M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant

Transkript

1 M=3 åben facilitet kunde forbindelse lukket facilitet oprettet lokation Steinerkant v

2 Connected facility location-problemet min i f i y i + d j c ij x ij + M c e z e (1) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (2) i x ij y i i, j (3) y v = 1 (4) x ij z e S V, v / S, j (5) i S e δ(s) x ij, y i, z e [0; 1] (6) max j α j j β vj (7) α j c ij + β ij j S V :e δ(s),v/ S hvorom gælder : θ S,j i v, j (8) S V :e δ(s),v/ S α j c vj + β ij j (9) β ij f i i v (10) j θ S,j Mc e e (11) α j, θ S,j 0 (12)

3 Rent-or-buy-problemet Rent-or-buy er et specialtilfælde af confl, hvor alle f i = 0 og F = V. Det vil sige at problemet er at forbinde alle kunder med v, enten direkte eller via en Steinerkant. min c ij x ij + M c e z e (13) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (14) x ij i S e δ(s) i z e S V, v / S, j (15) x ij, z e 0 (16) Bemærk at for M 1 reduceres problemet til Minimum Spanning tree-problemet. max j α j (17) α j c ij + hvorom gælder : θ S,j i v, j (18) S V :e δ(s),v/ S α j c vj j (19) θ S,j Mc e (20) j S V :e δ(s),v/ S α j, θ S,j 0 (21)

4 Algoritmen for Rent-or-buy En lokation: Det antages at man kan åbne en facilitet både i knuder, men også på kanterne i grafen. Fase 1: Lad alle α j = 0, ingen kunder være tilknyttet en facilitet og alle faciliteter pånær v være lukkede. Hæv alle α j med hastigheden 1 til tiden t for alle ikke låste kunder. Hvis en af α j = c ij for en facilitet i, øges θ S,j i samme takt som α j, således at (18) forbliver opfyldt med lighed. Når en kunde bliver tilknyttet en lokation tjekkes: 1. om lokationen er åben. Hvis det er tilfældet låses kunden til lokationen og fryses 2. om der nu er tilknyttet mindst M kunder til lokationen som er lukket. Så skal man åbne lokationen og låse de mindst M kunder til lokationen Hvis der opstår flere af ovenstående begivenheder samtidigt kan de behandles i vilkårlig rækkefølge. Dette gøres indtil alle knuder er låst til en lokation. Vælg en maksimal uafhængig mængde L af åbne lokationer a la Vazirani, dog vælges lokationerne i den rækkefølge de blev åbnet i. Så låses hver kunde til en lokation i L.

5 Fase 2: Lad {i 1,...,i k } være de åbne lokationer på kanten e = (u, v) sorteret efter afstanden fra u og i 1 u, i k v. Så tilføjer vi kanterne (u, i 1 ), (i 1, i 2 ),...,(i k 1, i k ), (i k, v) til G for alle kanter e med åbne lokationer placeret på e. Vi laver nu en mængde for enhver lokation i L {v}. Mængden, der indeholder v bidrager ikke til betalingen af Steinerkanter. Vælg den Steinerkant e mellem to mængder, som er tættest på at være fuldt ud betalt: 1. tilføj den til Steinertræet 2. slå de to mængder sammen 3. hæv alle duale variable α j og θ S,j i hver mængde lige meget, således at alle mængder m får hævet j m θ S,j med halvdelen af den manglende betaling for e. Dette gøres indtil der kun er en mængde tilbage, der så indeholder v.

