Udtømmende søgning 1
|
|
- Carl Eskildsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Udtømmende søgning
2 Udtømmende søgning (kombinatorisk søgning) Systematisk gennemsøgning af alle potentielle løsninger Den rejsende sælgers problem (TSP): En sælger skal besøge N byer Find den korteste rundtur B C D Eksempel med 7 byer A F G E 2
3 Problem med 446 byer Find den korteste rundtur 3
4 Udtømmende søgning i grafer Mulig metode til løsning af TSP: () Generer samtlige rundture (Hamilton-cykler) i grafen (2) Vælg den korteste af disse Samtlige rundture kan bestemmes således: (a) Generer systematisk samtlige simple veje i grafen (b) Vælg heraf dem, der omfatter samtlige grafens knuder, og hvor første og sidste knude er forbundet med en kant 4
5 Systematisk generering af alle simple veje i en graf Kan opnås ved en lille ændring af metoden DFS til dybde-først-søgning i en graf Kald: DFS(G, v) hvor v er en vilkårlig knude i G Algorithm DFS(G, v) setlabel(v, VISITED) for all e G.incidentEdges(v) w opposite(v,e) if getlabel(w) = UNEXPLORED DFS(G, w) setlabel(v, UNEXPLORED) Metoden rydder op efter sig selv, således at alternative veje kan undersøges 5
6 Eksempel på søgning A 2 F 6 3 B C G 2 4 H D E J L 2 I K A M B F G C D D E E H E F B C G L C F L I F G L E C B H J M B D J M K D H J M C G L E D I K M J D B K M J J I K M J H J M G L K I K F C I K L M K I K I K M J H J M J H I H I E M L J H I K I K I K M J L M G H H C F E L M G H J H I K I K M L G B D C F M L G L M G H J H I D B B D 53 knuder (kald af DFS) M L G L M G H F C D B M L G F C rundtur rundtur 6
7 Generering af alle simple veje i en graf repræsenteret ved en nabomatrix w[k][t] betegner vægten på kanten (k, t). Værdien 0 angiver, at kanten ikke findes level angiver antallet af knuder på den aktuelle vej pos[k]angiver positionen for knude k på denne vej void dfs(int k) { pos[k] = ++level; for (int t = ; t <= V; t++) if (w[k][t]!= 0 && pos[t] == 0) dfs(t); level--; pos[k] = 0; level = 0; for (int k = ; k <= V; k++) pos[k] = 0; dfs(); 7
8 Løsning af TSP level = 0; for (int k = ; k <= V; k++) pos[k] = 0; cost = 0; best_cost = Integer.MAX_VALUE; dfs(); void dfs(int k) { pos[k] = ++level; if (level == V && w[k][]!= 0 && cost < best_cost) { best_cost = cost; System.arraycopy( best_pos,, pos,, V); for (int t = ; t <= V; t++) if (w[k][t]!= 0 && pos[t] == 0) { cost += w[k][t]; dfs(t); cost -= w[k][t]; level--; pos[k] = 0; 8
9 Beskæring af søgetræet Beskæring: fjernelse af undertræer Eksempel: fjernelse af symmetrier: Forlang, at 3 knuder kommer i en bestemt rækkefølge Kravet A ->... -> C ->... -> B ->... beskærer træet A F G D E E H C G L C F L I B H J M B D J M K D I K M J D K M J J K I K F I K L M J H I H I E M L L M G H H C F E M L G B D C F D B B D Besparelse: 8 kald af dfs F C D rundtur F 9
10 Implementering af beskæring void dfs(int k) { pos[k] = ++level; for (int t = ; t <= V; t++) if (w[k][t]!= 0 && pos[t] == 0 && (t!= 3 pos[2]!= 0)) dfs(t); level--; pos[k] = 0; Besøg kun knude 3, hvis knude 2 er besøgt 0
11 Yderligere beskæring Beskær en gren, hvis de ubesøgte knuder ikke er forbundne F A F G D E E H I K J L M L E C F B D D Besparelse: yderligere 52 kald af dfs rundtur A B C G F D E H I J K L M
12 Forgren-og-begræns (branch-and-bound) En metode til reduktion af søgningen ved løsning af optimeringsproblemer De partielle løsningers omkostninger beregnes og benyttes til beskæring af søgetræet Eksempel: Hvis alle omkostninger for TSP er positive, kan en søgningen ad en vej afbrydes, hvis omkostningen for vejen er større end eller lig med den hidtil korteste rundtur for (int t = ; t <= V; t++) { if (w[k][t]!= 0 && pos[t] == 0 && cost + w[k][t] < best_cost) { cost += w[k][t]; dfs(t); cost -= w[k][t]; 2
13 Generel beskæringsmetode Hvis omkostningen for en partiel løsning, plus en nedre grænse for omkostningen for en færdiggørelse til en komplet løsning, er større end en øvre grænse for en løsning, så vil den partielle løsning ikke kunne færdiggøres til en optimal løsning En nedre grænse for TSP udgør omkostningen af et MST (Minimal Spanning Tree) for de ubesøgte knuder, plus de to korteste kanter, der forbinder de to endeknuder i den partielle tur med to ubesøgte knuder MST Partiel tur 3
14 Baksporing (backtracking) En problemløsningmetode til systematisk generering af alle mulige løsninger Sålænge det er muligt, udvides en partiel løsning Hvis en partiel løsning ikke kan udvides, bakspores, d.v.s. vendes tilbage til en tidligere partiel løsning, for hvilken der findes en uprøvet udvidelsesmulighed På denne måde bevæger algoritmen sig forlæns og baglæns, indtil en løsning er fundet, eller alle muligheder er udtømte. 4
15 Skabelon til baksporing void try(...) { for (alle_kandidater) if (kandidat_acceptabel) { registrer_kandidat; if (ufuldstændig_løsning) try(...); if (løsning_fundet) return; slet_registrering; 5
