigt forventes at markederne stabiliseres igen (og formodentlig på lidt lavere niveauer). Kilde: Data udlånt fra UBS Investment Bank Y 1Y 6M 3M 1M

23 En helt tredje udvikling i den implicitte volatilitet kan findes ved at se på enkelte aktier eller ligeværdige valutakombinationer, som vil have stigende smil tendenser. Det skyldes, at sandsynligheden for en pludselig stigning i aktivets værdi vil modsvare et fald. For aktier kan en sådan stigning forekomme ved positive nyheder såsom opkøbsscenarier. 18 Figur 8 illustrerer en typisk volatilitetsoverflade for en ligeværdig valutakombination EUR/USD og en funding valuta EUR/HF d Figur 8. Volatilitetsoverfladen for EUR/USD og EUR/HF d a) EUR/USD b) EUR/HF Deltaall 5 Delta all 35 Delta all AM 35 Delta Put 5 Delta Put Delta Put Y 1Y 9M 6M 3M M 1M 1W 9,5 9, 8,5 8, 7,5 7, Delta Put 5 Delta Put 35 Delta Put AM 35 Delta all 5 Delta all Deltaall Y 1Y 9M 6M 3M M 1M 1W 1, 9,75 9,5 9,5 9, 8,75 8,5 8,5 8, a) For EUR/USD er sandsynligheden for et fald og stigning næsten lige store. Ligeledes stiger volatiliteten for længere løbetider. Dette kan ses via den opadgående dal -lignende overflade. b) Derimod vil en funding valuta som EUR/HF medføre, at den implicitte volatiltiet vil falde for stigende strikes, hvilket er identisk med skævheden set ved de fleste aktieindeks. Ligeledes vil volatiliteten normalt stige for længere løbetider. Kilde: Data udlånt fra UBS Investment Bank Årsagen til det fremkomne volatilitetssmil skyldes, at de forventede afkast ifølge Black- Scholes er log-normalfordelt, og det er ikke tilfældet i virkeligheden. De aktuelt observerede afkast vil have en kurtosis (topstejlhed) højere end den forventede og yderligere have brede haler. Det vil sige der eksisterer flere ekstreme afkast i virkeligheden, end der er forventet via de log-normalfordelte afkast, som er udgangspunktet for Black-Scholes. 19 Disse ekstreme afkast kan for eksempel skyldes 18 Hull () har et modsat synspunkt, hvor han sætter lighedstegn mellem aktieindeks og aktier. 19 Se også Hull og White (1998)

24 aktivering af stop-loss ordrer eller som følgeeffekt af en ændring af det generelle renteniveau. Det betyder følgende, at de optioner, der er inde/ude af pengene vil være dyrere end Black-Scholes normalt vil foreskrive. Dette giver også en logisk forklaring på det skæve smil idet den aktuelle afkastfordeling i denne situation vil tendere til at være venstreskæv. Dette specifikke forhold gælder også for indeks, men i den situation må det vurderes, at frygten for et stort fald i indekset vejer højere end forventningen om ekstreme høje afkast. Af andre mulige forklaringer fremhæver hance (3), at anormaliteten kan skyldes et simpelt spørgsmål om udbud / efterspørgsel på optioner, aktier og risikofrie obligationer. Black-Scholes udledning af optionsværdien blev fundet via en kontinuerlig hedging af det underliggende aktiv og risikofrie obligationer. Med andre ord tillægger BS efterspørgslen på aktier, risikofrie obligationer og optioner samme vægt. Men hance mener, at det vil være mere sandsynligt, at der eksisterer et differentieret ønske om at eje disse aktiver. Det er i hvert fald let at forestille sig, at to investorer med forskellige transaktionsomkostninger vil være villige til at give to forskellige priser for den samme option. Der introduceres følgelig en slags risikoaversion eller risikopræmie i relation til at handle optioner. Dette er i direkte modsætning med arbitrageargumentet, som Black- Scholes og Merton (1973) blev så berømte for at introducere. I den forbindelse skal det bemærkes, at Black-Scholes antog, at der ikke eksisterede transaktionsomkostninger. Generelt kan det konkluderes, at volatilitetssmilet i sidste ende er et resultat af den adfærd, der eksisterer på markedet, og et brud på de forudsætninger Black-Scholes modellen er opbygget ud fra. 1

