Kapitel 9: Netværksmodeller
|
|
- Birthe Hedegaard
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en JUDI bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter er forbundet. Punkterne betegnes QRGHU; lad N betegne sættet af noder. -> Enhver node kan i et stort antal applikationer betegnes som enten demand-, transshipment-, eller udbudsnode. Linierne, der forbinder par af noder, betegnes NDQWHU (arcs); lad A betegne sættet af kanter. -> Enhver kant er i et stort antal applikationer karakteriseret ved en længde og/eller en øvre/nedre grænse for flowet langs pagældende kant. Grafen kan da beskrives ved sættet af noder og kanter og dertil hørende parametre C:. -> G(N, A, C). Orienterede vs. ikke-orienterede netværker: Kanter betegnes orienterede, hvis de alene kan passeres i en og kun en retning; netværket betegnes orienteret, hvis alle kanter er orienterede. Kanter betegnes ikke-orienterede, hvis de kan passeres i begge retninger; netværket betegnes ikke-orienteret, hvis dette gælder for samtlige kanter. Stier og cykler: En VWL mellem 2 noder er en sekvens af orienterede og/eller ikke orienterede distinkte kanter, der forbinder de 2 noder. En RULHQWHUHWVWL fra node i til node j er en sekvens af forbindende kanter, der tillader et flow fra node i til node j; en orienteret sti ma saledes ikke indeholde kanter orienteret fra j mod i.
2 En LNNHRULHQWHUHWVWL fra node i til node j er en sekvens af forbindende kanter, der ikke nødvendigvis tillader et flow fra node i til node j; en ikke-orienteret sti kan saledes indeholde kanter orienteret fra j mod i. En F\FOH er en sti, som begynder og ender i samme node. 2 noder betegnes FRQQHFWHG, hvis der eksisterer en sti mellem dem. Et netværk, hvorom gælder at ethvert par af noder er connected, betegnes et FRQQHFWHG QHWY UN. Træer og udspændende træer: Ethvert sæt af kanter noder i netværket, hvorom gælder i) der eksisterer en sti mellem ethvert par af modsvarende noder, og ii) ingen sadan sti udgør en cycle betegnes et WU. Et træ kan dyrkes med udgangspunkt i en vilkarlig kant; de hertil modsvarende noder betegnes forbundne, og de øvrige ikke-forbundne. Hertil adderes successivt yderligere kanter, en ad gangen, idet enhver yderligere kant skal forbinde en p.t. forbundet node med en p.t. ikke-forbundet node. Denne konstruktion sikrer, at der eksisterer netop 'en sti imellem ethvert par af forbundne noder, og at ingen sadan sti udgør en cycle. Træet gøres successivt større ved additionen af nye kanter. Lad betegne antallet af noder i netværket. Ethvert par af noder er forbundet med en sti, nar træet bestar af 1 kanter; et sadant træ betegnes et XGVS QGHQGHWU. Netværksproblemfelter: 1) Korteste Vej Problemet 2) Bestemmelse af et Minimalt Udspændende Træ 3) Maximum Flow Problemet
3 Korteste Vej Problemet: Udgangspunktet er her et netværk med N noder ( N angiver 5+<.38+63>/>/8 af indexsættet N, d.v.s. antallet af elementer i dette sæt, her altså antallet af noder i netværket), hvoraf nogle par er indbyrdes forbundet af en kant med en given længde. Problemet består nu i at finde den korteste vej mellem en på forhånd angivet source node og enhver anden node i netværket. Problemet løses ved en såkaldt labeling algoritme. I iteration 1 identificeres den node, der ligger tættest på source noden, og i en vilkårlig iteration k den node som er 'k'te tættest' på source noden. Algoritmen kan enten implementeres med udgangspunkt i en tegning af netværket som i lærebogen eller i tabelform. I det følgende bruges korteste vej algorimen til løsning af problemet defineret ved Figur 9.1. i lærebogen: kandidat node tentativ label permanent label senest mærket node forgænger iteration 0 1 [0, S] 1 iteration 1 2 [15, 1] é 3 é [10, 1] 3->[10, 1] 3 1  [15, 1] 2 iteration 2 é à é [13, 3] r 2->[13, 3] Ä [14, 3] Â4 Â[19, 2] iteration 3 à 5 à [14, 3] 5->[14, 3] 5 3 Ä7 Ä[30, 2] iteration 4   4 Å º 19, 2] é [18, 5] r à 6 Ã Ä 7 Å [16, 5] Ä [30, 2] 6->[16, 5] 6 5 iteration 5  [18, 5] 4 é Ã Ä é [30, 2] 7 [22, 6] r 4->[18, 5] 4 5 iteration 6 7 [22, 6] 7->[22, 6] 7 6