16 8-dronningeproblemet Placer 8 dronninger på et skakbræt, således at der ikke findes to dronninger, der kan slå hinanden (d.v.s. der er ikke to dronninger i samme række, søjle eller diagonal)
17 Ineffektiv og ufleksibel løsningsmetode Search: for (c = ; c <= 8; c++) for (c2 = ; c2 <= 8; c2++) for (c3 = ; c3 <= 8; c3++) for (c4 = ; c4 <= 8; c4++) for (c5 = ; c5 <= 8; c5++) for (c6 = ; c6 <= 8; c6++) for (c7 = ; c7 <= 8; c7++) for (c8 = ; c8 <= 8; c8++) if (issolution(c, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c8)) { printsolution(); break Search; 7
18 Løsning med baksporing void try(int row) { for (int col = ; col <= 8; col++) { if (!underattack(row, col)) { setqueen(row, col); if (row == 8) solutionfound = true; else try(row + ); if (solutionfound) return; removequeen(row, col); solutionfound = false; try(); if (solutionfound) printsolution(); 8
19 Datastrukturer Repræsentation af aktuel stilling: int q[]; boolean up[], down[]; q[col] == row, hvis der er placeret en dronning i søjlen col med rækkenummeret row; ellers 0 up[col+row-2] == true, hvis og kun hvis der er placeret en dronning på opad-diagonalen ( ) med nummer col+row-2 down[col-row+7] == true, hvis og kun hvis der er placeret en dronning på nedad-diagonalen ( ) med nummer col-row
20 Færdig udgave af try void try(int row) { for (int col = ; col <= 8; col++) { if (q[col] == 0 &&!up[row+col-2] &&!down[col-row+7]) { q[col] = row; up[row+col-2] = down[col-row+7] = true; if (row == 8) solutionfound = true; else try(row+); if (solutionfound) return; q[col] = 0; up[row+col-2] = down[col-row+7] = false; 20
21 Primitiver til baksporing choice(n) repræsenterer et valg imellem n alternativer Metoden returnerer heltal imellem og n backtrack() signalerer, at problemet ikke kan løses med de hidtil trufne valg Er implementeret til C, C++, Pascal og Simula af Keld Helsgaun Findes ikke til Java 2
22 Løsning ved brug af primitiverne for (int row = ; row <= 8; row++) { int col = choice(8); if (q[col]!= 0 up[row+col-2] down[col-row+7]) backtrack(); q[col] = row; up[row+col-2] = down[col-row+7] = true; printsolution(); 22
23 Approksimative algoritmer Køretiden for baksporingsalgoritmer er eksponentiel Hvis hver knude i gennemsnit har α sønner, og længden af en løsningsvej er N, så er køretiden α N I nogle tilfælde behøves ikke en optimal løsning - en rimelig god løsning er tilstrækkelig En approksimativ algoritme tilstræber at opnå en rimelig god løsning på kort tid - sædvanligvis med et polynomielt tidsforbrug 23
24 Permutationer En algoritme til systematisk generering af samtlige permutationer af tallene fra til N kan udledes direkte fra algoritmen til udtømmende søgning i en graf Når udtømmende søgning anvendes på en komplet graf, så gennemløbes alle knuder i enhver mulig rækkefølge void dfs(int k) { perm[k] = ++level; if (level == V) use(perm); for (int t = ; t <= V; t++) if (perm[t] == 0) dfs(t); level--; perm[k] = 0; 24
Udtømmende søgning. Udtømmende søgning (kombinatorisk søgning) Problem med 4461 byer Udtømmende søgning i grafer. Find den korteste rundtur
Udtømmende søgning Udtømmende søgning (kombinatorisk søgning) Systematisk gennemsøgning af alle potentielle løsninger Den rejsende sælgers problem (TSP): En sælger skal besøge N byer ind den korteste rundtur
Læs mereLøs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid
6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler
Læs mereSymmetrisk Traveling Salesman Problemet
Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,
Læs mereTirsdag 12. december David Pisinger
Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 12. december David Pisinger Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P = {L : L genkendes af en algoritme
Læs mereLøs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel
I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer
Læs mereAlgoritmisk geometri
Algoritmisk geometri 1 Intervalsøgning 2 Motivation for intervaltræer Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Antag, at vi ønsker at
Læs mereIntervalsøgning. Algoritmisk geometri. Motivation for intervaltræer. Intervalsøgning. Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed
Algoritmisk geometri Intervalsøgning 1 2 Motivation for intervaltræer Intervalsøgning Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Vi kan
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 7. juni 00, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Læs mereSidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed
Approximations-algoritmer Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereAlgoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012
Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Læs mereDRONNINGER (QUEENS) Opgave 1
DRONNINGER (QUEENS) I denne opgave vil vi beskæftige os med det såkaldte 8-dronningeproblem, hvor man skal placerede 8 dronninger på et 8 x 8 skakbræt, således at ingen af dronningerne kan slå hinanden.