6 M=2 åben facilitet kunde v Figur 1: Problemet

7 M=2 v Figur 2: Kunde 2 og 3 åbner en lokation a på kanten mellem dem, den åbnes og begge kunder låses til den

8 M=2 v Figur 3: Kunderne 1 og 4 åbner hver en lokation b og c på kanten mellem dem og henholdsvis kunde 2 og 3, de åbnes og kunder låses til dem

9 M=3 åben facilitet kunde 2 v 3 Figur 4: Problemet med at udvælge en maksimal mængde. Lokationerne er åbnet i rækkefølgen: v, 2, 3

10 M=3 åben facilitet kunde 2 v 3 Figur 5: Kunderne på den lokation, der ikke vælges låses til den lokation, som lokationen de var låst til er afhængig af

11 v Figur 6: De udvalgte minimale overtrådte mængder

12 v Figur 7: De duale variable for to udvalgte minimale overtrådte mængder kan nu fuldt ud betale for en Steinerkant

13 v Figur 8: De duale variable for to udvalgte minimale overtrådte mængder kan nu fuldt ud betale for den næste Steinerkant

14 v Figur 9: De duale variable for to udvalgte minimale overtrådte mængder kan nu fuldt ud betale for den næste Steinerkant

15 v Figur 10: De duale variable for to udvalgte minimale overtrådte mængder kan nu fuldt ud betale for den sidste Steinerkant

16 Beviserne for Rent-or-buy j u σ(j) σ (j ) w j Figur 11: Ulovlig løsning til Rent-or-buy, hvor j har forbindelse til sin lokation via u og j har forbindelse via w Lad e = (u, w) være en kant hvor der er åbne lokationer. Lad D e være de behov der tilhører de åbne lokationer på e. D u D e defineres som den delmængde af behovene, som når deres lokation på e via u, altså c σ(j)j = c σ(j)u + c u,j

17 Hjælpelemma Man kan bytte rundt på summation og integration når funktionerne er pæne. Bevis: b f(r, x) dx = f(a, x) dx+ = f((a+1), x) dx+ r=a f((a+2), x) dx+...+ f((b 1), x) dx+ f (a, x) + f((a + 1), x) + f((a + 2), x) f((b 1), x) + f(b, x) dx = b f(r, x) dx r=a f(b, x) dx

18 Lemma 1 Den duale løsning, til Rent-or-buy, efter første fase er lovlig. (18) og (19) er på grund af algoritmen åbenlyst opfyldt. Definer: l(j) = S:e δ(s),v/ S θ(1) S,j Hvis c ju c jw da findes et punkt p på e = (u, w), (p, u) = x j u x p l(j) w Figur 12: Definitionen af x Hvis p er det sidste punkt på denne kant som j blev tæt med inden den blev låst, da ses det let at l(j) x,

19 Vi definerer f(j, x) som 1 hvis j var tæt med p og j ikke var låst på det tidspunkt, ellers sættes f(j, x) til x Figur 13: f(j, x) c e Vi kan dermed skrive l(j) c e 0 Da j f(j, x) M får vi: j S V :e δ(s),v/ S ce = θ (1) S,j j 0 j f(j, x)dx. ce 0 f(j, x)dx (22) f(j, x)dx Mc e (23)

20 Lemma2 I slutningen af fase 1, er den højeste omkostning for et behov 3α (1) j. Lemma3 Hvis i er en åben lokation og j D i er c σ(j)j α (1) j. (1) α j j i Figur 14: c σ(j)j α (1) j

21 Lemma 4 cost(t) 2 j D α (2) j (24) For hvert af de minimale overtrådte mængder S, lad θ S = j θ S,j. Bemærk så at θ S vokser med 1, hvilket gør at fase 2 simulerer primal-dual algoritmen for rooted Steiner Tree problemet med v som rod. cost(t) 2 θ S = 2 s j D α (2) j (25)

22 Lemma 5 D i er mængden af kunder der er direkte knyttet til i, D = i L D i, hvor L er de åbnede lokationer. Hvis vi kigger på et behov j. Hvis i v da gælder α (2) j c σ(j)j +c ij + S V :i S,v/ S θ(2) S,j. Desuden gælder: α(2) j c σ(j)j +c vj α j (2) j i σ(j) v Figur 15: En illustration af påstandene i Lemma 5 Ved at sætte α j = max(α(2) j dual løsning c σ(j)j, 0), er (α j, θ(2) ) en lovlig