4 Algoritme: 1) Giv node 1 permanent label [0, S]. Lad kandidatlisten bestå af alle ikke-permanent labeled noder, der er forbundet med en kant til node 1.Gå til 2). 2) Gentag til kandidatlisten er tom: Lad kandidatlisten bestå af alle ikke-permanent labeled noder, der er forbundet med en kant til en permanent labeled node. Lad K(t) betegne et indexset for mængden af noder i kandidatlisten i iteration t. For enhver node i kandidatlisten 5 beregnes for enhver permanent labeled node forbundet med en kant til pågældende kandidat 3 5 den totale vejlængde ved bevægelse fra node 1 (source noden) langs den korteste vej til 35 og videre langs kanten fra 35 til 5 som SP"3 c 3 5, hvor SP "3 er længden af den korteste vej fra 1 til 35 og c 3 5 er længden af kanten fra 35 til 5. Node 5 5 mærkes tentativt med den korteste blandt disse vejlængder og indeks for modsvarende permanent labeled node. Identificer den node i kandidatlisten med minimal SP"3 c 3 5. Gør denne nodes 5 5 p.t.tentative labe permanent. Betragt først iteration 1. K(1) består af noderne {2, 3}, fordi de som de eneste er forbundet til node 1. Den korteste vej fra node 1 over sættet af p.t. permanent labeled noder (d.v.s. node 1 selv) til node 2 består i at gå fra 1 til 2; længden af denne vej er 0 15 med node 1 som sidste node før ankomst til node 2; node 2 lables derfor tentativt [15, 1]. Tilsvarende for node 3, der lables [10, 1]. 10 er mindre end 15; node 3 er derfor tættest på node 1, og den label gøres permanent. Betragt nu iteration 2. K(2) består af noderne {2, 5}, fordi de som de eneste er forbundet til de permanent labeled noder 1 og 3. Den korteste vej fra node 1 over sættet af p.t. permanent labeled noder (d.v.s. node 1 og 3) til node 2 kan enten bestå i at gå direkte fra 1 til 2 eller fra 1 over 3 til 2. Den første mulighed er fanget i det allerede givne tentative label af node 2 med [15, 1] og vejlængden ved den anden mulighed er 10 3 med node 3 som sidste node før ankomst til node 2; node 2 lables derfor også tentativt [13, 3]. 13 er kortere end 15, så det tentative label [15, 1] slettes. Node 5 lables [14, 3], fordi den korteste vej fra 1 til 3 har længden 10 og længden af kanten fra 3 til 5 er 4. Node 2 er således tættere på node 1 end node 5, fordi den korteste vej til node 2 har længden 14. Node 2's tentative label [14, 3] gøres derfor permanent. Og vi har i iteration 2 fundet den næst tætteste node til 1. Betragt iteration 4. K(4) består af noderne {4, 6, 7}. Node 4 har 2 tentative labels. [19, 2] slettes, fordi vejen til node 4 over node 5 er kortere. Node 6 er den 4. tætteste node, fordi 16 er mindre end 18 og 30. Node 6's label [16, 5] gøres derfor permanent. Hvad er den korteste vej fra node 1 til f.eks. node 7? Node 7 har en label på [22, 6]. Det betyder, at den korteste vej fra node 1 til node 7 har længden 22, og at vi kommer til node 7 fra node 6. Men node 6 er labeled [16, 5]. Vi kommer altså til node 6 fra node 5 og har tilbagelagt vejlængden 16 ved ankomst til node 6. Label for node 5 fortæller at vi kom til 5 fra 3, og label fra node 3 at vi kom fra 1 til 3. Vi skal altså traversere kanterne 1-3, 3-5, 5-6 og 6-7 for at gå den korteste vej fra 1 til 7.
