22. maj Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15. Nogle eksamensopgaver:

Transkript

1 22. maj 2006 Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15 Nogle eksamensopgaver: 1

2 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN INVESTERING OG FINANSIERING Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 4 timers skriftlig eksamen, 9-13, tirsdag 14/ Alle sædvanlige hjælpemidler. Aulaen, bygn. 412, Nordre Ringgade. BESVARELSE. exam05b.tex 1

3 Opgave 1 [30%] I denne opgave betragtes en 2-periode model for kursen, S, på en aktie, der i det betragtede tidsrum ikke udbetaler dividende. Den mulige udvikling er fastlagt ved nedenstående gitter. (Med tidspunkter, aktiekurser og sandsynligheder.) Desuden findes der et risikofrit aktiv (bankbogen) med en rente på 4% per periode (=S(0)) Spg. 1 Vis at denne model er arbitragefri. Bestem de risikoneutrale sandsynligheder. De risokoneutrale op og ned sandsynligheder findes i alle knuderne at være 0.5; q = 1 2. Med strengt positive risikoneutrale sandsynligheder er modellen arbitragefri. I kan bruge et argument som på p. 388 i Luenberger. På aktien skrives en europæisk call-option med aftalekurs (exercisekurs) K = 155 og med udløbstidspunkt T = 2. 2

4 Spg. 2 Bestem prisen til tiden 0 på call-optionen. Find desuden prisen til tiden 0 på en europæisk put-option med aftalekurs (exercisekurs) K = 155 og med udløbstidspunkt T = Via put-call pariteten findes put-optionens pris at være

5 Spg. 3 Betragt desuden en futureskontrakt på aktien. Futureskontrakten udløber til tiden T = 2. Bestem futuresprisen på tidspunkt

6 Spg. 4 For futureskontrakten i Spg. 3 ønskes samtlige betalinger til tiderne 1 og 2 beregnet * Bemærk, at betalingen i knudepunktet (2, 1) afhænger af, hvilken sti der er blevet benyttet til at komme frem til knudepunktet. 5

7 Spg. 5 Besvar Spg. 3 og Spg. 4, men for den tilsvarende forwardkontrakt i stedet for futureskontrakten. Forwardkontrakten udløber altså til tiden T = 2. Da renten er deterministisk bliver forwardprisen identisk med futuresprisen, Betalingerne knyttet til forwardkontrakten bliver: Spg. 6 Call-optionen fra Spg. 2 ønskes replikeret ved hjælp af aktien og bankbogen. Hvor mange aktier skal der købes til tiden 0? Lad a akt betegne antallet af aktier, som skal købes til tiden 0 for at replikere call-optionen, og lad beløbet, som investeres i aktier betegne ved x. Dvs, at x = a akt S(0) Fra p. 328 i Luenberger ved vi, at x = Cu C d. Foretages udregningen, findes, u d at a akt = Spg. 7 Nu ønskes call-optionen replikeret ved hjælp af futureskontrakten og bankbogen. 6

8 Hvor mange futureskontrakter skal der købes til tiden 0? Hvor meget investeres i bankbogen til tiden 0. Lad a fut betegne antallet af futures, som skal købes til tiden 0 for at replikere call-optionen, og lad beløbet, som investeres i bankbogen betegne ved b. Lad endvidere f u (1) og f d (1) betegne futureskontraktens betalinger i de to tilstande til tiden t = 1 og betegn futuresprisen til t = 0 ved f(0). Til t = 1 skal følgende ligningssystem gælde: a fut (f u (1) f(0)) + b R = C u (1) a fut (f d (1) f(0)) + b R = C d (1) Heraf findes, at a fut = og at b = At b antager denne værdi er indlysende, idet værdien af futureskontrakten til t = 0 netop er 0. Spg. 8 Find prisen til tiden 0 på en amerikansk call-option med aktien som det underliggende aktiv og med udløb til T = 2 og med K = 155. Da det underliggende aktiv, aktien, ikke giver udbyttebetalinger i den betragtede periode er C am = C eu = Spg. 9 Gælder put-call pariteten for amerikanske optioner? Begrund svaret. Nej! Medens den amerikanske call-option (uden udbytter) aldrig vil blive indfriet før udløb, er dette ikke tilfældet for den amerikanske put-option. Med en positiv rente vil vi foretrække at modtage exerciseprisen, K, tidligt i forløbet. En tegning, som viser grænserne for de mulige værdier af en put-option, og at P eu < den indre værdi er en mulighed, vil være en brugbar forklaring. 7