25 3.1.4 Modellering af volatilitet generalisering af Black-Scholes At Black Scholes modellen er en forsimpling af den virkelige verden var teoretikerne inklusiv Black-Scholes-Merton godt klar over. Faktisk erkender Black (1989) selv dette problem og undrer sig samtidigt over modellens store succes. Det har gennem tiden ført til mange modifikationer af modellen og de antagelser, som ligger til grund for den. I relation til antagelsen vedrørende realiserede og log normale afkast introducerede Merton (1976a, b) jump-diffusion modellen, der som navnet angiver, inkluderer muligheden for, at det underliggende aktiv pludseligt kan springe i værdi. Ligeledes gjorde tidlige empiriske studier af volatiliteten det også klart, at forudsætningen om konstant volatilitet ikke var opfyldt. Det har blandt andet ledt frem til, at Scott (1987), Hull og White (1987) og Heston (1993) inkluderede stokastisk volatilitet i den bagvedliggende prisudvikling. Efterfølgende har Hestons model for stokastisk volatilitet været den mest anvendte, idet modellen er den mest generelle. Analogt med Merton s jump-diffusion model giver introduktionen af stokastisk volatilitet en forklaring på de fede haler i den observerede afkastfordeling. 1 Efter krakket i 1989 og realiseringen af volatilitetsskævheden blev det interessant at finde mulige løsninger, som kunne beskrive anormaliteten. Den implicitte volatilitet var et udtryk for den forventede fremtidige volatilitet, og ved påvisning af smilet var der ikke længere et korrekt estimat i forbindelse med værdiansættelse af andre afledte aktiver. Det medførte, at Derman og Kani (1994), Rubinstein (1994) og kort tid efter Dupire (1994) udviklede de lokale volatilitetsmodeller. Ved at opstille en funktion for de aktuelt observerede volatiliteter, værdien/niveauet af det underliggende aktiv og løbetiden kan der kalibreres en volatilitetsoverflade, der til forveksling kan sammenlignes med de enfaktor arbitragefri modeller, der eksisterer indenfor rentestrukturteorien. 3 I den forbindelse antog de alle, at volatiliteten i modellen var givet deterministisk. For Jump -delen kan beskrives som en poissonfordelt faktor og diffusion -delen er den normale geometrisk brownsk bevægelse, som Black-Scholes antager, at det underliggende aktiv følger. 1 Hestons foreslog, at variansen i en almindelige geometrisk brownsk bevægelse var stokastisk og kunne udtrykkes ved en mean-reverting proces: dυ t = κ(θ-υ t )dt + σ υ t,5 dw t, hvor de to wienerprocesser dw t 1 og dw t kunne være korrelerende. Reelt en analog model for volatilitet, som ox, Ingersoll og Ross opstillede i 1985 for modellering af korte renter. Rubinstein og Dupire tog udgangspunkt i et trinomialt setup og Derman og Kani brugte et binomialt setup i udviklingen af deres en-faktor modeller. 3 Som for eksempel Ho and Lee (1986) eller Black, Derman and roy (199).

26 eksemplificering af sådanne aktuelle volatilitetsoverflader henvises til figurerne i forrige afsnit. Problemet med de lokale volatilitetsmodeller (og enkeltheden) er, at de kun siger noget om den nuværende form af volatilitetsoverfladen, og volatiliteten indenfor modellen antages at være en konstant størrelse. På denne måde indeholder de ikke nogen information om, hvordan volatilitetsoverfladen udvikler sig med tiden. Det har medført, at Derman og Kani (1997) og Britten-Jones og Neuberger () kom frem med de første bud på flerfaktor modeller, også kaldet universal volatility models. Det vil sige en modeltype, der med udgangspunkt i de lokale volatiliteter, generaliserer med hensyn til andre faktorer, som fx stokastisk volatilitet. 4 Som opfølgning på denne forskning har Derman (1999) gennemført en empirisk undersøgelse, hvor han i perioden fra september 1997 til oktober 1998 undersøgte ændringer i volatilitetsoverfladen på S&P5 indekset. Dette førte frem til to generelle klassificeringer af volatilitetsudviklingen, også kaldet volatilitetsregimer (scenarier). Disse karakteriserede han som: sticky strike eller sticky delta regimer. Hvis regimet kan identificeres, er det muligt at tage udgangspunkt i en af de modificerede lokale volatilitetsmodeller, og derved opnås et kvalificeret bud på den fremtidige udvikling i volatilitetsoverfladen. Dette har selvfølgelig betydning i relation til værdiansættelse af mere komplekse produkter, og som viderebygning på denne artikel har blandt andet Ayache et al. (4) og firmaet ito33.com udviklet en model, der kan anvendes til at estimere den fremtidige udvikling i volatilitetsoverfladen. Modellen bygger, som mange andre modeller, på BS-ligningen, hvor der bl.a. er givet mulighed for jumps såvel som stokastisk volatilitet. Resultatet er en optimal hedgeratio fremkommet ved at minimere den varians, der vil eksistere på den endelige P/L af den hedgede portefølje. Den fair værdi af det komplekse produkt (eller optionen) vil derfor fremkomme ud fra den hedgestrategi, som virker bedst. Ved at inddrage flere faktorer kan den fremtidige udvikling i volatilitetsoverfladen (og derved smilet) altså forudsiges. Det er klart, at opbygningen af en universel model, som bygger på en bestemt type volatilitetsregime kræver, at regimet kan identificeres. At identificere, hvilket volatilitetsregime, som man pt. befinder sig i, kan sammenlignes 4 Derman og Kani (1997) lavede deres model med udgangspunkt i Heath Jarrow og Morton (199) tilgangsvinkel til stokastisk renteudvikling. Britten-Jones og Neuberger () brugte en modificeret udgave af Hoo og Lee (1986), som udgangspunkt for deres model. 3