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde
Læs mereGrundlæggende køretidsanalyse af algoritmer
Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur (struktur opbygget af et endeligt antal enkeltdele) blandt mange mulige. Eksempler:
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mereGrådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereLøsning af møntproblemet
Løsning af møntproblemet Keld Helsgaun RUC, oktober 1999 Antag at tilstandene i problemet (stillingerne) er repræsenteret ved objekter af klassen State. Vi kan da finde en kortest mulig løsning af problemet
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Læs mereKorteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Læs mereSkriftlig eksamen i Datalogi
Roskilde Universitetscenter side 1 af 11 sider Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Sommer 2000 Opgavesættet består af 6 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 10% Opgave 2 10%
Læs mereOrienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk
Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9
Læs mereGraf PVD ORD SFO LGA HNL LAX DFW MIA 2
Grafer 1 Graf En graf er et par (V, E), hvor V er en mængde af knuder (vertices) E er en samling af par af knuder, kaldet kanter (edges) Eksempel: En knude repræsenterer en lufthavn og har tilknyttet en
Læs mereKorteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereKorteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Læs mereDatastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mere22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned.
22 Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. Indsættelse i hobe. Sletning af minimalt element i hobe. Repræsentation. 327
Læs mere.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}
Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 26. maj 2009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning
Læs mereDatastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2010 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 24. april, 2010 (let justeret 10. maj og 21. maj 2010) Dette projekt udleveres i tre
Læs mereNetværksalgoritmer 1
Netværksalgoritmer 1 Netværksalgoritmer Netværksalgoritmer er algoritmer, der udføres på et netværk af computere Deres udførelse er distribueret Omfatter algoritmer for, hvorledes routere sender pakker
Læs mereOrienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.
Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe
Læs mereOm binære søgetræer i Java
Om binære søgetræer i Java Mads Rosendahl 7. november 2002 Resumé En fix måde at gemme data på er i en træstruktur. Måden er nyttig hvis man får noget data ind og man gerne vil have at det gemt i en sorteret
Læs mereIdeer til datalogiprojekter. Keld Helsgaun
Ideer til datalogiprojekter Keld Helsgaun 1 Keld Helsgaun Forskning: kombinatorisk optimering heuristisk søgning (kunstig intelligens) programmeringsværktøjer Undervisning: programmering, datastrukturer
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereOrienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer
Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs merePrioritetskøer og hobe. Philip Bille
Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af
Læs merePerspektiverende Datalogikursus
Perspektiverende Datalogikursus Uge 1 - Algoritmer og kompleksitet Gerth Stølting Brodal 2. september 2005 1 Afleveringsopgaver... /\.. // \\ / \ / [] \ \\_// / \ / \ []._. ---------------- _ 2 Øvelse
Læs mereSkriftlig eksamen i Datalogi
Roskilde Universitetscenter side 1 af 9 sider Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1999/2000 Opgavesættet består af 6 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 5% Opgave 2
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereDatastrukturer (recap) Datastruktur = data + operationer herpå
Dictionaries Datastrukturer (recap) Datastruktur = data + operationer herpå Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data (ofte underforstået, også
Læs mereSkriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 6. juni 2016, kl. 15:00 19:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereDen rejsende sælgers problem. Den rejsende sælgers problem. Første omtale af problemet 1832
Den rejsende sælgers problem? En sælger skal besøge n byer og vende tilbage til sit udgangspunkt I hvilken rækkefølge skal han besøge byerne, hvis han ønsker at minimere sine rejseomkostninger? Den rejsende
Læs merePerspektiverende Datalogikursus
Perspektiverende Datalogikursus Uge 1 - Algoritmer og kompleksitet Gerth Stølting Brodal 27. august 2004 1 Indhold Mere om Eksempler på beregningsproblemer Algoritmer og deres analyse Korrekthed af algoritmer
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Fredag den 28. maj 2004, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (20%) En (r, k) kryds-graf er en orienteret graf
Læs merePerspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer
Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Gerth Stølting Brodal 1 Indhold Eksempler på beregningsproblemer Algoritmer og deres analyse Korrekthed af algoritmer Ressourceforbrug for algoritmer Kompleksitet
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereAlgoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version
Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereDivide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer
Læs mereIntroduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer
Introduktion til datastrukturer Introduktion til datastrukturer Philip Bille Datastrukturer Datastruktur. Metode til at organise data så det kan søges i/tilgås/manipuleres effektivt. Mål. Hurtig Kompakt
Læs mereTræer. Datastrukturer & Algoritmer, Datalogi C Forelæsning 9/
Datastrukturer & Algoritmer, Datalogi C Forelæsning 9/11-2004 Træer En meget vigtig datastruktur Repræsentation af sprog (i meget generel betydning), syntakstræer: Java (i en compiler), SQL (i et databasesystem),
Læs mereDefinition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er
Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i
Læs mereSøgetræer: Generel repræsentation af (sorterede) mængder og funktioner Databasesystemer...