5 LP-formulering af korteste vej problem: Lad vejlængder angive omkostninger svarende til at sende en vareenhed langs en given kant. Da er bestemmelsen af den korteste vej fra en source node til en på forhånd kendt terminal eller sink node ækvivalent til at finde den billigst mulige måde at sende en vareenhed fra fra source til sink. Dette giver anledning til følgende LPformulering: min! 3Ç4¹ E c x s.t.! x 1 4 =Ç 4¹ E =4 é! x! x é0 for alle 3 N, 3 =Ç3 > Ç 4¹ E 4Ç3¹ E! x 1 4 4Ç>¹ E 4> é 1 ˆ x 34 ˆ!Ç 3Ç 4¹ E Bemærk: Altid heltallige løsninger p.g.a. netværksstrukturen!
6 Minimal Spanning Tree Algoritme: 1) Lad NC betegne sættet af p.t. ikke forbundne noder, d.v.s. NC é N, og lad C betegne sættet af p.t. forbundne noder, d.v.s. C ég. Vælg en vilkårlig node og forbind denne til dens tætteste nabo. Fjern disse 2 noder fra NC og indfør dem i C. Gå til 2). 2) Gentag til NC er tom: Identificer den p.t. ikke forbundne node i NC som er tættest på en p.t. forbunden node i C; ties brydes tilfældigt. Lad 3 8C være den hermed identificerede p.t. ikkeforbundne node i NC og lad 3 - være den ligeledes identificerede forbundne node i C, der er tættest på 3 Æ Forbind 3 og 3 og fjern node 3 fra NC og indfør den i C. 8C - 8C 8C 3) Stop; det hermed etablerede træ er et minimalt udspændende træ. Brug selv algoritmen på problemet defineret ved Figur Bemærk: I første iteration indføres 2 af N noder i C og i hver efterfølgende iteration 1 node. Algoritmen terminerer derfor efter N 1 iterationer, og et udspændende træ består af N 1 kanter.
7 Maximum Flow problemet: Udgangspunkt: Orienteret/ikke-orienteret sammenhængende netværk. 1 node er defineret som udbudsnode. 1 node er defineret som efterspørgselsnode. Alle øvrige noder er transshipment/intermediate noder. Hver kant har en tilknyttet kapacitet, der angiver det maximale flow i en bestemt retning. Problemet er nu at bestemme det maximale flow gennem fra udbudsnode (eller source) til efterspørgselsnode (eller sink) med de givne kapaciteter.
8 Algoritmen er baseret på bestemmelse af såkaldte J 69A E?17/8>381 T +>2= eller FAPs. En FAP er en sti fra source til sink med ledig kapacitet langs alle fremadrettede kanter. Betragt den orienterede kant fra 3 til 4: 0 3ü > ü4 6 Tallet 6 angiver, at kanten ( 3Ç 4) har en fremadrettet kapacitet på 6 enheder, d.v.s. at det er muligt at sende 6 enheder fra node 3 til node 4. Tallet 0 angiver tilsvarende, at det ikke er muligt at sende noget fra 4 til 3. Lad os nu forestille os, at vi sender 4 enheder fra 3 til 4. Residualkapaciteterne er da givet ved 0 4 3ü > ü4 6 4 hvilket selvfølgelig er det samme som 4 3ü > ü4 2 Det er altså muligt at sende yderligere 2 enheder fra 3 til 4. Men det er også nu muligt at sende 4 enheder fra 4 til 3. Det sker rent praktisk ved at lade være med at sende dem fra 3 til 4 i første omgang.
