INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

Transkript

1 STTUT R T, RUS UVERSTET Science and Technology ESE ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: redag den. juni 0, kl Tilladte medbragte hjælpemidler: lle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, lommeregner). Computer må ikke medbringes. ateriale der udleveres til eksaminanden: VETESTE EYER Å ÆSTE SE oo

2 Side af sider pgave (%) emærk: agerst i eksamenssættet findes sider til at angive svarene til opgave på og som afleveres som del af eksamensbesvarelsen. etragt nedenstående vægtede orienterede graf. et antages, at grafen er givet ved incidenslister, hvor incidenslisterne er sorteret alfabetisk E 3 C 4 4 Spørgsmål a: ngiv et S-træ for ovenstående graf, hvor S-gennemløbet starter i knuden. ngiv kanterne i S-træet, S-numrene for knuderne, og rækkefølgen knuderne bliver indsat i køen Q i S-algoritmen. Spørgsmål b: ngiv et S-træ for ovenstående graf, hvor S-gennemløbet starter i knuden, og en S-nummerering af knuderne. ngiv for hver knude discovery time og finishing time. arker for hver kant om det er en tree edge (T), back edge (), cross edge (C) eller forward edge (). Spørgsmål c: ngiv de stærke sammenhængskomponenter i ovenstående graf. or hver komponent angiv knuderne i komponenten. Spørgsmål d: ngiv et korteste veje (SSS) træ for ovenstående graf, når korteste veje beregningen sker med hensyn til startknuden. or hver knude v angiv også afstanden fra startknuden til v, og angiv rækkefølgen knuderne tages ud af prioritetskøen Q i ijkstra s algoritme. 4 E 8 4 J 3 C J Spørgsmål e: ngiv kanterne i et minimum udspændende træ(st) for ovenstående uorienterede graf med vægte på kanterne. ngiv i hvilken rækkefølge knuderne bliver taget ud af prioritetskøen Q i rim s algoritme, når denne starter i knuden.

3 Side 3 af sider pgave (%) emærk: agerst i eksamenssættet findes en side til at angive svarene til opgave på og som afleveres som del af eksamensbesvarelsen. etragt nedenstående netværk med de angivne kapaciteter på kanterne. s 3 8 t C Spørgsmål a: ngiv en maksimal strømning (maximum flow) fra s til t i netværket (angiv for hver kant strømningen langs kanten), angiv værdien af en maksimal strømning, og angiv et snit (cut) (dvs. opdeling af knuderne i to disjunkte mængder) hvor kapaciteten af snittet er lig værdien af en maksimal strømning. Spørgsmål b: etragt Edmonds-arp algoritmen anvendt på ovenstående graf til beregning af en maksimal strømning. ngiv de forbedrende stier (augmenting paths) der anvendes under udførslen af Edmonds-arp algoritmen. or hver forbedrende sti angiv knuderne på stien og strømningen, man forbedrer med, langs stien.

4 Side 4 af sider pgave 3 (0%) denne opgave ønsker vi at udføre en mængde af J opgaver på maskiner. pgave j kan udføres på en delmængde m j {,,...,} af maskinerne, hvor j J. ver maskine kan højest udføre én opgave per tidsskridt og hver opgave skal kun udføres én gang på én af maskinerne fra m j..eks. hvis m = {,,3}, m = {,3}, m 3 = {,}, m 4 = {,3}, og m = {,3}, så kan vi udføre opgaverne i to tidsskridt ved i første tidsskridt at udføre opgaverne, 3 og4påhenholdsvis maskinerne3,,og, ogidetandettidsskridt atudføreopgaverne og på henholdsvis maskinerne og 3. Spørgsmål a: ntag at hver opgave kun kan udføres på præcis en maskine, dvs. m j = for j J. eskriv en algoritme, der finder det minimale antal tidsskridt, der skal til for at få udført de J jobs. ngiv algoritmens udførselstid. de følgende delspørgsmål antages nu at hver opgave kan uføres på én eller flere maskiner, dvs. m j {,,...,} og m j. Spørgsmål b: eskriv en algoritme, der finder det maksimale antal af de J opgaver, der kan udføres samtidigt på de maskiner i ét tidsskridt. ngiv algoritmens udførselstid. Spørgsmål c: eskriv en algoritme, der afgør om alle J opgaver kan blive udført i k tidsskridt, hvor k er en heltallig inputparameter. ngiv algoritmens udførselstid. Spørgsmål d: eskriv en algoritme, der finder det minimale antal tidsskridt for at få udført alle J opgaver. ngiv algoritmens udførselstid.