Datastrukturer & Algoritmer, Datalogi C Forelæsning 11/11-2003 Træer En meget vigtig datastruktur Repræsentation af sprog (i meget generel betydning), syntakstræer: Java (i en compiler), SQL (i et databasesystem),
Læs mereDivide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer (af samme type). 2. Løs delproblemerne ved rekursion (dvs. kald algoritmen
Læs mere02105 Eksamensnoter. Lasse Herskind S maj Sortering 3
02105 Eksamensnoter Lasse Herskind S153746 12. maj 2017 Indhold 1 Sortering 3 2 Analyse af algoritme 4 2.1 Køretid.......................................... 4 2.2 Pladsforbrug.......................................
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer
Læs mereDen rejsende sælgers problem. ved Keld Helsgaun
? Den rejsende sælgers problem ved Keld Helsgaun 1 Den rejsende sælgers problem En sælger skal besøge n byer og vende tilbage til sit udgangspunkt I hvilken rækkefølge skal han besøge byerne, hvis han
Læs mereIntroduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer
Introduktion til datastrukturer Introduktion til datastrukturer Philip Bille Datastrukturer Datastruktur. Metode til at organise data så det kan søges i/tilgås/manipuleres effektivt. Mål. Hurtig Kompakt
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Læs mereVejledende løsninger
Roskilde Universitetscenter side 1 af 8 sider Vejledende løsninger Opgave 1 Spørgsmål 1.1 a = b - a; b = b - a; a = b + a; Opgaven har flere løsninger. En anden løsning er: a = b + a; b = a - b; a = a
Læs mereAlgoritmeanalyse. Øvre grænse for algoritme. Øvre grænse for problem. Nedre grænse for problem. Identificer essentiel(le) operation(er)
Algoritmeanalyse Identificer essentiel(le) operation(er) Øvre grænse for algoritme Find øvre grænse for antallet af gange de(n) essentielle operation(er) udføres. Øvre grænse for problem Brug øvre grænse
Læs mereDivide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Onsdag den. august 200, kl. 9.00.00 Opgave (25%) Lad A = A[] A[n] være et array af heltal. Længden af det længste
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereSprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem
26. marts Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P NP L : L genkendes af en algoritme i polynomiel tid L : L verificeres af en polynomiel tids
Læs mereKapitel 9: Netværksmodeller
Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
ksamen 036, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 036. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2018 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 20. marts, 2019 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereIntroduktion til datastrukturer
Introduktion til datastrukturer Datastrukturer Stakke og køer Hægtede lister Dynamiske tabeller Philip Bille Introduktion til datastrukturer Datastrukturer Stakke og køer Hægtede lister Dynamiske tabeller
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer
Philip Bille (priority-queues). Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key og satellitdata x.data. MAX(): returner element med største nøgle. EXTRACTMAX():
Læs mereMajoritetsproblemet Problem Præcisering af inddata Præcisering af uddata
Majoritetsproblemet Problem: Til præsidentvalget i Frankrig har cirka 20 millioner vælgere afgivet deres stemme på et antal præsidentkandidater. Afgør om en af kandidaterne har opnået mere end halvdelen
Læs mereSkriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Læs mereKapitel 9: Netværksmodeller
Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en JUDI bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 005, F09 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereSammenhængskomponenter i grafer
Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2018 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 13. marts, 2018 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereMålet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt.
Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer (2. semester). Mål
Læs mereDivide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer
Læs mere