9 Lad os se på følgende sti fra source ( = ) til sink ( > ): =ü > ü > ü< ü > ü> Det er ikke en FAP, fordi den fremadrettede kapacitet på den tredie kant er 0. Lad os nu forestille os, at flowet på de viste kanter er 2 (fra = til den første node), 0 (mellem første og anden node), 4 (fra tredie til anden node), og 1 (fra tredie node til > ). Da er residualkapaciteterne givet ved =ü > ü > ü< ü > ü> Bemærk: Flow ind skal være lig med flow ud i enhver intermediate node. Første node må derfor sende 2 enheder ud til andre noder i netværket, anden node må sende 4 enheder ud, og tredie node må modtage 5 enheder fra andre noder i netværket. Nu er stien fra = til > en FAP, fordi der er en ledig fremadrettet kapacitet i enhver node (nemlig hhv. 5, 3, 4 og 2). Det er derfor muligt at øge flowet fra = til > langs denne sti.
10 Den maksimale tilvækst er givet ved den minimale ledige fremsdrettede kapacitet langs stien, d.v.s. min(5, 3, 4, 2) é 2. Øges flowet langs stien med 2 enheder sendes 2 2 fra = til den første node, 0 2 mellem første og anden node, 2 fra tredie til anden node, og 3 fra tredie node til >. Da er residualkapaciteterne givet ved =ü > ü > ü< ü > ü>
11 Max-Flow Algoritmen: 1) Initialiser netværket, d.v.s. angiv indexsæt for kanter T, angiv kapaciteter -34 for alle kanter ( 3, 4) i T og sæt aktuelt flow lig 0. Gå til 2). 2) Find en FAP. Stop hvis ingen FAPs; aktuelt flow er maximalt. Ellers lad ( =, 3, 3,..., 3, > ) definere FAP og gå til 3). 1 # 5 3) Øg flow så meget som muligt langs aktuel FAP, der består af kanterne T JET é¾= (, 3" ), ( 3" Ç3# ),..., ( 35Ç> ) Den maximale flowtilvækst ï er givet ved den minimale ledige fremadrettede kapacitet på FAP, d.v.s. ï é min - 34 ( 3Ç 4 ) T JET Opdater kapaciteter: Â -34 for alle kanter ej på FAP -34 é Ã -34 ïfor alle fremadrettede kanter på FAP Ä - ïfor alle tilbagerettede kanter på FAP Opdater flow: aktuelt flow Gå til 2). 34 é aktuelt flow ï
12 Det er i små netværker let at finde FAPs ved visuel inspektion. I større netværker kan følgende systematiske procedure bruges: 1) Lad indexsættet W bestå af elementet {1}, og lad indexsættet være tomt. W 8/B> 2) Gentag successivt for nye mærkede noder, d.v.s. for noder i indexsættet W, indtil sinknoden mærkes eller ingen ny node kan mærkes: for 3 W begin Mærk enhver p.t. ikke mærket node 4, der kan nås fra 3 langs en enkelt fremadrettet kant med ledig kapacitet, ' 3'. Introducer 4 i W 8/B> end Sæt Wég WéW 8/B> W 8/B> é g 3) Hvis sinknoden mærkes, er der fundet en FAP fra source til sink. I modsat fald findes ingen FAP, og det aktuelle flow er maximalt. Sættet af kanter der forbinder en mærket node med en ikke-mærket node definerer i den situation et såkaldt > -?>=/>.
13 LP-formulering af Max-Flow Problemet: s.t.! 4 =Ç 4¹ E x =4 é@! x! x é0 for alle 3 N, 3 =Ç3 > Ç 4¹ E 4Ç3¹ E! x 4 4Ç>¹ E 0 ì x 4> é@ ì? Ç 3Ç4¹ E I den formulering måler den størst mulige mængde flow, der kan sende fra source til sink.? 34 Ç 3Ç4¹ E, er upper bound på flowet langs kanten ( 3Ç 4) i retningen fra 3 til 4.