23 α j (2) j σ(j) v Figur 16: En illustration af påstandene i Lemma 5 Theorem 6 Denne algoritme giver en løsning der højest koster 5 OPT. Husk: cost(t) 2 j (26) og α j = max(α(2) j c σ(j)j, 0) j D α (2) Cost(ROB) = cost(t) + c σ(j)j (27) j 2 α j + 2 c σ(j)j + c σ(j)j + c σ(j)j j j D j D j / D 2 OPT + 3 c σ(j)j + c σ(j)j (28) j D j / D 2 OPT + 3 j + 3 j (29) = 2 OPT + 3 j D α (1) j j / D α (1) α (1) j (30) 5 OPT (31)

24 Theorem 7 Der er en 4.55-approximations algoritme til rent-or-buy-problemet. S* C* i*(j) l j i*(j) st j D l l Figur 17: træet i OPT med l j i (j) sti. Tilføjelsen til det optimale steinertræ kan begrænses af: M gange den korteste l j i (j) sti i D l, dette kan skrives som: j D l (c i (j)j + c lj ), da D l M. j D l c i (j)j C Antag at ρ ST 2. Cost(ROB) = j c σ(j)j + ρ ST (S + C + j D c σ(j)j ) (32) j D c σ(j)j + j / D c σ(j)j + ρ ST j D c σ(j)j + ρ ST (S + C ) (1 + ρ ST ) j D α (1) j + 3 j / D α (1) j + ρ ST OPT (33) 3 j α (1) j + ρ ST OPT (3 + ρ ST )OPT (34)

25 Algoritmen generaliseret til confl Nu kan man kun åbne faciliteter i F V. Derfor samler man mindst M kunder i oprettede lokationer, inden disse må begynde at betale for åbningen af faciliteter. Vi hæver den duale variabel α j for alle ulåste kunder j indtil der sker: 1. En fri kunde j bliver tilknyttet en ikke åben facilitet. Lad fra nu θ Sj,j stige lige så hurtigt som α j. 2. En fri kunde j tilknyttes en oprettet lokation l. Nu er j slave af l. Hvis l = v låses j til v og j fryses. Hvis l v lader vi ikke længere θ Sj,j stige, men istedet lader vi β ij stige for alle faciliteter j er tilknyttet. 3. En lokation l har nu bundet M knuder til sig og derfor etableres en oprettet lokation i l. For enhver fri kunde j tilknyttet l, bliver j slave af l og vi lader fra nu af β ij stige for alle de faciliteter j er tilknyttet lige så hurtigt som α j. 4. En facilitet i bliver fuldt ud betalt, dvs. j β ij = f i. Åben faciliteten i, hvis der er nogle slavekunder j, der er tilknyttet i, lås j til i og frys j. 5. En slavekunde j bliver tilknyttet en allerede åben facilitet i. Lås j til i og frys j.

26 To faciliteter er afhængige, hvis en kunde har været med til at betale for åbningen af dem begge eller betale for åbningen af den ene og skal være med at betale for Steinerforbindelsen af den anden i fase 2. Lad D l være de kunder er bundet til lokationen l. Definer for hver l den repræsentative kunde som {minα (1) j j D l } og lad denne kundes facilitet være lokationens facilitet. Sorter først alle lokationer efter stigende ϕ l = max{α j, t l }, hvor α j er den repræsentative kunde og lad ϕ v = 0. På samme måde som for Rent-or-buy udvælges en maksimal uafhængig mængde L af de åbne lokationer. Dernæst åbner vi alle åbne lokationers facilitetet F. Lås kunder til den facilitet i F de har betalt for at åbne. Kunder, der ikke har betalt til nogen facilitet i F låses til deres oprettede lokations facilitet. Forbind hver oprettet lokation til lokationen facilitet via den korteste vej og bryd eventuelle cykler. Kald disse kanter T og lad T danne udgangspunkt for Steinertræet, som dannes på samme måde som i algoritmen for Rent-or-buy.