27 med at finde frem til en metode, der kan bruges i relation til markedstiming fx ved at identificere, hvornår en valutakurs handler i interval eller udviser en trend, hvilket i bund og grund vil modsvare en ren pengemaskine. Dertil kommer, at jo mere sofistikeret en model bliver ved inddragelse af eksempelvis stokastisk mean reverting volatilitet, jumps med begrænsninger på jump-up størrelsen i forhold til de nedadgående jumps ol., vil det betyde, at den vil være sværere at forklare/forstå. Det vil medføre en faldende sandsynlighed for succes hos den praktiske investor eller trader. Derman (3) mener ikke, at det er sandsynligt at opbygge en universel model, men derimod skal der opbygges en masse modeller, der hver især er tilpasset et specifikt marked. Denne holdning virker meget logisk, specielt hvis der tænkes på, hvor forskellige volatilitetsoverfladerne ser ud for forskellige underliggende aktiver. Men selv ud fra denne tankegang vil der formodentlig stadig eksistere usikkerhedsmomenter, som kan være svære at kvantificere. Det kunne nemt tænkes, at så snart en model er færdigudviklet til et specifikt marked, vil markedsdeltagerne ændre deres adfærd og derved kræve, at modellen igen skal modificeres. 4

28 3. Hvorfor handle med volatilitet? Volatilitet har flere kendetegn, som er interessant ud fra et handelsperspektiv 5. Nedenstående er disse karakteristika opsummeret, og efterfølgende vil det blive diskuteret, hvem der kan bruge produkter baseret på volatilitet. Endelig vil de nedenstående påstande blive analyseret og eksemplificeret. I perioder med høj usikkerhed eller nervøsitet i markedet vil dette afspejles i stigende volatilitet på de enkelte aktiver og indeks. Volatilitet vil ofte være negativt korrelerende med det/de aktiver/indeks som de udregnes på baggrund af, og i perioder med store fald i niveauet/prisen for aktivet vil volatiliteten forblive høj i en periode. Volatilitet har, ligesom renter, en mean reverting egenskab idet høje volatiliteter normalt vil falde og lave vil stige til et middelniveau. Ligeledes kan det eksisterende spread mellem realiseret og forventet fremtidig (implicit) volatilitet handles Hvem kan anvende produkter baseret på volatilitet? På baggrund af de ovenstående kendetegn vil et produkt bestående af volatilitet afledt af et underliggende aktiv både kunne anvendes i forbindelse med hedging, spekulation eller arbitrage. Det vil give en mere direkte metode til at eksponere/afdække sig overfor volatilitet end ved almindelig optionshandel og formodentlig medføre lavere transaktionsomkostninger. Hvis handlen foregår O, vil der yderligere være en mulighed for at få en kontrakt, der er tilpasset den individuelle investors ønske i relation til underliggende aktiv, og investor behøver ikke selv tænke over den videre afdækning. Selvfølgelig vil der eksistere en risiko for, at sælger kræver en for høj præmie for at øge egen gevinst, og derfor vil det være mere attraktivt for investor at foretage sin investering via traditionel optionshandel. I teorien vil de to metoder modsvare hinanden en høj præmie vil for eksempel modsvare høje transaktionsomkostninger eller høje implicitte volatiliteter på de optioner, der skal bruges til den videre afdækning. I praktiske henseender kan andre forhold nemt ændre denne teoretiske sammenhæng, Fx 5 Se bl.a. Derman et al (1999), raub et al. (), Rattray og Balasubramanian, (3), Bowler et al. (3) og oikka et al. (4) og Moran, M. (4), Hafner og Wallmeier, (5) 5