9 Spg. 10 Find prisen til tiden 0 på en amerikansk call-option med futureskontrakten - beskrevet i Spg. 3 - som det underliggende aktiv. Den amerikanske call-option har udløb til T = 2 og exercisekursen er K = max( , )= max( , )= Opgave 2 [30%] Betragt en model, hvor den korte rente udvikler sig i henhold til et binomialt gitter. De risikoneutrale op- og ned-sandsynligheder sættes i hele gitteret til 0.5. Den korte rente udvikler sig efter Ho-Lee formen, r ks = a k + b s, s = 0, 1,..., k, hvor r ks er en-perioderenten fra tid k til k + 1, hvis vi til tiden k befinder os i tilstanden s. Konstanten b er blevet estimeret til 0.01 per periode. Spg. 1 Giv en fortolkning af b. er standardafvigelsen på en-perioderenten. b 2 8

10 På markedet findes tre nulkuponobligationer, P 00 (t), t = 1, 2, 3, hvor t angiver obligationens udløbstidspunkt. Med en hovedstol på 1 er priserne, til tiden 0 og i tilstanden 0, på disse obligationer givet ved: P 00 (1) = P 00 (2) = P 00 (3) = Spg. 2 Find r ks for k = 0, 1, 2 og s = 0,.., k. Det nemmeste er at benytte forwardalgoritmen. Derved får vi også besvaret Spg. 4. a 0 = , r 00 = a 1 = , r 10 = , r 11 = a 2 = , r 20 = , r 21 = , r 22 = P 0 (1, 0) = P 0 (1, 1) = P 0 (2, 0) = P 0 (2, 1) = P 0 (2, 2) = P 0 (3, 0) = P 0 (3, 1) = P 0 (3, 2) = P 0 (3, 3) = Man kan også udregne, hvorledes f.eks. P 00 (3) udvikler sig gennem gitteret. Man finder, at P 20 (3) = P 21 (3) = P 22 (3) = P 10 (3) = P 11 (3) = P 00 (3) = = Spg. 3 Find til tiden 0 forwardprisen på levering til tiden 2 af en nulkuponobligation med udløb til tiden t = 3. 9

11 F 0 (2, 3) = P 00(3) P 00 (2) = = Spg. 4 Find elementarpriserne (Arrow-Debreu priserne) til tiden 0, P 0 (k, s), k = 1, 2, 3 og s = 0,.., k. Disse priser er allerede fundet i Spg. 2 Spg. 5 Prisfastsæt en 2-årig 5% s serieobligation med hovedstolen 100. P ser = 55 P 00 (1) P 00 (2) = Spg. 6 Find den effektive rente for serieobligation i Spg. 5. Find y af ligningen: P ser = 55 1+y (1+y) 2 y = Spg. 7 Find spotrenterne s 1, s 2 og s 3. Ved at benytte relationen (1 + s t ) t = 1 P 00 (t) findes s 1 = s 2 = s 3 = Spg. 8 Find forwardrenterne f 1,3 og f 2,3. Idet (1 + f jk ) k j (1 + s j ) j = (1 + s k ) k findes, 10

12 f 13 = f 23 = Spg. 9 Find Macaulay varigheden for serieobligationen i Spg. 5. D = Spg. 10 Find serieobligationens konveksitet y (1+y) 2 P ser = C = 1 1 P ser 2 c (1+y) 2 k=1 k(k + 1) k = (1+y) k Opgave 3 [20%] Betragt en porteføljevalgsmodel med 2 usikre aktiver (aktier, numereret 1 og 2), hvis afkastrater har forventede værdier, r, og standardafvigelser, σ, givet ved: r 1 = 0.1, r 2 = 0.2, σ 1 = 0.1 og σ 2 = 0.2. De to afkastrater er korreleret med korrelationskoefficienten ρ = 0.5. En portefølje i dette marked er givet ved ω = (α, 1 α), hvor α og 1 α angiver den andel som investeres i henholdsvis aktie 1 og aktie 2. Spg. 1 Opstil varians-kovariansmatricen for aktivernes afkastrater. [ ]. Spg. 2 Vis, at middelværdien for porteføljens afkast, r ω, og variansen for porteføljens afkast, σ 2 ω, er 11

13 r ω = α σ 2 ω = 0.07 α2 0.1 α r ω = α r 1 + (1 α) r 2 = α σ 2 ω = [ α 1 α ][ ][ α 1 α ] = 0.07 α α Spg. 3 Bestem porteføljevægtene for minimum-varians porteføljen, samt middelværdien og standardafvigelsen på denne porteføljes afkast. Heraf findes α min : dσ 2 ω dα = 1.14α 0.1 = 0 α min = = r min = α min = σ 2 min = 0.07 α2 min 0.1 α min = Markedsporteføljen, M, består af 40% af aktie 1 og 60% af aktie 2. Spg. 4 Beregn middelværdi og varians for markedsporteføljen. r M = 0.16 σ 2 M = Spg. 5 CAPM relationen uden et risikofrit aktiv er den såkaldte zero-beta-asset ligning: 12