27 M=3 åben facilitet kunde lukket facilitet oprettet lokation v Figur 18: Et confl-problem

28 M=3 åben facilitet kunde lukket facilitet oprettet lokation v Figur 19: En kunde bliver tilknyttet en facilitet og θ Sj,j stiger nu i samme takt som α j

29 M=3 åben facilitet kunde lukket facilitet oprettet lokation v Figur 20: En lokation l har tilknyttet 3 kunder, der var frie, da de blev tilknyttet l, så der etableres en oprettet location i l, som de 3 bliver slaver af. Ingen af de 3 er tilknyttet faciliteter, så ingen β ij skal forhøjes

30 M=3 åben facilitet kunde lukket facilitet oprettet lokation v Figur 21: En kunde bliver slave af locationen i v og låses derfor til faciliteten i v

31 M=3 åben facilitet kunde lukket facilitet oprettet lokation v Figur 22: Endnu en lokation l har tilknyttet 3 kunder, der var frie, da de blev tilknyttet l, så der etableres en oprettet location i l, som de 3 bliver slaver af. Ingen af de 3 er tilknyttet faciliteter, så ingen β ij skal forhøjes

32 M=3 åben facilitet kunde lukket facilitet oprettet lokation v Figur 23: Endnu en kunde bliver slave af locationen i v og låses derfor til faciliteten i v

33 M=3 åben facilitet kunde lukket facilitet oprettet lokation v Figur 24: Endnu en gang etableres en oprettet location, de tre kunder blivee slaver af den og den ene kunde begynder at betale for åbningen af den facilitet den er tilknyttet. Desuden er endnu en kunde blevet låst til v

34 M=3 åben facilitet kunde lukket facilitet oprettet lokation v Figur 25: Der er blevet oprette endnu en lokation af de to nederste frie kunder og 1kunde, som var blevet slave, men den gamle værdi af α j kan stadig hjælpe med at oprette lokationer. Endnu en kunde er blevet låst til v. Desuden er flere kunder begyndt at bidrage til betalingen for at åbne faciliteten i øverste, venstre hjørne

35 M=3 åben facilitet kunde lukket facilitet oprettet lokation v l 1 Figur 26: Algoritmens fase 1 er termineret og der er åbnet to faciliteter, som er uafhængige. Hvis faciliteten i øverste, venstre hjørne i havde været dyrere at åbne, ville kunden ved pilen have været med til at betale for åbningen af i og været låst til v, hvilket ville have gjort faciliteterne afhængige, og man havde skulle afsluttet fase 1 med at vælge v, da v blevt åbnet til tiden 0

36 Lemma 9 Algoritmen giver en lovlig dual løsning efter første fase. Lige som i Rent or buy er ligningerne 8 og 9 klart overholdt på grund af opbygningen. at 11 er overholdt ses ligesom i beviset for Lemma 10 lad l være en oprettet location og lad i være dens tilhørende oprettede facilitet, da gælder at: c il min j Dl 2(α (1) j β (1) ij ) 2ϕ l (35) α (1) j = max(t j, c ij ) + β (1) ij (36) α (1) j β (1) ij = max(t j, c ij ) 1 2 t j + c ij (37) 2(α (1) j β (1) ij ) t j + c ij c lj + c ij c il (38)

37 Lemma 11 Lad l og l være to afhængige oprettede faciliteter med ϕ l ϕ l, hvis i er l s tilhørende oprettede facilitet, da er c il 6ϕ l. ϕ l l ϕ j ϕ l l l ϕ l ϕ l 4 ϕ l ϕ l i i Figur 27: bevis for c il 6ϕ ϕ l l l ϕ l ϕ l 4 ϕ l ϕ l i i ϕl j ϕ Figur 28: bevis for c il 6ϕ l