14 LP-formulering af det mere generelle balancerede Min Cost Flow Problem: min! (3Ç4¹ E c B s.t.! x! x é b for alle 3 N Ç 4¹ E 4Ç3¹ E 0 ì x ì? Ç 3Ç4¹ E Her måler parametrene b 3 nettoudbud i node 3: b3 0 -> 3supply node b3 0 -> 3demand node b3 é 0 -> 3transshipment/intermediate node Problemet betegnes balanceret, idet det forudsættes!b3 é 0 3 Er dette krav ikke opfyldt, findes der ikke brugbare løsninger med bibetingelserne formuleret som ligheder!
Kapitel 9: Netværksmodeller
Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter
Læs mereSamtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=.
Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper
Læs mereChapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer
Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper
Læs mereChapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative
Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle
Læs mereProjekt Planlægning: PERT/CPM
Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereMinimum udspændende Træer (MST)
Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer
Læs mereSimplex metoden til løsning af LP
Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DTLOS NSTTUT, RUS UNVERSTET Det Naturvidenskabelige akultet ESMEN rundkurser i Datalogi ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 7 (syv) Eksamensdag: Torsdag den 14. juni 007, kl. 9.00-1.00 Eksamenslokale:
Læs mereM=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant
M=3 åben facilitet kunde forbindelse lukket facilitet oprettet lokation Steinerkant v Connected facility location-problemet min i f i y i + d j c ij x ij + M c e z e (1) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (2)
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
STTUT FR DTG, RUS UVERSTET Science and Technology ESE ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler: lle sædvanlige
Læs mereChapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP
Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) Eksamensdag: Torsdag den 1. juni 01,
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mereGrådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
STTUT R T, RUS UVERSTET Science and Technology ESE ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: redag den. juni 0, kl..00-3.00 Tilladte medbragte hjælpemidler: lle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00
Læs mereP2-gruppedannelsen for Mat og MatØk
Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (fjorten) Eksamensdag: Mandag den. juni 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler:
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
STTUT R T, RUS UVRSTT Science and Technology S lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) ksamensdag: Tirsdag den. august 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 24. juni 2011, kl.
Læs mereMinimum udspændende Træer (MST)
Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træ
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Mandag den 11. august 008, kl.
Læs mere.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}
Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSMEN ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Mandag den. august 07, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler:
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 7 (syv) Eksamensdag:
Læs mereSammenhængskomponenter i grafer
Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv
Læs mereDefinition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er
Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereKorteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer
Philip Bille (priority-queues). Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key og satellitdata x.data. MAX(): returner element med største nøgle. EXTRACTMAX():
Læs merePrioritetskøer og hobe. Philip Bille
Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af
Læs mereMinimum udspændende Træer (MST)
Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,
Læs mereLøs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid
6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler
Læs mereForén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.
Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer
Philip Bille. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key og satellitdata x.data. MAX(): returner element med største nøgle. EXTRACTMAX(): returner og fjern
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 0. august 00, kl. 9.00-.00
Læs mereForén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.
Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille
Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Fredag den 28. maj 2004, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (20%) En (r, k) kryds-graf er en orienteret graf
Læs mereKorteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Læs mereUgeseddel 12(10.12 14.12)
Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 5 (fem) Eksamensdag: Fredag den 10. august 007, kl.
Læs mereSortering i lineær tid
Sortering i lineær tid Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel. Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel.
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereGrafteori. 1 Terminologi. Indhold
Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på de opgavetyper der typisk er til internationale matematikkonkurrencer.