14 r i r z = β im (r M r z ), hvor r z er afkastraten på den portefølje, som har β zm = 0. Verificer zero-beta-asset ligningen for aktierne 1 og 2. Dvs at I skal vise, at ligningen er opfyldt for r 1 = 0.1 og for r 2 = 0.2. Vi skal først finde den portefølje, hvorom det gælder, at den har β zm = 0. cov(r z, r M ) = [ ] [ ][ ] α z 1 α z = Heraf findes α z : α z = = r z = α z = σ 2 z = Indsættes værdierne i CAPM z findes netop, at r 1 = 0.1 og r 2 = 0.2. Opgave 4 [20%] I denne opgave regnes med kontinuert diskontering. Lad følgende spotrenter være givet: s 1 = 7.67% s 2 = 8.27% s 3 = 8.81% s 4 = 9.31% s 5 = 9.75% Betragt en virksomhed, som skal honorere betalingerne: kr til tiden t = kr til tiden t = kr til tiden t = 5. 13

15 Virksomheden ejer 2-årige nulkuponobligationer, som til tiden t = 2 giver betalingen kr. Spg. 1 Udregn virksomhedens værdi til tiden t = 0. NPV = 10 6 ( 2 e e e e ) = kr Virksomhedsejeren ønsker at hedge mod et parallelt skift i rentestrukturen og anvender dertil en 2-årig forwardkontrakt på den nulkuponobligation, som udløber til tiden t = 5. Spg. 2 Find den position i forwardkontrakten, som immuniserer virksomhedens totale position over for parallelle skift i rentestrukturen. Forwardprisen på den 5-årige nulkuponobligation (hovedstol 1 kr) er F = e e = Antag, at der købes X forwardkontrakter. Så vil betalingerne til tiderne 1, 2,..., 5 være: ( , F X, , 0, X). Udregn nu prisen på denne betalingsvektor under anvendelse af spotrenterne s i + λ for i = 1, 2,..., 5: P(λ) = e (s 1+λ) +( F X) e (s 2+λ) e (s 3+λ) 3 ( X) e (s 5+λ) 5. Differentier derpå P(λ) med hensyn til λ, indsæt λ = 0, og find den værdi af X, som løser ligningen: X = Der skal således sælges forwardkontrakter. 14

16 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN INVESTERING OG FINANSIERING Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 5 4 timers skriftlig eksamen, 9-13, 18/ Alle hjælpemidler. 1

17 Opgave 1 [25%] Betragt en model, hvor den korte rente udvikler sig i henhold til et binomialt gitter. De risikoneutrale op- og nedsandsynligheder sættes i hele gitteret til 0.5. Lad k og s betegne henholdsvis tiden og tilstanden og r ks renten for perioden fra k til k +1, hvis økonomien til tiden k befinder sig i tilstanden s. Det er givet, at r 00 = 0.05 r 10 = 0.04 r 11 = 0.07 r 20 = 0.03 r 21 = 0.05 r 22 = Spg. 1 Find til tiden 0 prisen på den nulkuponobligation, som udløber til tiden 3, P 00 (3). P 00 (3) = Spg. 2 Find rentestrukturen til tiden 0, d.v.s. s 1, s 2 og s 3. På samme måde som i Spg. 1 findes P 00 (2) = Derpå udregnes rentestrukturen til: s 1 = 0.05 s 2 = s 3 = Spg. 3 Find de to mulige rentestrukturer til tiden 1. De to rentestrukturer findes at være: s 1 = 0.07, s 2 = s 1 = 0.04, s 2 =

18 Spg. 4 Find forvardrenterne f 1,3 og f 2,3. f 1,3 = , f 2,3 = Spg. 5 Find til tiden 0 prisen på den obligation, som giver anledning til betalingerne 4, 4 og 104 til de respektive tider 1, 2 og 3. Prisen bliver Spg. 6 Find den effektive rente for obligationen i Spg. 5. Den effektive rente findes at være Spg. 7 Find McCaulay varigheden for obligationen i Spg. 5. D = Spg. 8 Find konveksiteten for obligationen Spg. 5. C =