5 Side af sider pgave 4 (0%) ad S være n reelle tal x x x n, og c være et reelt tal, som vi i det følgende betegner et center. en totale afstand til centeret beregnes som d(s,c) = n i= c x i..eks. er d({,4,},) = = 3++ =. or en mængde x x x n ønsker vi at finde et center c, som minimerer den totale afstand d(s,c) til centeret. et kan vises at c = x n/ er et sådan center..eks. for S = {,4,} er c = x = 4 et center, der opnår total afstand d(s,c) =, som er den mindst mulige totale afstand til et center for S. Spørgsmål a: ngiv pseudokode for en metode inist(x,x,...,x n ), der beregner den minimale totale afstand til et center for x x x n, dvs. beregner min c R d(s,c). ngiv algoritmens udførselstid. det følgende ønsker vi at dele x x x n op i k disjunkte delmængder S,...,S k med centre c,...,c k således at k j= d(s j,c j ) er mindst mulig..eks. for S = {,3,4,,} og k =, er en løsning S = {,3,4}, S =,, c = 3 og c =. Vi lader δ(i,j) betegne den mindst mulige afstand man kan opnå med j centre for tallene x,...,x i. δ(i,j) kan bestemmes ved følgende rekursionsformel, hvor 0 i n og 0 j k. δ(i,j) = hvis i > 0 og j = 0 0 hvis 0 i j min l=,...,i (δ(l,j )+inist(x l,...,x i )) hvis i > j > 0 Spørgsmål b: Udfyldnedenståendetabelforδ(i,j),hvorx,...,x n er,,,,, og k = 3. δ(i,j) Spørgsmål c: ngiv en algoritme baseret på dynamisk programmering, der givet n reelle tal x x n og et heltal k, beregner δ(n,k). ngiv algoritmens udførselstid. Spørgsmål d: Udvid algoritmen til at rapportere de k mængder S,...,S k og centre c,...,c k, der har mindste total afstand δ(n,k) til de k centre. ngiv algoritmens udførselstid.

6 Side af sider pgave (0%) ivet to strenge T og T, begge af længde n, så er T en cyklisk rotation af T, hvis der findes et k, k n, således at T = T [k+..n]t [..k]..eks. er T = deabc en cyklisk rotation af T = abcde (med k = 3). Vi siger at T er en cyklisk expansion af T hvis T T og T er en delstreng af T T T for et tilstrækkeligt antal konkatenationer af T..eks. er strengen T = bcdabcdabcdab en cyklisk expansion af T = abcd. emærk at bcd og ab er henholdsvis et suffiks og et præfiks af abcd. det følgende kan det antages at strengene er over et alfabet med () tegn og at et suffikstræ for en streng af længde n over et alfabet med () tegn kan konstrueres i (n) tid. Spørgsmål a: eskriv en algoritme, der givet to strenge T og T, begge af længde n, afgørom T er enrotationaf T. ngiv algoritmens udførselstid. En ideel løsning opnår udførselstid (n). Spørgsmål b: eskriv en algoritme, der givet to strenge T og T, henholdsvis af længde n og m, hvor n m, afgør om T er en cyklisk expansion af T. ngiv algoritmens udførselstid. En ideel løsning opnår udførselstid (n + m). Spørgsmål c: eskriv en algoritme, der givet to strenge T og T, henholdsvis af længde n og m, hvor n m, finder en længste cyklisk expansion af T, som forekommer som en delstreng af T, eller rapporterer at sådan en cyklisk expansion ikke forekommer i T. ngiv algoritmens udførselstid. En ideel løsning opnår udførselstid (n+m).

7 Årskort: avn: Side af sider pgave Svar Spørgsmål a: S E C J ndsættelser i Q: Spørgsmål b: S E C J

8 Side 8 af sider ( blank side )

9 Årskort: avn: Side af sider pgave Svar Spørgsmål c: Stærke sammenhængskomponenter: Spørgsmål d: SSS E 3 C J 4 4 Udtagelse fra Q: Spørgsmål e: ST 3 E C J Udtagelse fra Q:

10 Side 0 af sider ( blank side )

11 Årskort: avn: Side af sider pgave Svar Spørgsmål a: s 3 8 t C Værdien af strømning: inimal snit: Spørgsmål b: orbedring orbedrende sti