Læs mereOpgave 2 è20èè Det er velkendt, at f lgende algoritme er gyldig og korrekt. Algoritme: Heltalskvadratr Stimulans: n: nç0 Respons: r: r 2 ç n é èr +1è
Opgave 1 è20èè Et bin rt tr med heltal i knuderne kan repr senteres som en v rdi af f lgende rekursive type: Type Tree = Prèval: Int, left, right: Treeè hvor det tomme tr angives som?-tree. Vi er interesserede
Læs mereGrafer / Otto Knudsen 20-11-06
Grafer / Otto Knudsen -- Grafer Definition En graf er pr. definition et par G = (V, E). Grafen består af en mængde knuder V (eng: vertices) og en mængde kanter E (eng: edges), som forbinder knuderne. A
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Læs mereGrafteori. 1 Terminologi. Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august fra V. (Engelsk: subgraph, spanning subgraph, the subgraph
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august 2010 1 Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på den type
Læs mereUdtømmende søgning. Udtømmende søgning (kombinatorisk søgning) Problem med 4461 byer Udtømmende søgning i grafer. Find den korteste rundtur
Udtømmende søgning Udtømmende søgning (kombinatorisk søgning) Systematisk gennemsøgning af alle potentielle løsninger Den rejsende sælgers problem (TSP): En sælger skal besøge N byer ind den korteste rundtur
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af
Læs mereMindste udspændende træ
Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mereKorteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereMindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion
Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af
Læs mereSommeren 2001, opgave 1
Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =
Læs mereUdtømmende søgning 1
Udtømmende søgning Udtømmende søgning (kombinatorisk søgning) Systematisk gennemsøgning af alle potentielle løsninger Den rejsende sælgers problem (TSP): En sælger skal besøge N byer Find den korteste
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Onsdag den 11. august 2004, kl.
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereMindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion
Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mereEt udtrykstrç med de ære regnearter, heltalskonstanter og variabler beskrives. Type Expr = Sumèplus, minus, times, div: Args, const: Int, name: Textè
Opgave 1 è20èè Et udtrykstrç med de ære regnearter, heltalskonstanter og variabler beskrives af fçlgende rekursive Trine-type: Type Expr = Sumèplus, minus, times, div: rgs, const: Int, name: Textè Type
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereVideregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!
Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe
Læs mereHamilton-veje og kredse:
Hamilton-veje og kredse: Definition: En sti x 1, x 2,...,x n i en simpel graf G = (V, E) kaldes en hamiltonvej hvis V = n og x i x j for 1 i < j n. En kreds x 1, x 2,...,x n, x 1 i G kaldes en hamiltonkreds
Læs mereAlgoritmeanalyse. Øvre grænse for algoritme. Øvre grænse for problem. Nedre grænse for problem. Identificer essentiel(le) operation(er)
Algoritmeanalyse Identificer essentiel(le) operation(er) Øvre grænse for algoritme Find øvre grænse for antallet af gange de(n) essentielle operation(er) udføres. Øvre grænse for problem Brug øvre grænse
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereSkriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 6. juni 2016, kl. 15:00 19:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereInvarianter. Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af) dens udførelse. Udgør ofte kernen af ideen bag algoritmen.
Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af) dens udførelse. Udgør ofte kernen af ideen bag algoritmen. Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af)
Læs mere22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned.
22 Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. Indsættelse i hobe. Sletning af minimalt element i hobe. Repræsentation. 327
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Læs mereSymmetrisk Traveling Salesman Problemet
Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 25. juni 200, kl. 9.00-.00
Læs mereEfterslægtstavlen kan også udskrives som ren tekst med indrykning: Tonnes ~Ursula ina ~Morten Ferdinand Ida Diderich Oluf ~Pia Grethe Jonna Hedvig Rud
Opgave (25%) F lgende viser en simpel efterslægtstavle Tonnes ο Ursula ina ο Morten Oluf ο Pia Hedvig Rudolf ο Sarah Ferdinand Ida Diderich Grethe Jonna De forskellige typer personer der optræder i tavlen
Læs mereNetværksalgoritmer 1
Netværksalgoritmer 1 Netværksalgoritmer Netværksalgoritmer er algoritmer, der udføres på et netværk af computere Deres udførelse er distribueret Omfatter algoritmer for, hvorledes routere sender pakker
Læs mereReeksamen i Diskret Matematik
Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Læs mereSkriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereOpgave 2 è20èè En tekst er som bekendt et palindrom, hvis den er lig med sin spejling. Fx er den tomme tekst og teksterne "a", "cc", "pip" og "abba" a
Opgave 1 è20èè Et bin rt tr kan som bekendt repr senteres som en v rdi af typen: Type Tree = Prodèleft, right: Treeè hvor et tomt tr angives af standardv rdien?-tree. Vi deçnerer fuldst ndigheden af et
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =
Læs mere