19 Opgave 2 [25%] Betragt et binomialt træ for udviklingen af en aktiepris. Aktiens pris til tiden 0 er S 0 = 100 og de mulige priser til tiden 1 er u S 0 og d S 0, hvor u = 1.2 og d = 0.9. Størrelserne af u og d fastholdes for hele træet således at de mulige aktiepriser til tiden 3 er u 3 S 0, u 2 d S 0, ud 2 S 0 og d 3 S 0. Der findes desuden et risikofrit aktiv med renten 10 % pr. periode. Spg. 1 Bestem de risikoneutrale sandsynligheder. Op-sandsynligheden bliver q = = 2. Ned-sandsynligheden bliver derfor 1 q = På aktien skrives en amerikansk call-option med aftalekursen (exerciseprisen) K = 100 og med udløbstid T = 3. Spg. 2 Find prisen til tiden 0 på den amerikanske call-option. Da der ingen udbyttebetalinger findes bliver C am = C eu C uuu = 72.8 C uud = 29.6 C udd = 0 C ddd = 0 C uu = C ud = C dd = 0 C u = C d = C = På aktien skrives desuden en amerikansk put-option med aftalekursen (exerciseprisen) K = 100 og med udløbstid T = 3. Spg. 3 Find prisen til tiden 0 på den amerikanske put-option. Først udregnes prisen på den europæiske put-option: 4

20 P uuu = 0 P uud = 0 P udd = 2.8 P ddd = 27.1 P uu = 0 P ud = 0.85 P dd = 9.91 P u = 0.26 P d = 3.52 P = 1.22 For den amerikanske option finder man førtidig exercise i tilstandene dd og d, hvorfor prisen bliver p uuu = 0 p uud = 0 p udd = 2.8 p ddd = 27.1 p uu = 0 p ud = 0.85 p dd = max(9.91, ) = 19 p u = 0.26 p d = max(6.27, ) = 10 p = 3.19 Spg. 4 Find prisen til tiden 0 på en europæisk put-option med aftalekursen (exerciseprisen) K = 100 og med udløbstid T = 3. P = 1.22 Spg. 5 Konstruer for tilstandene s = 0, 1, 2 og 3 de linearkombinationer af put- og calloptioner med passende aftalekurser således at man til tiden T = 3 opnår betalingen 1 hvis tilstanden er s og betalingen 0 i alle de øvrige tilstande. Find priserne til tiden 0 på disse fire aktiver. Der benyttes europæiske optioner, og C(K) betegner en call med exercisepris K s = 0 : C(71.9) 2C(72.9) + C(73.9) s = 1 : C(96.2) 2C(97.2) + C(98.2) s = 2 : C(128.6) 2C(129.6) + C(130.6) s = 3 : C(171.8) 5

21 Priserne på de fire aktiver findes let at være: s = 0 : ( )3 = s = 1 : 3( 1 3 )2 2 ( )3 = s = 2 : 3( 2 3 )2 1( )3 = s = 3 : ( )3 = Spg. 6 Find prisen på det aktiv, som giver betalingen 1 i alle tilstande til tiden 3. ( ) Alternativt findes prisen som summen af priserne fra Spg. 5 Spg. 7 Put-optionen fra Spg. 4 ønskes replikeret ved hjælp af aktien og bankbogen. Hvor mange aktier skal der købes til tiden 0? Der skal sælges aktier idet købes er således stk. = Antallet af aktier, som skal 6

22 Opgave 4 [25%] Betragt en en-periode økonomi, som til det fremtidige tidspunkt, t = 1, kan befinde sig i 3 forskellige tilstande, s = 1, 2, 3. I økonomien findes 2 aktiver hvis priser til t = 0, P 1 og P 2, samt betalinger til t = 1, d i s, i = 1, 2 (aktivnummer) og s = 1, 2, 3 (tilstandsnummer) er givet ved P 1 = 67.5, P 2 = 60, d 1 1 = 60, d 1 2 = 90, d 1 3 = 120, d 2 1 = 30, d2 2 = 120, d2 3 = 90 Det kan oplyses, at P 1 og P 2 opfylder følgende relationer: P 1 = 13 4 d d d1 3 = 1 4 d d d1 3 P 2 = 13 4 d d d2 3 = 1 4 d d d2 3 Spg. 1 Er denne økonomi arbitragefri? Ja, der findes positive tilstandspriser, ( 1 4, 1 4, 1 4 ). Spg. 2 Find et sæt mulige positive tilstandspriser. ( 1 4, 1 4, 1 4 ). Der indføres endnu et aktiv med prisen P 3 = 45 og d 3 1 = 90, d 3 2 = 30 og d 3 3 = 60. Spg. 3 Er økonomien arbitragefri? bf Da = 45 er økonomien arbitragefri. Spg. 4 Betragt den udvidede økonomi, som består af de tre aktiver med priserne P 1, P 2 og P 3. Find de risikoneutrale sandsynligheder. bf ( 1 3, 1 3, 1 3 ). Spg. 5 Find i den udvidede økonomi den risikofri rente. bf Det risikofrie aktiv koster 0.75, hvorfor den risikofri rente bliver