38 ϕ l l l ϕ l ϕ l 6 ϕ l ϕ l i i ϕ l r lemma 12 j Figur 29: bevis for c il 6ϕ For en åben facilitet definerer vi C i som mængden af behov j for hvilke β (1) ij > 0. Desuden sætter vi C F = i F C i. Der gælder: cost(t ) 2 j D α (1) j 2 j D C F Omkostningen for T er højst i L Mc il l. 3 ϕ l β (1) i(j)j (39) Ifølge Lemma 10 er c il 2(α (1) j β (1) ij ) for et hvert j D l. Da D l M, Mc il l j D l 2(α (1) j β (1) ij ) = 2 j D l α (1) j 2 j D l C F β (1) i(j)j, da β (1) i(j)j > 0 j C F. Summeres over alle l L giver det lemmaet.

39 lemma 13 Den fundne løsning opfylder: 7 i F f i + Sum j c i(j)j + cost(t ) + 2 j D c σ(j)j 7 j α (1) j (40) 7 i F f i + Sum j c i(j)j + cost(t ) + 2 j D c σ(j)j (41) j charge(j) 7 j α (1) j (42)

40 Theorem 14 Algoritmen giver en faktor 9 approximation. De kanter der tilføjes i fase 2 kaldes T cost(t ) = 2 OPT + 2 j D c σ(j)j cost(t) = 2 OPT + 2 j D c σ(j)j + cost(t ) cost(t) + cost(f) + Cost(Conection) = 2 OPT + 2 j D c σ(j)j + cost(t ) + i F f i + j c i(j)j 2 OPT+2 j D c σ(j)j +cost(t )+ i F f i + j c i(j)j 2 OPT+7 j α (1) j 9 OP

41 Theorem 15 med ρ ST = 1.55 giver algoritmen en faktor 8.55 approximation Det som i beviset for Theorem 7, kan vi begrænse tilføjelsen til den optimale løsning med: S + C + j D c sigma(j)j Dermed bliver de totale omkostninger f i + c i(j)j +ρ ST c sigma(j)j +ρ ST (S +C ) (7+ρ ST )OPT i F j j D

42 Udvidelser og generaliseringer Vilkårlige behov Lad hver kunde have et behov på d j > 0 istedet for 1. Hvis d j er heltallig kan man lave d j kopier af knuden. Hvis d j er rationel eller reel kan man istedet i fase 1 forhøje α j med hastigheden 1, forhøje med hastigheden d j og dermed også β ij og θ Sj,j, når det er relevant. Alle steder erstattes α j med α j d j, så j er kun bundet til i hvis α j d j c ij og ligeledes for alle andre definitioner. I fase 2 forhøjes d α j og θ Sj,j med j j D d S j d j M, så mængdernes θ S stadig stiger med enhedshastighed. Alle lemmaer og beviser forbliver de samme og man får samme garantier. M = 1 Man kører algoritmen fra Vazirani og bemærker at ved udgangen af fase et er θ Sj,j = 0. Så vælges en maksimalt uafhængig mængde af faciliteter og for hver af disse faciliteter i vælges en af de kunder j, som har betalt for åbningen. Nu tilføjes den kosteste vej fra i til j til Steinertræet inden fase 2 starter. Det giver en approksimationsfaktor på 4. Connected k-median problemet Ligesom Vazirani algoritme kan bruges til at løse k-median problemet ved binært at søge efter en passende lagrangian multiplikator kan denne algoritme for den forbunde version, hvilket giver en approximationsfaktor på

43 Alle resultater u = 1 u > 1 ConFL d j = 1 Generelt Rent-or-buy M = d j > 0 Generelt Rent-or-buy M = Connected k-median-problem d j = 1 Generelt M = d j > 0 Generelt M =